Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=2\displaystyle a_1=2 și a2=1\displaystyle a_2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. Calculăm rația din primii doi termeni: r=a2−a1=1−2\displaystyle r=a_2-a_1=1-2.
    r=a2−a1=1−2=−1\displaystyle r=a_2-a_1=1-2=-1
  2. Al treilea termen se obține adunând rația la al doilea termen: a3=a2+r=1+(−1)\displaystyle a_3=a_2+r=1+(-1).
    a3=a2+r=1+(−1)=0\displaystyle a_3=a_2+r=1+(-1)=0
  3. Primii trei termeni sunt 2\displaystyle 2, 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0. Produsul lor conține factorul 0\displaystyle 0, deci a1⋅a2⋅a3=2⋅1⋅0\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot a_3=2\cdot 1\cdot 0.
    a1⋅a2⋅a3=2⋅1⋅0=0\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot a_3=2\cdot 1\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care x2−2x−m>0\displaystyle x^2-2x-m>0, oricare ar fi x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că trinomul x2−2x−m\displaystyle x^2-2x-m are coeficientul dominant a=1>0\displaystyle a=1>0, deci parabola este orientată în sus. Atunci trinomul este pozitiv pentru orice x\displaystyle x real exact când nu are rădăcini reale, adică atunci când Δ<0\displaystyle \Delta<0.
    Δ<0\displaystyle \Delta<0
  2. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−m\displaystyle c=-m. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−m)\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-m).
    Δ=4+4m\displaystyle \Delta=4+4m
  3. Impunem condiția Δ<0\displaystyle \Delta<0, adică 4+4m<0\displaystyle 4+4m<0.
    Δ=4+4m<0\displaystyle \Delta=4+4m<0
  4. Rezolvăm inecuația: 4m<−4\displaystyle 4m<-4, deci m<−1\displaystyle m<-1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1 avem Δ=0\displaystyle \Delta=0, deci trinomul se anulează în x=1\displaystyle x=1 și nu este strict pozitiv, așa că −1\displaystyle -1 nu convine.
    m∈(−∞,−1)\displaystyle m\in(-\infty,-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x+log⁡2(x−1)=log⁡212\displaystyle \log_2 x+\log_2(x-1)=\log_2 12.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x>0\displaystyle x>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0. Rezultă x>1\displaystyle x>1.
    x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty)
  2. Folosim formula pentru suma logaritmilor: log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab). Ecuația devine log⁡2(x(x−1))=log⁡212\displaystyle \log_2\left(x(x-1)\right)=\log_2 12.
    log⁡2(x(x−1))=log⁡212\displaystyle \log_2\left(x(x-1)\right)=\log_2 12
  3. Logaritmul în baza 2 este injectiv, deci argumentele sunt egale: x(x−1)=12\displaystyle x(x-1)=12. Desfacem parantezele și obținem ecuația de gradul al doilea x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0.
    x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49. Rădăcinile sunt x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}, deci x=4\displaystyle x=4 sau x=−3\displaystyle x=-3.
    x=−3 sau x=4\displaystyle x=-3\text{ sau }x=4
  5. Verificăm condiția x>1\displaystyle x>1. Valoarea 4\displaystyle 4 o satisface, deci convine. Valoarea −3\displaystyle -3 nu o satisface, deoarece logaritmii nu ar exista, deci nu convine. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x=4 convine, x=−3 nu convine\displaystyle x=4\text{ convine, }x=-3\text{ nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Produsul cifrelor este 3\displaystyle 3, iar 3\displaystyle 3 este număr prim. Deci cifrele sunt 3\displaystyle 3, 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, în orice ordine, fiindcă nicio cifră nu poate fi 0\displaystyle 0.
    {3,1,1}\displaystyle \{3,1,1\}
  3. Cifra 3\displaystyle 3 poate fi pe locul sutelor, al zecilor sau al unităților. Numerele sunt 311\displaystyle 311, 131\displaystyle 131 și 113\displaystyle 113, deci avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    3 cazuri favorabile\displaystyle 3\text{ cazuri favorabile}
  4. Numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci numărul lor este 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900.
