Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că suma elementelor mulțimii {n∈N∣n(n+2)<14}\displaystyle \{n\in\mathbb{N}\mid n(n+2)<14\} este egală cu 3.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm inegalitatea n(n+2)<14\displaystyle n(n+2)<14 pe rând pentru numerele naturale, începând cu 0\displaystyle 0. Pentru n=0\displaystyle n=0 avem 0⋅2=0<14\displaystyle 0\cdot 2=0<14, deci n=0\displaystyle n=0 convine.
    0⋅2=0<14\displaystyle 0\cdot 2=0<14
  2. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem 1⋅3=3<14\displaystyle 1\cdot 3=3<14, deci convine. Pentru n=2\displaystyle n=2 avem 2⋅4=8<14\displaystyle 2\cdot 4=8<14, deci convine.
    1⋅3=3<14\displaystyle 1\cdot 3=3<14,2⋅4=8<14\displaystyle \quad 2\cdot 4=8<14
  3. Pentru n=3\displaystyle n=3 avem 3⋅5=15>14\displaystyle 3\cdot 5=15>14, deci nu convine. Deoarece n(n+2)\displaystyle n(n+2) crește odată cu n\displaystyle n pentru n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, nici valorile n≥3\displaystyle n\geq 3 nu convin. Deci n=0\displaystyle n=0, n=1\displaystyle n=1 sau n=2\displaystyle n=2.
    n=0 sau n=1 sau n=2\displaystyle n=0\text{ sau }n=1\text{ sau }n=2
  4. Adunăm elementele mulțimii {0,1,2}\displaystyle \{0,1,2\}: 0+1+2=3\displaystyle 0+1+2=3, deci suma cerută este 3\displaystyle 3.
    0+1+2=3\displaystyle 0+1+2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+b\displaystyle f(x)=ax+b. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f(x+1)=f(x)+2\displaystyle f(x+1)=f(x)+2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim condiția f(0)=1\displaystyle f(0)=1. Cum f(0)=a⋅0+b=b\displaystyle f(0)=a\cdot 0+b=b, rezultă b=1\displaystyle b=1.
    b=1\displaystyle b=1
  2. Cu b=1\displaystyle b=1, funcția devine f(x)=ax+1\displaystyle f(x)=ax+1. Scriem f(x+1)\displaystyle f(x+1) înlocuind x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1.
    f(x+1)=a(x+1)+1\displaystyle f(x+1)=a(x+1)+1
  3. Înlocuim în relația f(x+1)=f(x)+2\displaystyle f(x+1)=f(x)+2, care are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    a(x+1)+1=ax+1+2\displaystyle a(x+1)+1=ax+1+2
  4. Desfacem parantezele: ax+a+1=ax+3\displaystyle ax+a+1=ax+3. Simplificăm termenii ax\displaystyle ax și 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (x+5)2−9>0\displaystyle (x+5)^2-9>0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia din stânga este o diferență de pătrate, deoarece 9=32\displaystyle 9=3^{2}: (x+5)2−32>0\displaystyle (x+5)^{2}-3^{2}>0.
    (x+5)2−32>0\displaystyle (x+5)^{2}-3^{2}>0
  2. Aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), cu a=x+5\displaystyle a=x+5 și b=3\displaystyle b=3.
    (x+5−3)(x+5+3)>0\displaystyle (x+5-3)(x+5+3)>0
  3. Reducem termenii din fiecare paranteză și obținem inecuația sub formă de produs: x+5−3=x+2\displaystyle x+5-3=x+2 și x+5+3=x+8\displaystyle x+5+3=x+8.
    (x+2)(x+8)>0\displaystyle (x+2)(x+8)>0
  4. Rădăcinile factorilor sunt x=−8\displaystyle x=-8 și x=−2\displaystyle x=-2. Produsul are forma x2+10x+16\displaystyle x^{2}+10x+16, cu coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor, adică pentru x<−8\displaystyle x<-8 sau x>−2\displaystyle x>-2.
    x<−8 sau x>−2\displaystyle x<-8\text{ sau }x>-2
  5. Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile −8\displaystyle -8 și −2\displaystyle -2 nu fac parte din soluție. Mulțimea soluțiilor este:
    x∈(−∞,−8)∪(−2,+∞)\displaystyle x\in(-\infty,-8)\cup(-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii {1,3,5,7,9}\displaystyle \{1,3,5,7,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime ordonată cu două elemente este un aranjament: contează ordinea alegerii celor două elemente. Mulțimea are 5\displaystyle 5 elemente, iar noi alegem câte 2\displaystyle 2, deci numărul căutat este A52\displaystyle A_5^2.
