Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (2-\lg 40)\cdot\frac{1}{\lg^2 5-\lg^2 2}=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2$ ca logaritm zecimal: $\displaystyle 2=\lg 100$ , deoarece $\displaystyle 10^{2}=100$ .
$\displaystyle 2=\lg 100$
Descompunem numitorul ca diferență de pătrate, $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , cu $\displaystyle a=\lg 5$ și $\displaystyle b=\lg 2$ . Expresia devine cea din barem.
$\displaystyle (\lg 100-\lg 40)\cdot\frac{1}{(\lg 5-\lg 2)(\lg 5+\lg 2)}$
Folosim formula $\displaystyle \lg a-\lg b=\lg\dfrac{a}{b}$ la prima paranteză. Avem $\displaystyle \lg 100-\lg 40=\lg\dfrac{100}{40}=\lg\dfrac{5}{2}$ . La fel, $\displaystyle \lg 5-\lg 2=\lg\dfrac{5}{2}$ .
$\displaystyle \lg 100-\lg 40=\lg 5-\lg 2=\lg\frac{5}{2}$
Folosim formula $\displaystyle \lg a+\lg b=\lg (ab)$ la a doua paranteză din numitor: $\displaystyle \lg 5+\lg 2=\lg 10=1$ .
$\displaystyle \lg 5+\lg 2=\lg 10=1$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle \lg\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{\lg\frac{5}{2}\cdot\lg 10}=\lg\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{\lg\frac{5}{2}}$ . Simplificăm factorul $\displaystyle \lg\dfrac{5}{2}$ , care este nenul deoarece $\displaystyle \dfrac{5}{2}\neq 1$ . Rămâne $\displaystyle 1$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \lg\frac{100}{40}\cdot\frac{1}{\lg\frac{5}{2}\cdot\lg 10}=\lg\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{\lg\frac{5}{2}}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle m

pentru care soluția ecuației

\displaystyle 2x-m^2+1=0

este număr real strict mai mic decât

\displaystyle 0

.

Vezi rezolvarea

Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2x-m^{2}+1=0$ în necunoscuta $\displaystyle x$ : mutăm termenii care nu conțin pe $\displaystyle x$ în membrul drept, deci $\displaystyle 2x=m^{2}-1$ .
$\displaystyle 2x=m^{2}-1$
Împărțim egalitatea $\displaystyle 2x=m^{2}-1$ la $\displaystyle 2$ și obținem soluția ecuației în funcție de $\displaystyle m$ .
$\displaystyle x=\frac{m^{2}-1}{2}$
Impunem condiția ca soluția să fie strict negativă: $\displaystyle \dfrac{m^{2}-1}{2}<0$ .
$\displaystyle \frac{m^{2}-1}{2}<0$
Înmulțim inegalitatea cu $\displaystyle 2>0$ , deci sensul ei se păstrează.
$\displaystyle m^{2}-1<0$
Inegalitatea devine $\displaystyle m^{2}<1$ , adică $\displaystyle |m|<1$ . Rezultă că $\displaystyle m$ se află strict între $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle m\in(-1,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x^2+x}=4^{2x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem baza 4 ca putere a lui 2: $\displaystyle 4=2^{2}$ , deci $\displaystyle 4^{2x}=\left(2^{2}\right)^{2x}=2^{4x}$ .
$\displaystyle 4^{2x}=2^{4x}$
Ecuația devine $\displaystyle 2^{x^{2}+x}=2^{4x}$ . Baza $\displaystyle 2$ este pozitivă și diferită de $\displaystyle 1$ , deci funcția exponențială este injectivă și egalăm exponenții: $\displaystyle x^{2}+x=4x$ .
$\displaystyle 2^{x^{2}+x}=2^{4x}\Leftrightarrow x^{2}+x=4x$
Mutăm $\displaystyle 4x$ în membrul stâng: $\displaystyle x^{2}+x-4x=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-3x=0$ .
$\displaystyle x^{2}-3x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle x(x-3)=0$ . Un produs este nul când un factor este nul, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x-3=0$ .
$\displaystyle x(x-3)=0$
Soluțiile sunt $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ , ambele numere reale, deci convin.
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle (n+1)!-n!\le n+2