    900 cazuri posibile\displaystyle 900\text{ cazuri posibile}
  5. Înlocuim în formulă: p=3900\displaystyle p=\dfrac{3}{900}, iar după simplificare prin 3\displaystyle 3 obținem p=1300\displaystyle p=\dfrac{1}{300}.
    p=3900=1300\displaystyle p=\frac{3}{900}=\frac{1}{300}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Calculați a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}, știind că ∣a⃗∣=2\displaystyle |\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3\displaystyle |\vec{b}|=3 și unghiul vectorilor a⃗\displaystyle \vec{a} și b⃗\displaystyle \vec{b} are măsura π3\displaystyle \frac{\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția produsului scalar: produsul lungimilor celor doi vectori înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ei, adică a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡∠(a⃗,b⃗)\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a},\vec{b}).
    a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡∠(a⃗,b⃗)\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a},\vec{b})
  2. Înlocuim ∣a⃗∣=2\displaystyle |\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3\displaystyle |\vec{b}|=3 și unghiul π3\displaystyle \frac{\pi}{3}, iar cos⁡π3=12\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.
    a⃗⋅b⃗=2⋅3⋅cos⁡π3=2⋅3⋅12\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 3\cdot\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot 3\cdot\frac{1}{2}
  3. Efectuăm calculul: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, iar 6⋅12=3\displaystyle 6\cdot\frac{1}{2}=3.
    a⃗⋅b⃗=3\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(0,1)\displaystyle B(0,1) și C(3,1)\displaystyle C(3,1). Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele B(0,1)\displaystyle B(0,1) și C(3,1)\displaystyle C(3,1) au aceeași ordonată, deci BC∥Ox\displaystyle BC\parallel Ox. Înălțimea din A\displaystyle A este perpendiculară pe BC\displaystyle BC, deci este verticală și ortocentrul H\displaystyle H are aceeași abscisă ca A\displaystyle A.
    BC∥Ox, deci xH=xA=1\displaystyle BC\parallel Ox\text{, deci }x_H=x_A=1
  2. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC cu formula mAC=yC−yAxC−xA\displaystyle m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}.
    mAC=1−33−1=−22=−1\displaystyle m_{AC}=\frac{1-3}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1
  3. Înălțimea din B\displaystyle B este perpendiculară pe AC\displaystyle AC, deci mBH⋅mAC=−1\displaystyle m_{BH}\cdot m_{AC}=-1. Cum H(1,yH)\displaystyle H(1,y_H) și B(0,1)\displaystyle B(0,1), avem mBH=yH−11−0=yH−11\displaystyle m_{BH}=\dfrac{y_H-1}{1-0}=\dfrac{y_H-1}{1}. Condiția devine o ecuație în yH\displaystyle y_H.
    BH⊥AC⇒mBH⋅mAC=−1⇒yH−11⋅−22=−1\displaystyle BH\perp AC\Rightarrow m_{BH}\cdot m_{AC}=-1\Rightarrow\frac{y_H-1}{1}\cdot\frac{-2}{2}=-1
  4. Simplificăm: −(yH−1)=−1\displaystyle -(y_H-1)=-1, deci yH−1=1\displaystyle y_H-1=1, de unde yH=2\displaystyle y_H=2. Ortocentrul are coordonatele (1,2)\displaystyle (1,2).
    yH=2, deci H(1,2)\displaystyle y_H=2\text{, deci }H(1,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru n\displaystyle n număr natural se consideră matricea A=(0012n+1n12n2+1n21).A=\begin{pmatrix}0&0&1\\2n+1&n&1\\2n^2+1&n^2&1\end{pmatrix}.

Calculați suma elementelor matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Elementele matricei A\displaystyle A sunt: prima linie 0, 0, 1\displaystyle 0,\ 0,\ 1; a doua linie 2n+1, n, 1\displaystyle 2n+1,\ n,\ 1; a treia linie 2n2+1, n2, 1\displaystyle 2n^{2}+1,\ n^{2},\ 1. Suma lor este suma celor nouă elemente; zerourile nu contribuie.
    S=0+0+1+(2n+1)+n+1+(2n2+1)+n2+1\displaystyle S=0+0+1+(2n+1)+n+1+(2n^{2}+1)+n^{2}+1
  2. Grupăm termenii asemenea: termenii cu n2\displaystyle n^{2}, termenii cu n\displaystyle n și termenii liberi.
    S=(2n2+n2)+(2n+n)+(1+1+1+1+1)\displaystyle S=(2n^{2}+n^{2})+(2n+n)+(1+1+1+1+1)
  3. Reducem termenii asemenea: 2n2+n2=3n2\displaystyle 2n^{2}+n^{2}=3n^{2}, 2n+n=3n\displaystyle 2n+n=3n, iar suma termenilor liberi este 5\displaystyle 5. Suma elementelor matricei este 3n2+3n+5\displaystyle 3n^{2}+3n+5.