    A52\displaystyle A_5^2
  2. Scriem formula aranjamentelor: Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Pentru n=5\displaystyle n=5 și k=2\displaystyle k=2 obținem A52=5!3!\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}.
    A52=5!3!\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}
  3. Simplificăm 3!\displaystyle 3!: 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!, deci rămâne 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20. Așadar există 20\displaystyle 20 de submulțimi ordonate cu două elemente.
    A52=5⋅4⋅3!3!=5⋅4=20\displaystyle A_5^2=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=5\cdot 4=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,2)\displaystyle A(0,2), B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(−1,3)\displaystyle C(-1,3). Determinați coordonatele simetricului punctului A\displaystyle A față de mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul M\displaystyle M al segmentului BC\displaystyle BC are coordonatele xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yM=yB+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}, unde B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(−1,3)\displaystyle C(-1,3).
    xM=3+(−1)2\displaystyle x_M=\dfrac{3+(-1)}{2},yM=5+32\displaystyle \quad y_M=\dfrac{5+3}{2}
  2. Calculăm: xM=22=1\displaystyle x_M=\dfrac{2}{2}=1 și yM=82=4\displaystyle y_M=\dfrac{8}{2}=4. Deci mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este M(1,4)\displaystyle M(1,4).
    M(1,4)\displaystyle M(1,4)
  3. Notăm cu A′(x,y)\displaystyle A'(x,y) simetricul lui A\displaystyle A față de M\displaystyle M. Atunci M\displaystyle M este mijlocul segmentului AA′\displaystyle AA', deci xM=0+x2\displaystyle x_M=\dfrac{0+x}{2} și yM=2+y2\displaystyle y_M=\dfrac{2+y}{2}.
    1=0+x2\displaystyle 1=\dfrac{0+x}{2},4=2+y2\displaystyle \quad 4=\dfrac{2+y}{2}
  4. Din prima ecuație, x=2⋅1=2\displaystyle x=2\cdot 1=2. Din a doua, 2+y=8\displaystyle 2+y=8, deci y=6\displaystyle y=6. Simetricul lui A\displaystyle A față de mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este punctul A′(2,6)\displaystyle A'(2,6).
    x=2 și y=6\displaystyle x=2\text{ și }y=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sinusul unghiului D\displaystyle D al triunghiului DEF\displaystyle DEF, știind că semiperimetrul triunghiului DEF\displaystyle DEF este egal cu 6\displaystyle 6, DE=4\displaystyle DE=4 și DF=5\displaystyle DF=5.
Vezi rezolvarea
  1. Semiperimetrul este p=DE+DF+EF2=6\displaystyle p=\dfrac{DE+DF+EF}{2}=6, deci perimetrul este 12\displaystyle 12. Cum DE+DF=4+5=9\displaystyle DE+DF=4+5=9, rezultă EF=12−9\displaystyle EF=12-9.
    EF=12−9=3\displaystyle EF=12-9=3
  2. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora. Latura cea mai lungă este DF=5\displaystyle DF=5, iar DE2+EF2=42+32=16+9=25=52=DF2\displaystyle DE^{2}+EF^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25=5^{2}=DF^{2}.
    DE2+EF2=25=DF2\displaystyle DE^{2}+EF^{2}=25=DF^{2}
  3. Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul DEF\displaystyle DEF este dreptunghic în E\displaystyle E, cu ipotenuza DF\displaystyle DF. Pentru unghiul D\displaystyle D, cateta opusă este EF\displaystyle EF, deci sin⁡D=EFDF=35\displaystyle \sin D=\dfrac{EF}{DF}=\dfrac{3}{5}.
    ΔDEF este dreptunghic ıˆn E, deci sin⁡D=35\displaystyle \Delta DEF\text{ este dreptunghic în }E\text{, deci }\sin D=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1010−111−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula lui Sarrus: determinantul este suma produselor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, minus suma produselor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea. Pentru A=(aij)\displaystyle A=(a_{ij}) avem det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
    det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
  2. Calculăm cele trei produse cu semnul plus: 1⋅(−1)⋅0=0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0=0, 0⋅1⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1=0 și 1⋅0⋅(−1)=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot(-1)=0. Toate sunt egale cu 0, fiindcă în fiecare apare un element nul.
