Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați modulul celui de-al cincilea termen al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, știind că b1=−1\displaystyle b_1=-1 și b2=3\displaystyle b_2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, rația este raportul dintre un termen și termenul precedent: q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}. Înlocuim b1=−1\displaystyle b_1=-1 și b2=3\displaystyle b_2=3.
    q=3−1\displaystyle q=\dfrac{3}{-1}
  2. Efectuăm împărțirea: 3−1=−3\displaystyle \dfrac{3}{-1}=-3, deci rația este q=−3\displaystyle q=-3.
    q=−3\displaystyle q=-3
  3. Formula termenului general este bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=5\displaystyle n=5 obținem b5=b1⋅q4\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}.
    b5=b1⋅q4=(−1)⋅(−3)4\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}=(-1)\cdot(-3)^{4}
  4. Exponentul este par, deci (−3)4=81\displaystyle (-3)^{4}=81. Atunci b5=(−1)⋅81=−81\displaystyle b_5=(-1)\cdot 81=-81.
    b5=−81\displaystyle b_5=-81
  5. Modulul unui număr negativ este opusul său, deci ∣b5∣=∣−81∣=81\displaystyle |b_5|=|-81|=81.
    b5=−81, deci ∣b5∣=81\displaystyle b_5=-81\text{, deci }|b_5|=81
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−2x2+7x+9\displaystyle f(x)=-2x^2+7x+9. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care f(x)>0\displaystyle f(x)>0.
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea cerută este f(x)>0\displaystyle f(x)>0, adică −2x2+7x+9>0\displaystyle -2x^{2}+7x+9>0.
    −2x2+7x+9>0\displaystyle -2x^{2}+7x+9>0
  2. Pentru a=−2\displaystyle a=-2, b=7\displaystyle b=7, c=9\displaystyle c=9 avem Δ=b2−4ac=49+72=121\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=49+72=121, deci Δ=11\displaystyle \sqrt{\Delta}=11.
    Δ=121\displaystyle \Delta=121
  3. Rădăcinile sunt x=−7±11−4\displaystyle x=\dfrac{-7\pm 11}{-4}, deci x1=−1\displaystyle x_{1}=-1 și x2=92\displaystyle x_{2}=\dfrac{9}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_{1}=-1,x2=92\displaystyle \quad x_{2}=\dfrac{9}{2}
  4. Factorizăm: −2x2+7x+9=−(2x−9)(x+1)\displaystyle -2x^{2}+7x+9=-(2x-9)(x+1), căci (2x−9)(x+1)=2x2−7x−9\displaystyle (2x-9)(x+1)=2x^{2}-7x-9. Atunci inegalitatea devine −(2x−9)(x+1)>0\displaystyle -(2x-9)(x+1)>0, adică (2x−9)(x+1)<0\displaystyle (2x-9)(x+1)<0.
    (2x−9)(x+1)<0\displaystyle (2x-9)(x+1)<0
  5. Funcția (2x−9)(x+1)=2x2−7x−9\displaystyle (2x-9)(x+1)=2x^{2}-7x-9 are coeficientul dominant pozitiv, deci este negativă între rădăcinile −1\displaystyle -1 și 92\displaystyle \dfrac{9}{2}. Cu alte cuvinte, −1<x<92\displaystyle -1<x<\dfrac{9}{2}.
    −1<x<92\displaystyle -1<x<\dfrac{9}{2}
  6. Mulțimea căutată este x∈(−1,92)\displaystyle x\in\left(-1,\dfrac{9}{2}\right).
    x∈(−1,92)\displaystyle x\in\left(-1,\dfrac{9}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x−1)=log⁡3(6−x)−2\displaystyle \log_3(x-1)=\log_3(6-x)-2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: x−1>0\displaystyle x-1>0 și 6−x>0\displaystyle 6-x>0, deci x∈(1,6)\displaystyle x\in(1,6).