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de o cifră sunt $\displaystyle 0,1,2,\ldots,9$ , deci sunt $\displaystyle 10$ cazuri posibile.
$\displaystyle 10$
Simplificăm diferența de factoriale: $\displaystyle (n+1)!=(n+1)\cdot n!$ , deci $\displaystyle (n+1)!-n!=n\cdot n!$ . Inegalitatea devine $\displaystyle n\cdot n!\le n+2$ .
$\displaystyle n\cdot n!\le n+2$
Verificăm valorile mici: pentru $\displaystyle n=0$ avem $\displaystyle 0\le 2$ (adevărat), pentru $\displaystyle n=1$ avem $\displaystyle 1\cdot 1=1\le 3$ (adevărat), pentru $\displaystyle n=2$ avem $\displaystyle 2\cdot 2=4\le 4$ (adevărat).
$\displaystyle n=0$ , $\displaystyle \ 1$ , $\displaystyle \ 2\text{ verifică inegalitatea}$
Pentru $\displaystyle n=3$ avem $\displaystyle 3\cdot 6=18>5$ , deci inegalitatea nu e adevărată. Pentru $\displaystyle n\ge 3$ , $\displaystyle n\cdot n!\ge 18$ crește mult mai repede decât $\displaystyle n+2$ , deci inegalitatea nu mai este adevărată. Rămân $\displaystyle n\in\{0,1,2\}$ , adică $\displaystyle 3$ cazuri favorabile.
$\displaystyle n\in\{0,1,2\}\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, deci $\displaystyle p=\dfrac{3}{10}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-6,6)

și

\displaystyle B(0,2)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

, știind că

\displaystyle \overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{BC}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm vectorul $\displaystyle \overrightarrow{AO}$ scăzând coordonatele lui $\displaystyle A$ din cele ale lui $\displaystyle O(0,0)$ : componentele sunt $\displaystyle 0-(-6)=6$ și $\displaystyle 0-6=-6$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AO}=6\vec{i}-6\vec{j}$
Notăm $\displaystyle C(x_C,y_C)$ și calculăm vectorul $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ scăzând coordonatele lui $\displaystyle B(0,2)$ din cele ale lui $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BC}=x_C\vec{i}+(y_C-2)\vec{j}$
Înlocuim cei doi vectori în relația $\displaystyle \overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{BC}$ și obținem egalitatea de vectori scrisă pe componente.
$\displaystyle 6\vec{i}-6\vec{j}=2x_C\vec{i}+2(y_C-2)\vec{j}$
Doi vectori sunt egali când au componentele egale, deci egalăm coeficienții lui $\displaystyle \vec{i}$ și ai lui $\displaystyle \vec{j}$ .
$\displaystyle \begin{cases}2x_C=6\\ 2(y_C-2)=-6\end{cases}$
Din prima ecuație $\displaystyle x_C=3$ . Din a doua, $\displaystyle y_C-2=-3$ , deci $\displaystyle y_C=-1$ . Punctul $\displaystyle C$ are coordonatele $\displaystyle (3,-1)$ .
$\displaystyle x_C=3\text{, }y_C=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle a

,

\displaystyle a>-2

, știind că

\displaystyle a^2+1

și

\displaystyle a+2

sunt lungimile ipotenuzei, respectiv razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic.

