Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor cinci termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=5\displaystyle a_1=5 și rația r=2\displaystyle r=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sumei primilor n\displaystyle n termeni ai unei progresii aritmetice: Sn=(2a1+(n−1)r)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{\left(2a_1+(n-1)r\right)\cdot n}{2}. Pentru n=5\displaystyle n=5 obținem S5=(2a1+4r)⋅52\displaystyle S_5=\dfrac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}.
    a1+a2+a3+a4+a5=(2a1+4r)⋅52\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\dfrac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}
  2. Înlocuim a1=5\displaystyle a_1=5 și r=2\displaystyle r=2 în formulă: S5=(2⋅5+4⋅2)⋅52\displaystyle S_5=\dfrac{(2\cdot 5+4\cdot 2)\cdot 5}{2}.
    S5=(2⋅5+4⋅2)⋅52\displaystyle S_5=\dfrac{(2\cdot 5+4\cdot 2)\cdot 5}{2}
  3. Calculăm paranteza: 2⋅5+4⋅2=10+8=18\displaystyle 2\cdot 5+4\cdot 2=10+8=18. Apoi S5=18⋅52=902=45\displaystyle S_5=\dfrac{18\cdot 5}{2}=\dfrac{90}{2}=45.
    S5=18⋅52=902=45\displaystyle S_5=\dfrac{18\cdot 5}{2}=\dfrac{90}{2}=45
  4. Verificare: termenii sunt 5,7,9,11,13\displaystyle 5, 7, 9, 11, 13, iar 5+7+9+11+13=45\displaystyle 5+7+9+11+13=45. Suma cerută este 45\displaystyle 45.
    45\displaystyle 45
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care ecuația x2−ax+a−1=0\displaystyle x^2-ax+a-1=0 are soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. O ecuație de gradul al doilea are soluții reale distincte exact când discriminantul este strict pozitiv: Δ>0\displaystyle \Delta>0. Identificăm coeficienții: a0=1\displaystyle a_0=1, b=−a\displaystyle b=-a, c=a−1\displaystyle c=a-1.
    a0=1\displaystyle a_0=1, b=−a\displaystyle \ b=-a, c=a−1\displaystyle \ c=a-1
  2. Calculăm discriminantul cu formula Δ=b2−4a0c\displaystyle \Delta=b^{2}-4a_0c, deci Δ=(−a)2−4⋅1⋅(a−1)\displaystyle \Delta=(-a)^{2}-4\cdot 1\cdot(a-1).
    Δ=a2−4(a−1)\displaystyle \Delta=a^{2}-4(a-1)
  3. Desfacem parantezele: Δ=a2−4a+4\displaystyle \Delta=a^{2}-4a+4, care este pătrat perfect.
    Δ=(a−2)2\displaystyle \Delta=(a-2)^{2}
  4. Impunem Δ>0\displaystyle \Delta>0, adică (a−2)2>0\displaystyle (a-2)^{2}>0. Un pătrat este mereu ≥0\displaystyle \ge 0 și este egal cu 0\displaystyle 0 doar când a−2=0\displaystyle a-2=0, adică a=2\displaystyle a=2. Deci inegalitatea este adevărată pentru orice a≠2\displaystyle a\neq 2.
    (a−2)2>0⇔a≠2\displaystyle (a-2)^{2}>0\Leftrightarrow a\neq 2
  5. Mulțimea valorilor lui a\displaystyle a pentru care ecuația are soluții reale distincte este mulțimea numerelor reale fără 2\displaystyle 2.
    a∈R∖{2}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x2+x+23=1\displaystyle 3-\sqrt[3]{x^2+x+2}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul de ordin 3: din 3−x2+x+23=1\displaystyle 3-\sqrt[3]{x^2+x+2}=1 obținem x2+x+23=3−1\displaystyle \sqrt[3]{x^2+x+2}=3-1, adică x2+x+23=2\displaystyle \sqrt[3]{x^2+x+2}=2.