    x∈(1,6)\displaystyle x\in(1,6)
  2. Mutăm logaritmii în același membru: log⁡3(x−1)−log⁡3(6−x)=−2\displaystyle \log_3(x-1)-\log_3(6-x)=-2.
    log⁡3(x−1)−log⁡3(6−x)=−2\displaystyle \log_3(x-1)-\log_3(6-x)=-2
  3. Aplicăm proprietatea diferenței de logaritmi: log⁡3x−16−x=−2\displaystyle \log_3\dfrac{x-1}{6-x}=-2.
    log⁡3x−16−x=−2\displaystyle \log_3\frac{x-1}{6-x}=-2
  4. Folosim definiția logaritmului: dacă log⁡3a=−2\displaystyle \log_3 a=-2, atunci a=3−2\displaystyle a=3^{-2}, deci x−16−x=19\displaystyle \dfrac{x-1}{6-x}=\dfrac{1}{9}.
    x−16−x=19\displaystyle \frac{x-1}{6-x}=\frac{1}{9}
  5. Înmulțim în cruce, știind că 6−x≠0\displaystyle 6-x\neq 0: 9(x−1)=6−x\displaystyle 9(x-1)=6-x.
    9(x−1)=6−x\displaystyle 9(x-1)=6-x
  6. Desfacem parantezele și grupăm termenii: 9x−9=6−x\displaystyle 9x-9=6-x, deci 10x=15\displaystyle 10x=15.
    10x=15\displaystyle 10x=15
  7. Obținem x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}. Această valoare aparține intervalului (1,6)\displaystyle (1,6), deci convine.
    x=32, care convine\displaystyle x=\frac{3}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, pentru care Cnn−2−An1=5\displaystyle C_n^{n-2}-A_n^1=5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula Cnn−2=Cn2\displaystyle C_n^{n-2}=C_n^{2}, deci Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.
    Cnn−2=Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^{n-2}=C_n^{2}=\frac{n(n-1)}{2}
  2. Avem An1=n\displaystyle A_n^{1}=n.
    An1=n\displaystyle A_n^{1}=n
  3. Ecuația devine n(n−1)2−n=5\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}-n=5. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: n2−n−2n=10\displaystyle n^2-n-2n=10, deci n2−3n−10=0\displaystyle n^2-3n-10=0.
    n(n−1)2−n=5⇔n2−3n−10=0\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}-n=5\Leftrightarrow n^2-3n-10=0
  4. Discriminantul este Δ=9+40=49\displaystyle \Delta=9+40=49, deci n=3±72\displaystyle n=\dfrac{3\pm 7}{2}, adică n=5\displaystyle n=5 sau n=−2\displaystyle n=-2.
    n=5 sau n=−2\displaystyle n=5\text{ sau }n=-2
  5. Deoarece n≥2\displaystyle n\ge 2, valoarea n=−2\displaystyle n=-2 nu convine, deci n=5\displaystyle n=5.
    n=5\displaystyle n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(3,−1)\displaystyle A(3,-1), numărul real m\displaystyle m și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=(m−1)x−2m\displaystyle y=(m-1)x-2m. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care distanța de la punctul A\displaystyle A la dreapta d\displaystyle d este egală cu 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Distanța de la punctul A\displaystyle A la dreapta d\displaystyle d este 0\displaystyle 0 exact atunci când punctul se află pe dreaptă. Deci trebuie ca A∈d\displaystyle A\in d.
    A∈d\displaystyle A\in d
  2. Înlocuim coordonatele punctului A(3,−1)\displaystyle A(3,-1), adică x=3\displaystyle x=3 și y=−1\displaystyle y=-1, în ecuația y=(m−1)x−2m\displaystyle y=(m-1)x-2m.
    −1=(m−1)⋅3−2m\displaystyle -1=(m-1)\cdot 3-2m
  3. Desfacem parantezele: (m−1)⋅3=3m−3\displaystyle (m-1)\cdot 3=3m-3. Apoi reducem termenii asemenea: 3m−2m=m\displaystyle 3m-2m=m.
    −1=3m−3−2m=m−3\displaystyle -1=3m-3-2m=m-3
  4. Din −1=m−3\displaystyle -1=m-3 obținem m=2\displaystyle m=2. Verificare: pentru m=2\displaystyle m=2 dreapta este y=x−4\displaystyle y=x-4, iar pentru x=3\displaystyle x=3 se obține y=−1\displaystyle y=-1, deci A∈d\displaystyle A\in d.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați cos⁡(π−2x)\displaystyle \cos(\pi-2x), știind că x\displaystyle x este număr real și cos⁡x=23\displaystyle \cos x=\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere la primul cadran: cos⁡(π−α)=−cos⁡α\displaystyle \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, cu α=2x\displaystyle \alpha=2x.
    cos⁡(π−2x)=−cos⁡2x\displaystyle \cos(\pi-2x)=-\cos 2x
  2. Scriem cosinusul unghiului dublu prin cos⁡x\displaystyle \cos x, cu formula cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1. Atunci −cos⁡2x=−(2cos⁡2x−1)\displaystyle -\cos 2x=-(2\cos^{2}x-1).
