Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 17: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} cu a1=1−33\displaystyle a_1=1-3\sqrt{3} și rația r=3\displaystyle r=\sqrt{3}. Arătați că partea fracționară a lui a5\displaystyle a_5 este egală cu 3−1\displaystyle \sqrt{3}-1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula termenului general al unei progresii aritmetice: a5=a1+4r\displaystyle a_5=a_1+4r.
    a5=a1+4r\displaystyle a_5=a_1+4r
  2. Înlocuim a1=1−33\displaystyle a_1=1-3\sqrt{3} și r=3\displaystyle r=\sqrt{3}, apoi reducem termenii asemenea: −33+43=3\displaystyle -3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\sqrt{3}.
    a5=1−33+43=1+3\displaystyle a_5=1-3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=1+\sqrt{3}
  3. Pentru a afla partea întreagă a lui a5\displaystyle a_5, încadrăm 3\displaystyle \sqrt{3} între doi pătrați perfecți consecutivi: 1<3<4\displaystyle 1<3<4, deci 1<3<2\displaystyle 1<\sqrt{3}<2.
    1<3<2\displaystyle 1<\sqrt{3}<2
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 la toți membrii inegalității și obținem 2<1+3<3\displaystyle 2<1+\sqrt{3}<3, deci 2<a5<3\displaystyle 2<a_5<3 și [a5]=2\displaystyle [a_5]=2.
    [a5]=2\displaystyle [a_5]=2
  5. Partea fracționară este diferența dintre număr și partea sa întreagă: {a5}=a5−[a5]=1+3−2=3−1\displaystyle \{a_5\}=a_5-[a_5]=1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1, ceea ce trebuia arătat.
    {a5}=a5−[a5]=1+3−2=3−1\displaystyle \{a_5\}=a_5-[a_5]=1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}. Arătați că numărul f(−2)⋅f(−1)⋅f(0)⋅f(1)⋅f(2)\displaystyle f(-2)\cdot f(-1)\cdot f(0)\cdot f(1)\cdot f(2) este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(−x)=(−x)2+1=x2+1=f(x)\displaystyle f(-x)=\sqrt{(-x)^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+1}=f(x), deci f(−2)=f(2)\displaystyle f(-2)=f(2) și f(−1)=f(1)\displaystyle f(-1)=f(1).
    f(−x)=f(x)\displaystyle f(-x)=f(x)
  2. Calculăm f(2)=22+1=4+1\displaystyle f(2)=\sqrt{2^{2}+1}=\sqrt{4+1}, deci f(−2)=f(2)=5\displaystyle f(-2)=f(2)=\sqrt{5}.
    f(−2)=f(2)=5\displaystyle f(-2)=f(2)=\sqrt{5}
  3. Calculăm f(1)=12+1=2\displaystyle f(1)=\sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}, deci f(−1)=f(1)=2\displaystyle f(-1)=f(1)=\sqrt{2}. Apoi f(0)=02+1=1=1\displaystyle f(0)=\sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1.
    f(−2)=f(2)=5\displaystyle f(-2)=f(2)=\sqrt{5}, f(−1)=f(1)=2\displaystyle \ f(-1)=f(1)=\sqrt{2}, f(0)=1\displaystyle \ f(0)=1
  4. Înlocuim valorile în produs și grupăm factorii egali: f(−2)⋅f(−1)⋅f(0)⋅f(1)⋅f(2)=5⋅2⋅1⋅2⋅5=52⋅22⋅1\displaystyle f(-2)\cdot f(-1)\cdot f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)=\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}\cdot 1\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5}^{2}\cdot\sqrt{2}^{2}\cdot 1.
    52⋅22⋅1\displaystyle \sqrt{5}^{2}\cdot\sqrt{2}^{2}\cdot 1
  5. Cum a2=a\displaystyle \sqrt{a}^{2}=a pentru a≥0\displaystyle a\geq 0, obținem 5⋅2⋅1=10\displaystyle 5\cdot 2\cdot 1=10. Deci produsul este egal cu 10\displaystyle 10, care este număr natural.