    x2+x+23=2\displaystyle \sqrt[3]{x^2+x+2}=2
  2. Ridicăm ecuația la puterea a treia. Radicalul de ordin impar este definit pentru orice număr real, deci nu apar condiții de existență și nici soluții false. Din x2+x+2=23=8\displaystyle x^2+x+2=2^3=8 obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−6=0\displaystyle x^2+x-6=0.
    x2+x+2=8⇔x2+x−6=0\displaystyle x^2+x+2=8\Leftrightarrow x^2+x-6=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației x2+x−6=0\displaystyle x^2+x-6=0: Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  4. Aflăm rădăcinile cu formula x=−1±52\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 5}{2}. Obținem x=−62=−3\displaystyle x=\dfrac{-6}{2}=-3 și x=42=2\displaystyle x=\dfrac{4}{2}=2. Ambele valori sunt soluții ale ecuației inițiale.
    x=−3 sau x=2\displaystyle x=-3\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați 2C43−3A42\displaystyle 2C_4^3-3A_4^2.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formulele: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} și Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}.
    Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!},Ank=n!(n−k)!\displaystyle \quad A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}
  2. Înlocuim în expresie n=4\displaystyle n=4, k=3\displaystyle k=3 pentru combinări și n=4\displaystyle n=4, k=2\displaystyle k=2 pentru aranjamente.
    2C43−3A42=2⋅4!3! (4−3)!−3⋅4!(4−2)!\displaystyle 2C_4^3-3A_4^2=2\cdot\dfrac{4!}{3!\,(4-3)!}-3\cdot\dfrac{4!}{(4-2)!}
  3. Calculăm combinările: 4!3!⋅1!=246⋅1=4\displaystyle \dfrac{4!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{24}{6\cdot 1}=4, deci C43=4\displaystyle C_4^3=4.
    C43=4\displaystyle C_4^3=4
  4. Calculăm aranjamentele: A42=4!2!=242=4⋅3=12\displaystyle A_4^2=\dfrac{4!}{2!}=\dfrac{24}{2}=4\cdot 3=12.
    A42=12\displaystyle A_4^2=12
  5. Înlocuim valorile obținute și efectuăm calculul: 2⋅4−3⋅4⋅3=8−36=−28\displaystyle 2\cdot 4-3\cdot 4\cdot 3=8-36=-28.
    2⋅4−3⋅4⋅3=8−36=−28\displaystyle 2\cdot 4-3\cdot 4\cdot 3=8-36=-28
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii u⃗=i⃗+aj⃗\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+a\vec{j} și v⃗=2i⃗+(a2+1)j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+(a^2+1)\vec{j}, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗\displaystyle \vec{u} și v⃗\displaystyle \vec{v} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele vectorilor: u⃗(1, a)\displaystyle \vec{u}(1,\,a) și v⃗(2, a2+1)\displaystyle \vec{v}(2,\,a^{2}+1).
    u⃗(1, a)\displaystyle \vec{u}(1,\,a),v⃗(2, a2+1)\displaystyle \quad \vec{v}(2,\,a^{2}+1)
  2. Vectorii sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem raportul coordonatelor: 12=aa2+1\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{a^{2}+1}. Numitorii sunt nenuli, deoarece a2+1>0\displaystyle a^{2}+1>0 pentru orice a\displaystyle a real.
    12=aa2+1\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{a}{a^{2}+1}
  3. Înmulțim în cruce: a2+1=2a\displaystyle a^{2}+1=2a. Mutăm totul în membrul stâng și obținem ecuația a2−2a+1=0\displaystyle a^{2}-2a+1=0.
    12=aa2+1⇔a2−2a+1=0\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{a}{a^{2}+1}\Leftrightarrow a^{2}-2a+1=0
  4. Recunoaștem pătratul unei diferențe: (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0, deci a−1=0\displaystyle a-1=0.
    (a−1)2=0⇒a=1\displaystyle (a-1)^{2}=0\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC cu AB=8\displaystyle AB=8, BC=8\displaystyle BC=8 și aria egală cu 16\displaystyle 16. Determinați măsura unghiului B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ariei triunghiului în funcție de două laturi și de sinusul unghiului dintre ele. Laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC formează unghiul B\displaystyle B: AΔABC=AB⋅BC⋅sin⁡B2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}.