    S=3n2+3n+5\displaystyle S=3n^{2}+3n+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru n\displaystyle n număr natural se consideră matricea A=(0012n+1n12n2+1n21).A=\begin{pmatrix}0&0&1\\2n+1&n&1\\2n^2+1&n^2&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care matricea A\displaystyle A are determinantul diferit de zero.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după prima linie (0,0,1)\displaystyle (0,0,1). Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, aflat pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3), cu semnul (−1)1+3=+1\displaystyle (-1)^{1+3}=+1. Rămâne minorul format din liniile 2 și 3 și coloanele 1 și 2.
    det⁡A=∣2n+1n2n2+1n2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2n+1&n\\2n^{2}+1&n^{2}\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2 ca produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară: (2n+1)n2−n(2n2+1)\displaystyle (2n+1)n^{2}-n(2n^{2}+1).
    det⁡A=(2n+1)n2−n(2n2+1)=2n3+n2−2n3−n\displaystyle \det A=(2n+1)n^{2}-n(2n^{2}+1)=2n^{3}+n^{2}-2n^{3}-n
  3. Reducem termenii asemenea: 2n3\displaystyle 2n^{3} se anulează cu −2n3\displaystyle -2n^{3} și obținem determinantul matricei.
    det⁡A=n2−n\displaystyle \det A=n^{2}-n
  4. Cerem det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0, adică n2−n≠0\displaystyle n^{2}-n\neq 0. Descompunem în factori: n(n−1)≠0\displaystyle n(n-1)\neq 0. Un produs este nenul doar dacă ambii factori sunt nenuli, deci n≠0\displaystyle n\neq 0 și n≠1\displaystyle n\neq 1.
    n(n−1)≠0  ⟺  n≠0 și n≠1\displaystyle n(n-1)\neq 0\iff n\neq 0\text{ și }n\neq 1
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural, excludem valorile 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Rămân toate numerele naturale mai mari sau egale cu 2\displaystyle 2.
    n∈N∖{0,1}\displaystyle n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru n\displaystyle n număr natural se consideră matricea A=(0012n+1n12n2+1n21).A=\begin{pmatrix}0&0&1\\2n+1&n&1\\2n^2+1&n^2&1\end{pmatrix}.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și An(2n+1,n)\displaystyle A_n(2n+1,n), n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\ge 2. Determinați valorile numărului natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, pentru care aria triunghiului OAnAn2\displaystyle OA_nA_{n^2} este egală cu n2−3\displaystyle n^2-3.
Vezi rezolvarea
  1. Aria triunghiului OAnAn2\displaystyle OA_nA_{n^2} este A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}|\Delta|, unde Δ\displaystyle \Delta este determinantul coordonatelor vârfurilor, completat cu coloana de 1. Acesta este determinantul matricei A\displaystyle A din enunțul comun.
    A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}|\Delta|,Δ=∣0012n+1n12n2+1n21∣\displaystyle \quad \Delta=\begin{vmatrix}0&0&1\\2n+1&n&1\\2n^2+1&n^2&1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are un singur element nenul, egal cu 1\displaystyle 1. Obținem Δ=(2n+1)n2−n(2n2+1)\displaystyle \Delta=(2n+1)n^2-n(2n^2+1).
    Δ=(2n+1)n2−n(2n2+1)=2n3+n2−2n3−n=n2−n\displaystyle \Delta=(2n+1)n^2-n(2n^2+1)=2n^3+n^2-2n^3-n=n^2-n
  3. Pentru n≥2\displaystyle n\ge 2 avem n2−n=n(n−1)>0\displaystyle n^2-n=n(n-1)>0, deci modulul nu schimbă expresia. Aria este n2−n2\displaystyle \dfrac{n^2-n}{2}.
