Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați primul termen al progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}

, știind că

\displaystyle b_5=48

și

\displaystyle b_8=384

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula termenului general $\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ și scriem $\displaystyle b_5$ și $\displaystyle b_8$ în funcție de $\displaystyle b_1$ și $\displaystyle q$ .
$\displaystyle b_1\cdot q^{4}=48\text{ și }b_1\cdot q^{7}=384$
Împărțim a doua relație la prima; $\displaystyle b_1\neq 0$ , deoarece $\displaystyle b_5\neq 0$ , deci $\displaystyle b_1$ se simplifică.
$\displaystyle \dfrac{b_1\cdot q^{7}}{b_1\cdot q^{4}}=\dfrac{384}{48}\Rightarrow q^{3}=8$
Din $\displaystyle q^{3}=8$ rezultă, în numere reale, rația $\displaystyle q=2$ .
$\displaystyle q=2$
Înlocuim $\displaystyle q=2$ în $\displaystyle b_1\cdot q^{4}=48$ și aflăm $\displaystyle b_1$ .
$\displaystyle b_1\cdot 2^{4}=48\Rightarrow 16\,b_1=48\Rightarrow b_1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-7x+6

. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata zero, deci rezolvăm ecuația $\displaystyle f(x)=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-7x+6=0$ .
$\displaystyle x^{2}-7x+6=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$ .
$\displaystyle \Delta=25$
Aflăm rădăcinile cu formula $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{7\pm 5}{2}$ , deci $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=6$ . Punctele de intersecție sunt $\displaystyle A(1,0)$ și $\displaystyle B(6,0)$ .
$\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=6\text{, punctele }(1,0)\text{ și }(6,0)$
Punctele sunt pe axa $\displaystyle Ox$ , deci distanța dintre ele este diferența absolută a absciselor: $\displaystyle AB=|6-1|=5$ .
$\displaystyle AB=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 32^x=16\cdot 2^x

.

Vezi rezolvarea

Scriem pe $\displaystyle 32$ și pe $\displaystyle 16$ ca puteri ale lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 32=2^{5}$ și $\displaystyle 16=2^{4}$ .
$\displaystyle 32=2^{5}$ , $\displaystyle \quad 16=2^{4}$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle \left(2^{5}\right)^{x}=2^{4}\cdot 2^{x}$ . Folosim $\displaystyle \left(a^{m}\right)^{x}=a^{mx}$ în membrul stâng și $\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ în membrul drept.
$\displaystyle 2^{5x}=2^{4+x}$
Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci putem egala exponenții: $\displaystyle 5x=4+x$ .
$\displaystyle \left(2^{5}\right)^{x}=2^{4}\cdot 2^{x}\Leftrightarrow 5x=4+x$
Mutăm $\displaystyle x$ în membrul stâng: $\displaystyle 5x-x=4$ , deci $\displaystyle 4x=4$ , de unde $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle 4x=4\Rightarrow x=1$
Verificare: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 32^{1}=32$ și $\displaystyle 16\cdot 2^{1}=32$ . Soluția ecuației este $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural

\displaystyle n

din mulțimea

\displaystyle \{1,2,3,4,5\}

, acesta să verifice egalitatea

\displaystyle n^2-5n+6=0

.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$ conține cinci elemente, deci există $\displaystyle 5$ cazuri posibile.
$\displaystyle 5$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle n^2-5n+6=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=25-24=1$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{5\pm 1}{2}$ .
$\displaystyle n_1=2$ , $\displaystyle \ n_2=3$
Ambele soluții, $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 3$ , aparțin mulțimii $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$ , deci sunt $\displaystyle 2$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 2$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{2}{5}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că vectorii

\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i}+(a-1)\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v}=6\vec{i}+2\vec{j}

sunt coliniari.