    −cos⁡2x=1−2cos⁡2x\displaystyle -\cos 2x=1-2\cos^{2}x
  3. Înlocuim cos⁡x=23\displaystyle \cos x=\dfrac{2}{3} în expresia obținută.
    cos⁡(π−2x)=1−2⋅(23)2\displaystyle \cos(\pi-2x)=1-2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}
  4. Calculăm pătratul: (23)2=49\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}. Apoi 2⋅49=89\displaystyle 2\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9}, iar 1−89=19\displaystyle 1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}.
    1−2⋅49=1−89=19\displaystyle 1-2\cdot\frac{4}{9}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(31−11−a12a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 1 & -a & 1\\ 2 & a & -1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+y−z=1x−ay+z=32x+ay−z=2\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\ x-ay+z=3\\ 2x+ay-z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=−3\displaystyle \det(A(2))=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matrice: în a doua linie apare −2\displaystyle -2, iar în a treia linie apare 2\displaystyle 2. Determinantul lui A(2)\displaystyle A(2) este determinantul acestei matrice.
    det⁡(A(2))=∣31−11−2122−1∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}3&1&-1\\1&-2&1\\2&2&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm termenii cu plus: produsul elementelor de pe diagonala principală 3⋅(−2)⋅(−1)\displaystyle 3\cdot(-2)\cdot(-1) și produsele elementelor de pe cele două paralele cu ea, 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2 și (−1)⋅1⋅2\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 2.
    3⋅(−2)⋅(−1)+1⋅1⋅2+(−1)⋅1⋅2=6+2−2\displaystyle 3\cdot(-2)\cdot(-1)+1\cdot 1\cdot 2+(-1)\cdot 1\cdot 2=6+2-2
  3. Calculăm termenii cu minus: produsul elementelor de pe diagonala secundară (−1)⋅(−2)⋅2\displaystyle (-1)\cdot(-2)\cdot 2 și produsele elementelor de pe cele două paralele cu ea, 3⋅1⋅2\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2 și 1⋅1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1). Acești termeni se scad.
    −[(−1)⋅(−2)⋅2+3⋅1⋅2+1⋅1⋅(−1)]=−4−6+1\displaystyle -\left[(-1)\cdot(-2)\cdot 2+3\cdot 1\cdot 2+1\cdot 1\cdot(-1)\right]=-4-6+1
  4. Adunăm toți termenii obținuți și ajungem la valoarea cerută a determinantului: 6+2−2−4−6+1=−3\displaystyle 6+2-2-4-6+1=-3.
    det⁡(A(2))=6−2+2−4+1−6=−3\displaystyle \det(A(2))=6-2+2-4+1-6=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(31−11−a12a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 1 & -a & 1\\ 2 & a & -1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+y−z=1x−ay+z=32x+ay−z=2\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\ x-ay+z=3\\ 2x+ay-z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care matricea B(a)=A(a)⋅A(a)\displaystyle B(a)=A(a)\cdot A(a) are două elemente egale cu 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm B(a)=A(a)⋅A(a)\displaystyle B(a)=A(a)\cdot A(a), element cu element, ca produs dintre linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j a matricei A(a)\displaystyle A(a). De exemplu, pentru primul element al primei linii: 3⋅3+1⋅1+(−1)⋅2=8\displaystyle 3\cdot 3+1\cdot 1+(-1)\cdot 2=8. Pentru al doilea element: 3⋅1+1⋅(−a)+(−1)⋅a=3−2a\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot(-a)+(-1)\cdot a=3-2a. Pentru elementul din mijloc: 1⋅1+(−a)(−a)+1⋅a=a2+a+1\displaystyle 1\cdot 1+(-a)(-a)+1\cdot a=a^{2}+a+1.