    AΔABC=AB⋅BC⋅sin⁡B2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}
  2. Înlocuim datele problemei: aria este 16\displaystyle 16, iar AB=BC=8\displaystyle AB=BC=8. Obținem 16=8⋅8⋅sin⁡B2\displaystyle 16=\dfrac{8\cdot 8\cdot\sin B}{2}.
    16=8⋅8⋅sin⁡B2\displaystyle 16=\dfrac{8\cdot 8\cdot\sin B}{2}
  3. Calculăm 8⋅82=32\displaystyle \dfrac{8\cdot 8}{2}=32, deci ecuația devine 16=32sin⁡B\displaystyle 16=32\sin B. Împărțind la 32\displaystyle 32 obținem sin⁡B=1632\displaystyle \sin B=\dfrac{16}{32}.
    sin⁡B=1632=12\displaystyle \sin B=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}
  4. Triunghiul este ascuțitunghic, deci B∈(0∘,90∘)\displaystyle B\in(0^\circ,90^\circ). Singurul unghi ascuțit cu sin⁡B=12\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{2} este 30∘\displaystyle 30^\circ (valoarea 150∘\displaystyle 150^\circ nu convine, fiind obtuz).
    sin⁡B=12, deci B=30∘\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{2}\text{, deci }B=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=xI2+yA\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin 2 avem ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣0110∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula cu a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=1\displaystyle c=1, d=0\displaystyle d=0. Obținem det⁡A=0⋅0−1⋅1\displaystyle \det A=0\cdot 0-1\cdot 1.
    det⁡A=0⋅0−1⋅1\displaystyle \det A=0\cdot 0-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Rezultă det⁡A=0−1=−1\displaystyle \det A=0-1=-1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=0−1=−1\displaystyle \det A=0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=xI2+yA\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Demonstrați că M(x,y)⋅M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya), pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană: A⋅A=(0110)(0110)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.
    A⋅A=(0⋅0+1⋅10⋅1+1⋅01⋅0+0⋅11⋅1+0⋅0)=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot1&0\cdot1+1\cdot0\\1\cdot0+0\cdot1&1\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  2. Scriem produsul folosind definiția lui M\displaystyle M: M(x,y)=xI2+yA\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA și M(a,b)=aI2+bA\displaystyle M(a,b)=aI_2+bA.
    M(x,y)⋅M(a,b)=(xI2+yA)(aI2+bA)\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=(xI_2+yA)(aI_2+bA)
  3. Înmulțim parantezele, termen cu termen. Folosim faptul că I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire: I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2 și I2⋅A=A⋅I2=A\displaystyle I_2\cdot A=A\cdot I_2=A.
    (xI2+yA)(aI2+bA)=xaI2+xbA+yaA+yb A⋅A\displaystyle (xI_2+yA)(aI_2+bA)=xaI_2+xbA+yaA+yb\,A\cdot A
  4. Înlocuim A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2, conform primului pas, apoi grupăm termenii care conțin I2\displaystyle I_2 și pe cei care conțin A\displaystyle A.
    xaI2+xbA+yaA+ybI2=(xa+yb)I2+(xb+ya)A\displaystyle xaI_2+xbA+yaA+ybI_2=(xa+yb)I_2+(xb+ya)A
  5. Expresia obținută are forma x′I2+y′A\displaystyle x'I_2+y'A, cu x′=xa+yb\displaystyle x'=xa+yb și y′=xb+ya\displaystyle y'=xb+ya, deci este chiar M(xa+yb,xb+ya)\displaystyle M(xa+yb,xb+ya). Egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, x\displaystyle x, y\displaystyle y.
    M(x,y)⋅M(a,b)=(xa+yb)I2+(xb+ya)A=M(xa+yb,xb+ya)\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=(xa+yb)I_2+(xb+ya)A=M(xa+yb,xb+ya)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=xI2+yA\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați perechile (x,y)\displaystyle (x,y) de numere reale, știind că det⁡(M(x,y))=4\displaystyle \det(M(x,y))=4 și suma elementelor matricei M(x,y)⋅M(x,y)\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y) este egală cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea explicit: M(x,y)=xI2+yA=(xyyx)\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA=\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}.