Vezi rezolvarea

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza este egală cu dublul razei cercului circumscris: $\displaystyle \text{ipotenuza}=2R$ .
$\displaystyle \text{ipotenuza}=2R$
Înlocuim ipotenuza cu $\displaystyle a^2+1$ și raza cu $\displaystyle a+2$ și obținem ecuația $\displaystyle a^2+1=2(a+2)$ .
$\displaystyle a^2+1=2(a+2)$
Desfacem parantezele și mutăm toți termenii în partea stângă: $\displaystyle a^2+1=2a+4$ , deci $\displaystyle a^2-2a-3=0$ .
$\displaystyle a^2+1=2(a+2)\text{, de unde }a^2-2a-3=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{2\pm 4}{2}$ .
$\displaystyle a=\dfrac{2\pm 4}{2}$
Soluțiile sunt $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle a=3$ . Ambele verifică condiția $\displaystyle a>-2$ , iar lungimile $\displaystyle a^2+1$ și $\displaystyle a+2$ sunt pozitive, deci ambele valori convin.
$\displaystyle a=-1\text{ sau }a=3\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\sqrt{a}\\1&0&1\\a&1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Arătați că

\displaystyle \det(A(4))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=4$ în matrice. Cum $\displaystyle \sqrt{4}=2$ , prima linie devine $\displaystyle (1,0,2)$ , iar a treia linie devine $\displaystyle (4,1,1)$ .
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&0&1\\4&1&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(4)$ , pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
$\displaystyle \det(A(4))=\begin{vmatrix}1&0&2\\1&0&1\\4&1&1\end{vmatrix}$
Termenii cu semnul plus sunt produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1$ , $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 4$ și $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1$ . Valorile lor sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 4+2\cdot 1\cdot 1=2$
Termenii cu semnul minus sunt produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: $\displaystyle 2\cdot 0\cdot 4$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1$ . Valorile lor sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle 2\cdot 0\cdot 4+1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1=1$
Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus și obținem determinantul egal cu $\displaystyle 1$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(A(4))=0+2+0-0-1-0=2-1=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\sqrt{a}\\1&0&1\\a&1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Demonstrați că

\displaystyle \det(A(a)\cdot A(1)-A(a+1))>0

, pentru orice

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(1)$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(a)$ cu coloanele lui $\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ . De exemplu, pe linia întâi: $\displaystyle 1+\sqrt{a}$ , $\displaystyle \sqrt{a}$ , $\displaystyle 1+\sqrt{a}$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1+\sqrt{a}&\sqrt{a}&1+\sqrt{a}\\2&1&2\\a+2&1&a+2\end{pmatrix}$
Scădem matricea $\displaystyle A(a+1)=\begin{pmatrix}1&0&\sqrt{a+1}\\1&0&1\\a+1&1&1\end{pmatrix}$ element cu element. Obținem pe linia întâi $\displaystyle 1+\sqrt{a}-1=\sqrt{a}$ , $\displaystyle \sqrt{a}$ și $\displaystyle 1+\sqrt{a}-\sqrt{a+1}$ , pe linia a doua $\displaystyle 1,1,1$ , iar pe linia a treia $\displaystyle 1,0,a+1$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(1)-A(a+1)=\begin{pmatrix}\sqrt{a}&\sqrt{a}&1+\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\\1&1&1\\1&0&a+1\end{pmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după coloana a doua, care conține un zero. Elementul $\displaystyle \sqrt{a}$ are minorul $\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&a+1\end{vmatrix}=a$ și semnul $\displaystyle -$ . Elementul $\displaystyle 1$ are minorul $\displaystyle \begin{vmatrix}\sqrt{a}&1+\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\\1&a+1\end{vmatrix}=\sqrt{a}(a+1)-\left(1+\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\right)$ și semnul $\displaystyle +$ .
$\displaystyle \det=-\sqrt{a}\cdot a+\sqrt{a}(a+1)-\left(1+\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\right)$
Reducem termenii: $\displaystyle -a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+\sqrt{a}=\sqrt{a}$ , apoi $\displaystyle \sqrt{a}-1-\sqrt{a}+\sqrt{a+1}=\sqrt{a+1}-1$ . Cum $\displaystyle a>0$ , avem $\displaystyle a+1>1$ , deci $\displaystyle \sqrt{a+1}>1$ și determinantul este strict pozitiv.
$\displaystyle \det(A(a)\cdot A(1)-A(a+1))=\sqrt{a+1}-1>0\text{, pentru orice }a\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\sqrt{a}\\1&0&1\\a&1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