    b11=8\displaystyle b_{11}=8, b12=3−2a\displaystyle \ b_{12}=3-2a, b22=a2+a+1\displaystyle \ b_{22}=a^{2}+a+1
  2. Procedând la fel pentru toate celelalte elemente, obținem matricea B(a)\displaystyle B(a) completă.
    B(a)=(83−2a−15−aa2+a+1−2−a4+a−a2−a+2−1+a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}8 & 3-2a & -1\\ 5-a & a^{2}+a+1 & -2-a\\ 4+a & -a^{2}-a+2 & -1+a\end{pmatrix}
  3. Elementele 8\displaystyle 8 și −1\displaystyle -1 sunt constante nenule, deci nu se anulează niciodată. Elementul a2+a+1\displaystyle a^{2}+a+1 nu se anulează pentru a\displaystyle a real, deoarece discriminantul este 1−4=−3<0\displaystyle 1-4=-3<0. Rămân de studiat celelalte elemente.
    Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0
  4. Aflăm valorile lui a\displaystyle a pentru care se anulează fiecare dintre elementele rămase: 3−2a=0\displaystyle 3-2a=0 dă a=32\displaystyle a=\dfrac{3}{2}; 5−a=0\displaystyle 5-a=0 dă a=5\displaystyle a=5; −2−a=0\displaystyle -2-a=0 dă a=−2\displaystyle a=-2; 4+a=0\displaystyle 4+a=0 dă a=−4\displaystyle a=-4; −1+a=0\displaystyle -1+a=0 dă a=1\displaystyle a=1. Pentru −a2−a+2=0\displaystyle -a^{2}-a+2=0, adică a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0, avem (a+2)(a−1)=0\displaystyle (a+2)(a-1)=0, deci a=−2\displaystyle a=-2 sau a=1\displaystyle a=1.
    b12=0⇒a=32; b21=0⇒a=5; b23=0⇒a=−2b31=0⇒a=−4; b32=0⇒a∈{−2,1}; b33=0⇒a=1\displaystyle \begin{array}{l}b_{12}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2};\ b_{21}=0\Rightarrow a=5;\ b_{23}=0\Rightarrow a=-2\\ b_{31}=0\Rightarrow a=-4;\ b_{32}=0\Rightarrow a\in\{-2,1\};\ b_{33}=0\Rightarrow a=1\end{array}
  5. Numărăm elementele nule pentru fiecare valoare. Pentru a=32\displaystyle a=\dfrac{3}{2}, a=5\displaystyle a=5 și a=−4\displaystyle a=-4 există un singur element nul. Pentru a=−2\displaystyle a=-2 se anulează b23\displaystyle b_{23} și b32\displaystyle b_{32}, deci două elemente. Pentru a=1\displaystyle a=1 se anulează b32\displaystyle b_{32} și b33\displaystyle b_{33}, deci tot două elemente.
    a=−2: b23=b32=0;a=1: b32=b33=0\displaystyle a=-2:\ b_{23}=b_{32}=0;\quad a=1:\ b_{32}=b_{33}=0
  6. Matricea B(a)\displaystyle B(a) are exact două elemente egale cu 0\displaystyle 0 numai pentru a=−2\displaystyle a=-2 sau a=1\displaystyle a=1.
    a=−2 sau a=1\displaystyle a=-2\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(31−11−a12a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 1 & -a & 1\\ 2 & a & -1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+y−z=1x−ay+z=32x+ay−z=2\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\ x-ay+z=3\\ 2x+ay-z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, arătați că sistemul de ecuații nu are soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 sistemul devine {3x+y−z=1x−y+z=32x+y−z=2\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\ x-y+z=3\\ 2x+y-z=2\end{cases}. Vom aduna convenabil ecuațiile pentru a elimina y\displaystyle y și z\displaystyle z.
    {3x+y−z=1x−y+z=32x+y−z=2\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\ x-y+z=3\\ 2x+y-z=2\end{cases}
  2. Adunăm prima și a doua ecuație: (3x+y−z)+(x−y+z)=1+3\displaystyle (3x+y-z)+(x-y+z)=1+3. Termenii în y\displaystyle y și z\displaystyle z se reduc, deci 4x=4\displaystyle 4x=4, adică x=1\displaystyle x=1.