    52⋅22⋅1=10∈N\displaystyle \sqrt{5}^{2}\cdot\sqrt{2}^{2}\cdot 1=10\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(5x−1)=2log⁡3(x+1)\displaystyle \log_3(5x-1)=2\log_3(x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 5x−1>0\displaystyle 5x-1>0 rezultă x>15\displaystyle x>\dfrac{1}{5}, iar din x+1>0\displaystyle x+1>0 rezultă x>−1\displaystyle x>-1. Deci x∈(15,∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{5},\infty\right).
    x∈(15,∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{5},\infty\right)
  2. Folosim proprietatea logaritmului puterii: 2log⁡3(x+1)=log⁡3(x+1)2\displaystyle 2\log_3(x+1)=\log_3(x+1)^2. Pentru x>15\displaystyle x>\dfrac{1}{5} avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci transformarea este corectă. Ecuația devine log⁡3(5x−1)=log⁡3(x+1)2\displaystyle \log_3(5x-1)=\log_3(x+1)^2.
    log⁡3(5x−1)=log⁡3(x+1)2\displaystyle \log_3(5x-1)=\log_3(x+1)^2
  3. Logaritmul în baza 3 este injectiv, deci egalăm argumentele: 5x−1=(x+1)2\displaystyle 5x-1=(x+1)^2. Dezvoltăm pătratul: (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1, deci 5x−1=x2+2x+1\displaystyle 5x-1=x^2+2x+1.
    5x−1=x2+2x+1\displaystyle 5x-1=x^2+2x+1
  4. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: x2+2x+1−5x+1=0\displaystyle x^2+2x+1-5x+1=0, adică x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0.
    x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=1, deci x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}, adică x=1\displaystyle x=1 sau x=2\displaystyle x=2.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
  6. Verificăm condiția de existență x>15\displaystyle x>\dfrac{1}{5}: valorile 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2 sunt mai mari decât 15\displaystyle \dfrac{1}{5}, deci ambele convin. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem log⁡34=2log⁡32=log⁡34\displaystyle \log_3 4=2\log_3 2=\log_3 4; pentru x=2\displaystyle x=2 avem log⁡39=2log⁡33\displaystyle \log_3 9=2\log_3 3, adică 2=2\displaystyle 2=2.
    x=1 sau x=2, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de mulțimi X\displaystyle X cu proprietatea {1,2,3}⊂X⊂{1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3\}\subset X\subset\{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Din incluziunea {1,2,3}⊂X\displaystyle \{1,2,3\}\subset X rezultă că elementele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 aparțin lui X\displaystyle X.
    1\displaystyle 1,2\displaystyle 2,3∈X\displaystyle 3\in X
  2. Din X⊂{1,2,3,4,5}\displaystyle X\subset\{1,2,3,4,5\} rezultă că X\displaystyle X poate conține în plus doar elementele 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5, deci singurele elemente care pot fi sau nu în X\displaystyle X sunt 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5.
    X={1,2,3}∪A\displaystyle X=\{1,2,3\}\cup A, A⊂{4,5}\displaystyle \ A\subset\{4,5\}
  3. Enumerăm submulțimile lui {4,5}\displaystyle \{4,5\}: mulțimea vidă, {4}\displaystyle \{4\}, {5}\displaystyle \{5\} și {4,5}\displaystyle \{4,5\}. Fiecare dă câte o mulțime X\displaystyle X. Obținem patru mulțimi, deci există 4\displaystyle 4 mulțimi X\displaystyle X.
    X={1,2,3}\displaystyle X=\{1,2,3\}, X={1,2,3,4}\displaystyle \ X=\{1,2,3,4\}, X={1,2,3,5} sau X={1,2,3,4,5}, deci exista˘ 4 mulțimi\displaystyle \ X=\{1,2,3,5\}\text{ sau }X=\{1,2,3,4,5\}\text{, deci există 4 mulțimi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii u⃗=ai⃗+3j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+3\vec{j} și v⃗=2i⃗+bj⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că 2u⃗+3v⃗=0⃗\displaystyle 2\vec{u}+3\vec{v}=\vec{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim vectorii în combinația 2u⃗+3v⃗\displaystyle 2\vec{u}+3\vec{v} și obținem 2(ai⃗+3j⃗)+3(2i⃗+bj⃗)\displaystyle 2(a\vec{i}+3\vec{j})+3(2\vec{i}+b\vec{j}).