    M(x,y)=(xyyx)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(M(x,y))=∣xyyx∣=x2−y2\displaystyle \det(M(x,y))=\begin{vmatrix}x&y\\y&x\end{vmatrix}=x^{2}-y^{2}. Din det⁡(M(x,y))=4\displaystyle \det(M(x,y))=4 obținem (x−y)(x+y)=4\displaystyle (x-y)(x+y)=4.
    x2−y2=4, deci (x−y)(x+y)=4\displaystyle x^{2}-y^{2}=4\text{, deci }(x-y)(x+y)=4
  3. Înmulțim matricele: M(x,y)⋅M(x,y)=(x2+y22xy2xyx2+y2)=M(x2+y2,2xy)\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)=\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}&2xy\\2xy&x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}=M(x^{2}+y^{2},2xy).
    M(x,y)⋅M(x,y)=(x2+y22xy2xyx2+y2)\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)=\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}&2xy\\2xy&x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}
  4. Suma elementelor este 2(x2+y2)+2⋅2xy=2(x2+y2+2xy)=2(x+y)2\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})+2\cdot 2xy=2(x^{2}+y^{2}+2xy)=2(x+y)^{2}. Din condiția 2(x+y)2=8\displaystyle 2(x+y)^{2}=8 obținem (x+y)2=4\displaystyle (x+y)^{2}=4.
    2(x2+y2+2xy)=8, deci (x+y)2=4\displaystyle 2(x^{2}+y^{2}+2xy)=8\text{, deci }(x+y)^{2}=4
  5. Din (x+y)2=4\displaystyle (x+y)^{2}=4 rezultă x+y=2\displaystyle x+y=2 sau x+y=−2\displaystyle x+y=-2. Dacă x+y=2\displaystyle x+y=2, din (x−y)⋅2=4\displaystyle (x-y)\cdot 2=4 obținem x−y=2\displaystyle x-y=2. Dacă x+y=−2\displaystyle x+y=-2, din (x−y)⋅(−2)=4\displaystyle (x-y)\cdot(-2)=4 obținem x−y=−2\displaystyle x-y=-2.
    x+y=x−y=2 sau x+y=x−y=−2\displaystyle x+y=x-y=2\text{ sau }x+y=x-y=-2
  6. Pentru x+y=2\displaystyle x+y=2 și x−y=2\displaystyle x-y=2, prin adunare 2x=4\displaystyle 2x=4, deci x=2\displaystyle x=2 și y=0\displaystyle y=0. Pentru x+y=−2\displaystyle x+y=-2 și x−y=−2\displaystyle x-y=-2, prin adunare 2x=−4\displaystyle 2x=-4, deci x=−2\displaystyle x=-2 și y=0\displaystyle y=0. Perechile sunt (−2,0)\displaystyle (-2,0) și (2,0)\displaystyle (2,0).
    (x,y)∈{(−2,0),(2,0)}\displaystyle (x,y)\in\{(-2,0),(2,0)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Arătați că 2∘(1∗3)=(2∘1)∗(2∘3)\displaystyle 2\circ(1*3)=(2\circ 1)*(2\circ 3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi 1∗3\displaystyle 1*3 după definiția legii ∗\displaystyle *: x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1, deci 1∗3=1+3−1=3\displaystyle 1*3=1+3-1=3.
    1∗3=3\displaystyle 1*3=3
  2. Înlocuim în membrul stâng: 2∘(1∗3)=2∘3\displaystyle 2\circ(1*3)=2\circ 3. Aplicăm definiția legii ∘\displaystyle \circ: x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2, deci 2∘3=2⋅3−2−3+2=3\displaystyle 2\circ 3=2\cdot 3-2-3+2=3.