    4x=4⇒x=1\displaystyle 4x=4\Rightarrow x=1
  3. Adunăm a doua și a treia ecuație: (x−y+z)+(2x+y−z)=3+2\displaystyle (x-y+z)+(2x+y-z)=3+2. Termenii în y\displaystyle y și z\displaystyle z se reduc, deci 3x=5\displaystyle 3x=5.
    3x=5\displaystyle 3x=5
  4. Din a doua adunare rezultă x=53\displaystyle x=\dfrac{5}{3}, diferit de x=1\displaystyle x=1 obținut anterior. O soluție ar trebui să verifice ambele egalități, ceea ce este imposibil, deci sistemul este incompatibil.
    x=53≠1, deci sistemul nu are \displaystyle x=\frac{5}{3}\neq 1\text{, deci sistemul nu are }soluții\displaystyle \text{soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=12x+12y−xy\displaystyle x*y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-xy.

Arătați că (−3)∗3=9\displaystyle (-3)*3=9.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=12x+12y−xy\displaystyle x*y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-xy pentru x=−3\displaystyle x=-3 și y=3\displaystyle y=3.
    (−3)∗3=12⋅(−3)+12⋅3−(−3)⋅3\displaystyle (-3)*3=\frac{1}{2}\cdot(-3)+\frac{1}{2}\cdot 3-(-3)\cdot 3
  2. Calculăm termenii: 12⋅(−3)=−32\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot(-3)=-\dfrac{3}{2}, 12⋅3=32\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 3=\dfrac{3}{2} și −(−3)⋅3=9\displaystyle -(-3)\cdot 3=9.
    −32+32+9\displaystyle -\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+9
  3. Fracțiile opuse −32\displaystyle -\dfrac{3}{2} și 32\displaystyle \dfrac{3}{2} se reduc, deci rămâne 9\displaystyle 9, ceea ce trebuia arătat.
    −32+32+9=9\displaystyle -\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+9=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=12x+12y−xy\displaystyle x*y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-xy.

Demonstrați că x∗y=14−(x−12)(y−12)\displaystyle x*y=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=12x+12y−xy\displaystyle x*y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-xy și adăugăm și scădem 14\displaystyle \dfrac{1}{4}, pentru a putea forma ulterior un produs de paranteze.
    x∗y=14−xy+12x+12y−14\displaystyle x*y=\frac{1}{4}-xy+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}
  2. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: din −xy+12x\displaystyle -xy+\dfrac{1}{2}x scoatem factor comun pe x\displaystyle x și obținem −x(y−12)\displaystyle -x\left(y-\dfrac{1}{2}\right).
    −xy+12x=−x(y−12)\displaystyle -xy+\frac{1}{2}x=-x\left(y-\frac{1}{2}\right)
  3. Termenii rămași, 12y−14\displaystyle \dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{4}, se scriu ca 12(y−12)\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{1}{2}\right), deoarece 12⋅12=14\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.
    12y−14=12(y−12)\displaystyle \frac{1}{2}y-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)
  4. Înlocuim în expresie: avem 14−x(y−12)+12(y−12)\displaystyle \dfrac{1}{4}-x\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{1}{2}\right). Acum scoatem factor comun pe y−12\displaystyle y-\dfrac{1}{2} și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=14−x(y−12)+12(y−12)=14−(x−12)(y−12), pentru orice numere \displaystyle x*y=\frac{1}{4}-x\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=12x+12y−xy\displaystyle x*y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-xy.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 2x∗4x−1=14\displaystyle 2^x*4^{x-1}=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Avem (x−12)(y−12)=xy−12x−12y+14\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=xy-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}, deci x∗y=14−(x−12)(y−12)\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right).
    x∗y=14−(x−12)(y−12)\displaystyle x*y=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2^x și y\displaystyle y cu 4x−1\displaystyle 4^{x-1} și egalăm cu 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    14−(2x−12)(4x−1−12)=14\displaystyle \frac{1}{4}-\left(2^x-\frac{1}{2}\right)\left(4^{x-1}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}
  3. Scădem 14\displaystyle \dfrac{1}{4} din ambii membri și obținem că produsul celor doi factori este 0\displaystyle 0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul.