. Arătați că matricea

\displaystyle B(n)=A(1^2)+A(2^2)+A(3^2)+\ldots+A(n^2)

este inversabilă, pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\ge 2

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle k>0$ , avem $\displaystyle \sqrt{k^{2}}=k$ . Deci $\displaystyle A(k^{2})=\begin{pmatrix}1&0&k\\1&0&1\\k^{2}&1&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(k^{2})=\begin{pmatrix}1&0&k\\1&0&1\\k^{2}&1&1\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle A(k^{2})$ pentru $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$ , element cu element. Folosim sumele $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1=n$ , $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ și $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
$\displaystyle \left(n,\ \frac{n(n+1)}{2},\ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)$
Înlocuind sumele în fiecare poziție a matricei, obținem matricea $\displaystyle B(n)$ . Elementele egale cu $\displaystyle 0$ rămân $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle B(n)=\begin{pmatrix}n&0&\frac{n(n+1)}{2}\\n&0&n\\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&n&n\end{pmatrix}$
Matricea este inversabilă dacă $\displaystyle \det(B(n))\neq 0$ . Dezvoltăm determinantul după a doua coloană, care are un singur element nenul, $\displaystyle n$ , pe linia a treia. Semnul cofactorului este $\displaystyle (-1)^{3+2}=-1$ . Minorul se obține eliminând linia 3 și coloana 2.
$\displaystyle \det(B(n))=n\cdot(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}n&\frac{n(n+1)}{2}\\n&n\end{vmatrix}$
Calculăm minorul: $\displaystyle \begin{vmatrix}n&\frac{n(n+1)}{2}\\n&n\end{vmatrix}=n^{2}-\dfrac{n^{2}(n+1)}{2}=\dfrac{n^{2}(2-n-1)}{2}=\dfrac{n^{2}(1-n)}{2}$ .
$\displaystyle n^{2}-\frac{n^{2}(n+1)}{2}=\frac{n^{2}(1-n)}{2}$
Înmulțim cu $\displaystyle n$ și cu $\displaystyle -1$ : $\displaystyle \det(B(n))=-n\cdot\dfrac{n^{2}(1-n)}{2}=\dfrac{n^{3}(n-1)}{2}$ . Pentru $\displaystyle n\ge 2$ avem $\displaystyle n\neq 0$ și $\displaystyle n-1\neq 0$ , deci determinantul este nenul și matricea $\displaystyle B(n)$ este inversabilă.
$\displaystyle \det(B(n))=\frac{n^3(n-1)}{2}\neq 0\text{, deci matricea }B(n)\text{ este inversabilă, pentru }$ $\displaystyle \text{orice număr natural }n\text{, }n\ge 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(xy+4)-3(x+y)

.

Arătați că

\displaystyle \sqrt{3}\circ 2=\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția $\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(xy+4)-3(x+y)$ cu $\displaystyle x=\sqrt{3}$ și $\displaystyle y=2$ .
$\displaystyle \sqrt{3}\circ 2=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\cdot 2+4\right)-3\left(\sqrt{3}+2\right)$
Distribuim: $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot 2=6$ , deci prima parte este $\displaystyle 6+4\sqrt{3}$ , iar a doua parte devine $\displaystyle -3\sqrt{3}-6$ .
$\displaystyle 6+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6$
Termenii $\displaystyle 6$ și $\displaystyle -6$ se anulează, iar $\displaystyle 4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$ . Deci $\displaystyle \sqrt{3}\circ 2=\sqrt{3}$ .
$\displaystyle 6+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6=\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(xy+4)-3(x+y)