    2∘(1∗3)=2∘3=2⋅3−2−3+2=3\displaystyle 2\circ(1*3)=2\circ 3=2\cdot 3-2-3+2=3
  3. Trecem la membrul drept. Calculăm 2∘1=2⋅1−2−1+2=1\displaystyle 2\circ 1=2\cdot 1-2-1+2=1.
    2∘1=2⋅1−2−1+2=1\displaystyle 2\circ 1=2\cdot 1-2-1+2=1
  4. Din calculul de mai sus avem deja 2∘3=3\displaystyle 2\circ 3=3. Deci membrul drept devine (2∘1)∗(2∘3)=1∗3\displaystyle (2\circ 1)*(2\circ 3)=1*3.
    (2∘1)∗(2∘3)=1∗3\displaystyle (2\circ 1)*(2\circ 3)=1*3
  5. Aplicăm legea ∗\displaystyle *: 1∗3=1+3−1=3\displaystyle 1*3=1+3-1=3. Membrul drept este 3\displaystyle 3, la fel ca membrul stâng, deci egalitatea este demonstrată.
    (2∘1)∗(2∘3)=1∗3=1+3−1=3=2∘(1∗3)\displaystyle (2\circ 1)*(2\circ 3)=1*3=1+3-1=3=2\circ(1*3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 3x∘x=(19)x∗x\displaystyle 3^{x\circ x}=\left(\frac{1}{9}\right)^{x*x}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x: în definiția x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2 înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x și reducem termenii asemenea.
    x∘x=x2−x−x+2=x2−2x+2\displaystyle x\circ x=x^2-x-x+2=x^2-2x+2
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x: în definiția x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Obținem ambele expresii din primul pas de control.
    x∗x=x+x−1=2x−1, deci x∘x=x2−2x+2 și x∗x=2x−1\displaystyle x*x=x+x-1=2x-1\text{, deci }x\circ x=x^2-2x+2\text{ și }x*x=2x-1
  3. Scriem baza 19\displaystyle \dfrac{1}{9} ca putere a lui 3\displaystyle 3, pentru ca ambele părți ale ecuației să aibă aceeași bază.
    19=3−2\displaystyle \dfrac{1}{9}=3^{-2}
  4. Înlocuim în ecuația inițială expresiile obținute și baza 3−2\displaystyle 3^{-2}, apoi folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}.
    3x2−2x+2=(3−2)2x−1=3−2(2x−1)\displaystyle 3^{x^2-2x+2}=\left(3^{-2}\right)^{2x-1}=3^{-2(2x-1)}
  5. Funcția t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^t este injectivă, deci egalăm exponenții.
    x2−2x+2=−2(2x−1)=−4x+2\displaystyle x^2-2x+2=-2(2x-1)=-4x+2
  6. Mutăm toți termenii într-o parte și reducem: x2−2x+2+4x−2=0\displaystyle x^2-2x+2+4x-2=0. Dând factor comun x\displaystyle x, obținem produs nul. Soluțiile sunt răspunsul final.
    x2+2x=0⇔x(x+2)=0, deci x=−2 sau x=0\displaystyle x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+2)=0\text{, deci }x=-2\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care (x−1)∗(2y+1)=2\displaystyle (x-1)*(2y+1)=2 și (x+y)∘4=10\displaystyle (x+y)\circ 4=10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția a∗b=a+b−1\displaystyle a*b=a+b-1 cu a=x−1\displaystyle a=x-1 și b=2y+1\displaystyle b=2y+1, deci (x−1)∗(2y+1)=(x−1)+(2y+1)−1\displaystyle (x-1)*(2y+1)=(x-1)+(2y+1)-1.
    (x−1)∗(2y+1)=x+2y−1\displaystyle (x-1)*(2y+1)=x+2y-1
  2. Din x+2y−1=2\displaystyle x+2y-1=2 rezultă prima ecuație a sistemului.
    x+2y=3\displaystyle x+2y=3
  3. Folosim definiția a∘b=ab−a−b+2\displaystyle a\circ b=ab-a-b+2 cu a=x+y\displaystyle a=x+y și b=4\displaystyle b=4, deci (x+y)∘4=4(x+y)−(x+y)−4+2\displaystyle (x+y)\circ 4=4(x+y)-(x+y)-4+2.