    1⋅(−1)⋅0+0⋅1⋅1+1⋅0⋅(−1)=0+0+0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot(-1)=0+0+0
  3. Calculăm cele trei produse care se scad: 1⋅(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1=-1, 1⋅1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1)=-1 și 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0.
    1⋅(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1=-1,1⋅1⋅(−1)=−1\displaystyle \quad 1\cdot 1\cdot(-1)=-1,0⋅0⋅0=0\displaystyle \quad 0\cdot 0\cdot 0=0
  4. Înlocuim cele șase produse în formula lui Sarrus și obținem expresia determinantului.
    det⁡A=0+0+0−(−1)−(−1)−0\displaystyle \det A=0+0+0-(-1)-(-1)-0
  5. Scăderea unui număr negativ revine la adunarea opusului său, deci −(−1)=1\displaystyle -(-1)=1 și −(−1)=1\displaystyle -(-1)=1. Astfel det⁡A=1+1=2\displaystyle \det A=1+1=2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=1+1=2\displaystyle \det A=1+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1010−111−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅A⋅A=xA+yI3\displaystyle A\cdot A\cdot A=xA+yI_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind fiecare linie a primei matrice cu fiecare coloană a celei de-a doua. De exemplu, elementul din colțul stânga sus este 1⋅1+0⋅0+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1=2.
    A⋅A=(2−1110−1110)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&0&-1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅A⋅A=(A⋅A)⋅A\displaystyle A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A, folosind rezultatul de la pasul anterior. De exemplu, prima linie a produsului se obține înmulțind (2,−1,1)\displaystyle (2,-1,1) cu coloanele lui A\displaystyle A: 2+0+1=3\displaystyle 2+0+1=3, 0+1−1=0\displaystyle 0+1-1=0, 2−1+0=1\displaystyle 2-1+0=1.
    A⋅A⋅A=(3010111−12)\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea din membrul drept, xA+yI3\displaystyle xA+yI_3, element cu element: înmulțim A\displaystyle A cu x\displaystyle x și adăugăm y\displaystyle y pe diagonala principală.
    xA+yI3=(x+y0x0−x+yxx−xy)\displaystyle xA+yI_3=\begin{pmatrix}x+y&0&x\\0&-x+y&x\\x&-x&y\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din pozițiile (1,3)\displaystyle (1,3) și (3,3)\displaystyle (3,3) obținem direct x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    {x+y=3−x+y=1x=1y=2\displaystyle \begin{cases}x+y=3\\-x+y=1\\x=1\\y=2\end{cases}
  5. Verificăm: x+y=1+2=3\displaystyle x+y=1+2=3 și −x+y=−1+2=1\displaystyle -x+y=-1+2=1, deci toate egalitățile sunt verificate. Răspunsul final: x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    x=1\displaystyle x=1, y=2\displaystyle \ y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1010−111−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei B=A+I3\displaystyle B=A+I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B=A+I3\displaystyle B=A+I_3 adunând element cu element. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală, care cresc cu 1\displaystyle 1.
    B=(2010011−11)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡B\displaystyle \det B prin dezvoltare după linia a doua, care are un singur element nenul, egal cu 1\displaystyle 1, pe poziția (2,3)\displaystyle (2,3). Semnul este (−1)2+3=−1\displaystyle (-1)^{2+3}=-1, iar minorul este ∣201−1∣=−2\displaystyle \begin{vmatrix}2&0\\1&-1\end{vmatrix}=-2. Deci det⁡B=1⋅(−1)⋅(−2)=2≠0\displaystyle \det B=1\cdot(-1)\cdot(-2)=2\neq 0, deci B\displaystyle B este inversabilă.
    det⁡B=2\displaystyle \det B=2
  3. Scriem transpusa lui B\displaystyle B, schimbând liniile cu coloanele.
    tB=(20100−1111)\displaystyle {}^tB=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&-1\\1&1&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm pentru tB\displaystyle {}^tB complemenții algebrici (−1)i+jΔij\displaystyle (-1)^{i+j}\Delta_{ij}, adică minorul fiecărui element înmulțit cu semnul poziției. Obținem matricea adjunctă B∗\displaystyle B^*, de exemplu Δ11=∣0−111∣=1\displaystyle \Delta_{11}=\begin{vmatrix}0&-1\\1&1\end{vmatrix}=1 și Δ12=∣0−111∣\displaystyle \Delta_{12}=\begin{vmatrix}0&-1\\1&1\end{vmatrix} cu semn schimbat pentru poziția (1,2)\displaystyle (1,2) dă −1\displaystyle -1.