    A=n2−n2\displaystyle \mathcal{A}=\frac{n^2-n}{2}
  4. Egalăm aria cu n2−3\displaystyle n^2-3: n2−n2=n2−3\displaystyle \dfrac{n^2-n}{2}=n^2-3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n2−n=2n2−6\displaystyle n^2-n=2n^2-6, adică n2+n−6=0\displaystyle n^2+n-6=0. Cum (n−2)(n+3)=0\displaystyle (n-2)(n+3)=0, rădăcinile sunt 2\displaystyle 2 și −3\displaystyle -3.
    n2+n−6=0⇒n=2 sau n=−3\displaystyle n^2+n-6=0\Rightarrow n=2\text{ sau }n=-3
  5. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\ge 2, valoarea −3\displaystyle -3 nu convine. Rămâne n=2\displaystyle n=2. Verificare: aria este 4−22=1\displaystyle \dfrac{4-2}{2}=1, iar n2−3=1\displaystyle n^2-3=1.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∘y=x+ay+1\displaystyle x\circ y=x+ay+1, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=1\displaystyle a=1 calculați 2011∘2012\displaystyle 2011\circ 2012.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1, legea de compoziție devine x∘y=x+y+1\displaystyle x\circ y=x+y+1.
    x∘y=x+y+1\displaystyle x\circ y=x+y+1
  2. Înlocuim x=2011\displaystyle x=2011 și y=2012\displaystyle y=2012 în definiția legii.
    2011∘2012=2011+2012+1\displaystyle 2011\circ 2012=2011+2012+1
  3. Adunăm: 2011+2012=4023\displaystyle 2011+2012=4023, apoi adăugăm 1\displaystyle 1 și obținem 4024\displaystyle 4024.
    2011∘2012=4024\displaystyle 2011\circ 2012=4024
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∘y=x+ay+1\displaystyle x\circ y=x+ay+1, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z) pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Calculăm mai întâi (x∘y)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z. Avem x∘y=x+ay+1\displaystyle x\circ y=x+ay+1, pe care îl punem în locul primului argument în definiția legii.
    (x∘y)∘z=(x+ay+1)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+ay+1)\circ z
  2. Aplicăm definiția u∘z=u+az+1\displaystyle u\circ z=u+az+1 pentru u=x+ay+1\displaystyle u=x+ay+1 și reducem termenii constanți: (x+ay+1)+az+1=x+ay+az+2\displaystyle (x+ay+1)+az+1=x+ay+az+2.
    (x∘y)∘z=x+ay+az+2 pentru orice x\displaystyle (x\circ y)\circ z=x+ay+az+2\text{ pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  3. Calculăm acum x∘(y∘z)\displaystyle x\circ(y\circ z). Avem y∘z=y+az+1\displaystyle y\circ z=y+az+1, care devine al doilea argument: x∘(y∘z)=x+a(y+az+1)+1\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+a(y+az+1)+1.
    x∘(y∘z)=x+a(y+az+1)+1\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+a(y+az+1)+1
  4. Desfacem parantezele: x+ay+a2z+a+1\displaystyle x+ay+a^2z+a+1.
    x∘(y∘z)=x+ay+a2z+a+1 pentru orice x\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+ay+a^2z+a+1\text{ pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  5. Impunem x+ay+az+2=x+ay+a2z+a+1\displaystyle x+ay+az+2=x+ay+a^2z+a+1 pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z. Termenii x\displaystyle x și ay\displaystyle ay se reduc și obținem az+2=a2z+a+1\displaystyle az+2=a^2z+a+1, adică (a−a2)z+1−a=0\displaystyle (a-a^2)z+1-a=0.
    (a−a2)z+1−a=0 pentru orice z∈R\displaystyle (a-a^{2})z+1-a=0\text{ pentru orice }z\in\mathbb{R}
  6. Egalitatea are loc pentru orice z\displaystyle z doar dacă a−a2=0\displaystyle a-a^2=0 și 1−a=0\displaystyle 1-a=0. A doua condiție dă a=1\displaystyle a=1, care verifică și prima: 1−12=0\displaystyle 1-1^2=0. Deci legea este asociativă exact pentru a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∘y=x+ay+1\displaystyle x\circ y=x+ay+1, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=−1\displaystyle a=-1 rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x∘2x=1\displaystyle 4^x\circ 2^x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=−1\displaystyle a=-1 legea devine x∘y=x−y+1\displaystyle x\circ y=x-y+1. Aplicăm legea pentru 4x\displaystyle 4^x și 2x\displaystyle 2^x și obținem ecuația 4x−2x+1=1\displaystyle 4^x-2^x+1=1.