    (x+y)∘4=3(x+y)−2\displaystyle (x+y)\circ 4=3(x+y)-2
  4. Din 3(x+y)−2=10\displaystyle 3(x+y)-2=10 obținem 3(x+y)=12\displaystyle 3(x+y)=12, deci a doua ecuație a sistemului este x+y=4\displaystyle x+y=4.
    x+y=4\displaystyle x+y=4
  5. Scădem ecuațiile x+2y=3\displaystyle x+2y=3 și x+y=4\displaystyle x+y=4: (x+2y)−(x+y)=3−4\displaystyle (x+2y)-(x+y)=3-4, deci y=−1\displaystyle y=-1.
    y=−1\displaystyle y=-1
  6. Înlocuim y=−1\displaystyle y=-1 în x+y=4\displaystyle x+y=4: x−1=4\displaystyle x-1=4, deci x=5\displaystyle x=5. Perechea căutată este (x,y)=(5,−1)\displaystyle (x,y)=(5,-1).
    x=5\displaystyle x=5, y=−1\displaystyle \ y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={5x−3,x∈(−∞,1)x2−x+x2+3,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}5x-3,&x\in(-\infty,1)\\x^2-x+\sqrt{x^2+3},&x\in[1,+\infty)\end{cases}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) funcția f(x)=5x−3\displaystyle f(x)=5x-3 este polinomială, deci continuă. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția f(x)=x2−x+x2+3\displaystyle f(x)=x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3} este continuă, fiind suma dintre un polinom și o radical dintr-o expresie pozitivă. Rămâne de verificat continuitatea în punctul x=1\displaystyle x=1.
    De verificat: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)\displaystyle \text{De verificat: }\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)
  2. Calculăm limita la stânga în 1\displaystyle 1, folosind expresia 5x−3\displaystyle 5x-3, valabilă pentru x<1\displaystyle x<1.
    lim⁡x→1, x<1f(x)=lim⁡x→1, x<1(5x−3)=5⋅1−3=2\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x<1}(5x-3)=5\cdot1-3=2
  3. Calculăm limita la dreapta în 1\displaystyle 1, folosind expresia x2−x+x2+3\displaystyle x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, valabilă pentru x>1\displaystyle x>1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1: 1−1+4=2\displaystyle 1-1+\sqrt{4}=2.
    lim⁡x→1, x>1f(x)=lim⁡x→1, x>1(x2−x+x2+3)=1−1+4=2\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}\left(x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}\right)=1-1+\sqrt{4}=2
  4. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) folosind a doua ramură, deoarece 1∈[1,+∞)\displaystyle 1\in[1,+\infty). Cele două limite laterale și f(1)\displaystyle f(1) sunt egale, deci limita în 1\displaystyle 1 există și este egală cu f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=1−1+4=2, deci lim⁡x→1f(x)=f(1)=2\displaystyle f(1)=1-1+\sqrt{4}=2\text{, deci }\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=2
  5. Funcția este continuă pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și în punctul x=1\displaystyle x=1, deci f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este continua˘ pe R\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={5x−3,x∈(−∞,1)x2−x+x2+3,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}5x-3,&x\in(-\infty,1)\\x^2-x+\sqrt{x^2+3},&x\in[1,+\infty)\end{cases}.

Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) nu este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic în punctul de abscisă a\displaystyle a este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox exact când panta ei, adică f′(a)\displaystyle f'(a), este zero. Deci trebuie să arătăm că f′(a)≠0\displaystyle f'(a)\neq 0 pentru a>1\displaystyle a>1.
    f′(a)≠0 pentru a>1\displaystyle f'(a)\neq 0\text{ pentru }a>1
  2. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem f(x)=x2−x+x2+3\displaystyle f(x)=x^2-x+\sqrt{x^2+3}. Derivăm termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (x2+3)′=2x2x2+3=xx2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^2+3}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}.
    f′(x)=2x−1+xx2+3\displaystyle f'(x)=2x-1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  3. Fie a>1\displaystyle a>1. Din a>1\displaystyle a>1 rezultă 2a−1>1>0\displaystyle 2a-1>1>0. Fracția aa2+3\displaystyle \dfrac{a}{\sqrt{a^2+3}} are numărătorul a>0\displaystyle a>0 și numitorul a2+3>0\displaystyle \sqrt{a^2+3}>0, deci este pozitivă.