    (2x−12)(4x−1−12)=0⇔2x=12 sau 4x−1=12\displaystyle \left(2^x-\frac{1}{2}\right)\left(4^{x-1}-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow 2^x=\frac{1}{2}\text{ sau }4^{x-1}=\frac{1}{2}
  4. Rezolvăm prima ecuație: 2x=12=2−1\displaystyle 2^x=\dfrac{1}{2}=2^{-1}, deci x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
  5. Rezolvăm a doua ecuație: 4x−1=22x−2=2−1\displaystyle 4^{x-1}=2^{2x-2}=2^{-1}, deci 2x−2=−1\displaystyle 2x-2=-1, adică x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    2x−2=−1⇒x=12\displaystyle 2x-2=-1\Rightarrow x=\frac{1}{2}
  6. Soluțiile sunt cele două valori găsite: x=−1\displaystyle x=-1 sau x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=−1 sau x=12\displaystyle x=-1\text{ sau }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=−1+3x−4xx2\displaystyle f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{4\sqrt{x}}{x^2}.

Arătați că f′(x)=3x(2−x)x3\displaystyle f'(x)=\frac{3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{x^3}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu puteri ale lui x\displaystyle x. Folosim x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, deci 4xx2=4x12−2=4x−32\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x}}{x^2}=4x^{\frac{1}{2}-2}=4x^{-\frac{3}{2}}.
    f(x)=−1+3x−1−4x−32\displaystyle f(x)=-1+3x^{-1}-4x^{-\frac{3}{2}}
  2. Derivăm termen cu termen, cu formula (xn)′=n xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\,x^{n-1}. Derivata constantei −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3⋅(−1)x−2−4⋅(−32)x−52\displaystyle f'(x)=3\cdot(-1)x^{-2}-4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{5}{2}}
  3. Efectuăm înmulțirile și revenim la fracții: x−2=1x2\displaystyle x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}, iar x−52=1x2x\displaystyle x^{-\frac{5}{2}}=\dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}.
    f′(x)=−3x2+6x2x\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac{6}{x^2\sqrt{x}}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x3\displaystyle x^3. Prima fracție se amplifică cu x\displaystyle x. A doua se amplifică cu x\displaystyle \sqrt{x}, pentru că x2x⋅x=x3\displaystyle x^2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x^3.
    f′(x)=−3x+6xx3\displaystyle f'(x)=\frac{-3x+6\sqrt{x}}{x^3}
  5. Scriem x=x⋅x\displaystyle x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x} și dăm factor comun 3x\displaystyle 3\sqrt{x} la numărător: −3x+6x=3x(2−x)\displaystyle -3x+6\sqrt{x}=3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right). Obținem forma cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=3x(2−x)x3, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{x^3}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=−1+3x−4xx2\displaystyle f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{4\sqrt{x}}{x^2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Calculăm deci această limită.
    L=lim⁡x→+∞(−1+3x−4xx2)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\left(-1+\frac{3}{x}-\frac{4\sqrt{x}}{x^{2}}\right)
  2. Simplificăm ultimul termen: x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, deci 4xx2=4x−32=4xx\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x}}{x^{2}}=4x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{4}{x\sqrt{x}}.
    4xx2=4xx\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{x^{2}}=\frac{4}{x\sqrt{x}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 3x→0\displaystyle \dfrac{3}{x}\to 0 și 4xx→0\displaystyle \dfrac{4}{x\sqrt{x}}\to 0, pentru că numitorul crește nelimitat. Rămâne doar termenul constant −1\displaystyle -1.
    lim⁡x→+∞f(x)=−1+0−0=−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-1+0-0=-1
  4. Limita este finită și egală cu −1\displaystyle -1, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=−1\displaystyle y=-1.
    y=−1\displaystyle y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=−1+3x−4xx2\displaystyle f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{4\sqrt{x}}{x^2}.

Calculați lim⁡x→44x⋅f′(x)x−4\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{4^x\cdot f'(x)}{x-4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția folosind puteri ale lui x\displaystyle x, ca să o putem deriva ușor. Avem x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, iar 4xx2=4x−32\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x}}{x^{2}}=4x^{-\frac{3}{2}}.
    f(x)=−1+3x−1−4x−32\displaystyle f(x)=-1+3x^{-1}-4x^{-\frac{3}{2}}
  2. Derivăm termen cu termen: (−1)′=0\displaystyle (-1)'=0, (3x−1)′=−3x−2\displaystyle (3x^{-1})'=-3x^{-2}, (−4x−32)′=6x−52\displaystyle \left(-4x^{-\frac{3}{2}}\right)'=6x^{-\frac{5}{2}}.
    f′(x)=−3x2+6x2x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{2}\sqrt{x}}
  3. Aducem la același numitor, x2x\displaystyle x^{2}\sqrt{x}, apoi amplificăm fracția cu x\displaystyle \sqrt{x}. Numitorul devine x2x⋅x=x3\displaystyle x^{2}\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x^{3}.
    f′(x)=6−3xx2x=3x(2−x)x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{6-3\sqrt{x}}{x^{2}\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{x^{3}}
  4. Înlocuim derivata în limită. Pentru x→4\displaystyle x\to4, atât 2−x→0\displaystyle 2-\sqrt{x}\to0, cât și x−4→0\displaystyle x-4\to0, deci avem nedeterminare de tipul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}. Descompunem x−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x-4=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right).
    lim⁡x→44x⋅3x(2−x)x3(x−4)=lim⁡x→44x⋅3x(2−x)x3(x−2)(x+2)\displaystyle \lim_{x\to4}\dfrac{4^{x}\cdot3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{x^{3}(x-4)}=\lim_{x\to4}\dfrac{4^{x}\cdot3\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{x^{3}\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}
  5. Observăm că 2−x=−(x−2)\displaystyle 2-\sqrt{x}=-\left(\sqrt{x}-2\right). Simplificăm cu x−2≠0\displaystyle \sqrt{x}-2\neq0 (pentru x≠4\displaystyle x\neq4) și rămâne semnul minus.
    lim⁡x→4−4x⋅3xx3(x+2)\displaystyle \lim_{x\to4}\dfrac{-4^{x}\cdot3\sqrt{x}}{x^{3}\left(\sqrt{x}+2\right)}
  6. Nedeterminarea a dispărut, deci înlocuim x=4\displaystyle x=4: 44=256\displaystyle 4^{4}=256, 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, 43=64\displaystyle 4^{3}=64, 4+2=4\displaystyle \sqrt{4}+2=4. Obținem −256⋅3⋅264⋅4=−1536256=−6\displaystyle \dfrac{-256\cdot3\cdot2}{64\cdot4}=\dfrac{-1536}{256}=-6.
    lim⁡x→4−4x⋅3xx3(x+2)=−256⋅3⋅264⋅4=−6\displaystyle \lim_{x\to4}\dfrac{-4^{x}\cdot3\sqrt{x}}{x^{3}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{-256\cdot3\cdot2}{64\cdot4}=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xex−2x+1x\displaystyle f(x)=\frac{2xe^x-2x+1}{x}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=ln⁡x+2ex−2x+2021\displaystyle F(x)=\ln x+2e^x-2x+2021 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (2ex)′=2ex\displaystyle (2e^x)'=2e^x, (−2x)′=−2\displaystyle (-2x)'=-2, iar (2021)′=0\displaystyle (2021)'=0.
    F′(x)=(ln⁡x+2ex−2x+2021)′=1x+2ex−2\displaystyle F'(x)=\left(\ln x+2e^x-2x+2021\right)'=\frac{1}{x}+2e^x-2
  3. Aducem termenii la numitorul comun x\displaystyle x: 2ex=2xexx\displaystyle 2e^x=\dfrac{2xe^x}{x} și −2=−2xx\displaystyle -2=\dfrac{-2x}{x}.
    1x+2ex−2=1+2xex−2xx\displaystyle \frac{1}{x}+2e^x-2=\frac{1+2xe^x-2x}{x}
  4. Numărătorul 1+2xex−2x\displaystyle 1+2xe^x-2x este același cu 2xex−2x+1\displaystyle 2xe^x-2x+1, deci expresia obținută este exact f(x)\displaystyle f(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Prin urmare F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=2xex−2x+1x=f(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=\frac{2xe^x-2x+1}{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xex−2x+1x\displaystyle f(x)=\frac{2xe^x-2x+1}{x}.

Arătați că ∫1ef(x) dx=2ee−4e+3\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=2e^e-4e+3.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm fracția, împărțind fiecare termen de la numărător la x\displaystyle x, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=2xexx−2xx+1x=2ex−2+1x\displaystyle f(x)=\frac{2xe^x}{x}-\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}=2e^x-2+\frac{1}{x}
  2. Determinăm o primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), integrând termen cu termen: primitiva lui 2ex\displaystyle 2e^x este 2ex\displaystyle 2e^x, a lui −2\displaystyle -2 este −2x\displaystyle -2x, iar a lui 1x\displaystyle \frac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x.
    F(x)=2ex−2x+ln⁡x\displaystyle F(x)=2e^x-2x+\ln x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1ef(x) dx=F(x)∣1e=F(e)−F(1)\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=F(x)\Big|_1^e=F(e)-F(1).
    ∫1ef(x) dx=F(e)−F(1)\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=F(e)-F(1)
  4. Calculăm F(e)=2ee−2e+ln⁡e\displaystyle F(e)=2e^e-2e+\ln e, unde ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1. Calculăm F(1)=2e−2+ln⁡1\displaystyle F(1)=2e-2+\ln 1, unde ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    F(e)=2ee−2e+1\displaystyle F(e)=2e^e-2e+1,F(1)=2e−2\displaystyle \quad F(1)=2e-2
  5. Scădem cele două valori și reducem termenii asemenea: F(e)−F(1)=2ee−2e+1−(2e−2)=2ee−4e+3\displaystyle F(e)-F(1)=2e^e-2e+1-(2e-2)=2e^e-4e+3. Obținem valoarea cerută.
    ∫1ef(x) dx=2ee−4e+3\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=2e^e-4e+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xex−2x+1x\displaystyle f(x)=\frac{2xe^x-2x+1}{x}.

Calculați ∫12x f(x) dx\displaystyle \int_1^2 x\,f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)\displaystyle f(x) cu x\displaystyle x și simplificăm cu numitorul: x f(x)=x⋅2xex−2x+1x=2xex−2x+1\displaystyle x\,f(x)=x\cdot\dfrac{2xe^x-2x+1}{x}=2xe^x-2x+1.
    x f(x)=2xex−2x+1\displaystyle x\,f(x)=2xe^x-2x+1
  2. Integrala devine ∫12(2xex−2x+1) dx=2∫12xex dx−∫122x dx+∫121 dx\displaystyle \int_1^2 (2xe^x-2x+1)\,dx=2\int_1^2 xe^x\,dx-\int_1^2 2x\,dx+\int_1^2 1\,dx.
    2∫12xex dx−∫122x dx+∫121 dx\displaystyle 2\int_1^2 xe^x\,dx-\int_1^2 2x\,dx+\int_1^2 1\,dx
  3. Integrăm prin părți ∫xex dx\displaystyle \int xe^x\,dx cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x.
    ∫xex dx=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C
  4. Primitiva lui 2xex\displaystyle 2xe^x este 2(x−1)ex=(2x−2)ex\displaystyle 2(x-1)e^x=(2x-2)e^x, a lui −2x\displaystyle -2x este −x2\displaystyle -x^2, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci ∫12x f(x) dx=((2x−2)ex−x2+x)∣12\displaystyle \int_1^2 x\,f(x)\,dx=\left((2x-2)e^x-x^2+x\right)\Big|_1^2.
    ∫12x f(x) dx=((2x−2)ex−x2+x)∣12\displaystyle \int_1^2 x\,f(x)\,dx=\left((2x-2)e^x-x^2+x\right)\Big|_1^2
  5. Pentru x=2\displaystyle x=2: (4−2)e2−4+2=2e2−2\displaystyle (4-2)e^2-4+2=2e^2-2. Pentru x=1\displaystyle x=1: (2−2)e−1+1=0\displaystyle (2-2)e-1+1=0.
    F(2)=2e2−2\displaystyle F(2)=2e^2-2,F(1)=0\displaystyle \quad F(1)=0
  6. Rezultă ∫12x f(x) dx=F(2)−F(1)=2e2−2−0=2e2−2\displaystyle \int_1^2 x\,f(x)\,dx=F(2)-F(1)=2e^2-2-0=2e^2-2.
    2e2−2\displaystyle 2e^2-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.