    2u⃗+3v⃗=2(ai⃗+3j⃗)+3(2i⃗+bj⃗)\displaystyle 2\vec{u}+3\vec{v}=2(a\vec{i}+3\vec{j})+3(2\vec{i}+b\vec{j})
  2. Desfacem parantezele: 2ai⃗+6j⃗+6i⃗+3bj⃗\displaystyle 2a\vec{i}+6\vec{j}+6\vec{i}+3b\vec{j}. Grupăm termenii care conțin i⃗\displaystyle \vec{i} și pe cei care conțin j⃗\displaystyle \vec{j}.
    2u⃗+3v⃗=(2a+6)i⃗+(6+3b)j⃗\displaystyle 2\vec{u}+3\vec{v}=(2a+6)\vec{i}+(6+3b)\vec{j}
  3. Condiția 2u⃗+3v⃗=0⃗\displaystyle 2\vec{u}+3\vec{v}=\vec{0} înseamnă că ambele componente sunt zero, deoarece i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j} sunt necoliniari. Obținem sistemul 2a+6=0\displaystyle 2a+6=0 și 6+3b=0\displaystyle 6+3b=0.
    {2a+6=06+3b=0\displaystyle \begin{cases}2a+6=0\\6+3b=0\end{cases}
  4. Din prima ecuație, 2a=−6\displaystyle 2a=-6, deci a=−3\displaystyle a=-3. Din a doua ecuație, 3b=−6\displaystyle 3b=-6, deci b=−2\displaystyle b=-2.
    a=−3 și b=−2\displaystyle a=-3\text{ și }b=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic isoscel, cu ipotenuza BC=82\displaystyle BC=8\sqrt{2}. Arătați că raza cercului înscris în △ABC\displaystyle \triangle ABC este egală cu 4(2−2)\displaystyle 4(2-\sqrt{2}).
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic isoscel, deci catetele sunt egale: AB=AC=x\displaystyle AB=AC=x. Aplicăm teorema lui Pitagora: x2+x2=BC2=(82)2=128\displaystyle x^{2}+x^{2}=BC^{2}=\left(8\sqrt{2}\right)^{2}=128.
    2x2=128\displaystyle 2x^{2}=128
  2. Din 2x2=128\displaystyle 2x^{2}=128 obținem x2=64\displaystyle x^{2}=64, deci x=8\displaystyle x=8.
    AB=AC=8\displaystyle AB=AC=8
  3. Calculăm aria triunghiului dreptunghic ca jumătate din produsul catetelor: S=AB⋅AC2=8⋅82\displaystyle S=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{8\cdot 8}{2}.
    S=32\displaystyle S=32
  4. Calculăm semiperimetrul: p=AB+AC+BC2=8+8+822=8+42\displaystyle p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{8+8+8\sqrt{2}}{2}=8+4\sqrt{2}, adică p=4(2+2)\displaystyle p=4(2+\sqrt{2}).
    p=4(2+2)\displaystyle p=4(2+\sqrt{2})
  5. Folosim formula razei cercului înscris, r=Sp\displaystyle r=\dfrac{S}{p}, și înlocuim valorile: r=324(2+2)=82+2\displaystyle r=\dfrac{32}{4(2+\sqrt{2})}=\dfrac{8}{2+\sqrt{2}}.
    r=324(2+2)=82+2\displaystyle r=\frac{32}{4(2+\sqrt{2})}=\frac{8}{2+\sqrt{2}}
  6. Raționalizăm numitorul, amplificând fracția cu conjugatul 2−2\displaystyle 2-\sqrt{2}: r=8(2−2)(2+2)(2−2)=8(2−2)4−2=4(2−2)\displaystyle r=\dfrac{8(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\dfrac{8(2-\sqrt{2})}{4-2}=4(2-\sqrt{2}).