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(xy+4)-3(x+y)$ și desfacem parantezele: înmulțim $\displaystyle \sqrt{3}$ cu fiecare termen din prima paranteză și distribuim factorul $\displaystyle 3$ în a doua.
$\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}xy+4\sqrt{3}-3x-3y$
Descompunem $\displaystyle 4\sqrt{3}=3\sqrt{3}+\sqrt{3}$ , pentru a pregăti gruparea termenilor.
$\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}xy-3x-3y+3\sqrt{3}+\sqrt{3}$
Grupăm termenii astfel încât să apară factorul comun $\displaystyle y-\sqrt{3}$ . Observăm că $\displaystyle \sqrt{3}xy-3x=\sqrt{3}x\left(y-\sqrt{3}\right)$ , deoarece $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ , iar $\displaystyle -3y+3\sqrt{3}=-3\left(y-\sqrt{3}\right)$ .
$\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}x\left(y-\sqrt{3}\right)-3\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}$
Dăm factor comun $\displaystyle y-\sqrt{3}$ . În paranteza rămasă apare $\displaystyle \sqrt{3}x-3=\sqrt{3}\left(x-\sqrt{3}\right)$ . Astfel obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\sqrt{3}(xy+4)-3(x+y)

.

Calculați

\displaystyle 3^{1}\circ 3^{\frac{1}{2}}\circ 3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}

.

Vezi rezolvarea

În șir apare termenul $\displaystyle 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ . Arătăm că $\displaystyle \sqrt{3}$ este element absorbant. Înlocuim $\displaystyle y=\sqrt{3}$ în definiția legii: $\displaystyle x\circ\sqrt{3}=\sqrt{3}\left(x\sqrt{3}+4\right)-3\left(x+\sqrt{3}\right)$ .
$\displaystyle x\circ\sqrt{3}=\sqrt{3}\left(x\sqrt{3}+4\right)-3\left(x+\sqrt{3}\right)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle \sqrt{3}\cdot x\sqrt{3}=3x$ , deci $\displaystyle x\circ\sqrt{3}=3x+4\sqrt{3}-3x-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$ . Expresia legii este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci și $\displaystyle \sqrt{3}\circ y=\sqrt{3}$ , pentru orice $\displaystyle y$ real.
$\displaystyle x\circ\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{, }\sqrt{3}\circ y=\sqrt{3}\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$
Legea fiind asociativă, grupăm primii doi termeni: $\displaystyle 3^{1}\circ 3^{\frac{1}{2}}=3\circ\sqrt{3}=\sqrt{3}$ , deoarece $\displaystyle \sqrt{3}$ este element absorbant.
$\displaystyle \left(3^{1}\circ\sqrt{3}\right)\circ 3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}=\sqrt{3}\circ 3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}$
Notăm cu $\displaystyle a$ rezultatul real $\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}$ . Atunci expresia devine $\displaystyle \sqrt{3}\circ a=\sqrt{3}$ , pentru că $\displaystyle \sqrt{3}$ absoarbe orice număr real. Deci întregul șir are valoarea $\displaystyle \sqrt{3}$ .
$\displaystyle 3^{1}\circ 3^{\frac{1}{2}}\circ 3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}=\sqrt{3}\circ\left(3^{\frac{1}{3}}\circ\ldots\circ 3^{\frac{1}{2021}}\right)=\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-\operatorname{arctg}x,&x\in(-\infty,0)\\\frac{5x}{x^2+x+4},&x\in[0,+\infty)\end{cases}

.