    2a−1>0 și aa2+3>0\displaystyle 2a-1>0\text{ și }\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}>0
  4. Suma a doi termeni pozitivi este pozitivă, deci f′(a)=2a−1+aa2+3>0\displaystyle f'(a)=2a-1+\dfrac{a}{\sqrt{a^2+3}}>0, în particular f′(a)≠0\displaystyle f'(a)\neq 0. Prin urmare tangenta în A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) are panta nenulă și nu este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox, pentru orice a>1\displaystyle a>1.
    f′(a)>0, pentru orice a∈(1,+∞), deci f′(a)≠0\displaystyle f'(a)>0\text{, pentru orice }a\in(1,+\infty)\text{, deci }f'(a)\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={5x−3,x∈(−∞,1)x2−x+x2+3,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}5x-3,&x\in(-\infty,1)\\x^2-x+\sqrt{x^2+3},&x\in[1,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția este f(x)=x2−x+x2+3\displaystyle f(x)=x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}. Ea este derivabilă de două ori, deci studiem convexitatea cu ajutorul derivatei a doua.
    f(x)=x2−x+x2+3\displaystyle f(x)=x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  2. Calculăm derivata întâi. Derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, a lui −x\displaystyle -x este −1\displaystyle -1, iar (x2+3)′=2x2x2+3=xx2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+3}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}.
    f′(x)=2x−1+xx2+3\displaystyle f'(x)=2x-1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}
  3. Derivăm încă o dată. Derivata lui 2x−1\displaystyle 2x-1 este 2\displaystyle 2. Pentru fracție folosim formula derivatei câtului: (xx2+3)′=x2+3−x⋅xx2+3x2+3\displaystyle \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}\right)'=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}{x^{2}+3}.
    f′′(x)=2+x2+3−x2x2+3x2+3\displaystyle f''(x)=2+\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}}{x^{2}+3}
  4. Aducem numărătorul la același numitor: x2+3−x2x2+3=x2+3−x2x2+3=3x2+3\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}-\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{x^{2}+3-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+3}}. Apoi împărțim la x2+3\displaystyle x^{2}+3 și obținem formula derivatei a doua.
    f′′(x)=2+3(x2+3)x2+3\displaystyle f''(x)=2+\dfrac{3}{(x^{2}+3)\sqrt{x^{2}+3}}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  5. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru orice x\displaystyle x real, x2+3>0\displaystyle x^{2}+3>0, deci și x2+3>0\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}>0. Atunci 3(x2+3)x2+3>0\displaystyle \dfrac{3}{(x^{2}+3)\sqrt{x^{2}+3}}>0, iar 2\displaystyle 2 plus un număr pozitiv este strict pozitiv. Cum f′′\displaystyle f'' este strict pozitivă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe acest interval.
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞), deci f este convexa˘ pe (1,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+x+1 și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x+2x2x\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este o primitivă a funcției g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este o primitivă a lui g\displaystyle g dacă f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci calculăm derivata lui f\displaystyle f.
    f′(x)=(x+x+1)′\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x}+x+1\right)'
  2. Derivăm termen cu termen: (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=12x+1+0=12x+1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1
  3. Aducem la același numitor: 12x+1=1+2x2x\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1=\dfrac{1+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. Amplificăm fracția cu x\displaystyle \sqrt{x}, ca să obținem numitorul 2x\displaystyle 2x.
    1+2x2x=x(1+2x)2x⋅x=x+2x2x\displaystyle \frac{1+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\left(1+2\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}
  4. Am obținut f′(x)=x+2x2x=g(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+2x}{2x}=g(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), deci f\displaystyle f este o primitivă a funcției g\displaystyle g.
    f′(x)=x+2x2x=g(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci f este o primitiva˘ a \displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}=g(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este o primitivă a }funcției g\displaystyle \text{funcției }g
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+x+1 și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x+2x2x\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}. Calculați ∫14g(x) dx\displaystyle \int_1^4 g(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția g\displaystyle g împărțind fiecare termen de la numărător la 2x\displaystyle 2x: g(x)=x2x+2x2x=12x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2x}+\dfrac{2x}{2x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1.