    r=324(2+2)=4(2−2)\displaystyle r=\frac{32}{4(2+\sqrt{2})}=4(2-\sqrt{2})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1aa2a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=(1aa2a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix} și amintim regula determinantului de ordin doi: ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r.
    det⁡(A(a))=∣1aa2a3∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală este 1⋅a3\displaystyle 1\cdot a^3, iar produsul elementelor de pe diagonala secundară este a⋅a2\displaystyle a\cdot a^2. Scădem al doilea produs din primul.
    det⁡(A(a))=1⋅a3−a⋅a2\displaystyle \det(A(a))=1\cdot a^3-a\cdot a^2
  3. Simplificăm: 1⋅a3=a3\displaystyle 1\cdot a^3=a^3 și a⋅a2=a3\displaystyle a\cdot a^2=a^{3}, deci cei doi termeni sunt egali și diferența lor este zero, oricare ar fi numărul real a\displaystyle a.
    a3−a3=0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle a^3-a^3=0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1aa2a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(2)+xI2)=0\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(2)\displaystyle A(2), înlocuind a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2 în A(a)\displaystyle A(a): a2=4\displaystyle a^2=4 și a3=8\displaystyle a^3=8.
    A(2)=(1248)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix} la A(2)\displaystyle A(2). Se adaugă x\displaystyle x doar elementelor de pe diagonala principală.
    A(2)+xI2=(1+x248+x)\displaystyle A(2)+xI_2=\begin{pmatrix}1+x&2\\4&8+x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (1+x)(8+x)−2⋅4\displaystyle (1+x)(8+x)-2\cdot 4.
    det⁡(A(2)+xI2)=(1+x)(8+x)−8=x2+9x+8−8=x2+9x\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=(1+x)(8+x)-8=x^2+9x+8-8=x^2+9x
  4. Punem condiția det⁡(A(2)+xI2)=0\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=0 și obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2+9x=0\displaystyle x^2+9x=0
  5. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+9)=0\displaystyle x(x+9)=0. Produsul este zero dacă x=0\displaystyle x=0 sau x+9=0\displaystyle x+9=0, deci x=−9\displaystyle x=-9.
    x=−9 sau x=0\displaystyle x=-9\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1aa2a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, dacă A(a)⋅A(b)=A(b)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(b)\cdot A(a), atunci a=b\displaystyle a=b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅1+a⋅b2\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot b^{2}, elementul de pe linia 1, coloana 2 este 1⋅b+a⋅b3\displaystyle 1\cdot b+a\cdot b^{3}, elementul de pe linia 2, coloana 1 este a2⋅1+a3⋅b2\displaystyle a^{2}\cdot 1+a^{3}\cdot b^{2}, iar elementul de pe linia 2, coloana 2 este a2⋅b+a3⋅b3\displaystyle a^{2}\cdot b+a^{3}\cdot b^{3}.
    A(a)⋅A(b)=(1+ab2b+ab3a2+a3b2a2b+a3b3)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1+ab^{2}&b+ab^{3}\\a^{2}+a^{3}b^{2}&a^{2}b+a^{3}b^{3}\end{pmatrix}
  2. Calculăm în același fel produsul A(b)⋅A(a)\displaystyle A(b)\cdot A(a), schimbând între ele rolurile lui a\displaystyle a și b\displaystyle b. Obținem aceleași formule, cu a\displaystyle a și b\displaystyle b inversate.
    A(b)⋅A(a)=(1+ba2a+ba3b2+b3a2b2a+b3a3)\displaystyle A(b)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1+ba^{2}&a+ba^{3}\\b^{2}+b^{3}a^{2}&b^{2}a+b^{3}a^{3}\end{pmatrix}
  3. Egalăm cele două matrice element cu element. Din egalitatea elementelor de pe linia 1, coloana 1 avem 1+ab2=1+ba2\displaystyle 1+ab^{2}=1+ba^{2}. Reducem termenul 1\displaystyle 1 și dăm factor comun ab\displaystyle ab.