    B∗=(1−1011−2020)\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&-2\\0&2&0\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula B−1=1det⁡B B∗\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\,B^{*}, deci împărțim fiecare element al adjunctei la 2\displaystyle 2.
    B−1=12(1−1011−2020)=(12−1201212−1010)\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&-2\\0&2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\\0&1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y}.

Arătați că 2∘9=16\displaystyle 2\circ 9=16.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y} pentru x=2\displaystyle x=2 și y=9\displaystyle y=9.
    2∘9=22log⁡39\displaystyle 2\circ 9=2^{2\log_3 9}
  2. Deoarece 9=32\displaystyle 9=3^{2}, avem log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2. Înlocuim în exponent: 2log⁡39=2⋅2\displaystyle 2\log_3 9=2\cdot 2.
    2∘9=22log⁡39=22⋅2\displaystyle 2\circ 9=2^{2\log_3 9}=2^{2\cdot 2}
  3. Exponentul este 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci obținem 24=16\displaystyle 2^{4}=16, adică 2∘9=16\displaystyle 2\circ 9=16, ceea ce trebuia arătat.
    24=16\displaystyle 2^{4}=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, x∈M\displaystyle x\in M, pentru care x∘3=25\displaystyle x\circ 3=25.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția legii, x∘3=x2log⁡33\displaystyle x\circ 3=x^{2\log_3 3}, deci ecuația devine x2log⁡33=25\displaystyle x^{2\log_3 3}=25.
    x2log⁡33=25\displaystyle x^{2\log_3 3}=25
  2. Deoarece log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1, exponentul este 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2. Ecuația devine x2=25\displaystyle x^{2}=25.
    x2log⁡33=25⇔x2=25\displaystyle x^{2\log_3 3}=25\Leftrightarrow x^2=25
  3. Din x2=25\displaystyle x^2=25 obținem x=−5\displaystyle x=-5 sau x=5\displaystyle x=5.
    x=−5 sau x=5\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5
  4. Deoarece x∈M=(0,+∞)\displaystyle x\in M=(0,+\infty), soluția x=−5\displaystyle x=-5 nu convine, iar x=5\displaystyle x=5 convine.
    x=−5 nu convine, x=5 convine\displaystyle x=-5\text{ nu convine, }x=5\text{ convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y}.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Fie x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty) oarecare. Din definiție, x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y}. Trebuie să arătăm că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x.
    x∘y=x2log⁡3y\displaystyle x\circ y=x^{2\log_3 y}
  2. Folosim regula nlog⁡ab=log⁡abn\displaystyle n\log_a b=\log_a b^{n}, deci 2log⁡3y=log⁡3y2\displaystyle 2\log_3 y=\log_3 y^{2}. Obținem x2log⁡3y=xlog⁡3y2\displaystyle x^{2\log_3 y}=x^{\log_3 y^2}.
    x2log⁡3y=xlog⁡3y2\displaystyle x^{2\log_3 y}=x^{\log_3 y^{2}}
  3. Aplicăm egalitatea alog⁡3b=blog⁡3a\displaystyle a^{\log_3 b}=b^{\log_3 a} pentru a=x\displaystyle a=x și b=y2\displaystyle b=y^{2}, ambele pozitive. Rezultă xlog⁡3y2=(y2)log⁡3x\displaystyle x^{\log_3 y^2}=\left(y^{2}\right)^{\log_3 x}.
    x∘y=xlog⁡3y2=(y2)log⁡3x\displaystyle x\circ y=x^{\log_3 y^{2}}=\left(y^{2}\right)^{\log_3 x}
  4. Folosim (y2)log⁡3x=y2log⁡3x\displaystyle \left(y^{2}\right)^{\log_3 x}=y^{2\log_3 x}, deoarece (am)n=amn\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}.
    (y2)log⁡3x=y2log⁡3x\displaystyle \left(y^{2}\right)^{\log_3 x}=y^{2\log_3 x}
  5. Din definiție, y2log⁡3x=y∘x\displaystyle y^{2\log_3 x}=y\circ x. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M, adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    x∘y=y2log⁡3x=y∘x, pentru orice x\displaystyle x\circ y=y^{2\log_3 x}=y\circ x\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx−1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}.

