Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=4−3i\displaystyle z_1 = 4-3i și z2=1−2i\displaystyle z_2 = 1-2i. Arătați că z1+3iz2=10\displaystyle z_1 + 3iz_2 = 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia z1+3iz2\displaystyle z_1 + 3i z_2 și se înlocuiesc z1\displaystyle z_1 și z2\displaystyle z_2 cu valorile date.
    z1+3iz2=(4−3i)+3i(1−2i)\displaystyle z_1+3iz_2 = (4-3i)+3i(1-2i)
  2. Se desface paranteza, distribuind 3i\displaystyle 3i în (1−2i)\displaystyle (1-2i).
    z1+3iz2=4−3i+3i−6i2\displaystyle z_1+3iz_2 = 4-3i+3i-6i^2
  3. Se folosește faptul că i2=−1\displaystyle i^{2} = -1, deci −6i2\displaystyle -6i^{2} devine +6\displaystyle +6.
    4−3i+3i−6⋅(−1)=4−3i+3i+6\displaystyle 4-3i+3i-6\cdot(-1) = 4-3i+3i+6
  4. Se grupează partea reală și partea imaginară: termenii −3i\displaystyle -3i și +3i\displaystyle +3i se anulează reciproc, iar termenii reali 4\displaystyle 4 și 6\displaystyle 6 se adună.
    (4+6)+(−3i+3i)=4+6\displaystyle (4+6)+(-3i+3i) = 4+6
  5. Se efectuează adunarea finală, obținând rezultatul cerut.
    z1+3iz2=4+6=10\displaystyle z_1+3iz_2 = 4+6 = 10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3−x\displaystyle f(x)=3-x și g:R→R\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x+1\displaystyle g(x)=2x+1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=3a+g(3)\displaystyle f(a)=3a+g(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției g\displaystyle g în punctul 3\displaystyle 3, folosind formula g(x)=2x+1\displaystyle g(x)=2x+1.
    g(3)=2⋅3+1=7\displaystyle g(3)=2\cdot 3+1=7
  2. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul a\displaystyle a, folosind formula f(x)=3−x\displaystyle f(x)=3-x.
    f(a)=3−a\displaystyle f(a)=3-a
  3. Se scrie ecuația dată, înlocuind f(a)\displaystyle f(a) și g(3)\displaystyle g(3) cu valorile calculate anterior.
    3−a=3a+7\displaystyle 3-a=3a+7
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută, grupând termenii cu a\displaystyle a într-o parte și constantele în cealaltă parte.
    3−7=3a+a⇒−4=4a\displaystyle 3-7=3a+a\Rightarrow -4=4a
  5. Se împarte prin 4\displaystyle 4 și se obține valoarea lui a\displaystyle a, confirmând soluția ecuației.
    3−a=3a+7⇒a=−1\displaystyle 3-a=3a+7\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4)=log⁡4x+log⁡45\displaystyle \log_4(x^2+4) = \log_4 x + \log_4 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență ale logaritmilor: argumentul x\displaystyle x trebuie să fie strict pozitiv (iar x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0 este adevărat pentru orice x\displaystyle x real).
    x>0\displaystyle x>0
  2. Se folosește proprietatea log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\displaystyle \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a}(bc) pentru a scrie suma din membrul drept ca un singur logaritm.
    log⁡4x+log⁡45=log⁡4(5x)\displaystyle \log_4 x + \log_4 5 = \log_4(5x)
  3. Ecuația devine egalitate între doi logaritmi cu aceeași bază, deci argumentele trebuie să fie egale; se obține ecuația algebrică asociată.
    log⁡4(x2+4)=log⁡4(5x)⇒x2−5x+4=0\displaystyle \log_4(x^2+4) = \log_4(5x) \Rightarrow x^2-5x+4=0
  4. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula radicalilor sau descompunerea în factori.
    x2−5x+4=(x−1)(x−4)=0⇒x1=1\displaystyle x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x_1=1, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  5. Se verifică soluțiile obținute cu condiția de existență x>0\displaystyle x>0; ambele valori sunt pozitive, deci sunt soluții valide ale ecuației inițiale.
    x=1 sau x=4, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină mulțimea numerelor naturale de două cifre: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul total de cazuri posibile este 90\displaystyle 90.