    g(x)=12x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1
  2. Verificăm că f\displaystyle f este primitivă a lui g\displaystyle g: f′(x)=(x)′+(x)′+(1)′=12x+1+0=g(x)\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)'+(x)'+(1)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1+0=g(x).
    f′(x)=12x+1=g(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1=g(x)
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫14g(x) dx=f(x)∣14=f(4)−f(1)\displaystyle \int_1^4 g(x)\,dx=f(x)\Big|_1^4=f(4)-f(1).
    ∫14g(x) dx=f(4)−f(1)\displaystyle \int_1^4 g(x)\,dx=f(4)-f(1)
  4. Calculăm f(4)=4+4+1=2+4+1=7\displaystyle f(4)=\sqrt{4}+4+1=2+4+1=7 și f(1)=1+1+1=3\displaystyle f(1)=\sqrt{1}+1+1=3.
    f(4)=7 și f(1)=3\displaystyle f(4)=7\text{ și }f(1)=3
  5. Scădem: f(4)−f(1)=7−3=4\displaystyle f(4)-f(1)=7-3=4.
    7−3=4\displaystyle 7-3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+x+1 și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x+2x2x\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m>1\displaystyle m>1, pentru care ∫1mf(x)⋅g(x) dx=20\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)\,dx=20.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui x\displaystyle \sqrt{x} este 12x\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=12x+1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1
  2. Aducem derivata la același numitor: f′(x)=1+2x2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. Amplificăm cu x\displaystyle \sqrt{x} fracția g(x)=x+2x2x\displaystyle g(x)=\dfrac{\sqrt{x}+2x}{2x} și obținem aceeași expresie, deci g=f′\displaystyle g=f'.
    g(x)=x(1+2x)2x=1+2x2x=f′(x)\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}\left(1+2\sqrt{x}\right)}{2x}=\frac{1+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=f'(x)
  3. Înlocuim g\displaystyle g cu f′\displaystyle f' în integrală. Cum (f2)′=2f⋅f′\displaystyle \left(f^{2}\right)'=2f\cdot f', o primitivă a lui f⋅f′\displaystyle f\cdot f' este 12f2\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫1mf(x)⋅g(x) dx=∫1mf(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)∣1m=12(f2(m)−f2(1))\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)\,dx=\int_1^m f(x)\cdot f'(x)\,dx=\frac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_1^m=\frac{1}{2}\left(f^{2}(m)-f^{2}(1)\right)
  4. Calculăm f(1)=1+1+1=3\displaystyle f(1)=\sqrt{1}+1+1=3, deci f2(1)=9\displaystyle f^{2}(1)=9. Din condiția că integrala este egală cu 20\displaystyle 20, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem ecuația de mai jos.
    12(f2(m)−9)=20⇔f2(m)−9=40⇔f2(m)=49\displaystyle \frac{1}{2}\left(f^{2}(m)-9\right)=20\Leftrightarrow f^{2}(m)-9=40\Leftrightarrow f^{2}(m)=49
  5. Din f2(m)=49\displaystyle f^{2}(m)=49 rezultă f(m)=−7\displaystyle f(m)=-7 sau f(m)=7\displaystyle f(m)=7. Cum f(m)>0\displaystyle f(m)>0, valoarea −7\displaystyle -7 nu convine, deci f(m)=7\displaystyle f(m)=7, adică m+m+1=7\displaystyle \sqrt{m}+m+1=7. Notăm t=m\displaystyle t=\sqrt{m}, cu t>1\displaystyle t>1, și obținem t2+t−6=0\displaystyle t^{2}+t-6=0, cu soluțiile t=2\displaystyle t=2 și t=−3\displaystyle t=-3. Convine doar t=2\displaystyle t=2, deci m=4\displaystyle m=4.
    f(m)=−7, care nu convine, sau f(m)=7, de unde obținem m=4\displaystyle f(m)=-7\text{, care nu convine, sau }f(m)=7\text{, de unde obținem }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.