Arătați că f′(x)=ex(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), numărătorul ex\displaystyle e^x și numitorul x−1\displaystyle x-1, care nu se anulează pe acest interval. Aplicăm formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(ex)′⋅(x−1)−ex⋅(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{\left(e^x\right)'\cdot(x-1)-e^x\cdot(x-1)'}{(x-1)^2}
  2. Calculăm derivatele: (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x și (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1. Le înlocuim în fracție.
    f′(x)=ex(x−1)−ex⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)-e^x\cdot 1}{(x-1)^2}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numărător: ex(x−1)−ex=ex((x−1)−1)=ex(x−2)\displaystyle e^x(x-1)-e^x=e^x\left((x-1)-1\right)=e^x(x-2). Obținem formula cerută, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=ex(x−1)−ex(x−1)2=ex(x−2)(x−1)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx−1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), unde numitorul x−1\displaystyle x-1 este pozitiv. Derivăm folosind formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=ex\displaystyle u=e^{x} și v=x−1\displaystyle v=x-1.
    f′(x)=ex(x−1)−ex⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)-e^{x}\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și simplificăm paranteza: (x−1)−1=x−2\displaystyle (x-1)-1=x-2.
    f′(x)=ex(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-2)}{(x-1)^{2}}
  3. Aflăm punctul critic. Fracția este zero când numărătorul este zero. Deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x\displaystyle x, rămâne x−2=0\displaystyle x-2=0. Valoarea x=2\displaystyle x=2 aparține domeniului (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2
  4. Studiem semnul derivatei. Factorii ex\displaystyle e^{x} și (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2} sunt strict pozitivi pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui x−2\displaystyle x-2.
    semn⁡f′(x)=semn⁡(x−2)\displaystyle \operatorname{semn}f'(x)=\operatorname{semn}(x-2)
  5. Pentru x∈(1,2)\displaystyle x\in(1,2) avem x−2<0\displaystyle x-2<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Pentru x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty) avem x−2>0\displaystyle x-2>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este crescătoare. Punctul x=2\displaystyle x=2 se include în ambele intervale, deoarece f\displaystyle f este continuă.
    f este descresca˘toare pe (1,2] și cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(1,2]\text{ și crescătoare pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx−1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}.

Demonstrați că ex−2−x+1≥0\displaystyle e^{x-2}-x+1\ge 0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim din punctul b) că funcția f\displaystyle f are minim în x=2\displaystyle x=2. Se poate verifica rapid: derivata este f′(x)=ex(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-2)}{(x-1)^{2}}, negativă pe (1,2)\displaystyle (1,2) și pozitivă pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), deci f\displaystyle f descrește pe (1,2]\displaystyle (1,2] și crește pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    f′(x)=ex(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-2)}{(x-1)^{2}}
  2. Rezultă că f(2)\displaystyle f(2) este cea mai mică valoare a funcției pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), adică f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2) pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f(x)≥f(2), pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(2)\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  3. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2: numitorul este 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci f(2)=e21=e2\displaystyle f(2)=\dfrac{e^{2}}{1}=e^{2}.
    f(2)=e2\displaystyle f(2)=e^{2}
  4. Scriem inegalitatea f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2) explicit: exx−1≥e2\displaystyle \dfrac{e^{x}}{x-1}\ge e^{2}.
    exx−1≥e2\displaystyle \dfrac{e^{x}}{x-1}\ge e^{2}
  5. Împărțim ambii membri la e2>0\displaystyle e^{2}>0, deci sensul inegalității se păstrează. Folosim exe2=ex−2\displaystyle \dfrac{e^{x}}{e^{2}}=e^{x-2}.
    ex−2x−1≥1\displaystyle \dfrac{e^{x-2}}{x-1}\ge 1
  6. Pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem x−1>0\displaystyle x-1>0, deci putem înmulți cu x−1\displaystyle x-1 fără să schimbăm sensul inegalității. Obținem ex−2≥x−1\displaystyle e^{x-2}\ge x-1, adică ex−2−x+1≥0\displaystyle e^{x-2}-x+1\ge 0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty), ceea ce trebuia demonstrat.
    ex−2−x+1≥0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle e^{x-2}-x+1\ge 0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că ∫0π3f(x) dx=12\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu sin⁡x\displaystyle \sin x în integrala dată, deoarece f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.
    ∫0π3f(x) dx=∫0π3sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin x\,dx
  2. Căutăm o primitivă a funcției sinus. Cum (−cos⁡x)′=sin⁡x\displaystyle (-\cos x)'=\sin x, o primitivă este −cos⁡x\displaystyle -\cos x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫0π3sin⁡x dx=−cos⁡x∣0π3\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{3}}
  3. Calculăm primitiva în limita superioară și în cea inferioară și facem diferența. Folosim cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1.
    −cos⁡π3−(−cos⁡0)=−12+1\displaystyle -\cos\frac{\pi}{3}-\left(-\cos 0\right)=-\frac{1}{2}+1
  4. Efectuăm calculul și obținem valoarea cerută, 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    −12+1=12\displaystyle -\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că ∫0π2x f(x) dx=1\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\,f(x)\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x, integrala devine I=∫0π2xsin⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx.
    I=∫0π2xsin⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx
  2. Observăm că sin⁡x=(−cos⁡x)′\displaystyle \sin x=(-\cos x)'. Aplicăm integrarea prin părți, ∫u v′ dx=uv−∫u′ v dx\displaystyle \int u\,v'\,dx=uv-\int u'\,v\,dx, cu u=x\displaystyle u=x și v=−cos⁡x\displaystyle v=-\cos x, deci u′=1\displaystyle u'=1.
    ∫0π2x(−cos⁡x)′ dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x(-\cos x)'\,dx
  3. Obținem I=−xcos⁡x∣0π2−∫0π21⋅(−cos⁡x) dx\displaystyle I=-x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\cdot(-\cos x)\,dx, adică integrala rămasă are semnul plus.
    I=−xcos⁡x∣0π2+∫0π2cos⁡x dx\displaystyle I=-x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx
  4. Calculăm −xcos⁡x∣0π2=−π2⋅cos⁡π2+0⋅cos⁡0\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\cos\dfrac{\pi}{2}+0\cdot\cos 0. Cum cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0, rezultă că acest termen este 0\displaystyle 0.
    −xcos⁡x∣0π2=−π2⋅0+0⋅1=0\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{\pi}{2}\cdot 0+0\cdot 1=0
  5. O primitivă a lui cos⁡x\displaystyle \cos x este sin⁡x\displaystyle \sin x, deci ∫0π2cos⁡x dx=sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0. Adunând cu 0\displaystyle 0 rezultă I=1\displaystyle I=1.
    I=0+sin⁡π2−sin⁡0=1\displaystyle I=0+\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,π4]→R\displaystyle g:\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫0π4g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}g^2(x)\,dx, iar g(x)=sin⁡x\displaystyle g(x)=\sin x, deci V=π∫0π4sin⁡2x dx\displaystyle V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 x\,dx.
    V=π∫0π4sin⁡2x dx\displaystyle V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 x\,dx
  2. Din formula cos⁡2x=1−2sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^2 x obținem sin⁡2x=1−cos⁡2x2\displaystyle \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Atunci integrala devine o integrală a unei expresii cu cos⁡2x\displaystyle \cos 2x.
    V=π∫0π41−cos⁡2x2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx
  3. Scriem V=π2∫0π41 dx−π2∫0π4cos⁡2x dx\displaystyle V=\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}1\,dx-\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx. O primitivă a lui cos⁡2x\displaystyle \cos 2x este sin⁡2x2\displaystyle \dfrac{\sin 2x}{2}, deci al doilea termen are coeficientul π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} înaintea lui sin⁡2x\displaystyle \sin 2x.
    V=π2x∣0π4−π4sin⁡2x∣0π4\displaystyle V=\frac{\pi}{2}x\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}-\frac{\pi}{4}\sin 2x\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}
  4. Primul termen: π2⋅π4−π2⋅0=π28\displaystyle \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}\cdot 0=\dfrac{\pi^2}{8}.
    π2x∣0π4=π28\displaystyle \frac{\pi}{2}x\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi^2}{8}
  5. Al doilea termen: sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0, deci π4(sin⁡π2−sin⁡0)=π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\left(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0\right)=\dfrac{\pi}{4}.
    π4sin⁡2x∣0π4=π4\displaystyle \frac{\pi}{4}\sin 2x\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}
  6. Avem V=π28−π4=π2−2π8=π(π−2)8\displaystyle V=\dfrac{\pi^2}{8}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi^2-2\pi}{8}=\dfrac{\pi(\pi-2)}{8}.
    V=π28−π4=π(π−2)8\displaystyle V=\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi(\pi-2)}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.