    90 de cazuri posibile\displaystyle \text{90 de cazuri posibile}
  2. Se notează numărul de două cifre ca ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor (a∈{1,...,9}\displaystyle a\in\{1,...,9\}) și b\displaystyle b cifra unităților (b∈{0,...,9}\displaystyle b\in\{0,...,9\}). Se pune condiția ca produsul cifrelor să fie egal cu 4\displaystyle 4, adică a⋅b=4\displaystyle a\cdot b=4.
    a⋅b=4\displaystyle a\cdot b=4, a∈{1,...,9}\displaystyle \ a\in\{1,...,9\}, b∈{0,...,9}\displaystyle \ b\in\{0,...,9\}
  3. Se identifică toate perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de cifre care satisfac a⋅b=4\displaystyle a\cdot b=4: (1,4)\displaystyle (1,4), (2,2)\displaystyle (2,2), (4,1)\displaystyle (4,1).
    (a,b)∈{(1,4),(2,2),(4,1)}\displaystyle (a,b)\in\{(1,4),(2,2),(4,1)\}
  4. Se scriu numerele de două cifre corespunzătoare acestor perechi de cifre.
    14\displaystyle 14, 22\displaystyle \ 22, 41\displaystyle \ 41
  5. Se numără câte numere satisfac condiția, obținând numărul de cazuri favorabile.
    3 cazuri favorabile\displaystyle 3\text{ cazuri favorabile}
  6. Se calculează probabilitatea ca raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul total de cazuri posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=390=130\displaystyle p = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,8)\displaystyle A(2,8), B(0,4)\displaystyle B(0,4) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că segmentele OA\displaystyle OA și BC\displaystyle BC au același mijloc.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează mijlocul segmentului OA\displaystyle OA folosind formula mijlocului: M(xO+xA2,yO+yA2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_O+x_A}{2},\dfrac{y_O+y_A}{2}\right), unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(2,8)\displaystyle A(2,8).
    M(0+22,0+82)=M(1,4)\displaystyle M\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{0+8}{2}\right)=M(1,4)
  2. Se scrie mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, folosind coordonatele lui B(0,4)\displaystyle B(0,4) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), notându-l cu N\displaystyle N.
    N(0+a2,4+b2)\displaystyle N\left(\dfrac{0+a}{2},\dfrac{4+b}{2}\right)
  3. Se pune condiția ca cele două segmente să aibă același mijloc, adică M=N\displaystyle M=N, obținându-se sistemul de ecuații pentru a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    a2=1 și 4+b2=4\displaystyle \dfrac{a}{2}=1\text{ și }\dfrac{4+b}{2}=4
  4. Se rezolvă sistemul obținut: din prima ecuație se află a\displaystyle a, iar din a doua se află b\displaystyle b.
    a=2 și 4+b=8⇒b=4\displaystyle a=2\text{ și }4+b=8\Rightarrow b=4
  5. Se scrie soluția finală a problemei.
    a=2 și b=4\displaystyle a=2\text{ și }b=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu C=π6\displaystyle C = \dfrac{\pi}{6}. Raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 4\displaystyle 4. Arătați că AB=4\displaystyle AB=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul din A este de 90°\displaystyle 90°, deci ipotenuza este latura BC (opusă unghiului drept), iar unghiul C are măsura de 30°\displaystyle 30°.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A = 90^\circ, ∠C=π6\displaystyle \ \angle C = \dfrac{\pi}{6}, BC=ipotenuza\displaystyle \ BC = \text{ipotenuza}
  2. Se folosește proprietatea cercului circumscris unui triunghi dreptunghic: ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci BC este de două ori raza R\displaystyle R.
    BC=2R\displaystyle BC = 2R
  3. Se înlocuiește valoarea razei date, R=4\displaystyle R=4, pentru a afla lungimea ipotenuzei BC.
    BC=2⋅4=8\displaystyle BC = 2 \cdot 4 = 8
  4. Se observă că latura AB este opusă unghiului C, care are măsura de 30°\displaystyle 30°. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30°\displaystyle 30° este jumătate din ipotenuză.
    AB=BC2\displaystyle AB = \dfrac{BC}{2}
  5. Se înlocuiește valoarea găsită pentru BC pentru a obține lungimea catetei AB.
    AB=82=4\displaystyle AB = \dfrac{8}{2} = 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x−111−xx−5)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 1 \\ 1-x & x-5 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(6))=10\displaystyle \det(A(6)) = 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=6\displaystyle x=6 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține A(6)\displaystyle A(6).
    x−1=6−1=5\displaystyle x-1=6-1=5, 1−x=1−6=−5\displaystyle \ 1-x=1-6=-5, x−5=6−5=1\displaystyle \ x-5=6-5=1
  2. Se scrie matricea A(6)\displaystyle A(6) cu elementele calculate și se aplică formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc.