Arătați că funcția

\displaystyle f

este continuă pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este definită pe ramuri, cu punctul de legătură $\displaystyle x=0$ . Pe intervalele $\displaystyle (-\infty,0)$ și $\displaystyle (0,+\infty)$ funcția este dată de câte o expresie elementară, deci singurul punct în care trebuie verificată continuitatea este $\displaystyle x=0$ . Calculăm mai întâi valoarea funcției în $\displaystyle 0$ , folosind a doua ramură, deoarece $\displaystyle 0$ aparține intervalului $\displaystyle [0,+\infty)$ .
$\displaystyle f(0)=\frac{5\cdot 0}{0^{2}+0+4}=0$
Calculăm limita la stânga în $\displaystyle 0$ . Pentru $\displaystyle x<0$ avem $\displaystyle f(x)=x-\operatorname{arctg}x$ , iar funcțiile $\displaystyle x$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}x$ sunt continue în $\displaystyle 0$ , cu $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0,\,x<0}(x-\operatorname{arctg}x)=0-\operatorname{arctg}0=0$
Calculăm limita la dreapta în $\displaystyle 0$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle f(x)=\dfrac{5x}{x^{2}+x+4}$ , iar numitorul tinde la $\displaystyle 4$ , adică este nenul. Putem deci înlocui direct $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ . Cele două limite laterale și valoarea $\displaystyle f(0)$ sunt egale cu $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}\frac{5x}{x^{2}+x+4}=\frac{0}{4}=0\text{, deci }\lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=f(0)=0$
Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,0)$ , $\displaystyle f(x)=x-\operatorname{arctg}x$ este diferența a două funcții elementare continue. Pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ , $\displaystyle f$ este o fracție de funcții polinomiale cu numitorul $\displaystyle x^{2}+x+4$ mereu strict pozitiv (discriminantul este $\displaystyle 1-16=-15<0$ ), deci este continuă. Împreună cu continuitatea în $\displaystyle 0$ , rezultă că $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,0)\text{ și pe }(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-\operatorname{arctg}x,&x\in(-\infty,0)\\\frac{5x}{x^2+x+4},&x\in[0,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este crescătoare pe

\displaystyle (-\infty,0)

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,0)$ funcția este $\displaystyle f(x)=x-\operatorname{arctg}x$ . Folosim $\displaystyle (x)'=1$ și $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}$ , deci scăzând obținem derivata simplificată.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0)$
Pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0)$ avem $\displaystyle x\neq 0$ , deci $\displaystyle x^{2}>0$ , iar $\displaystyle x^{2}+1>0$ . Fracția are numărător și numitor strict pozitivi.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}>0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0)$
Deoarece $\displaystyle f'(x)>0$ pe tot intervalul $\displaystyle (-\infty,0)$ , funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$ .
$\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0)\text{, deci funcția }f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-\operatorname{arctg}x,&x\in(-\infty,0)\\\frac{5x}{x^2+x+4},&x\in[0,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că

\displaystyle f(x)\le 1

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Împărțim problema în două cazuri, după definiția funcției: $\displaystyle x<0$ și $\displaystyle x\ge 0$ . Începem cu $\displaystyle x<0$ , unde $\displaystyle f(x)=x-\operatorname{arctg}x$ .
$\displaystyle f(x)=x-\operatorname{arctg}x$ , $\displaystyle \ x<0$
Calculăm derivata funcției pe intervalul $\displaystyle (-\infty,0)$ : derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar derivata lui $\displaystyle \operatorname{arctg}x$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}$ . Aducem la același numitor.
$\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$
Pentru $\displaystyle x<0$ avem $\displaystyle x^{2}>0$ , deci derivata este pozitivă. Funcția este strict crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$ , iar $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ (limita la stânga este $\displaystyle 0-\operatorname{arctg}0=0$ ). Rezultă că $\displaystyle f(x)\le f(0)$ pentru $\displaystyle x<0$ .
$\displaystyle f(x)\le f(0)\text{, pentru }x\in(-\infty,0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)$ folosind a doua ramură a funcției. Deducem că $\displaystyle f(x)\le 0<1$ pe $\displaystyle (-\infty,0)$ .
$\displaystyle f(0)=\frac{5\cdot 0}{0+0+4}=0\text{, deci }f(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0)$
Trecem la cazul $\displaystyle x\ge 0$ . Numitorul $\displaystyle x^{2}+x+4$ este pozitiv, deci putem înmulți inegalitatea cu el fără să schimbăm sensul.
$\displaystyle \frac{5x}{x^{2}+x+4}\le 1\Leftrightarrow 5x\le x^{2}+x+4$
Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea. Recunoaștem un pătrat perfect.
$\displaystyle x^{2}-4x+4\ge 0\Leftrightarrow (x-2)^{2}\ge 0$
Ultima inegalitate este adevărată pentru orice număr real, deoarece un pătrat este nenegativ. Deci $\displaystyle f(x)\le 1$ pe $\displaystyle [0,+\infty)$ . Împreună cu cazul $\displaystyle x<0$ , obținem $\displaystyle f(x)\le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle (x-2)^{2}\ge 0\text{, deci }f(x)\le 1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^5 x(x+2)f(x)\,dx=16

.

Vezi rezolvarea

Observăm că numitorul funcției se descompune: $\displaystyle x^{2}+2x=x(x+2)$ . Deci produsul $\displaystyle x(x+2)\cdot f(x)$ se simplifică.
$\displaystyle x(x+2)f(x)=x(x+2)\cdot\dfrac{x+1}{x(x+2)}=x+1$
Înlocuim în integrală produsul simplificat și căutăm o primitivă a polinomului $\displaystyle x+1$ .
$\displaystyle \int_1^5 x(x+2)f(x)\,dx=\int_1^5 (x+1)\,dx$
Integrăm termen cu termen: primitiva lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , iar primitiva lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \int_1^5 (x+1)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_1^5$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm valoarea primitivei în $\displaystyle 5$ și în $\displaystyle 1$ și scădem.
$\displaystyle \dfrac{25}{2}+5-\left(\dfrac{1}{2}+1\right)$
Efectuăm calculul: $\displaystyle \dfrac{25}{2}+5=\dfrac{35}{2}$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$ , deci diferența este $\displaystyle \dfrac{32}{2}=16$ .
$\displaystyle \dfrac{35}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{32}{2}=16$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Observăm că derivata numitorului $\displaystyle x^{2}+2x$ este $\displaystyle 2x+2$ , iar numărătorul $\displaystyle x+1$ este jumătate din ea: $\displaystyle x+1=\dfrac{1}{2}(2x+2)$ .
$\displaystyle (x^{2}+2x)'=2x+2$ , $\displaystyle \quad x+1=\dfrac{1}{2}(2x+2)$
Scoatem factorul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ în fața integralei, astfel încât integrandul devine raportul dintre derivata numitorului și numitor.
$\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_1^3\dfrac{2x+2}{x^{2}+2x}\,dx$
Folosim faptul că o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ este $\displaystyle \ln u$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle x^{2}+2x>0$ , deci nu este nevoie de modul.
$\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+2x)\Big|_1^3$
Calculăm valorile expresiei $\displaystyle x^{2}+2x$ la limite: pentru $\displaystyle x=3$ obținem $\displaystyle 9+6=15$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle 1+2=3$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\ln 15-\ln 3\right)$
Aplicăm formula diferenței de logaritmi: $\displaystyle \ln 15-\ln 3=\ln\dfrac{15}{3}=\ln 5$ . Deci integrala este jumătate din $\displaystyle \ln 5$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x}

.

Demonstrați că orice primitivă

\displaystyle F

a funcției

\displaystyle f

este concavă.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle F$ este concavă, trebuie să arătăm că $\displaystyle F''(x)<0$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Deoarece $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$ , avem $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci $\displaystyle F''(x)=f'(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)\Rightarrow F''(x)=f'(x)$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Derivăm fracția cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u=x+1$ și $\displaystyle v=x^{2}+2x$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=2x+2$ .
$\displaystyle F''(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+2x)-(x+1)(2x+2)}{(x^{2}+2x)^{2}}$
Desfacem parantezele de la numărător: $\displaystyle (x+1)(2x+2)=2x^{2}+4x+2$ . Apoi scădem: $\displaystyle x^{2}+2x-2x^{2}-4x-2=-x^{2}-2x-2=-(x^{2}+2x+2)$ .
$\displaystyle F''(x)=-\dfrac{x^{2}+2x+2}{(x^{2}+2x)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Studiem semnul: numărătorul $\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1$ este strict pozitiv, iar numitorul $\displaystyle (x^{2}+2x)^{2}$ este strict pozitiv, deoarece $\displaystyle x^{2}+2x=x(x+2)>0$ pentru $\displaystyle x>0$ . Deci fracția este pozitivă, iar cu semnul minus în față obținem $\displaystyle F''(x)<0$ .
$\displaystyle F''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este concavă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani