Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor cinci termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=1\displaystyle b_1=1 și b2=2\displaystyle b_2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Rația progresiei geometrice este raportul dintre doi termeni consecutivi: q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}.
    q=21=2\displaystyle q=\dfrac{2}{1}=2
  2. Scriem formula sumei primilor n\displaystyle n termeni ai unei progresii geometrice cu rația q≠1\displaystyle q\neq 1 și o particularizăm pentru n=5\displaystyle n=5: Sn=b1(qn−1)q−1\displaystyle S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}.
    S5=b1(q5−1)q−1\displaystyle S_5=\dfrac{b_1(q^5-1)}{q-1}
  3. Înlocuim b1=1\displaystyle b_1=1 și q=2\displaystyle q=2, apoi calculăm 25=32\displaystyle 2^5=32 și obținem suma.
    S5=1⋅(25−1)2−1=32−11=31\displaystyle S_5=\dfrac{1\cdot(2^5-1)}{2-1}=\dfrac{32-1}{1}=31
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−11x+6\displaystyle f(x)=3x^2-11x+6. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care punctele A(x,f(x))\displaystyle A(x,f(x)) sunt situate sub axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(x,f(x))\displaystyle A(x,f(x)) este sub axa Ox\displaystyle Ox exact când ordonata lui este negativă, adică f(x)<0\displaystyle f(x)<0. Înlocuim expresia lui f\displaystyle f și obținem inegalitatea de gradul al doilea.
    3x2−11x+6<0\displaystyle 3x^{2}-11x+6<0
  2. Calculăm discriminantul pentru a=3\displaystyle a=3, b=−11\displaystyle b=-11, c=6\displaystyle c=6: Δ=b2−4ac=121−72\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=121-72.
    Δ=121−72=49\displaystyle \Delta=121-72=49
  3. Rădăcinile ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0 sunt x=−b±Δ2a=11±76\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{11\pm 7}{6}.
    x1=11−76=23\displaystyle x_{1}=\frac{11-7}{6}=\frac{2}{3},x2=11+76=3\displaystyle \quad x_{2}=\frac{11+7}{6}=3
  4. Deoarece a=3>0\displaystyle a=3>0, parabola are ramurile în sus, deci f(x)<0\displaystyle f(x)<0 doar între rădăcini. Punctele sunt sub axa Ox\displaystyle Ox pentru x∈(23,3)\displaystyle x\in\left(\dfrac{2}{3},3\right).
    x∈(23,3)\displaystyle x\in\left(\frac{2}{3},3\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(1−x)−lg⁡(7−x)=−1\displaystyle \lg(1-x)-\lg(7-x)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci 1−x>0\displaystyle 1-x>0 și 7−x>0\displaystyle 7-x>0. Rezultă x<1\displaystyle x<1.
    x∈(−∞,1)\displaystyle x\in(-\infty,1)
  2. Folosim formula diferenței de logaritmi, lg⁡a−lg⁡b=lg⁡ab\displaystyle \lg a-\lg b=\lg\dfrac{a}{b}, și scriem ecuația sub forma lg⁡1−x7−x=−1\displaystyle \lg\dfrac{1-x}{7-x}=-1.
    lg⁡1−x7−x=−1\displaystyle \lg\frac{1-x}{7-x}=-1
  3. Din definiția logaritmului zecimal, fracția este egală cu 10−1\displaystyle 10^{-1}, adică 110\displaystyle \dfrac{1}{10}.
    1−x7−x=110\displaystyle \frac{1-x}{7-x}=\frac{1}{10}
  4. Înmulțim în cruce și desfacem parantezele: 10(1−x)=7−x\displaystyle 10(1-x)=7-x, deci 10−10x=7−x\displaystyle 10-10x=7-x.
    10−10x=7−x\displaystyle 10-10x=7-x
  5. Grupăm termenii: 3=9x\displaystyle 3=9x, deci x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3}.
    x=13\displaystyle x=\frac{1}{3}
  6. Verificăm condiția de existență: 13<1\displaystyle \dfrac{1}{3}<1, deci soluția convine.
    x=13, care convine\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, pentru care Cn1+Cn2=6\displaystyle C_n^1+C_n^2=6.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele combinărilor: Cn1=n\displaystyle C_n^1=n și Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}.
    Cn1=n\displaystyle C_n^1=n,Cn2=n(n−1)2\displaystyle \quad C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}
  2. Înlocuim în egalitatea dată: n+n(n−1)2=6\displaystyle n+\dfrac{n(n-1)}{2}=6.
    n+n(n−1)2=6\displaystyle n+\dfrac{n(n-1)}{2}=6
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 2n+n(n−1)=12\displaystyle 2n+n(n-1)=12, adică 2n+n2−n=12\displaystyle 2n+n^2-n=12. Aducem totul într-un membru.
    n2+n−12=0\displaystyle n^2+n-12=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49. Rădăcinile sunt n=−1±72\displaystyle n=\dfrac{-1\pm 7}{2}, deci n=−4\displaystyle n=-4 sau n=3\displaystyle n=3.
    n=−4 sau n=3\displaystyle n=-4\text{ sau }n=3
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural și n≥2\displaystyle n\geq 2, valoarea −4\displaystyle -4 nu convine. Rămâne n=3\displaystyle n=3.
    n=3\displaystyle n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(2a−1,a2)\displaystyle A(2a-1,a^2), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care punctul A\displaystyle A aparține dreptei d\displaystyle d de ecuație y=x+4\displaystyle y=x+4.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A\displaystyle A aparține dreptei d\displaystyle d dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația y=x+4\displaystyle y=x+4. Aici x=2a−1\displaystyle x=2a-1 și y=a2\displaystyle y=a^{2}.
    x=2a−1\displaystyle x=2a-1,y=a2\displaystyle \quad y=a^{2}
  2. Înlocuim în y=x+4\displaystyle y=x+4 și obținem ecuația în a\displaystyle a.
    a2=2a−1+4\displaystyle a^{2}=2a-1+4
  3. Reducem termenii: 2a−1+4=2a+3\displaystyle 2a-1+4=2a+3. Mutăm totul în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea.
    a2−2a−3=0\displaystyle a^{2}-2a-3=0
  4. Calculăm discriminantul, cu coeficienții 1\displaystyle 1, −2\displaystyle -2, −3\displaystyle -3: Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16, deci Δ=4\displaystyle \sqrt{\Delta}=4.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16
  5. Aplicăm formula soluțiilor: a=2±42\displaystyle a=\dfrac{2\pm 4}{2}. Rezultă a=2−42=−1\displaystyle a=\dfrac{2-4}{2}=-1 și a=2+42=3\displaystyle a=\dfrac{2+4}{2}=3. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    a=−1 sau a=3\displaystyle a=-1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați cos⁡2x\displaystyle \cos 2x, știind că x\displaystyle x este număr real și sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\frac{12}{13}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula unghiului dublu pentru cosinus, exprimată doar cu sinus: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x. Această formulă ne convine pentru că ni se dă direct sin⁡x\displaystyle \sin x.
    cos⁡2x=1−2sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x
  2. Înlocuim sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\dfrac{12}{13} în formulă.
    cos⁡2x=1−2⋅(1213)2\displaystyle \cos 2x=1-2\cdot\left(\frac{12}{13}\right)^{2}
  3. Ridicăm fracția la pătrat: 122=144\displaystyle 12^{2}=144, iar 132=169\displaystyle 13^{2}=169.
    cos⁡2x=1−2⋅144169\displaystyle \cos 2x=1-2\cdot\frac{144}{169}
  4. Calculăm: 2⋅144=288\displaystyle 2\cdot 144=288, iar 1=169169\displaystyle 1=\dfrac{169}{169}. Scădem fracțiile: 169−288169\displaystyle \dfrac{169-288}{169}, deci rezultatul este negativ.
    cos⁡2x=169−288169=−119169\displaystyle \cos 2x=\frac{169-288}{169}=-\frac{119}{169}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11−21−21a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\a&1&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y−2z=1x−2y+z=2ax+y+z=3\displaystyle \begin{cases}x+y-2z=1\\x-2y+z=2\\ax+y+z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−9\displaystyle \det(A(1))=-9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei obținute: A(1)\displaystyle A(1) are ultima linie 1, 1, 1\displaystyle 1,\ 1,\ 1.
    A(1)=(11−21−21111)⇒det⁡(A(1))=∣11−21−21111∣\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\1&1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\1&1&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Mai întâi termenii cu semn plus: produsul de pe diagonala principală 1⋅(−2)⋅1\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot 1 și produsele de pe paralelele ei, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și (−2)⋅1⋅1\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 1.
    1⋅(−2)⋅1+1⋅1⋅1+(−2)⋅1⋅1=−2+1−2=−3\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot1+(-2)\cdot1\cdot1=-2+1-2=-3
  3. Apoi termenii cu semn minus: produsul de pe diagonala secundară (−2)⋅(−2)⋅1\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot 1 și produsele de pe paralelele ei, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    (−2)⋅(−2)⋅1+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1=4+1+1=6\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1=4+1+1=6
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: −3−6=−9\displaystyle -3-6=-9, deci det⁡(A(1))=−9\displaystyle \det(A(1))=-9.
    −2+(−2)+1−4−1−1=−9\displaystyle -2+(-2)+1-4-1-1=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11−21−21a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\a&1&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y−2z=1x−2y+z=2ax+y+z=3\displaystyle \begin{cases}x+y-2z=1\\x-2y+z=2\\ax+y+z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că suma elementelor matricei B(a)=A(a)⋅A(a)\displaystyle B(a)=A(a)\cdot A(a) nu depinde de numărul real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima linie a produsului B(a)=A(a)⋅A(a)\displaystyle B(a)=A(a)\cdot A(a): înmulțim linia 1 a lui A(a)\displaystyle A(a), adică (1, 1, −2)\displaystyle (1,\ 1,\ -2), pe rând cu coloanele (11a)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\a\end{pmatrix}, (1−21)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, (−211)\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}. Obținem b11=1+1−2a=2−2a\displaystyle b_{11}=1+1-2a=2-2a, b12=1−2−2=−3\displaystyle b_{12}=1-2-2=-3, b13=−2+1−2=−3\displaystyle b_{13}=-2+1-2=-3.
    (2−2a−3−3)\displaystyle \begin{pmatrix}2-2a&-3&-3\end{pmatrix}
  2. Pentru a doua linie folosim (1, −2, 1)\displaystyle (1,\ -2,\ 1): b21=1−2+a=a−1\displaystyle b_{21}=1-2+a=a-1, b22=1+4+1=6\displaystyle b_{22}=1+4+1=6, b23=−2−2+1=−3\displaystyle b_{23}=-2-2+1=-3.
    (a−16−3)\displaystyle \begin{pmatrix}a-1&6&-3\end{pmatrix}
  3. Pentru a treia linie folosim (a, 1, 1)\displaystyle (a,\ 1,\ 1): b31=a+1+a=2a+1\displaystyle b_{31}=a+1+a=2a+1, b32=a−2+1=a−1\displaystyle b_{32}=a-2+1=a-1, b33=−2a+1+1=−2a+2\displaystyle b_{33}=-2a+1+1=-2a+2.
    (2a+1a−1−2a+2)\displaystyle \begin{pmatrix}2a+1&a-1&-2a+2\end{pmatrix}
  4. Punem cele trei linii una sub alta și obținem matricea B(a)\displaystyle B(a).
    B(a)=(2−2a−3−3a−16−32a+1a−1−2a+2)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}2-2a&-3&-3\\a-1&6&-3\\2a+1&a-1&-2a+2\end{pmatrix}
  5. Adunăm elementele fiecărei linii. Linia 1: 2−2a−3−3=−2a−4\displaystyle 2-2a-3-3=-2a-4. Linia 2: a−1+6−3=a+2\displaystyle a-1+6-3=a+2. Linia 3: 2a+1+a−1−2a+2=a+2\displaystyle 2a+1+a-1-2a+2=a+2.
    (−2a−4,  a+2,  a+2)\displaystyle \left(-2a-4,\; a+2,\; a+2\right)
  6. Suma tuturor elementelor este S1+S2+S3=(−2a−4)+(a+2)+(a+2)=0\displaystyle S_1+S_2+S_3=(-2a-4)+(a+2)+(a+2)=0. Termenii cu a\displaystyle a se reduc, deci suma este 0\displaystyle 0 pentru orice a\displaystyle a real și nu depinde de a\displaystyle a.
    S=(−2a−4)+(a+2)+(a+2)=0\displaystyle S=(-2a-4)+(a+2)+(a+2)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11−21−21a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\a&1&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y−2z=1x−2y+z=2ax+y+z=3\displaystyle \begin{cases}x+y-2z=1\\x-2y+z=2\\ax+y+z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−2\displaystyle a=-2, arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=−2\displaystyle a=-2, a treia ecuație devine −2x+y+z=3\displaystyle -2x+y+z=3, deci sistemul este cel de mai jos.
    {x+y−2z=1x−2y+z=2−2x+y+z=3\displaystyle \begin{cases}x+y-2z=1\\x-2y+z=2\\-2x+y+z=3\end{cases}
  2. Adunăm cele trei ecuații membru cu membru: (x+y−2z)+(x−2y+z)+(−2x+y+z)=1+2+3\displaystyle (x+y-2z)+(x-2y+z)+(-2x+y+z)=1+2+3.
    (x+y−2z)+(x−2y+z)+(−2x+y+z)=1+2+3\displaystyle (x+y-2z)+(x-2y+z)+(-2x+y+z)=1+2+3
  3. În membrul stâng, coeficientul lui x\displaystyle x este 1+1−2=0\displaystyle 1+1-2=0, al lui y\displaystyle y este 1−2+1=0\displaystyle 1-2+1=0, iar al lui z\displaystyle z este −2+1+1=0\displaystyle -2+1+1=0. Deci membrul stâng este 0\displaystyle 0.
    0⋅x+0⋅y+0⋅z=0\displaystyle 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0
  4. Membrul drept este 1+2+3=6\displaystyle 1+2+3=6, deci obținem 0=6\displaystyle 0=6, ceea ce este fals. Dacă sistemul ar avea o soluție, ea ar verifica această egalitate, deci sistemul este incompatibil.
    0=6, fals, deci sistemul \displaystyle 0=6\text{, fals, deci sistemul }este incompatibil\displaystyle \text{este incompatibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+m(x+y)\displaystyle x*y=xy+m(x+y), unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că (−1)∗1=−1\displaystyle (-1)*1=-1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=xy+m(x+y)\displaystyle x*y=xy+m(x+y) și înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∗1=(−1)⋅1+m((−1)+1)\displaystyle (-1)*1=(-1)\cdot 1+m\left((-1)+1\right)
  2. Calculăm separat produsul (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1 și suma (−1)+1=0\displaystyle (-1)+1=0.
    (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1,(−1)+1=0\displaystyle \quad (-1)+1=0
  3. Înlocuim în expresie: m⋅0=0\displaystyle m\cdot 0=0, deci termenul cu m\displaystyle m dispare și rezultatul nu depinde de m\displaystyle m. Obținem că (−1)∗1=−1\displaystyle (-1)*1=-1 pentru orice număr real m\displaystyle m.
    (−1)∗1=−1+m⋅0=−1\displaystyle (-1)*1=-1+m\cdot 0=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+m(x+y)\displaystyle x*y=xy+m(x+y), unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că x∗y=(x+m)(y+m)−m2\displaystyle x*y=(x+m)(y+m)-m^2, pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiție: x∗y=xy+m(x+y)\displaystyle x*y=xy+m(x+y). Desfacem paranteza: x∗y=xy+mx+my\displaystyle x*y=xy+mx+my.
    x∗y=xy+mx+my\displaystyle x*y=xy+mx+my
  2. Adunăm și scădem m2\displaystyle m^{2}; valoarea expresiei nu se schimbă: x∗y=xy+mx+my+m2−m2\displaystyle x*y=xy+mx+my+m^{2}-m^{2}.
    x∗y=xy+mx+my+m2−m2\displaystyle x*y=xy+mx+my+m^{2}-m^{2}
  3. Grupăm: (xy+mx)+(my+m2)−m2\displaystyle (xy+mx)+(my+m^{2})-m^{2}. Dăm factor comun x\displaystyle x în prima paranteză și m\displaystyle m în a doua: x(y+m)+m(y+m)−m2\displaystyle x(y+m)+m(y+m)-m^{2}.
    x(y+m)+m(y+m)−m2\displaystyle x(y+m)+m(y+m)-m^{2}
  4. Dăm factor comun y+m\displaystyle y+m: x(y+m)+m(y+m)−m2=(x+m)(y+m)−m2\displaystyle x(y+m)+m(y+m)-m^{2}=(x+m)(y+m)-m^{2}. Așadar x∗y=(x+m)(y+m)−m2\displaystyle x*y=(x+m)(y+m)-m^{2} pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și m\displaystyle m.
    x∗y=(x+m)(y+m)−m2\displaystyle x*y=(x+m)(y+m)-m^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+m(x+y)\displaystyle x*y=xy+m(x+y), unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−1\displaystyle m=-1, determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 5x∗5x+1=−1\displaystyle 5^x*5^{x+1}=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1 legea devine x∗y=xy−x−y\displaystyle x*y=xy-x-y. Observăm că xy−x−y=(x−1)(y−1)−1\displaystyle xy-x-y=(x-1)(y-1)-1, deci legea se scrie în formă factorizată.
    x∗y=(x−1)(y−1)−1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)-1
  2. Aplicăm forma factorizată pentru 5x\displaystyle 5^x și 5x+1\displaystyle 5^{x+1} și scriem ecuația dată.
    (5x−1)(5x+1−1)−1=−1\displaystyle (5^{x}-1)(5^{x+1}-1)-1=-1
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem un produs egal cu zero. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
    (5x−1)(5x+1−1)=0⇔5x−1=0 sau 5x+1−1=0\displaystyle (5^{x}-1)(5^{x+1}-1)=0\Leftrightarrow 5^{x}-1=0\text{ sau }5^{x+1}-1=0
  4. Rezolvăm prima ecuație: 5x=1=50\displaystyle 5^{x}=1=5^{0}, deci x=0\displaystyle x=0.
    5x=1⇒x=0\displaystyle 5^{x}=1\Rightarrow x=0
  5. Rezolvăm a doua ecuație: 5x+1=1=50\displaystyle 5^{x+1}=1=5^{0}, deci x+1=0\displaystyle x+1=0, adică x=−1\displaystyle x=-1.
    5x+1=1⇒x=−1\displaystyle 5^{x+1}=1\Rightarrow x=-1
  6. Soluțiile ecuației sunt cele două valori găsite.
    x=0 sau x=−1\displaystyle x=0\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}.

Arătați că f′(x)=1−xx2\displaystyle f'(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția folosind puteri ale lui x\displaystyle x: 2x=2x−12\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-\frac{1}{2}} și 1x=x−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1}, deci f(x)=2x−12−x−1\displaystyle f(x)=2x^{-\frac{1}{2}}-x^{-1}.
    f(x)=2x−12−x−1\displaystyle f(x)=2x^{-\frac{1}{2}}-x^{-1}
  2. Derivăm cu formula (xn)′=n xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\,x^{n-1}. Avem (x−12)′=−12x−32\displaystyle \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} și (x−1)′=−x−2\displaystyle (x^{-1})'=-x^{-2}, deci f′(x)=2(x−12)′−(x−1)′=2⋅(−12)x−32+1x2\displaystyle f'(x)=2\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'-(x^{-1})'=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=2⋅(−12)x−32+1x2\displaystyle f'(x)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{x^{2}}
  3. Simplificăm: 2⋅(−12)=−1\displaystyle 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1 și x−32=1xx\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}, deci f′(x)=−1xx+1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1xx+1x2\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x2=xx⋅x\displaystyle x^{2}=x\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}. Amplificăm prima fracție cu x\displaystyle \sqrt{x}: −1xx=−xx2\displaystyle -\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=-\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}}. Atunci f′(x)=−xx2+1x2=1−xx2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1−xx2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci are sens să studiem comportarea ei spre +∞\displaystyle +\infty. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este un număr real. Calculăm această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(2x−1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\right)
  2. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem x→+∞\displaystyle \sqrt{x}\to+\infty, deci 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to 0. De asemenea, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0. Diferența celor doi termeni tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞2x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0,lim⁡x→+∞1x=0  ⇒  lim⁡x→+∞f(x)=0−0=0\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\;\Rightarrow\;\lim_{x\to+\infty}f(x)=0-0=0
  3. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=0\displaystyle y=0. Nu mai căutăm asimptotă oblică, deoarece există asimptotă orizontală.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}.

Calculați lim⁡x→1f′(x)x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu puteri: f(x)=2x−12−x−1\displaystyle f(x)=2x^{-\frac{1}{2}}-x^{-1}.
    f(x)=2x−12−x−1\displaystyle f(x)=2x^{-\frac{1}{2}}-x^{-1}
  2. Derivăm termen cu termen: f′(x)=−x−32+x−2=−1xx+1x2\displaystyle f'(x)=-x^{-\frac{3}{2}}+x^{-2}=-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}. Aducem la numitor comun x2\displaystyle x^{2} și obținem f′(x)=1−xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}}.
    f′(x)=1−xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}}
  3. Înlocuim derivata în limită: lim⁡x→1f′(x)x−1=lim⁡x→11−xx2(x−1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{f'(x)}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}(x-1)}. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→11−xx2(x−1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}(x-1)}
  4. Descompunem x−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1), adică o diferență de pătrate.
    lim⁡x→11−xx2(x−1)(x+1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^{2}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
  5. Observăm că 1−x=−(x−1)\displaystyle 1-\sqrt{x}=-(\sqrt{x}-1). Simplificăm factorul x−1\displaystyle \sqrt{x}-1, care este nenul pentru x≠1\displaystyle x\neq1.
    lim⁡x→1−1x2(x+1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{-1}{x^{2}(\sqrt{x}+1)}
  6. Numitorul nu se mai anulează pentru x=1\displaystyle x=1, deci înlocuim direct: −112⋅(1+1)=−12\displaystyle \dfrac{-1}{1^{2}\cdot(\sqrt{1}+1)}=\dfrac{-1}{2}.
    −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ex+m\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+e^x+m, unde m\displaystyle m este număr real, și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=ln⁡x+ex+4x+1\displaystyle F(x)=\ln x+e^x+4x+1.

Determinați numărul real m\displaystyle m astfel încât funcția F\displaystyle F să fie o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci calculăm mai întâi derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(ln⁡x+ex+4x+1)′\displaystyle F'(x)=\left(\ln x+e^x+4x+1\right)'
  2. Derivăm termen cu termen: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (4x)′=4\displaystyle (4x)'=4, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    F′(x)=1x+ex+4, x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=\frac{1}{x}+e^x+4\text{, }x\in(0,+\infty)
  3. Punem condiția F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Scriem egalitatea celor două expresii.
    1x+ex+4=1x+ex+m\displaystyle \frac{1}{x}+e^x+4=\frac{1}{x}+e^x+m
  4. Reducem termenii egali 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și ex\displaystyle e^x din ambii membri și obținem valoarea lui m\displaystyle m. Pentru m=4\displaystyle m=4 egalitatea are loc pentru orice x>0\displaystyle x>0, deci F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f.
    m=4\displaystyle m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ex+m\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+e^x+m, unde m\displaystyle m este număr real, și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=ln⁡x+ex+4x+1\displaystyle F(x)=\ln x+e^x+4x+1.

Pentru m=4\displaystyle m=4, calculați ∫1ef(x) dx\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=4\displaystyle m=4 funcția devine f(x)=1x+ex+4\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+e^{x}+4. Verificăm că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f: derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, derivata lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, derivata lui 4x\displaystyle 4x este 4\displaystyle 4, iar derivata lui 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    F′(x)=1x+ex+4=f(x)\displaystyle F'(x)=\dfrac{1}{x}+e^{x}+4=f(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1ef(x) dx=F(x)∣1e=F(e)−F(1)\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=F(x)\Big|_1^e=F(e)-F(1).
    ∫1ef(x) dx=F(e)−F(1)\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=F(e)-F(1)
  3. Calculăm F(e)\displaystyle F(e), folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1: F(e)=ln⁡e+ee+4e+1\displaystyle F(e)=\ln e+e^{e}+4e+1.
    F(e)=ee+4e+2\displaystyle F(e)=e^{e}+4e+2
  4. Calculăm F(1)\displaystyle F(1), folosind ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și e1=e\displaystyle e^{1}=e: F(1)=ln⁡1+e1+4⋅1+1\displaystyle F(1)=\ln 1+e^{1}+4\cdot 1+1.
    F(1)=e+5\displaystyle F(1)=e+5
  5. Scădem cele două valori: F(e)−F(1)=ee+4e+2−(e+5)\displaystyle F(e)-F(1)=e^{e}+4e+2-(e+5). Reducem termenii asemenea: 4e−e=3e\displaystyle 4e-e=3e și 2−5=−3\displaystyle 2-5=-3.
    ∫1ef(x) dx=ee+3e−3\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=e^{e}+3e-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ex+m\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+e^x+m, unde m\displaystyle m este număr real, și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=ln⁡x+ex+4x+1\displaystyle F(x)=\ln x+e^x+4x+1.

Pentru m=0\displaystyle m=0, calculați ∫12xf(x) dx\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=0\displaystyle m=0 avem f(x)=1x+ex\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+e^{x}. Înmulțim cu x\displaystyle x și simplificăm: xf(x)=x⋅1x+xex=1+xex\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{1}{x}+xe^{x}=1+xe^{x}.
    ∫12xf(x) dx=∫12(1+xex)dx\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx=\int_1^2\left(1+xe^{x}\right)dx
  2. Separăm integrala în suma a două integrale: ∫121 dx+∫12xex dx\displaystyle \int_1^2 1\,dx+\int_1^2 xe^{x}\,dx. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫121 dx=x∣12=1\displaystyle \int_1^2 1\,dx=x\Big|_1^2=1
  3. Pentru ∫xex dx\displaystyle \int xe^{x}\,dx integrăm prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int e^{x}\,dx=xe^{x}-e^{x}+C=(x-1)e^{x}+C
  4. Adunăm primitivele și obținem primitiva x+(x−1)ex\displaystyle x+(x-1)e^{x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(1+xex)dx=(x+(x−1)ex)∣12\displaystyle \int_1^2\left(1+xe^{x}\right)dx=\left(x+(x-1)e^{x}\right)\Big|_1^2
  5. Calculăm valorile la capete: la x=2\displaystyle x=2 obținem 2+(2−1)e2=2+e2\displaystyle 2+(2-1)e^{2}=2+e^{2}, iar la x=1\displaystyle x=1 obținem 1+0⋅e=1\displaystyle 1+0\cdot e=1. Facem diferența.
    2+e2−1=e2+1\displaystyle 2+e^{2}-1=e^{2}+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.