    A(6)=(51−51)⇒det⁡(A(6))=5⋅1−(−5)⋅1\displaystyle A(6) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(6)) = 5\cdot1-(-5)\cdot1
  3. Se efectuează înmulțirile din determinant: 5⋅1\displaystyle 5\cdot 1 și (−5)⋅1\displaystyle (-5)\cdot 1.
    5⋅1=5\displaystyle 5\cdot1=5, (−5)⋅1=−5⇒det⁡(A(6))=5−(−5)\displaystyle \ (-5)\cdot1=-5\Rightarrow \det(A(6))=5-(-5)
  4. Se simplifică expresia obținută pentru a determina valoarea finală a determinantului.
    =5+5=10\displaystyle = 5+5 = 10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x−111−xx−5)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 1 \\ 1-x & x-5 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(3)⋅A(3)=aI2\displaystyle A(3) \cdot A(3) = aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în matricea A(x)\displaystyle A(x): primul rând are elementele 3−1\displaystyle 3-1 și 1\displaystyle 1, al doilea rând are elementele 1−3\displaystyle 1-3 și 3−5\displaystyle 3-5.
    A(3)=(21−2−2)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(3)⋅A(3)\displaystyle A(3)\cdot A(3) element cu element, înmulțind liniile cu coloanele: pe prima linie 2⋅2+1⋅(−2)\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot(-2) și 2⋅1+1⋅(−2)\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2), pe a doua linie (−2)⋅2+(−2)⋅(−2)\displaystyle (-2)\cdot 2+(-2)\cdot(-2) și (−2)⋅1+(−2)⋅(−2)\displaystyle (-2)\cdot 1+(-2)\cdot(-2).
    A(3)⋅A(3)=(4−22−2−4+4−2+4)\displaystyle A(3)\cdot A(3)=\begin{pmatrix} 4-2 & 2-2 \\ -4+4 & -2+4 \end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele și observăm că rezultatul este o matrice cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, adică de două ori matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A(3)⋅A(3)=(2002)=2I2\displaystyle A(3)\cdot A(3)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2I_2
  4. Din egalitatea 2I2=aI2\displaystyle 2I_2=aI_2, identificând coeficienții lui I2\displaystyle I_2, obținem a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x−111−xx−5)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 1 \\ 1-x & x-5 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că numărul N=det⁡(A(m)⋅A(2)−A(m−1))\displaystyle N = \det\big(A(m)\cdot A(2) - A(m-1)\big) este natural, pentru orice număr întreg m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricele particulare A(2)\displaystyle A(2), A(m)\displaystyle A(m) și A(m−1)\displaystyle A(m-1) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu valorile 2\displaystyle 2, m\displaystyle m, respectiv m−1\displaystyle m-1 în expresia generală a lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(2)=(11−1−3), A(m)=(m−111−mm−5), A(m−1)=(m−212−mm−6)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\-1 & -3\end{pmatrix}\text{, }A(m)=\begin{pmatrix}m-1 & 1\\1-m & m-5\end{pmatrix}\text{, }A(m-1)=\begin{pmatrix}m-2 & 1\\2-m & m-6\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul A(m)⋅A(2)\displaystyle A(m)\cdot A(2), aplicând regula de înmulțire a matricelor (produs scalar linie-coloană).
    A(m)⋅A(2)=((m−1)⋅1+1⋅(−1)(m−1)⋅1+1⋅(−3)(1−m)⋅1+(m−5)⋅(−1)(1−m)⋅1+(m−5)⋅(−3))=(m−2m−46−2m16−4m)\displaystyle A(m)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}(m-1)\cdot 1+1\cdot(-1) & (m-1)\cdot 1+1\cdot(-3)\\(1-m)\cdot 1+(m-5)\cdot(-1) & (1-m)\cdot 1+(m-5)\cdot(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m-2 & m-4\\6-2m & 16-4m\end{pmatrix}
  3. Se scade matricea A(m−1)\displaystyle A(m-1) din produsul obținut, efectuând scăderea element cu element, și se identifică matricea rezultată.
    A(m)⋅A(2)−A(m−1)=((m−2)−(m−2)(m−4)−1(6−2m)−(2−m)(16−4m)−(m−6))=(0m−54−m22−5m)\displaystyle A(m)\cdot A(2)-A(m-1)=\begin{pmatrix}(m-2)-(m-2) & (m-4)-1\\(6-2m)-(2-m) & (16-4m)-(m-6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & m-5\\4-m & 22-5m\end{pmatrix}
  4. Se calculează determinantul N\displaystyle N al matricei obținute, dezvoltând după prima linie, și se aduce la forma de produs a doi factori.
    N=det⁡(0m−54−m22−5m)=0⋅(22−5m)−(m−5)(4−m)=(m−5)(m−4)=(m−4)(m−5)\displaystyle N=\det\begin{pmatrix}0 & m-5\\4-m & 22-5m\end{pmatrix}=0\cdot(22-5m)-(m-5)(4-m)=(m-5)(m-4)=(m-4)(m-5)
  5. Se observă că, pentru m\displaystyle m număr întreg, m−4\displaystyle m-4 și m−5\displaystyle m-5 sunt două numere întregi consecutive, deci au semne alăturate (unul poate fi negativ doar dacă celălalt este pozitiv sau nul), astfel încât produsul lor este întotdeauna mai mare sau egal cu zero; în consecință N\displaystyle N este număr natural.
    m−4 și m−5 sunt numere ıˆntregi și (m−4)(m−5)≥0, deci N∈N\displaystyle m-4\text{ și }m-5\text{ sunt numere întregi și }(m-4)(m-5)\ge 0\text{, deci }N \in \mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2−2X+2\displaystyle f = X^3 + aX^2 - 2X + 2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(0)=2\displaystyle f(0)=2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat și se dorește calcularea valorii sale în punctul X=0\displaystyle X=0, pentru a observa cum se comportă termenii care conțin parametrul a\displaystyle a.
    f=X3+aX2−2X+2\displaystyle f = X^3+aX^2-2X+2
  2. Se substituie X=0\displaystyle X=0 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f(0)=03+a⋅02−2⋅0+2\displaystyle f(0) = 0^3+a\cdot 0^2-2\cdot 0+2
  3. Se calculează fiecare putere a lui 0\displaystyle 0: 03=0\displaystyle 0^3=0, 02=0\displaystyle 0^2=0, iar termenii care conțin a\displaystyle a devin 0\displaystyle 0, deoarece sunt înmulțiți cu 0\displaystyle 0.
    03=0\displaystyle 0^3=0, a⋅02=0\displaystyle \ a\cdot 0^2=0, 2⋅0=0\displaystyle \ 2\cdot 0=0
  4. Se observă că, indiferent de valoarea lui a\displaystyle a, termenii care îl conțin se anulează, deoarece sunt înmulțiți cu puteri ale lui 0\displaystyle 0.
    f(0)=0+0−0+2\displaystyle f(0) = 0+0-0+2
  5. Se efectuează calculul final și se concluzionează că valoarea polinomului în X=0\displaystyle X=0 este constantă, indiferent de valoarea reală a lui a\displaystyle a.
    =0+0−0+2=2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle = 0+0-0+2=2\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2−2X+2\displaystyle f = X^3 + aX^2 - 2X + 2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care x1x2x3(1+x1+x2+x3)=4\displaystyle x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=4, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică rădăcinile polinomului f=X3+aX2−2X+2\displaystyle f=X^3+aX^2-2X+2 ca fiind x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 și se scriu relațiile lui Viète corespunzătoare unui polinom de gradul al treilea cu coeficienți 1,a,−2,2\displaystyle 1, a, -2, 2.
    x1+x2+x3=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a, x1x2+x1x3+x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-2, x1x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2x_3=-2
  2. Se calculează suma rădăcinilor și produsul lor conform relațiilor lui Viète, obținând valorile care vor fi folosite în expresia cerută.
    x1x2x3=−2\displaystyle x_1x_2x_3=-2, x1+x2+x3=−a\displaystyle \ x_1+x_2+x_3=-a
  3. Se scrie expresia x1x2x3(1+x1+x2+x3)\displaystyle x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3) folosind valorile obținute din relațiile lui Viète, înlocuind x1x2x3=−2\displaystyle x_1x_2x_3=-2 și x1+x2+x3=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a.
    x1x2x3(1+x1+x2+x3)=−2(1+(−a))=−2(1−a)\displaystyle x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=-2(1+(-a))=-2(1-a)
  4. Se impune condiția ca expresia calculată să fie egală cu valoarea dată în enunț, obținându-se ecuația liniară în a\displaystyle a.
    −2(1−a)=4\displaystyle -2(1-a)=4
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se distribuie, se izolează a\displaystyle a și se obține valoarea căutată.
    −2+2a=4⇒2a=6⇒a=3\displaystyle -2+2a=4\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2−2X+2\displaystyle f = X^3 + aX^2 - 2X + 2, unde a\displaystyle a este număr real.

Știind că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X+1\displaystyle X+1, determinați restul împărțirii lui f\displaystyle f la polinomul X2−2\displaystyle X^2-2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția din teorema restului: dacă f\displaystyle f se divide cu X+1\displaystyle X+1, atunci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0. Se calculează f(−1)\displaystyle f(-1) în funcție de a\displaystyle a.
    f(−1)=(−1)3+a(−1)2−2(−1)+2=−1+a+2+2=a+3\displaystyle f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + a + 2 + 2 = a+3
  2. Se pune condiția f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 și se rezolvă ecuația obținută pentru a\displaystyle a.
    a+3=0⇒a=−3\displaystyle a+3=0 \Rightarrow a=-3
  3. Se înlocuiește valoarea lui a\displaystyle a găsită în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f=X3−3X2−2X+2\displaystyle f = X^3-3X^2-2X+2
  4. Se efectuează împărțirea polinomului f\displaystyle f la X2−2\displaystyle X^{2}-2: se determină câtul, înmulțind X2−2\displaystyle X^{2}-2 cu termenul X\displaystyle X din cât, obținând X3−2X\displaystyle X^{3}-2X, apoi se scade din f\displaystyle f pentru a continua împărțirea.
    X3−3X2−2X+2=(X2−2)⋅X+(−3X2+2)\displaystyle X^3-3X^2-2X+2 = (X^2-2)\cdot X + (-3X^2+2)
  5. Se continuă împărțirea: se înmulțește X2−2\displaystyle X^{2}-2 cu termenul −3\displaystyle -3 din cât, obținând −3X2+6\displaystyle -3X^{2}+6, apoi se scade din restul anterior pentru a obține restul final.
    −3X2+2−(−3X2+6)=−4\displaystyle -3X^2+2 - (-3X^2+6) = -4
  6. Se scrie descompunerea completă a lui f\displaystyle f ca produs dintre câtul obținut (X2−2)(X−3)\displaystyle (X^{2}-2)(X-3) și restul găsit, confirmând că restul împărțirii lui f\displaystyle f la X2−2\displaystyle X^{2}-2 este −4\displaystyle -4.
    f=X3−3X2−2X+2=(X2−2)(X−3)−4, deci restul este −4\displaystyle f = X^3-3X^2-2X+2 = (X^2-2)(X-3)-4\text{, deci restul este }-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+x−1)\displaystyle f(x) = e^x(x^2+x-1).

Arătați că f′(x)=ex(x2+3x)\displaystyle f'(x) = e^x(x^2+3x), x∈R\displaystyle x \in \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția f\displaystyle f ca produs de două funcții: f(x)=u(x)⋅v(x)\displaystyle f(x) = u(x)\cdot v(x), unde u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^{x} și v(x)=x2+x−1\displaystyle v(x)=x^{2}+x-1, și se reamintește formula de derivare a produsului.
    f(x)=u(x)⋅v(x)\displaystyle f(x)=u(x)\cdot v(x), u(x)=ex\displaystyle \ u(x)=e^x, v(x)=x2+x−1\displaystyle \ v(x)=x^2+x-1, (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle \ (u\cdot v)'=u'v+uv'
  2. Se calculează derivatele celor două funcții componente.
    u′(x)=ex\displaystyle u'(x)=e^x, v′(x)=2x+1\displaystyle \ v'(x)=2x+1
  3. Se aplică formula de derivare a produsului, înlocuind u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u', v′\displaystyle v' cu expresiile găsite.
    f′(x)=ex(x2+x−1)+ex(2x+1)\displaystyle f'(x) = e^x(x^2+x-1)+e^x(2x+1)
  4. Se dă factor comun ex\displaystyle e^{x} și se grupează termenii asemenea din interiorul parantezei.
    f′(x)=ex[(x2+x−1)+(2x+1)]\displaystyle f'(x)=e^x\left[(x^2+x-1)+(2x+1)\right]
  5. Se reduc termenii asemenea (x−1\displaystyle x-1 cu 2x+1\displaystyle 2x+1 se combină cu x2\displaystyle x^{2}), obținându-se forma finală a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =ex(x2+x−1+2x+1)=ex(x2+3x)\displaystyle = e^x(x^2+x-1+2x+1) = e^x(x^2+3x),x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+x−1)\displaystyle f(x) = e^x(x^2+x-1).

Arătați că lim⁡x→0ex+f(x)f′(x)=13\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x+f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x} și (x2+x−1)′=2x+1\displaystyle (x^{2}+x-1)'=2x+1.
    f′(x)=ex(x2+x−1)+ex(2x+1)\displaystyle f'(x) = e^x(x^2+x-1) + e^x(2x+1)
  2. Se grupează termenii asemenea din expresia derivatei pentru a obține forma finală a lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=ex(x2+x−1+2x+1)=ex(x2+3x)\displaystyle f'(x) = e^x(x^2+x-1+2x+1) = e^x(x^2+3x)
  3. Se scrie limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată în enunț.
    lim⁡x→0ex+f(x)f′(x)=lim⁡x→0ex+ex(x2+x−1)ex(x2+3x)\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x+f(x)}{f'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{e^x+e^x(x^2+x-1)}{e^x(x^2+3x)}
  4. Se simplifică numărătorul, scoțând factor comun ex\displaystyle e^{x} și reducând termenii constanți (−1+1=0\displaystyle -1+1=0).
    ex+ex(x2+x−1)=ex(1+x2+x−1)=ex(x2+x)\displaystyle e^x+e^x(x^2+x-1) = e^x(1+x^2+x-1) = e^x(x^2+x)
  5. Se înlocuiește numărătorul simplificat și se simplifică factorul ex\displaystyle e^{x} comun de la numărător și numitor, apoi se factorizează cu x\displaystyle x.
    lim⁡x→0ex(x2+x)ex(x2+3x)=lim⁡x→0x(x+1)x(x+3)\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x(x^2+x)}{e^x(x^2+3x)} = \lim_{x\to0}\frac{x(x+1)}{x(x+3)}
  6. Se simplifică fracția prin x\displaystyle x (x≠0\displaystyle x\neq0 în vecinătatea lui 0\displaystyle 0, exceptând punctul 0\displaystyle 0) și se calculează limita rezultată prin substituție directă.
    =lim⁡x→0x+1x+3=13\displaystyle = \lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+3} = \frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+x−1)\displaystyle f(x) = e^x(x^2+x-1).

Demonstrați că ex+3(x2+x−1)≤5\displaystyle e^{x+3}(x^2+x-1) \le 5, pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x \in (-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula produsului pentru f(x)=ex(x2+x−1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2+x-1).
    f′(x)=ex(x2+x−1)+ex(2x+1)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+x-1)+e^x(2x+1)
  2. Se grupează termenii asemenea și se factorizează ex\displaystyle e^{x} pentru a simplifica expresia derivatei.
    f′(x)=ex(x2+x−1+2x+1)=ex(x2+3x)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+x-1+2x+1\right)=e^x(x^2+3x)
  3. Se factorizează complet expresia din paranteză, scoțând x\displaystyle x factor comun.
    f′(x)=ex⋅x⋅(x+3)\displaystyle f'(x)=e^x\cdot x\cdot(x+3)
  4. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x\displaystyle x real, ecuația se reduce la x(x+3)=0\displaystyle x(x+3)=0.
    f′(x)=0⇔x(x+3)=0⇔x=−3 sau x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x(x+3)=0\Leftrightarrow x=-3\text{ sau }x=0
  5. Se studiază semnul derivatei pe cele trei intervale determinate de rădăcinile −3\displaystyle -3 și 0\displaystyle 0, folosind faptul că ex>0\displaystyle e^{x}>0. Se observă că x(x+3)>0\displaystyle x(x+3)>0 pentru x<−3\displaystyle x<-3, este negativ pentru x\displaystyle x în (−3,0)\displaystyle (-3,0) și pozitiv pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)>0 pe (−∞,−3), f′(x)<0 pe (−3,0), f′(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,-3)\text{, }f'(x)<0\text{ pe }(-3,0)\text{, }f'(x)>0\text{ pe }(0,+\infty)
  6. Din semnul derivatei se deduce monotonia funcției pe cele două intervale relevante pentru problemă.
    f′(x)=0⇔x=−3 sau x=0;f este cresca˘toare pe (−∞,−3] și descresca˘toare pe [−3,0]\displaystyle f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-3\text{ sau }x=0; f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,-3]\text{ și descrescătoare pe }[-3,0]
  7. Din monotonie rezultă că x=−3\displaystyle x=-3 este punct de maxim local, iar pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] valoarea maximă a funcției este f(−3)\displaystyle f(-3). Se calculează această valoare.
    f(−3)=e−3((−3)2+(−3)−1)=e−3(9−3−1)=5e3\displaystyle f(-3)=e^{-3}\left((-3)^2+(-3)-1\right)=e^{-3}(9-3-1)=\dfrac{5}{e^3}
  8. Deoarece f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,−3]\displaystyle (-\infty,-3] și descrescătoare pe [−3,0]\displaystyle [-3,0], punctul x=−3\displaystyle x=-3 este maxim absolut pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0], deci f(x)≤f(−3)\displaystyle f(x)\leq f(-3) pentru orice x\displaystyle x din acest interval. Înlocuind expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și înmulțind ambii membri cu e3\displaystyle e^{3} (care este pozitiv, deci inegalitatea își păstrează sensul), se obține inegalitatea cerută.
    f(x)≤f(−3)=5e3, deci ex+3(x2+x−1)≤5, pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle f(x)\le f(-3)=\dfrac{5}{e^3}\text{, deci }e^{x+3}(x^2+x-1)\le 5\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+1\displaystyle f(x) = x + \sqrt{2x^2+1}.

Arătați că ∫35(f(x)−2x2+1) dx=8\displaystyle \displaystyle\int_{3}^{5} \big(f(x) - \sqrt{2x^2+1}\big)\,dx = 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția funcției date și expresia care trebuie integrată: f(x)−2x2+1\displaystyle f(x)-\sqrt{2x^{2}+1}, folosind f(x)=x+2x2+1\displaystyle f(x)=x+\sqrt{2x^{2}+1}.
    f(x)−2x2+1=(x+2x2+1)−2x2+1\displaystyle f(x)-\sqrt{2x^2+1} = \big(x+\sqrt{2x^2+1}\big)-\sqrt{2x^2+1}
  2. Se observă că termenii care conțin radicalul 2x2+1\displaystyle \sqrt{2x^2+1} se reduc, rămânând doar x\displaystyle x.
    f(x)−2x2+1=x\displaystyle f(x)-\sqrt{2x^2+1} = x
  3. Se înlocuiește expresia simplificată în integrală, obținându-se o integrală simplă de x\displaystyle x pe intervalul [3,5]\displaystyle [3,5], și se calculează primitiva.
    ∫35(f(x)−2x2+1)dx=∫35x dx=x22∣35\displaystyle \int_{3}^{5}\big(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\big)dx = \int_{3}^{5} x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\Big|_3^5
  4. Se evaluează primitiva la capetele intervalului, înlocuind x=5\displaystyle x=5 și x=3\displaystyle x=3.
    x22∣35=522−322=252−92\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\Big|_3^5 = \dfrac{5^2}{2}-\dfrac{3^2}{2} = \dfrac{25}{2}-\dfrac{9}{2}
  5. Se efectuează scăderea fracțiilor pentru a obține rezultatul final al integralei.
    252−92=8\displaystyle \dfrac{25}{2}-\dfrac{9}{2} = 8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+1\displaystyle f(x) = x + \sqrt{2x^2+1}.

Arătați că ∫12x(f(x)−x)2 dx=ln⁡34\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{x}{\big(f(x)-x\big)^2}\,dx = \frac{\ln 3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=x+2x2+1\displaystyle f(x)=x+\sqrt{2x^2+1} obținem f(x)−x=2x2+1\displaystyle f(x)-x=\sqrt{2x^2+1}.
    f(x)−x=2x2+1\displaystyle f(x)-x=\sqrt{2x^2+1}
  2. Cum 2x2+1>0\displaystyle 2x^2+1>0, avem (f(x)−x)2=(2x2+1)2=2x2+1\displaystyle \big(f(x)-x\big)^2=\left(\sqrt{2x^2+1}\right)^2=2x^2+1.
    (f(x)−x)2=2x2+1\displaystyle \big(f(x)-x\big)^2=2x^2+1
  3. Integrala devine ∫12x2x2+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x}{2x^2+1}\,dx.
    ∫12x2x2+1 dx\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{x}{2x^2+1}\,dx
  4. Avem (2x2+1)′=4x\displaystyle (2x^2+1)'=4x, deci x2x2+1=14⋅(2x2+1)′2x2+1\displaystyle \dfrac{x}{2x^2+1}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(2x^2+1)'}{2x^2+1}.
    14∫12(2x2+1)′2x2+1 dx\displaystyle \frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{(2x^2+1)'}{2x^2+1}\,dx
  5. O primitivă a lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡u\displaystyle \ln u, iar 2x2+1>0\displaystyle 2x^2+1>0. Deci integrala este 14ln⁡(2x2+1)∣12\displaystyle \dfrac{1}{4}\ln(2x^2+1)\Big|_1^2.
    14ln⁡(2x2+1)∣12\displaystyle \frac{1}{4}\ln(2x^2+1)\Big|_1^2
  6. Pentru x=2\displaystyle x=2: 2⋅4+1=9\displaystyle 2\cdot 4+1=9. Pentru x=1\displaystyle x=1: 2+1=3\displaystyle 2+1=3. Obținem ln⁡9−ln⁡34=2ln⁡3−ln⁡34=ln⁡34\displaystyle \dfrac{\ln 9-\ln 3}{4}=\dfrac{2\ln 3-\ln 3}{4}=\dfrac{\ln 3}{4}.
    ln⁡9−ln⁡34=ln⁡34\displaystyle \frac{\ln 9-\ln 3}{4}=\frac{\ln 3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+1\displaystyle f(x) = x + \sqrt{2x^2+1}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,2]→R\displaystyle g:[0,2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x) în jurul axei Ox\displaystyle Ox este egal cu aπ3\displaystyle \dfrac{a\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește formula volumului corpului de rotație determinat de graficul funcției f\displaystyle f (notată g\displaystyle g) în jurul axei Ox\displaystyle Ox, pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2].
    V=π∫02g2(x)dx\displaystyle V=\pi\int_0^2 g^2(x)dx, unde g(x)=f(x)=x+2x2+1\displaystyle \text{ unde }g(x)=f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}
  2. Se dezvoltă pătratul funcției g(x)\displaystyle g(x), folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
    g2(x)=(x+2x2+1)2=x2+2x2x2+1+2x2+1=3x2+1+2x2x2+1\displaystyle g^2(x)=\left(x+\sqrt{2x^2+1}\right)^2=x^2+2x\sqrt{2x^2+1}+2x^2+1=3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1}
  3. Se scrie volumul folosind expresia dezvoltată și se separă integrala într-o parte polinomială și una care conduce la o integrală de tip u′⋅u\displaystyle u' \cdot \sqrt{u}.
    V=π∫02g2(x)dx=π∫02(3x2+1+2x2x2+1)dx=π(x3∣02+x∣02+12∫022x2+1⋅(2x2+1)′dx)=\displaystyle V = \pi\int_0^2 g^2(x)dx = \pi\int_0^2 (3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1})dx = \pi\left(x^3\Big|_0^2+x\Big|_0^2+\dfrac{1}{2}\int_0^2\sqrt{2x^2+1}\cdot\left(2x^2+1\right)'dx\right)=
  4. Se calculează partea polinomială a integralei, evaluând primitiva x3+x\displaystyle x^3+x pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2].
    x3∣02+x∣02=(8−0)+(2−0)=10\displaystyle x^3\Big|_0^2+x\Big|_0^2=(8-0)+(2-0)=10
  5. Se observă că derivata funcției 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 este 4x\displaystyle 4x, deci 2x=12(2x2+1)′\displaystyle 2x=\frac{1}{2}(2x^2+1)', iar integrala rămasă se calculează cu formula ∫u1/2u′dx=23u3/2\displaystyle \int u^{1/2}u'dx=\frac{2}{3}u^{3/2}.
    12∫022x2+1⋅(2x2+1)′dx=12⋅23(2x2+1)3/2∣02=(2x2+1)2x2+13∣02\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^2\sqrt{2x^2+1}\cdot(2x^2+1)'dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}(2x^2+1)^{3/2}\Big|_0^2=\dfrac{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}{3}\Big|_0^2
  6. Se evaluează primitiva obținută la capetele 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2, se adună cu partea polinomială calculată anterior și se determină constanta a\displaystyle a din relația V=aπ3\displaystyle V=\frac{a\pi}{3}.
    V=π(10+(2x2+1)2x2+13∣02)=56π3, deci aπ3=56π3⇒a=56\displaystyle V = \pi\left(10+\dfrac{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}{3}\Big|_0^2\right) = \dfrac{56\pi}{3}\text{, deci } \dfrac{a\pi}{3} = \dfrac{56\pi}{3}\Rightarrow a=56
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.