    4x−2x+1=1\displaystyle 4^x-2^x+1=1
  2. Reducem termenii liberi și scriem 4x=(2x)2\displaystyle 4^x=\left(2^x\right)^2, deci ecuația devine (2x)2−2x=0\displaystyle \left(2^x\right)^2-2^x=0.
    (2x)2−2x=0\displaystyle \left(2^x\right)^2-2^x=0
  3. Facem substituția 2x=t\displaystyle 2^x=t, cu t>0\displaystyle t>0, și obținem ecuația t2−t=0\displaystyle t^2-t=0.
    t2−t=0\displaystyle t^2-t=0
  4. Dăm factor comun: t(t−1)=0\displaystyle t(t-1)=0, deci t=0\displaystyle t=0 sau t=1\displaystyle t=1.
    t=0 sau t=1\displaystyle t=0\text{ sau }t=1
  5. Cum t=2x>0\displaystyle t=2^x>0, soluția t=0\displaystyle t=0 nu convine. Rămâne t=1\displaystyle t=1.
    t=1\displaystyle t=1
  6. Revenim la x\displaystyle x: 2x=1=20\displaystyle 2^x=1=2^0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln x.

Arătați că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=32\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 2\displaystyle 2, deoarece f\displaystyle f este definită în 2\displaystyle 2 și raportul este raportul incrementelor. Deci limita este f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Funcția f\displaystyle f este suma dintre x\displaystyle x și ln⁡x\displaystyle \ln x, ambele derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    (x)′=1\displaystyle (x)'=1,(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Adunăm derivatele și obținem expresia derivatei lui f\displaystyle f, valabilă pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=(x+ln⁡x)′=1+1x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=(x+\ln x)'=1+\frac{1}{x}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în expresia derivatei: f′(2)=1+12=32\displaystyle f'(2)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}. Deci limita cerută este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    f′(2)=1+12=32\displaystyle f'(2)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 și folosind ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0: f(1)=1+ln⁡1=1+0=1\displaystyle f(1)=1+\ln 1=1+0=1.
    f(1)=1+ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1+\ln 1=1
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, deci f′(x)=1+1x\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1+1x\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=1+11=2\displaystyle f'(1)=1+\dfrac{1}{1}=2. Deci f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=2\displaystyle f'(1)=2.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=2\displaystyle \ f'(1)=2
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−1=2(x−1)\displaystyle y-1=2(x-1). Desfacem parantezele: y−1=2x−2\displaystyle y-1=2x-2, de unde y=2x−1\displaystyle y=2x-1.
    y=2x−1\displaystyle y=2x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este concavă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1+1x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată. Scriem 1x=x−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1}, a cărui derivată este −x−2=−1x2\displaystyle -x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′′(x)=−1x2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  3. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0, iar cu minus în față obținem o valoare strict negativă.
    f′′(x)=−1x2<0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Deoarece derivata a doua este negativă pe întregul interval (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este concavă pe acest interval.
    f este concava˘ pe (0,+∞)\displaystyle f\text{ este concavă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:R→R\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fn(x)=(x+n)ex\displaystyle f_n(x)=(x+n)e^x.

Calculați ∫01f1(x) dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem f1(x)=(x+1)ex\displaystyle f_1(x)=(x+1)e^x, deci trebuie calculată integrala ∫01(x+1)ex dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x\,dx.
    ∫01f1(x) dx=∫01(x+1)ex dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx=\int_0^1 (x+1)e^x\,dx
  2. Integrăm prin părți și alegem u=x+1\displaystyle u=x+1, dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x+1\displaystyle u=x+1,v=ex\displaystyle \quad v=e^x,du=dx\displaystyle \quad du=dx
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du și obținem:
    ∫01f1(x) dx=(x+1)ex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx=(x+1)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. O primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci putem scrie totul sub o singură evaluare.
    ((x+1)ex−ex)∣01=xex∣01\displaystyle \left((x+1)e^x-e^x\right)\Big|_0^1=xe^x\Big|_0^1
  5. Evaluăm: în x=1\displaystyle x=1 obținem 1⋅e=e\displaystyle 1\cdot e=e, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0⋅e0=0\displaystyle 0\cdot e^0=0. Diferența este e−0=e\displaystyle e-0=e.
    ∫01f1(x) dx=e\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:R→R\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fn(x)=(x+n)ex\displaystyle f_n(x)=(x+n)e^x.

Arătați că funcția f2011\displaystyle f_{2011} este o primitivă a funcției f2012\displaystyle f_{2012}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca f2011\displaystyle f_{2011} să fie primitivă a lui f2012\displaystyle f_{2012} pe R\displaystyle \mathbb{R}, trebuie ca f2011\displaystyle f_{2011} să fie derivabilă și f2011′=f2012\displaystyle f_{2011}'=f_{2012}. Avem f2011(x)=(x+2011)ex\displaystyle f_{2011}(x)=(x+2011)e^x și f2012(x)=(x+2012)ex\displaystyle f_{2012}(x)=(x+2012)e^x.
    f2011(x)=(x+2011)ex\displaystyle f_{2011}(x)=(x+2011)e^x,f2012(x)=(x+2012)ex\displaystyle \quad f_{2012}(x)=(x+2012)e^x
  2. Funcția f2011\displaystyle f_{2011} este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind produs de funcții derivabile. Aplicăm regula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv' cu u=x+2011\displaystyle u=x+2011 și v=ex\displaystyle v=e^x, unde u′=1\displaystyle u'=1 și v′=ex\displaystyle v'=e^x.
    f2011′(x)=((x+2011)ex)′=ex+(x+2011)ex\displaystyle f_{2011}'(x)=\left((x+2011)e^x\right)'=e^x+(x+2011)e^x
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^x și adunăm: 1+x+2011=x+2012\displaystyle 1+x+2011=x+2012.
    f2011′(x)=ex(1+x+2011)=(x+2012)ex\displaystyle f_{2011}'(x)=e^x(1+x+2011)=(x+2012)e^x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Rezultatul obținut este exact f2012(x)\displaystyle f_{2012}(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f2011′=f2012\displaystyle f_{2011}'=f_{2012}. Prin urmare, f2011\displaystyle f_{2011} este o primitivă a funcției f2012\displaystyle f_{2012}.
    f2011′=f2012\displaystyle f_{2011}'=f_{2012}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:R→R\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fn(x)=(x+n)ex\displaystyle f_n(x)=(x+n)e^x.

Demonstrați că ∫01fn(x) dx≥9n+56\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\ge\frac{9n+5}{6}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, folosind eventual inegalitatea ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1, adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] și n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* avem x+n>0\displaystyle x+n>0. Înmulțim inegalitatea ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1 cu x+n\displaystyle x+n, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează.
    (x+n)ex≥(x+n)(x+1), pentru orice x∈[0,1] și n∈N∗\displaystyle (x+n)e^x\ge(x+n)(x+1)\text{, pentru orice }x\in[0,1]\text{ și }n\in\mathbb{N}^*
  2. Integrăm inegalitatea pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]. Integrala păstrează inegalitățile dintre funcții continue, deci obținem:
    ∫01(x+n)ex dx≥∫01(x+n)(x+1) dx\displaystyle \int_0^1(x+n)e^x\,dx\ge\int_0^1(x+n)(x+1)\,dx
  3. Desfacem parantezele din polinomul de sub integrala din dreapta: (x+n)(x+1)=x2+x+nx+n\displaystyle (x+n)(x+1)=x^2+x+nx+n, adică grupat după puteri ale lui x\displaystyle x:
    (x+n)(x+1)=x2+(n+1)x+n\displaystyle (x+n)(x+1)=x^2+(n+1)x+n
  4. Aflăm o primitivă a polinomului, integrând termen cu termen, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton:
    ∫01(x+n)(x+1) dx=(x33+(n+1)x22+nx)∣01\displaystyle \int_0^1(x+n)(x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+(n+1)\frac{x^2}{2}+nx\right)\Big|_0^1
  5. Calculăm valoarea în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și le scădem. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0. Aducem la numitorul comun 6\displaystyle 6: 13+n+12+n=2+3n+3+6n6\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{n+1}{2}+n=\dfrac{2+3n+3+6n}{6}.
    ∫01(x+n)(x+1) dx=13+n+12+n=9n+56\displaystyle \int_0^1(x+n)(x+1)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{n+1}{2}+n=\frac{9n+5}{6}
  6. Combinăm inegalitatea dintre integrale cu valoarea calculată. Cum fn(x)=(x+n)ex\displaystyle f_n(x)=(x+n)e^x, obținem concluzia cerută, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    ∫01fn(x) dx≥9n+56\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\ge\frac{9n+5}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.