Vezi rezolvarea

Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Coordonatele lui $\displaystyle \vec{u}$ sunt $\displaystyle a+1$ și $\displaystyle a-1$ , iar ale lui $\displaystyle \vec{v}$ sunt $\displaystyle 6$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \vec{u}=(a+1,\,a-1)$ , $\displaystyle \ \vec{v}=(6,\,2)$
Scriem condiția de proporționalitate a coordonatelor: $\displaystyle \dfrac{a+1}{6}=\dfrac{a-1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{a+1}{6}=\frac{a-1}{2}$
Înmulțim cruce: $\displaystyle 2(a+1)=6(a-1)$ , deci după desfacerea parantezelor obținem $\displaystyle 2a+2=6a-6$ .
$\displaystyle 2a+2=6a-6$
Aducem termenii cu $\displaystyle a$ într-o parte și numerele în cealaltă: $\displaystyle 2+6=6a-2a$ , adică $\displaystyle 8=4a$ .
$\displaystyle 8=4a$
Împărțim la $\displaystyle 4$ și obținem $\displaystyle a=2$ . Verificare: pentru $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle \vec{u}=(3,1)$ , iar $\displaystyle \vec{v}=(6,2)=2\vec{u}$ , deci vectorii sunt coliniari.
$\displaystyle a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2+(\sin x+2\cos x)^2-4\sin 2x=5

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm primul pătrat folosind formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu $\displaystyle a=2\sin x$ și $\displaystyle b=\cos x$ .
$\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2=4\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x$
Dezvoltăm la fel al doilea pătrat, cu $\displaystyle a=\sin x$ și $\displaystyle b=2\cos x$ .
$\displaystyle (\sin x+2\cos x)^2=\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x$
Adunăm cele două pătrate: termenii cu $\displaystyle \sin^2 x$ dau $\displaystyle 5\sin^2 x$ , cei cu $\displaystyle \cos^2 x$ dau $\displaystyle 5\cos^2 x$ , iar termenii micști dau $\displaystyle 8\sin x\cos x$ .
$\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2+(\sin x+2\cos x)^2=5\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+8\sin x\cos x$
Folosim formula unghiului dublu, $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ , pentru termenul scăzut.
$\displaystyle 4\sin 2x=4\cdot 2\sin x\cos x=8\sin x\cos x$
Scădem: termenii cu $\displaystyle \sin x\cos x$ se reduc, iar din identitatea $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ obținem valoarea $\displaystyle 5$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle 5\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+8\sin x\cos x-8\sin x\cos x=5\cdot 1=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&x\\y&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(2A)=-28

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 2\\2\cdot 4&2\cdot 1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\8&2\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle 2A$ : $\displaystyle \det(2A)=\begin{vmatrix}2&4\\8&2\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(2A)=\begin{vmatrix}2&4\\8&2\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(2A)=2\cdot 2-4\cdot 8=4-32=-28$ . Deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(2A)=2\cdot 2-4\cdot 8=4-32=-28$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&x\\y&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

, știind că

\displaystyle A+2B=I_2

, unde

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle B$ cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2B=2\begin{pmatrix}0&x\\y&0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}0&2x\\2y&0\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle A$ și $\displaystyle 2B$ element cu element: $\displaystyle A+2B=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2x\\2y&0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A+2B=\begin{pmatrix}1&2+2x\\4+2y&1\end{pmatrix}$
Egalăm $\displaystyle A+2B=I_2$ și comparăm elementele de pe aceleași poziții. Elementele de pe diagonală coincid, deci rămân ecuațiile de pe pozițiile $\displaystyle (1,2)$ și $\displaystyle (2,1)$ .
$\displaystyle \begin{cases}2+2x=0\\4+2y=0\end{cases}$
Rezolvăm fiecare ecuație: din $\displaystyle 2x=-2$ obținem $\displaystyle x=-1$ , iar din $\displaystyle 2y=-4$ obținem $\displaystyle y=-2$ .
$\displaystyle x=-1\text{ și }y=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&x\\y&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Dacă

\displaystyle AB=BA

, arătați că

\displaystyle \det B\le 0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle AB$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle B$ . Prima linie a lui $\displaystyle A$ este $\displaystyle (1,\ 2)$ , iar a doua este $\displaystyle (4,\ 1)$ . Coloanele lui $\displaystyle B$ sunt $\displaystyle \begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}$ și $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle AB=\begin{pmatrix}1\cdot 0+2y&1\cdot x+2\cdot 0\\4\cdot 0+1\cdot y&4x+1\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y&x\\y&4x\end{pmatrix}$
Calculăm și produsul $\displaystyle BA$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle B$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ . Obținem ambele produse.
$\displaystyle BA=\begin{pmatrix}0\cdot 1+x\cdot 4&0\cdot 2+x\cdot 1\\y\cdot 1+0\cdot 4&y\cdot 2+0\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x&x\\y&2y\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ AB=\begin{pmatrix}2y&x\\y&4x\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare ale matricelor $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BA$ . Elementele de pe pozițiile $\displaystyle (1,2)$ și $\displaystyle (2,1)$ sunt deja egale. Rămân condițiile de pe diagonală, care dau aceeași relație.
$\displaystyle 2y=4x\text{ și }4x=2y$
Din $\displaystyle 2y=4x$ , împărțind la $\displaystyle 2$ , obținem $\displaystyle y$ în funcție de $\displaystyle x$ .
$\displaystyle y=2x$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle B$ : $\displaystyle \det B=0\cdot 0-x\cdot y=-xy$ . Înlocuim $\displaystyle y=2x$ și obținem $\displaystyle -2x^{2}$ . Cum $\displaystyle x^{2}\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, rezultă că $\displaystyle \det B\le 0$ .
$\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}0&x\\2x&0\end{vmatrix}=-2x^{2}\le 0\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2

.

Arătați că

\displaystyle (-1)\circ 1=-1

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2$ . Pentru $\displaystyle (-1)\circ 1$ luăm $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle \ y=1$
Înlocuim $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=1$ în expresia $\displaystyle 3xy+3x+3y+2$ .
$\displaystyle (-1)\circ 1=3\cdot(-1)\cdot 1+3\cdot(-1)+3\cdot 1+2$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 3\cdot(-1)\cdot 1=-3$ , $\displaystyle 3\cdot(-1)=-3$ și $\displaystyle 3\cdot 1=3$ .
$\displaystyle (-1)\circ 1=-3-3+3+2$
Calculăm: $\displaystyle -3-3=-6$ , apoi $\displaystyle -6+3=-3$ , apoi $\displaystyle -3+2=-1$ . Deci $\displaystyle (-1)\circ 1=-1$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle -3-3+3+2=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x\circ x=x

.

Vezi rezolvarea

Din definiția legii, pentru $\displaystyle y=x$ obținem $\displaystyle x\circ x=3x\cdot x+3x+3x+2$ .
$\displaystyle x\circ x=3x^{2}+6x+2$
Ecuația $\displaystyle x\circ x=x$ devine $\displaystyle 3x^{2}+6x+2=x$ . Mutăm $\displaystyle x$ în stânga și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 6x-x=5x$ .
$\displaystyle 3x^{2}+5x+2=0$
Pentru $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=5$ , $\displaystyle c=2$ avem $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-24$ .
$\displaystyle \Delta=1$
Aplicăm formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5\pm 1}{6}$ . Obținem $\displaystyle x_1=\dfrac{-5+1}{6}=-\dfrac{2}{3}$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{-5-1}{6}=-1$ . Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
$\displaystyle x_1=-\frac{2}{3}\text{ și }x_2=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2

.

Determinați perechile

\displaystyle (a,b)

de numere întregi, știind că

\displaystyle a\circ b=8

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția $\displaystyle a\circ b=8$ folosind definiția legii: $\displaystyle a\circ b=3ab+3a+3b+2$ .
$\displaystyle 3ab+3a+3b+2=8$
Observăm că $\displaystyle 3ab+3a+3b+3=3(a+1)(b+1)$ . Scriem $\displaystyle 2=3-1$ și grupăm termenii.
$\displaystyle 3ab+3a+3b+3-1=8\Leftrightarrow 3(a+1)(b+1)-1=8$
Mutăm $\displaystyle -1$ în membrul drept: $\displaystyle 3(a+1)(b+1)=9$ . Împărțim la $\displaystyle 3$ și obținem produsul a două numere întregi egal cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle (a+1)(b+1)=3$
Cum $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ , numerele $\displaystyle a+1$ și $\displaystyle b+1$ sunt divizori întregi ai lui $\displaystyle 3$ . Divizorii lui $\displaystyle 3$ sunt $\displaystyle -3,-1,1,3$ , iar $\displaystyle b+1=\dfrac{3}{a+1}$ .
$\displaystyle a+1\in\{-3,-1,1,3\}$
Analizăm fiecare caz: dacă $\displaystyle a+1=-3,-1,1,3$ , atunci $\displaystyle b+1=-1,-3,3,1$ . Scăzând $\displaystyle 1$ din fiecare, obținem $\displaystyle a=-4,-2,0,2$ și $\displaystyle b=-2,-4,2,0$ .
$\displaystyle (a,b)\in\{(-4,-2),(-2,-4),(0,2),(2,0)\}$
Verificăm, de exemplu, perechea $\displaystyle (0,2)$ : $\displaystyle 3\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0+3\cdot 2+2=8$ . Toate cele patru perechi convin, deci acesta este răspunsul final.
$\displaystyle (-4,-2)$ , $\displaystyle \ (-2,-4)$ , $\displaystyle \ (0,2)\text{ și }(2,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=(x-2)e^x$ este un produs de două funcții. Aplicăm formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ , cu $\displaystyle u=x-2$ și $\displaystyle v=e^x$ .
$\displaystyle f'(x)=(x-2)'e^x+(x-2)\left(e^x\right)'$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x-2)'=1$ și $\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x=e^x+(x-2)e^x$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x$ : $\displaystyle e^x\left(1+x-2\right)$ . Cum $\displaystyle 1+x-2=x-1$ , obținem formula cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle -\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle -\infty$ are ecuația $\displaystyle y=l$ , unde $\displaystyle l=\lim_{x\to-\infty}f(x)$ . Calculăm această limită.
$\displaystyle l=\lim_{x\to-\infty}(x-2)e^{x}$
Când $\displaystyle x\to-\infty$ , factorul $\displaystyle x-2$ tinde la $\displaystyle -\infty$ , iar $\displaystyle e^{x}$ tinde la $\displaystyle 0$ . Obținem nedeterminarea $\displaystyle -\infty\cdot 0$ .
$\displaystyle (-\infty)\cdot 0$
Eliminăm nedeterminarea scriind produsul ca fracție: $\displaystyle e^{x}=\dfrac{1}{e^{-x}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x-2)e^{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}}$
Când $\displaystyle x\to-\infty$ , numărătorul tinde la $\displaystyle -\infty$ , iar numitorul $\displaystyle e^{-x}$ tinde la $\displaystyle +\infty$ . Avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , iar exponențiala crește mai repede decât orice funcție polinomială. Putem aplica și regula lui L'Hospital: derivata numărătorului este $\displaystyle 1$ , iar derivata numitorului este $\displaystyle -e^{-x}$ . Raportul $\displaystyle \dfrac{1}{-e^{-x}}$ tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=0$
Limita la $\displaystyle -\infty$ este $\displaystyle 0$ , deci graficul funcției $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle -\infty$ dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Demonstrați că

\displaystyle f'(x)\ge -1

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ folosind formula derivatei unui produs: $\displaystyle f'(x)=(x-2)'e^x+(x-2)(e^x)'$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$
Derivăm încă o dată: $\displaystyle f''(x)=(x-1)'e^x+(x-1)(e^x)'=e^x+(x-1)e^x$ .
$\displaystyle f''(x)=xe^x$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f''(x)=0$ . Deoarece $\displaystyle e^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , egalitatea $\displaystyle xe^x=0$ are loc doar pentru $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f''(x)=xe^x$ , $\displaystyle \ f''(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Pentru $\displaystyle x\le 0$ avem $\displaystyle x\le 0$ și $\displaystyle e^x>0$ , deci $\displaystyle f''(x)\le 0$ . Rezultă că $\displaystyle f'$ este descrescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0]$ .
$\displaystyle f''(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\Rightarrow f'\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,0]$
Pentru $\displaystyle x\ge 0$ avem $\displaystyle x\ge 0$ și $\displaystyle e^x>0$ , deci $\displaystyle f''(x)\ge 0$ . Rezultă că $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle [0,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\Rightarrow f'\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)$
Calculăm $\displaystyle f'(0)=(0-1)e^0=-1$ . În $\displaystyle x=0$ funcția $\displaystyle f'$ trece de la descrescătoare la crescătoare, deci $\displaystyle f'(0)$ este minimul ei.
$\displaystyle f'(0)=-1$
Pe $\displaystyle (-\infty,0]$ funcția $\displaystyle f'$ este descrescătoare, deci $\displaystyle f'(x)\ge f'(0)$ . Pe $\displaystyle [0,+\infty)$ funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare, deci tot $\displaystyle f'(x)\ge f'(0)$ . Deci $\displaystyle f'(x)\ge -1$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle f'(x)\ge f'(0)=-1\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+1}{x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=3

.

Vezi rezolvarea

Separăm fracția: $\displaystyle f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{x}=\dfrac{2x^{2}}{x}+\dfrac{1}{x}$ , deci $\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{1}{x}$ pentru $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}$
Calculăm $\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=2x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=2x$ , deci $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\dfrac{1}{x}\right)dx=\int_1^2 2x\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^2 2x\,dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle x^{2}$ , deci $\displaystyle \displaystyle\int_1^2 2x\,dx=x^{2}\Big|_1^2$ .
$\displaystyle \int_1^2 2x\,dx=x^{2}\Big|_1^2$
Calculăm $\displaystyle x^{2}\Big|_1^2=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 2^{2}-1^{2}=4-1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+1}{x}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2016

este o primitivă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

O funcție $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ dacă $\displaystyle F$ este derivabilă pe acest interval și $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ . Funcția $\displaystyle F$ este derivabilă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , fiind suma dintre o funcție polinomială, $\displaystyle \ln x$ și o constantă. Deci calculăm derivata lui $\displaystyle F$ .
$\displaystyle F'(x)=\left(x^2+\ln x+2016\right)'$
Derivăm termen cu termen: $\displaystyle (x^2)'=2x$ , $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , iar $\displaystyle (2016)'=0$ .
$\displaystyle F'(x)=2x+\frac{1}{x}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 2x=\dfrac{2x^2}{x}$ , apoi adunăm fracțiile.
$\displaystyle 2x+\frac{1}{x}=\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2x^2+1}{x}$
Expresia obținută este exact $\displaystyle f(x)$ , pentru orice $\displaystyle x>0$ . Deci $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , adică $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }$ $\displaystyle \text{funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+1}{x}

.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei

\displaystyle Ox

a graficului funcției

\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)

este mai mic decât

\displaystyle 14\pi

.

Vezi rezolvarea

Volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este $\displaystyle V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx$ , unde $\displaystyle g(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(\dfrac{2x^2+1}{x}\right)^2dx$
Ridicăm la pătrat numărătorul și numitorul: $\displaystyle (2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1$ , iar numitorul devine $\displaystyle x^2$ . Apoi împărțim fiecare termen la $\displaystyle x^2$ și obținem $\displaystyle \dfrac{4x^4+4x^2+1}{x^2}=4x^2+4+\dfrac{1}{x^2}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(4x^2+4+\dfrac{1}{x^2}\right)dx$
Calculăm o primitivă a fiecărui termen: pentru $\displaystyle 4x^2$ avem $\displaystyle \dfrac{4x^3}{3}$ , pentru $\displaystyle 4$ avem $\displaystyle 4x$ , iar pentru $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ avem $\displaystyle -\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{4x^3}{3}+4x-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_1^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle 2$ minus valoarea ei în $\displaystyle 1$ . În $\displaystyle 2$ obținem $\displaystyle \dfrac{32}{3}+8-\dfrac{1}{2}$ , iar în $\displaystyle 1$ obținem $\displaystyle \dfrac{4}{3}+4-1$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{28}{3}+4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{56+24+3}{6}$ .
$\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{28}{3}+4+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{83\pi}{6}$
Comparăm cu $\displaystyle 14\pi$ . Scriem $\displaystyle 14=\dfrac{84}{6}$ . Cum $\displaystyle 83<84$ , rezultă că $\displaystyle \dfrac{83\pi}{6}<\dfrac{84\pi}{6}=14\pi$ , deci volumul este mai mic decât $\displaystyle 14\pi$ .
$\displaystyle V=\dfrac{83\pi}{6}<14\pi$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani