Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 10−6\displaystyle \sqrt{10}-\sqrt{6}, 2\displaystyle 2 și 10+6\displaystyle \sqrt{10}+\sqrt{6} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Trei numere nenule a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c. Aici termenul din mijloc este 2\displaystyle 2, deci trebuie să arătăm că 22=(10−6)(10+6)\displaystyle 2^{2}=\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{6}\right).
    22=(10−6)(10+6)\displaystyle 2^{2}=\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{6}\right)
  2. Calculăm produsul extremilor cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}, unde a=10\displaystyle a=\sqrt{10} și b=6\displaystyle b=\sqrt{6}.
    (10−6)(10+6)=102−62\displaystyle \left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{6}\right)=\sqrt{10}^{2}-\sqrt{6}^{2}
  3. Pătratul unui radical este numărul de sub radical, deci obținem 10−6=4\displaystyle 10-6=4, care este egal cu 22\displaystyle 2^{2}. Așadar pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalți doi, deci numerele 10−6\displaystyle \sqrt{10}-\sqrt{6}, 2\displaystyle 2, 10+6\displaystyle \sqrt{10}+\sqrt{6} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
    10−6=4=22\displaystyle 10-6=4=2^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2021x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2021}}{x^2+1}. Arătați că funcția f\displaystyle f este impară.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este R\displaystyle \mathbb{R}, deci este simetric față de origine: pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem și −x∈R\displaystyle -x\in\mathbb{R}. Pentru a arăta că f\displaystyle f este impară, calculăm f(−x)\displaystyle f(-x) și îl comparăm cu −f(x)\displaystyle -f(x).
    x∈R⇒−x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}\Rightarrow -x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim pe x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în expresia funcției: f(−x)=(−x)2021(−x)2+1\displaystyle f(-x)=\dfrac{(-x)^{2021}}{(-x)^2+1}.
    f(−x)=(−x)2021(−x)2+1\displaystyle f(-x)=\dfrac{(-x)^{2021}}{(-x)^2+1}
  3. Exponentul 2021\displaystyle 2021 este impar, deci (−x)2021=−x2021\displaystyle (-x)^{2021}=-x^{2021}. Exponentul 2\displaystyle 2 este par, deci (−x)2=x2\displaystyle (-x)^2=x^2. Obținem f(−x)=−x2021x2+1\displaystyle f(-x)=\dfrac{-x^{2021}}{x^2+1}.
    f(−x)=−x2021x2+1\displaystyle f(-x)=\dfrac{-x^{2021}}{x^{2}+1}
  4. Scoatem semnul minus în fața fracției: f(−x)=−x2021x2+1=−f(x)\displaystyle f(-x)=-\dfrac{x^{2021}}{x^2+1}=-f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci funcția f\displaystyle f este impară.
    f(−x)=−x2021x2+1=−f(x)\displaystyle f(-x)=-\dfrac{x^{2021}}{x^{2}+1}=-f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−3⋅2x+1=16\displaystyle 4^x-3\cdot 2^{x+1}=16.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația este 4x−3⋅2x+1=16\displaystyle 4^x-3\cdot 2^{x+1}=16. Folosim 4x=(22)x=22x=(2x)2\displaystyle 4^x=\left(2^{2}\right)^x=2^{2x}=\left(2^x\right)^2 și 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x.
    (2x)2−3⋅2⋅2x=16\displaystyle \left(2^x\right)^2-3\cdot 2\cdot 2^x=16
  2. Calculăm 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6 și trecem pe 16 în stânga, cu semn schimbat.
    22x−6⋅2x−16=0\displaystyle 2^{2x}-6\cdot 2^x-16=0
  3. Notăm 2x=t\displaystyle 2^x=t, cu t>0\displaystyle t>0, deoarece 2x>0\displaystyle 2^x>0 pentru orice x\displaystyle x real. Ecuația devine t2−6t−16=0\displaystyle t^2-6t-16=0.
    t2−6t−16=0\displaystyle t^2-6t-16=0
  4. Căutăm două numere cu produsul −16\displaystyle -16 și suma −6\displaystyle -6: acestea sunt −8\displaystyle -8 și 2\displaystyle 2. Deci t2−6t−16=(t−8)(t+2)\displaystyle t^2-6t-16=(t-8)(t+2), adică, revenind la 2x\displaystyle 2^x:
    (2x−8)(2x+2)=0\displaystyle \left(2^x-8\right)\left(2^x+2\right)=0
  5. Din t=8\displaystyle t=8 sau t=−2\displaystyle t=-2 reținem doar t=8\displaystyle t=8, pentru că t>0\displaystyle t>0. Ecuația 2x=−2\displaystyle 2^x=-2 nu are soluții reale.
    2x=8\displaystyle 2^x=8
  6. Cum 8=23\displaystyle 8=2^3, ecuația 2x=23\displaystyle 2^x=2^3 dă x=3\displaystyle x=3.
    2x=8, deci x=3\displaystyle 2^x=8\text{, deci }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de submulțimi cu 2\displaystyle 2 elemente ale mulțimii {0,2,4,6,8}\displaystyle \{0,2,4,6,8\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea {0,2,4,6,8}\displaystyle \{0,2,4,6,8\} are 5\displaystyle 5 elemente distincte. O submulțime cu 2\displaystyle 2 elemente se alege fără a ține cont de ordine, deci numărul ei este numărul de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 2\displaystyle 2.
    C52\displaystyle C_5^2
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. Pentru n=5\displaystyle n=5 și k=2\displaystyle k=2 obținem C52=5!2!⋅3!\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}.
    C52=5!2!⋅3!\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}
  3. Simplificăm 3!\displaystyle 3! și calculăm: 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!, deci 5!2!⋅3!=5⋅42=10\displaystyle \dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10. Există 10\displaystyle 10 submulțimi cu 2\displaystyle 2 elemente.
    5!2!⋅3!=5⋅42=10\displaystyle \dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,−2)\displaystyle A(-1,-2), B(0,3)\displaystyle B(0,3) și C(−2,2)\displaystyle C(-2,2). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul C\displaystyle C și este paralelă cu dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, folosind A(−1,−2)\displaystyle A(-1,-2) și B(0,3)\displaystyle B(0,3).
    mAB=3−(−2)0−(−1)=51=5\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-(-2)}{0-(-1)}=\dfrac{5}{1}=5
  2. Dreptele paralele au pante egale, deci dreapta d\displaystyle d are aceeași pantă ca AB\displaystyle AB.
    mAB=5, deci md=5\displaystyle m_{AB}=5\text{, deci }m_d=5
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin C(−2,2)\displaystyle C(-2,2) și are panta 5\displaystyle 5, cu formula y−yC=md(x−xC)\displaystyle y-y_C=m_d(x-x_C).
    y−2=5(x−(−2))=5(x+2)\displaystyle y-2=5(x-(-2))=5(x+2)
  4. Desfacem parantezele: y−2=5x+10\displaystyle y-2=5x+10, de unde y=5x+12\displaystyle y=5x+12. Aceasta este ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y−2=5(x+2), deci y=5x+12\displaystyle y-2=5(x+2)\text{, deci }y=5x+12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC are măsura unghiului A\displaystyle A de 30∘\displaystyle 30^\circ și măsura unghiului B\displaystyle B de 45∘\displaystyle 45^\circ. Arătați că AC=BC2\displaystyle AC=BC\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse. Latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A.
    ACsin⁡B=BCsin⁡A\displaystyle \dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}
  2. Calculăm sinusurile unghiurilor date, folosind valorile cunoscute pentru 30∘\displaystyle 30^\circ și 45∘\displaystyle 45^\circ.
    sin⁡A=sin⁡30∘=12\displaystyle \sin A=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡B=sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin B=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim valorile sinusurilor în relația din teorema sinusurilor.
    AC22=BC12\displaystyle \dfrac{AC}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{BC}{\dfrac{1}{2}}
  4. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci fiecare membru se scrie mai simplu.
    2AC2=2BC\displaystyle \dfrac{2AC}{\sqrt{2}}=2BC
  5. Împărțim egalitatea la 2\displaystyle 2 și apoi înmulțim cu 2\displaystyle \sqrt{2}. Obținem relația cerută.
    AC2=BC⇒AC=BC2\displaystyle \dfrac{AC}{\sqrt{2}}=BC\Rightarrow AC=BC\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(41m12−1−2−30)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}4&1&m\\1&2&-1\\-2&-3&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {4x+y+mz=9x+2y−z=4−2x−3y=−7\displaystyle \begin{cases}4x+y+mz=9\\x+2y-z=4\\-2x-3y=-7\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(A(m))=m−10\displaystyle \det(A(m))=m-10, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(m)\displaystyle A(m) și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(m))=∣41m12−1−2−30∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}4&1&m\\1&2&-1\\-2&-3&0\end{vmatrix}
  2. Calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 4⋅2⋅0=0\displaystyle 4\cdot 2\cdot 0=0, 1⋅(−1)⋅(−2)=2\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-2)=2 și m⋅1⋅(−3)=−3m\displaystyle m\cdot 1\cdot(-3)=-3m.
    0+2−3m\displaystyle 0+2-3m
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: m⋅2⋅(−2)=−4m\displaystyle m\cdot 2\cdot(-2)=-4m, 4⋅(−1)⋅(−3)=12\displaystyle 4\cdot(-1)\cdot(-3)=12 și 1⋅1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0=0.
    −4m+12+0\displaystyle -4m+12+0
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală: det⁡(A(m))=(0+2−3m)−(−4m+12+0)\displaystyle \det(A(m))=(0+2-3m)-(-4m+12+0).
    det⁡(A(m))=0−3m+2−(−4m)−12−0\displaystyle \det(A(m))=0-3m+2-(-4m)-12-0
  5. Reducem termenii asemenea: termenii cu m\displaystyle m dau −3m+4m=m\displaystyle -3m+4m=m, iar termenii liberi dau 2−12=−10\displaystyle 2-12=-10. Obținem det⁡(A(m))=m−10\displaystyle \det(A(m))=m-10 pentru orice număr real m\displaystyle m.
    −3m+4m−10=m−10\displaystyle -3m+4m-10=m-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(41m12−1−2−30)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}4&1&m\\1&2&-1\\-2&-3&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {4x+y+mz=9x+2y−z=4−2x−3y=−7\displaystyle \begin{cases}4x+y+mz=9\\x+2y-z=4\\-2x-3y=-7\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați inversa matricei A(9)\displaystyle A(9).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=9\displaystyle m=9 în matrice și obținem matricea A(9)\displaystyle A(9).
    A(9)=(41912−1−2−30)\displaystyle A(9)=\begin{pmatrix}4&1&9\\1&2&-1\\-2&-3&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: 4⋅(0−3)−1⋅(0−2)+9⋅(−3+4)=−12+2+9\displaystyle 4\cdot(0-3)-1\cdot(0-2)+9\cdot(-3+4)=-12+2+9. Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(A(9))=−12+2+9=−1\displaystyle \det(A(9))=-12+2+9=-1
  3. Scriem transpusa matricei A(9)\displaystyle A(9), prin schimbarea liniilor cu coloanele.
    tA(9)=(41−212−39−10)\displaystyle {}^tA(9)=\begin{pmatrix}4&1&-2\\1&2&-3\\9&-1&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm complemenții algebrici ai transpusei, adică determinantul rămas după tăierea liniei și coloanei elementului, înmulțit cu semnul (−1)i+j\displaystyle (-1)^{i+j}. Pentru prima linie obținem ∣2−3−10∣=−3\displaystyle \begin{vmatrix}2&-3\\-1&0\end{vmatrix}=-3, −∣1−390∣=−27\displaystyle -\begin{vmatrix}1&-3\\9&0\end{vmatrix}=-27 și ∣129−1∣=−19\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\9&-1\end{vmatrix}=-19.
    a11∗=−3\displaystyle a_{11}^{*}=-3, a12∗=−27\displaystyle \ a_{12}^{*}=-27, a13∗=−19\displaystyle \ a_{13}^{*}=-19
  5. Calculăm la fel complemenții algebrici pentru liniile a doua și a treia: −∣1−2−10∣=2\displaystyle -\begin{vmatrix}1&-2\\-1&0\end{vmatrix}=2, ∣4−290∣=18\displaystyle \begin{vmatrix}4&-2\\9&0\end{vmatrix}=18, −∣419−1∣=13\displaystyle -\begin{vmatrix}4&1\\9&-1\end{vmatrix}=13, ∣1−22−3∣=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&-2\\2&-3\end{vmatrix}=1, −∣4−21−3∣=10\displaystyle -\begin{vmatrix}4&-2\\1&-3\end{vmatrix}=10, ∣4112∣=7\displaystyle \begin{vmatrix}4&1\\1&2\end{vmatrix}=7. Obținem matricea adjunctă.
    A∗=(−3−27−19218131107)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}-3&-27&-19\\2&18&13\\1&10&7\end{pmatrix}
  6. Aplicăm formula A−1=1det⁡A⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot A^{*}. Cum det⁡A(9)=−1\displaystyle \det A(9)=-1, schimbăm semnul tuturor elementelor adjunctei.
    A−1(9)=(32719−2−18−13−1−10−7)\displaystyle A^{-1}(9)=\begin{pmatrix}3&27&19\\-2&-18&-13\\-1&-10&-7\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(41m12−1−2−30)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}4&1&m\\1&2&-1\\-2&-3&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {4x+y+mz=9x+2y−z=4−2x−3y=−7\displaystyle \begin{cases}4x+y+mz=9\\x+2y-z=4\\-2x-3y=-7\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real m\displaystyle m, m≠10\displaystyle m\neq 10, dacă (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) este soluția sistemului de ecuații, atunci log⁡2a=b+c\displaystyle \log_2 a=b+c.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: det⁡A(m)=4⋅(2⋅0−(−1)(−3))−1⋅(1⋅0−(−1)(−2))+m⋅(1⋅(−3)−2⋅(−2))\displaystyle \det A(m)=4\cdot(2\cdot 0-(-1)(-3))-1\cdot(1\cdot 0-(-1)(-2))+m\cdot(1\cdot(-3)-2\cdot(-2)).
    det⁡A(m)=−12+2+m=m−10\displaystyle \det A(m)=-12+2+m=m-10
  2. Pentru m≠10\displaystyle m\neq 10 avem det⁡A(m)≠0\displaystyle \det A(m)\neq 0, deci sistemul este compatibil determinat, adică are o singură soluție.
    m≠10⇒det⁡A(m)≠0⇒soluție unica˘\displaystyle m\neq 10\Rightarrow \det A(m)\neq 0\Rightarrow \text{soluție unică}
  3. Verificăm că tripletul (2,1,0)\displaystyle (2,1,0) verifică cele trei ecuații, pentru orice m\displaystyle m. Cum z=0\displaystyle z=0, termenul cu m\displaystyle m dispare din prima ecuație.
    4⋅2+1+m⋅0=9\displaystyle 4\cdot 2+1+m\cdot 0=9,2+2⋅1−0=4\displaystyle \quad 2+2\cdot 1-0=4,−2⋅2−3⋅1=−7\displaystyle \quad -2\cdot 2-3\cdot 1=-7
  4. Soluția este unică, iar (2,1,0)\displaystyle (2,1,0) o verifică, deci (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) este chiar acest triplet.
    (a,b,c)=(2,1,0)\displaystyle (a,b,c)=(2,1,0)
  5. Calculăm cei doi membri ai egalității cerute: log⁡2a=log⁡22=1\displaystyle \log_2 a=\log_2 2=1, iar b+c=1+0=1\displaystyle b+c=1+0=1. Cei doi membri sunt egali.
    log⁡2a=log⁡22=1 și b+c=1+0=1, deci log⁡2a=b+c\displaystyle \log_2 a=\log_2 2=1\text{ și }b+c=1+0=1\text{, deci }\log_2 a=b+c
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=7(x-3)(y-3)+3.

Arătați că x∗3=3\displaystyle x*3=3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=7(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=7(x-3)(y-3)+3 și înlocuim y=3\displaystyle y=3.
    x∗3=7(x−3)(3−3)+3\displaystyle x*3=7(x-3)(3-3)+3
  2. Calculăm 3−3=0\displaystyle 3-3=0, deci produsul 7(x−3)⋅0\displaystyle 7(x-3)\cdot 0 este egal cu 0\displaystyle 0, oricare ar fi x\displaystyle x.
    7(x−3)⋅0=0\displaystyle 7(x-3)\cdot 0=0
  3. Rămâne doar termenul 3\displaystyle 3, deci x∗3=0+3=3\displaystyle x*3=0+3=3 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗3=0+3=3\displaystyle x*3=0+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=7(x-3)(y-3)+3.

Determinați numărul real x\displaystyle x, astfel încât x∗x∗x=−46\displaystyle x*x*x=-46.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=7(x−3)(x−3)+3\displaystyle x*x=7(x-3)(x-3)+3.
    x∗x=7(x−3)2+3\displaystyle x*x=7(x-3)^{2}+3
  2. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Notăm a=x∗x\displaystyle a=x*x, deci a−3=7(x−3)2\displaystyle a-3=7(x-3)^{2}. Atunci x∗x∗x=7(a−3)(x−3)+3=7⋅7(x−3)2⋅(x−3)+3\displaystyle x*x*x=7(a-3)(x-3)+3=7\cdot 7(x-3)^{2}\cdot(x-3)+3.
    x∗x∗x=49(x−3)3+3\displaystyle x*x*x=49(x-3)^{3}+3
  3. Scriem ecuația cerută: 49(x−3)3+3=−46\displaystyle 49(x-3)^{3}+3=-46.
    49(x−3)3+3=−46\displaystyle 49(x-3)^{3}+3=-46
  4. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 49(x−3)3=−49\displaystyle 49(x-3)^{3}=-49. Împărțim la 49\displaystyle 49.
    (x−3)3=−1\displaystyle (x-3)^{3}=-1
  5. Cubul unui număr real este −1\displaystyle -1 doar pentru numărul −1\displaystyle -1, deci x−3=−1\displaystyle x-3=-1, de unde x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=7(x-3)(y-3)+3.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x7+3\displaystyle f(x)=\dfrac{5^x}{7}+3. Demonstrați că f(x)∗f(y)=f(x+y)\displaystyle f(x)*f(y)=f(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=7(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=7(x-3)(y-3)+3 pentru numerele f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y).
    f(x)∗f(y)=7(f(x)−3)(f(y)−3)+3\displaystyle f(x)*f(y)=7\left(f(x)-3\right)\left(f(y)-3\right)+3
  2. Înlocuim f(x)=5x7+3\displaystyle f(x)=\dfrac{5^x}{7}+3 și f(y)=5y7+3\displaystyle f(y)=\dfrac{5^y}{7}+3.
    f(x)∗f(y)=7(5x7+3−3)(5y7+3−3)+3\displaystyle f(x)*f(y)=7\left(\dfrac{5^x}{7}+3-3\right)\left(\dfrac{5^y}{7}+3-3\right)+3
  3. În fiecare paranteză +3−3=0\displaystyle +3-3=0, deci rămân doar fracțiile.
    f(x)∗f(y)=7⋅5x7⋅5y7+3\displaystyle f(x)*f(y)=7\cdot\dfrac{5^x}{7}\cdot\dfrac{5^y}{7}+3
  4. Simplificăm un factor 7\displaystyle 7 de la numărător cu un 7\displaystyle 7 de la numitor și folosim 5x⋅5y=5x+y\displaystyle 5^x\cdot 5^y=5^{x+y}.
    f(x)∗f(y)=5x+y7+3\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{5^{x+y}}{7}+3
  5. Expresia obținută este chiar f(x+y)\displaystyle f(x+y), deci egalitatea are loc pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    5x+y7+3=f(x+y), deci f(x)∗f(y)=f(x+y)\displaystyle \dfrac{5^{x+y}}{7}+3=f(x+y)\text{, deci }f(x)*f(y)=f(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}.

Arătați că f′(x)=x+2(x2+2x+2)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)\sqrt{x^2+2x+2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=x2+2x+2\displaystyle v(x)=\sqrt{x^2+2x+2}. Aplicăm formula derivatei câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
    f′(x)=x′⋅x2+2x+2−x⋅(x2+2x+2)′(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'\cdot\sqrt{x^2+2x+2}-x\cdot\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)'}{\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2}
  2. Avem x′=1\displaystyle x'=1. Pentru radical folosim (w)′=w′2w\displaystyle \left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}, cu w=x2+2x+2\displaystyle w=x^2+2x+2 și w′=2x+2\displaystyle w'=2x+2.
    (x2+2x+2)′=2x+22x2+2x+2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)'=\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}
  3. Înlocuim în formulă. La numitor, (x2+2x+2)2=x2+2x+2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2=x^2+2x+2.
    f′(x)=x2+2x+2−x⋅2x+22x2+2x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+2x+2}-x\cdot\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}}{x^2+2x+2}
  4. Simplificăm cu 2: 2x+22=x+1\displaystyle \dfrac{2x+2}{2}=x+1. Apoi aducem numărătorul la același numitor x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}, iar x2+2x+2⋅x2+2x+2=x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}\cdot\sqrt{x^2+2x+2}=x^2+2x+2.
    x2+2x+2−x(x+1)x2+2x+2=x2+2x+2−x(x+1)x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}-\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\dfrac{x^2+2x+2-x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  5. Împărțirea la x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 înseamnă că acest factor trece la numitorul fracției.
    f′(x)=x2+2x+2−x(x+1)(x2+2x+2)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2-x(x+1)}{\left(x^2+2x+2\right)\sqrt{x^2+2x+2}}
  6. La numărător: x2+2x+2−x2−x=x+2\displaystyle x^2+2x+2-x^2-x=x+2. Astfel am obținut egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x+2(x2+2x+2)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)\sqrt{x^2+2x+2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită este finită. Calculăm limita: lim⁡x→+∞xx2+2x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xx2+2x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 scoatem x2\displaystyle x^2 de sub radical: x2+2x+2=x2(1+2x+2x2)=x1+2x+2x2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}=x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}, deoarece x2=x\displaystyle \sqrt{x^2}=x. Simplificăm fracția cu x\displaystyle x.
    xx2+2x+2=11+2x+2x2\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} și 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci expresia de sub radical tinde la 1\displaystyle 1, iar limita este 11=1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1}}=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞11+2x+2x2=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}=1
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm domeniul: expresia de sub radical este x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0 pentru orice x\displaystyle x real. Funcția este definită și derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0
  2. Calculăm derivata cu formula pentru raport, folosind (x2+2x+2)′=x+1x2+2x+2\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+2x+2}\right)'=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}. Obținem f′(x)=x2+2x+2−x(x+1)x2+2x+2x2+2x+2=x2+2x+2−x2−x(x2+2x+2)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x+2}-\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}}{x^{2}+2x+2}=\dfrac{x^{2}+2x+2-x^{2}-x}{\left(x^{2}+2x+2\right)\sqrt{x^{2}+2x+2}}.
    f′(x)=x+2(x2+2x+2)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+2}{\left(x^{2}+2x+2\right)\sqrt{x^{2}+2x+2}}
  3. Numitorul derivatei este strict pozitiv, deci f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar când numărătorul x+2\displaystyle x+2 este zero.
    f′(x)=0⇔x=−2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2
  4. Semnul derivatei este semnul lui x+2\displaystyle x+2. Pentru x<−2\displaystyle x<-2 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2]. Pentru x>−2\displaystyle x>-2 avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty). Rezultă că x=−2\displaystyle x=-2 este punct de minim.
    f↘ pe (−∞,−2]\displaystyle f\searrow\text{ pe }(-\infty,-2],f↗ pe [−2,+∞)\displaystyle \quad f\nearrow\text{ pe }[-2,+\infty)
  5. Calculăm valoarea minimă: pentru x=−2\displaystyle x=-2 expresia de sub radical este 4−4+2=2\displaystyle 4-4+2=2. Rezultă f(−2)=−22=−2\displaystyle f(-2)=\dfrac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
    f(−2)=−2\displaystyle f(-2)=-\sqrt{2}
  6. Calculăm limitele la capete. Scoatem x2\displaystyle x^{2} de sub radical: f(x)=x∣x∣1+2x+2x2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem ∣x∣=−x\displaystyle |x|=-x, deci limita este −1\displaystyle -1. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem ∣x∣=x\displaystyle |x|=x, deci limita este 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1,lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1
  7. Funcția este continuă. Pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] ea scade de la limita −1\displaystyle -1 (neatinsă) până la −2\displaystyle -\sqrt{2}, deci ia valorile din [−2,−1)\displaystyle [-\sqrt{2},-1). Pe [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty) ea crește de la −2\displaystyle -\sqrt{2} până la limita 1\displaystyle 1 (neatinsă), deci ia valorile din [−2,1)\displaystyle [-\sqrt{2},1). Reuniunea celor două mulțimi este [−2,1)\displaystyle [-\sqrt{2},1), deoarece −2<−1\displaystyle -\sqrt{2}<-1.
    lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1, f(−2)=−2\displaystyle \ f(-2)=-\sqrt{2}, lim⁡x→+∞f(x)=1, deci Im⁡f=[−2,1)\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1\text{, deci }\operatorname{Im}f=[-\sqrt{2},1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−x−2x2(x+2)\displaystyle f(x)=\dfrac{2x^3-x-2}{x^2(x+2)}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=2x+1x−4ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=2x+\dfrac{1}{x}-4\ln(x+2) este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, verificăm că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivăm termen cu termen: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}, (4ln⁡(x+2))′=4x+2\displaystyle \left(4\ln(x+2)\right)'=\dfrac{4}{x+2}.
    F′(x)=2−1x2−4x+2\displaystyle F'(x)=2-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x+2}
  2. Aducem la numitorul comun x2(x+2)\displaystyle x^{2}(x+2): amplificăm 2\displaystyle 2 cu x2(x+2)\displaystyle x^{2}(x+2), fracția 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} cu x+2\displaystyle x+2 și fracția 4x+2\displaystyle \dfrac{4}{x+2} cu x2\displaystyle x^{2}.
    F′(x)=2x2(x+2)−(x+2)−4x2x2(x+2)\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x^{2}(x+2)-(x+2)-4x^{2}}{x^{2}(x+2)}
  3. Desfacem parantezele la numărător: 2x2(x+2)=2x3+4x2\displaystyle 2x^{2}(x+2)=2x^{3}+4x^{2}, apoi scădem x+2\displaystyle x+2 și 4x2\displaystyle 4x^{2}.
    2x3+4x2−x−2−4x2=2x3−x−2\displaystyle 2x^{3}+4x^{2}-x-2-4x^{2}=2x^{3}-x-2
  4. Termenii 4x2\displaystyle 4x^{2} se reduc, deci numărătorul este 2x3−x−2\displaystyle 2x^{3}-x-2. Obținem exact funcția f\displaystyle f, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=2x3−x−2x2(x+2)=f(x)\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x^{3}-x-2}{x^{2}(x+2)}=f(x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−x−2x2(x+2)\displaystyle f(x)=\dfrac{2x^3-x-2}{x^2(x+2)}.

Calculați ∫12(x+2)f(x) dx\displaystyle \displaystyle\int_1^2(x+2)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)\displaystyle f(x) cu x+2\displaystyle x+2. Factorul x+2\displaystyle x+2 de la numitor se simplifică, deci rămâne o fracție cu numitorul x2\displaystyle x^{2}.
    (x+2)f(x)=2x3−x−2x2\displaystyle (x+2)f(x)=\dfrac{2x^{3}-x-2}{x^{2}}
  2. Împărțim fiecare termen de la numărător la x2\displaystyle x^{2}, ca să obținem o sumă de puteri ale lui x\displaystyle x.
    2x3−x−2x2=2x−1x−2x2\displaystyle \dfrac{2x^{3}-x-2}{x^{2}}=2x-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}
  3. Scriem integrala cerută cu integrandul simplificat și o integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, o primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x, iar o primitivă a lui 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}} este −2x\displaystyle -\dfrac{2}{x}. Astfel obținem primitiva și o evaluăm între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    ∫12(2x−1x−2x2)dx=(x2−ln⁡x+2x)∣12\displaystyle \int_1^2\left(2x-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)dx=\left(x^{2}-\ln x+\dfrac{2}{x}\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2, apoi în 1\displaystyle 1, și scădem.
    (4−ln⁡2+22)−(1−ln⁡1+21)=5−ln⁡2−3\displaystyle \left(4-\ln 2+\dfrac{2}{2}\right)-\left(1-\ln 1+\dfrac{2}{1}\right)=5-\ln 2-3
  5. Folosim faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și reducem termenii asemenea. Rezultatul final este 2−ln⁡2\displaystyle 2-\ln 2.
    2−ln⁡2\displaystyle 2-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−x−2x2(x+2)\displaystyle f(x)=\dfrac{2x^3-x-2}{x^2(x+2)}.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m>2\displaystyle m>2, astfel încât ∫2mf(x) dx=2m+1m−172\displaystyle \displaystyle\int_2^m f(x)\,dx=2m+\dfrac{1}{m}-\dfrac{17}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorul dezvoltat este x3+2x2\displaystyle x^{3}+2x^{2}. Împărțim numărătorul la el: câtul este 2\displaystyle 2, iar restul este −4x2−x−2\displaystyle -4x^{2}-x-2. Deci f(x)=2+−4x2−x−2x2(x+2)\displaystyle f(x)=2+\dfrac{-4x^{2}-x-2}{x^{2}(x+2)}.
    f(x)=2+−4x2−x−2x2(x+2)\displaystyle f(x)=2+\dfrac{-4x^{2}-x-2}{x^{2}(x+2)}
  2. Scriem −4x2−x−2x2(x+2)=Ax+Bx2+Cx+2\displaystyle \dfrac{-4x^{2}-x-2}{x^{2}(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x+2}, adică −4x2−x−2=Ax(x+2)+B(x+2)+Cx2\displaystyle -4x^{2}-x-2=Ax(x+2)+B(x+2)+Cx^{2}. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem B=−1\displaystyle B=-1, iar pentru x=−2\displaystyle x=-2 obținem C=−4\displaystyle C=-4. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} dă A+C=−4\displaystyle A+C=-4, deci A=0\displaystyle A=0. Rezultă f(x)=2−1x2−4x+2\displaystyle f(x)=2-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x+2}.
    f(x)=2−1x2−4x+2\displaystyle f(x)=2-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x+2}
  3. Integrăm termen cu termen, pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Primitiva 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} are derivata −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar 4x+2\displaystyle \dfrac{4}{x+2} se integrează în 4ln⁡(x+2)\displaystyle 4\ln(x+2). O primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=2x+1x−4ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=2x+\dfrac{1}{x}-4\ln(x+2).
    F(x)=2x+1x−4ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=2x+\dfrac{1}{x}-4\ln(x+2)
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫2mf(x) dx=F(m)−F(2)\displaystyle \displaystyle\int_2^m f(x)\,dx=F(m)-F(2). Avem F(2)=4+12−4ln⁡4\displaystyle F(2)=4+\dfrac{1}{2}-4\ln 4. Deci integrala este 2m+1m−4ln⁡(m+2)−92+4ln⁡4\displaystyle 2m+\dfrac{1}{m}-4\ln(m+2)-\dfrac{9}{2}+4\ln 4. Grupăm logaritmii: −4ln⁡(m+2)+4ln⁡4=4ln⁡4m+2\displaystyle -4\ln(m+2)+4\ln 4=4\ln\dfrac{4}{m+2}.
    ∫2mf(x) dx=2m+1m−92+4ln⁡4m+2\displaystyle \int_2^m f(x)\,dx=2m+\dfrac{1}{m}-\dfrac{9}{2}+4\ln\dfrac{4}{m+2}
  5. Egalăm cu expresia din enunț: 2m+1m−92+4ln⁡4m+2=2m+1m−172\displaystyle 2m+\dfrac{1}{m}-\dfrac{9}{2}+4\ln\dfrac{4}{m+2}=2m+\dfrac{1}{m}-\dfrac{17}{2}. Termenii 2m\displaystyle 2m și 1m\displaystyle \dfrac{1}{m} se reduc, deci 4ln⁡4m+2=−172+92=−4\displaystyle 4\ln\dfrac{4}{m+2}=-\dfrac{17}{2}+\dfrac{9}{2}=-4.
    4ln⁡4m+2=−4\displaystyle 4\ln\dfrac{4}{m+2}=-4
  6. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem ln⁡4m+2=−1\displaystyle \ln\dfrac{4}{m+2}=-1. Deci 4m+2=e−1\displaystyle \dfrac{4}{m+2}=e^{-1}, adică m+2=4e\displaystyle m+2=4e. Rezultă m=4e−2\displaystyle m=4e-2. Verificăm condiția: 4e>4\displaystyle 4e>4, deci m>2\displaystyle m>2 și valoarea convine.
    ln⁡4m+2=−1⇒m=4e−2, care convine\displaystyle \ln\dfrac{4}{m+2}=-1\Rightarrow m=4e-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.