    ab2=ba2  ⟺  ab(b−a)=0\displaystyle ab^{2}=ba^{2}\iff ab(b-a)=0
  4. Din egalitatea elementelor de pe linia 1, coloana 2 avem b+ab3=a+ba3\displaystyle b+ab^{3}=a+ba^{3}. Trecem termenii în aceeași parte și folosim diferența de pătrate, a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Apoi dăm factor comun b−a\displaystyle b-a.
    b−a+ab(b2−a2)=0  ⟺  (b−a)(1+ab(a+b))=0\displaystyle b-a+ab(b^{2}-a^{2})=0\iff (b-a)\bigl(1+ab(a+b)\bigr)=0
  5. Presupunem prin absurd că a≠b\displaystyle a\neq b. Atunci din prima relație, simplificând cu b−a\displaystyle b-a care este nenul, obținem ab=0\displaystyle ab=0. Înlocuind în a doua relație, factorul 1+ab(a+b)\displaystyle 1+ab(a+b) devine 1\displaystyle 1, deci b−a=0\displaystyle b-a=0, adică a=b\displaystyle a=b. Aceasta contrazice presupunerea. Rămâne că a=b\displaystyle a=b.
    a≠b⇒ab=0⇒1+ab(a+b)=1⇒b−a=0, contradicție; deci a=b\displaystyle a\neq b\Rightarrow ab=0\Rightarrow 1+ab(a+b)=1\Rightarrow b-a=0\text{, contradicție; deci }a=b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y23\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^2+y^2}.

Arătați că 0∗8=4\displaystyle 0*8=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=x2+y23\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^2+y^2} pentru x=0\displaystyle x=0 și y=8\displaystyle y=8.
    0∗8=02+823\displaystyle 0*8=\sqrt[3]{0^2+8^2}
  2. Calculăm pătratele: 02=0\displaystyle 0^2=0 și 82=64\displaystyle 8^2=64, deci suma de sub radical este 0+64=64\displaystyle 0+64=64.
    0∗8=643\displaystyle 0*8=\sqrt[3]{64}
  3. Deoarece 43=64\displaystyle 4^3=64, avem 643=4\displaystyle \sqrt[3]{64}=4. Am obținut egalitatea cerută.
    0∗8=643=4\displaystyle 0*8=\sqrt[3]{64}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y23\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^2+y^2}. Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” nu\displaystyle \textbf{nu} are element neutru.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin absurd că legea are element neutru e∈R\displaystyle e\in\mathbb{R}, adică x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Alegem x=0\displaystyle x=0 și scriem condiția e∗0=0\displaystyle e*0=0.
    e∗0=0\displaystyle e*0=0
  2. Înlocuim în definiția legii: e∗0=e2+023=e23\displaystyle e*0=\sqrt[3]{e^{2}+0^{2}}=\sqrt[3]{e^{2}}.
    e∗0=e23\displaystyle e*0=\sqrt[3]{e^{2}}
  3. Din e∗0=0\displaystyle e*0=0 rezultă e23=0\displaystyle \sqrt[3]{e^{2}}=0. Ridicăm la puterea a treia: e2=0\displaystyle e^{2}=0, deci e=0\displaystyle e=0. Singura valoare posibilă a elementului neutru este 0\displaystyle 0.
    e23=0⇒e2=0⇒e=0\displaystyle \sqrt[3]{e^{2}}=0\Rightarrow e^{2}=0\Rightarrow e=0
  4. Verificăm dacă 0\displaystyle 0 chiar este element neutru. Alegem x=8\displaystyle x=8 și calculăm 0∗8=02+823=643=4\displaystyle 0*8=\sqrt[3]{0^{2}+8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4.
    0∗8=643=4\displaystyle 0*8=\sqrt[3]{64}=4
  5. Dar 4≠8\displaystyle 4\neq 8, deci 0∗8≠8\displaystyle 0*8\neq 8. Așadar e=0\displaystyle e=0 nu este element neutru, iar legea „∗\displaystyle *” nu are element neutru.
    0∗8=4≠8, deci legea nu are \displaystyle 0*8=4\neq 8\text{, deci legea nu are }element neutru\displaystyle \text{element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y23\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^2+y^2}.

Demonstrați că există o infinitate de perechi (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale nenule pentru care numărul m∗n\displaystyle m*n este natural nenul.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm perechi (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care m2+n2\displaystyle m^2+n^2 este cub perfect. Încercăm perechi cu m=n\displaystyle m=n, deoarece atunci m2+n2=2m2\displaystyle m^2+n^2=2m^2. Alegem m=n=2k3\displaystyle m=n=2k^3, cu k∈N∗\displaystyle k\in\mathbb{N}^*, ca să obținem un cub perfect. Pentru fiecare k\displaystyle k obținem o pereche de numere naturale nenule.
    m=2k3\displaystyle m=2k^3, n=2k3\displaystyle \ n=2k^3, k∈N∗\displaystyle \ k\in\mathbb{N}^*
  2. Înlocuim m\displaystyle m și n\displaystyle n în definiția legii de compoziție: m∗n=m2+n23\displaystyle m*n=\sqrt[3]{m^2+n^2}, adică (2k3)2+(2k3)23\displaystyle \sqrt[3]{(2k^3)^2+(2k^3)^2}.
    m∗n=m2+n23=(2k3)2+(2k3)23\displaystyle m*n=\sqrt[3]{m^2+n^2}=\sqrt[3]{(2k^3)^2+(2k^3)^2}
  3. Calculăm expresia de sub radical: (2k3)2=4k6\displaystyle (2k^3)^2=4k^6, deci suma este 4k6+4k6=8k6\displaystyle 4k^6+4k^6=8k^6, care este egală cu (2k2)3\displaystyle (2k^2)^3, adică un cub perfect.
    (2k3)2+(2k3)2=4k6+4k6=8k6=(2k2)3\displaystyle (2k^3)^2+(2k^3)^2=4k^6+4k^6=8k^6=(2k^2)^3
  4. Extragem radicalul de ordin 3: obținem 2k2\displaystyle 2k^2, care este număr natural nenul pentru orice k∈N∗\displaystyle k\in\mathbb{N}^*. Perechile (2k3,2k3)\displaystyle (2k^3,2k^3) sunt distincte pentru valori diferite ale lui k\displaystyle k, deci există o infinitate de perechi cu proprietatea cerută.
    m∗n=8k63=2k2∈N∗\displaystyle m*n=\sqrt[3]{8k^6}=2k^2\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−x+1\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1}.

Arătați că f′(x)=2x+1−12x+1\displaystyle f'(x)=\frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−x+1\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1} este o diferență, deci derivăm termen cu termen: f′(x)=x′−(x+1)′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\sqrt{x+1}\right)'.
    f′(x)=x′−(x+1)′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\sqrt{x+1}\right)'
  2. Avem x′=1\displaystyle x'=1. Pentru radical folosim (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și u′=1\displaystyle u'=1, deci (x+1)′=12x+1\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.
    x′=1\displaystyle x'=1,(x+1)′=12x+1\displaystyle \quad \left(\sqrt{x+1}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}
  3. Înlocuim: f′(x)=1−12x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}. Aducem la același numitor 2x+1\displaystyle 2\sqrt{x+1}, care este nenul pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty): f′(x)=2x+1−12x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}.
    f′(x)=1−12x+1=2x+1−12x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−x+1\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui x+1\displaystyle \sqrt{x+1} este 12x+1\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.
    f′(x)=1−12x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}
  2. Aducem derivata la același numitor. Numitorul 2x+1\displaystyle 2\sqrt{x+1} este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul derivatei este dat de numărător.
    f′(x)=2x+1−12x+1\displaystyle f'(x)=\frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}
  3. Aflăm punctul critic: rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Ecuația revine la 2x+1=1\displaystyle 2\sqrt{x+1}=1, deci x+1=12\displaystyle \sqrt{x+1}=\dfrac{1}{2}. Ridicăm la pătrat și obținem x+1=14\displaystyle x+1=\dfrac{1}{4}, adică x=−34\displaystyle x=-\dfrac{3}{4}, care aparține domeniului (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    f′(x)=0⇔2x+1=1⇔x+1=14⇔x=−34\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x+1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}
  4. Studiem semnul numărătorului 2x+1−1\displaystyle 2\sqrt{x+1}-1. Funcția radical este crescătoare, deci pentru x∈(−1,−34)\displaystyle x\in\left(-1,-\dfrac{3}{4}\right) avem x+1<12\displaystyle \sqrt{x+1}<\dfrac{1}{2}, iar numărătorul este negativ. Pentru x>−34\displaystyle x>-\dfrac{3}{4} avem x+1>12\displaystyle \sqrt{x+1}>\dfrac{1}{2}, iar numărătorul este pozitiv.
    f′(x)<0 pe (−1,−34)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }\left(-1,-\frac{3}{4}\right),f′(x)>0 pe (−34,+∞)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }\left(-\frac{3}{4},+\infty\right)
  5. Concluzionăm: unde derivata este negativă funcția descrește, iar unde este pozitivă funcția crește. Punctul −34\displaystyle -\dfrac{3}{4} se include în ambele intervale, deoarece f\displaystyle f este continuă pe domeniu.
    f este descresca˘toare pe (−1,−34] și cresca˘toare pe [−34,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }\left(-1,-\frac{3}{4}\right]\text{ și crescătoare pe }\left[-\frac{3}{4},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−x+1\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1}.

Demonstrați că ln⁡x≥ln⁡x+1+1−2\displaystyle \ln x\ge\sqrt{\ln x+1}+1-\sqrt{2}, pentru orice x∈[e,+∞)\displaystyle x\in[e,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, iar pentru x≥e\displaystyle x\ge e avem ln⁡x≥ln⁡e=1\displaystyle \ln x\ge\ln e=1. Deci ln⁡x∈[1,+∞)\displaystyle \ln x\in[1,+\infty), interval inclus în domeniul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) al lui f\displaystyle f.
    ln⁡x≥1, pentru orice x∈[e,+∞)\displaystyle \ln x\ge 1\text{, pentru orice }x\in[e,+\infty)
  2. Derivăm funcția f(x)=x−x+1\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1} pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty): derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui x+1\displaystyle \sqrt{x+1} este 12x+1\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.
    f′(x)=1−12x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}
  3. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem x+1≥2\displaystyle x+1\ge 2, deci 2x+1≥22>1\displaystyle 2\sqrt{x+1}\ge 2\sqrt{2}>1. Atunci 12x+1<1\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}<1, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)>0, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)
  4. Cum f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), funcția f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Deoarece ln⁡x≥1\displaystyle \ln x\ge 1, ambele numere sunt în [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) și f\displaystyle f este crescătoare, deci f(ln⁡x)≥f(1)\displaystyle f(\ln x)\ge f(1).
    f(ln⁡x)≥f(1)\displaystyle f(\ln x)\ge f(1)
  6. Calculăm f(ln⁡x)=ln⁡x−ln⁡x+1\displaystyle f(\ln x)=\ln x-\sqrt{\ln x+1} și f(1)=1−2\displaystyle f(1)=1-\sqrt{2}. Inegalitatea devine ln⁡x−ln⁡x+1≥1−2\displaystyle \ln x-\sqrt{\ln x+1}\ge 1-\sqrt{2}.
    ln⁡x−ln⁡x+1≥1−2\displaystyle \ln x-\sqrt{\ln x+1}\ge 1-\sqrt{2}
  7. Adunăm ln⁡x+1\displaystyle \sqrt{\ln x+1} în ambii membri și obținem inegalitatea cerută, valabilă pentru orice x∈[e,+∞)\displaystyle x\in[e,+\infty).
    ln⁡x≥ln⁡x+1+1−2, pentru orice x∈[e,+∞)\displaystyle \ln x\ge\sqrt{\ln x+1}+1-\sqrt{2}\text{, pentru orice }x\in[e,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right).

Arătați că ∫01f(x)ex dx=103\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac{10}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right) în integrală și simplificăm factorul ex\displaystyle e^x de la numărător cu cel de la numitor (este nenul). Rămâne de integrat un polinom.
    ∫01f(x)ex dx=∫01ex(x2−4x+5)ex dx=∫01(x2−4x+5)dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\frac{e^x\left(x^2-4x+5\right)}{e^x}\,dx=\int_0^1\left(x^2-4x+5\right)dx
  2. Integrăm termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, și evaluăm primitiva între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01(x2−4x+5)dx=(x33−4x22+5x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^2-4x+5\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+5x\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm primitiva în x=1\displaystyle x=1; în x=0\displaystyle x=0 ea este 0\displaystyle 0. Apoi aducem la același numitor: −2+5=3\displaystyle -2+5=3, iar 13+3=103\displaystyle \dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}.
    13−2+5=13+3=103\displaystyle \frac{1}{3}-2+5=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right).

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este f\displaystyle f. Pentru a arăta că F\displaystyle F este convexă, vom studia semnul derivatei a doua.
    F′(x)=f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle F'(x)=f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată, folosind regula de derivare a produsului: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata lui x2−4x+5\displaystyle x^2-4x+5 este 2x−4\displaystyle 2x-4.
    F′′(x)=ex(x2−4x+5)+ex(2x−4)\displaystyle F''(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right)+e^x(2x-4)
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii din paranteză: x2−4x+5+2x−4=x2−2x+1\displaystyle x^2-4x+5+2x-4=x^2-2x+1, care este pătratul perfect (x−1)2\displaystyle (x-1)^2.
    F′′(x)=ex(x2−2x+1)=ex(x−1)2\displaystyle F''(x)=e^x\left(x^2-2x+1\right)=e^x(x-1)^2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Pentru orice x\displaystyle x real, ex>0\displaystyle e^x>0, iar (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^2\ge 0. Produsul lor este deci mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, adică F\displaystyle F este convexă. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este convexă.
    ex(x−1)2≥0, deci F′′(x)≥0, pentru orice x∈R, deci F este convexa˘\displaystyle e^x(x-1)^2\ge 0\text{, deci }F''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right).

Determinați numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c astfel încât funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex(ax2+bx+c)\displaystyle F(x)=e^x\left(ax^2+bx+c\right) este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f dacă F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Impunem această condiție.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F folosind formula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=ex\displaystyle u=e^x și v=ax2+bx+c\displaystyle v=ax^2+bx+c. Avem (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (ax2+bx+c)′=2ax+b\displaystyle (ax^2+bx+c)'=2ax+b.
    F′(x)=ex(ax2+bx+c)+ex(2ax+b)\displaystyle F'(x)=e^x(ax^2+bx+c)+e^x(2ax+b)
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și grupăm termenii după puterile lui x\displaystyle x.
    F′(x)=ex(ax2+(b+2a)x+c+b), pentru orice x∈R\displaystyle F'(x)=e^x\left(ax^2+(b+2a)x+c+b\right)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Egalăm F′(x)\displaystyle F'(x) cu f(x)=ex(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right) și simplificăm prin ex>0\displaystyle e^x>0. Obținem egalitatea de polinoame ax2+(b+2a)x+c+b=x2−4x+5\displaystyle ax^2+(b+2a)x+c+b=x^2-4x+5 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    ax2+(b+2a)x+(c+b)=x2−4x+5\displaystyle ax^2+(b+2a)x+(c+b)=x^2-4x+5
  5. Două polinoame egale pentru orice x\displaystyle x real au coeficienții corespunzători egali. Identificăm coeficienții lui x2\displaystyle x^2, ai lui x\displaystyle x și termenii liberi.
    {a=1b+2a=−4c+b=5\displaystyle \begin{cases}a=1\\ b+2a=-4\\ c+b=5\end{cases}
  6. Din prima ecuație a=1\displaystyle a=1. Înlocuim în a doua: b+2=−4\displaystyle b+2=-4, deci b=−6\displaystyle b=-6. Înlocuim în a treia: c−6=5\displaystyle c-6=5, deci c=11\displaystyle c=11.
    a=1\displaystyle a=1, b=−6 și c=11\displaystyle \ b=-6\text{ și }c=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.