Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 20: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră a\displaystyle a un număr real. Arătați că numărul z=(a+2i)2+(a−2i)2\displaystyle z=(a+2i)^2+(a-2i)^2 este real, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (x+y)2=x2+2xy+y2\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, unde x=a\displaystyle x=a și y=2i\displaystyle y=2i. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci (2i)2=4i2=−4\displaystyle (2i)^2=4i^2=-4.
    (a+2i)2=a2+4ai−4\displaystyle (a+2i)^2=a^2+4ai-4
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (x−y)2=x2−2xy+y2\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2, cu aceleași valori pentru x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    (a−2i)2=a2−4ai−4\displaystyle (a-2i)^2=a^2-4ai-4
  3. Adunăm cele două expresii obținute pentru a scrie pe z\displaystyle z.
    z=a2+4ai−4+a2−4ai−4\displaystyle z=a^2+4ai-4+a^2-4ai-4
  4. Termenii 4ai\displaystyle 4ai și −4ai\displaystyle -4ai se reduc, iar restul se adună: a2+a2=2a2\displaystyle a^2+a^2=2a^2 și −4−4=−8\displaystyle -4-4=-8. Cum a\displaystyle a este real, 2a2−8\displaystyle 2a^2-8 este număr real, deci z\displaystyle z este real.
    z=2a2−8∈R\displaystyle z=2a^2-8\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−2xx2+1\displaystyle f(x)=-\frac{2x}{x^2+1}. Arătați că f(x)≤1\displaystyle f(x)\leq 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f(x)≤1\displaystyle f(x)\leq 1, studiem semnul diferenței f(x)−1\displaystyle f(x)-1. Scriem diferența explicit.
    f(x)−1=−2xx2+1−1\displaystyle f(x)-1=-\frac{2x}{x^2+1}-1
  2. Aducem la același numitor x2+1\displaystyle x^2+1: numărul 1\displaystyle 1 devine x2+1x2+1\displaystyle \dfrac{x^2+1}{x^2+1}.
    f(x)−1=−2x−(x2+1)x2+1\displaystyle f(x)-1=\frac{-2x-(x^2+1)}{x^2+1}
  3. Desfacem parantezele la numărător și dăm factor comun −1\displaystyle -1. Obținem x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^2+2x+1=(x+1)^2, formula pătratului unei sume.
    f(x)−1=−x2+2x+1x2+1=−(x+1)2x2+1\displaystyle f(x)-1=-\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=-\frac{(x+1)^2}{x^2+1}
  4. Numărătorul (x+1)2≥0\displaystyle (x+1)^2\geq 0, iar numitorul x2+1>0\displaystyle x^2+1>0 pentru orice x\displaystyle x real. Deci fracția este pozitivă sau nulă.
    (x+1)2x2+1≥0\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0
  5. Diferența f(x)−1\displaystyle f(x)-1 este opusul unei fracții ≥0\displaystyle \geq 0, deci f(x)−1≤0\displaystyle f(x)-1\leq 0. Rezultă concluzia pentru orice x\displaystyle x real.
    (x+1)2x2+1≥0, deci f(x)≤1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0\text{, deci }f(x)\leq 1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+12=2⋅2x\displaystyle 3^{\frac{x+1}{2}}=2\cdot 2^x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul stâng ca putere cu baza 3\displaystyle \sqrt{3}: 3x+12=(312)x+1=3 x+1\displaystyle 3^{\frac{x+1}{2}}=\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{x+1}=\sqrt{3}^{\,x+1}.
    3x+12=3 x+1\displaystyle 3^{\frac{x+1}{2}}=\sqrt{3}^{\,x+1}
  2. În membrul drept folosim 2⋅2x=2x+1\displaystyle 2\cdot 2^x=2^{x+1}, deci ecuația devine 3 x+1=2x+1\displaystyle \sqrt{3}^{\,x+1}=2^{x+1}.
    3 x+1=2x+1\displaystyle \sqrt{3}^{\,x+1}=2^{x+1}
  3. Cum 2x+1>0\displaystyle 2^{x+1}>0, împărțim ambii membri la 2x+1\displaystyle 2^{x+1} și obținem (32)x+1=1\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{x+1}=1.
    3 x+1=2x+1⇔(32)x+1=1\displaystyle \sqrt{3}^{\,x+1}=2^{x+1}\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{x+1}=1
  4. Baza 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deoarece 3<2\displaystyle \sqrt{3}<2. Atunci puterea este egală cu 1\displaystyle 1 doar dacă exponentul este 0\displaystyle 0, adică x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x+1=0\displaystyle x+1=0
  5. Din x+1=0\displaystyle x+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1, singura soluție reală a ecuației.
    x+1=0⇔x=−1\displaystyle x+1=0\Leftrightarrow x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul funcțiilor f:{1,2,3}→{1,2,3,4}\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\} care sunt strict crescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă funcția este strict crescătoare, atunci f(1)<f(2)<f(3)\displaystyle f(1)<f(2)<f(3). Cele trei valori sunt deci distincte și sunt în ordine crescătoare.
    f(1)<f(2)<f(3)\displaystyle f(1)<f(2)<f(3)
  2. Orice alegere a unei submulțimi cu 3 elemente din {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\} dă exact o funcție strict crescătoare, deoarece valorile se așază obligatoriu în ordine crescătoare. Invers, fiecare funcție strict crescătoare determină o astfel de submulțime, formată din valorile ei. Numărul funcțiilor este egal cu numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 4 elemente, adică combinări de 4 luate câte 3: C43\displaystyle C_4^3.
    C43\displaystyle C_4^3
  3. Calculăm combinările cu formula Cnk=n!k!(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Pentru n=4\displaystyle n=4 și k=3\displaystyle k=3 obținem 4!3! (4−3)!=246⋅1=4\displaystyle \dfrac{4!}{3!\,(4-3)!}=\dfrac{24}{6\cdot 1}=4. Deci există 4 funcții strict crescătoare.
    4!3!(4−3)!=4\displaystyle \frac{4!}{3!(4-3)!}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreptele de ecuații ax+y−5=0\displaystyle ax+y-5=0, unde a\displaystyle a este număr real, și x−4y+3=0\displaystyle x-4y+3=0. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care cele două drepte sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem prima dreaptă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Din ax+y−5=0\displaystyle ax+y-5=0 obținem y=−ax+5\displaystyle y=-ax+5, deci panta primei drepte este m1=−a\displaystyle m_1=-a.
    m1=−a\displaystyle m_1=-a
  2. Scriem a doua dreaptă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Din x−4y+3=0\displaystyle x-4y+3=0 rezultă 4y=x+3\displaystyle 4y=x+3, adică y=14x+34\displaystyle y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}, deci panta celei de-a doua drepte este m2=14\displaystyle m_2=\dfrac{1}{4}.
    m2=14\displaystyle m_2=\dfrac{1}{4}
  3. Dreptele sunt paralele când au pante egale, deci m1=m2\displaystyle m_1=m_2, adică −a=14\displaystyle -a=\dfrac{1}{4}, de unde a=−14\displaystyle a=-\dfrac{1}{4}. Dreptele nu coincid, deoarece termenii liberi sunt diferiți (5\displaystyle 5 și 34\displaystyle \dfrac{3}{4}), deci sunt paralele.
    −a=14, deci a=−14\displaystyle -a=\dfrac{1}{4}\text{, deci }a=-\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), astfel încât tg⁡x+3ctg⁡x=23\displaystyle \operatorname{tg}x+3\operatorname{ctg}x=2\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) avem tg⁡x>0\displaystyle \operatorname{tg}x>0, deci ctg⁡x=1tg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}. Ecuația devine o ecuație în tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x.
    tg⁡x+3tg⁡x=23\displaystyle \operatorname{tg}x+\frac{3}{\operatorname{tg}x}=2\sqrt{3}
  2. Notăm t=tg⁡x\displaystyle t=\operatorname{tg}x, cu t>0\displaystyle t>0. Înmulțim ecuația cu t\displaystyle t și mutăm toți termenii în stânga.
    t2−23 t+3=0\displaystyle t^{2}-2\sqrt{3}\,t+3=0
  3. Observăm că 3=(3)2\displaystyle 3=\left(\sqrt{3}\right)^{2}, deci membrul stâng este pătratul diferenței t−3\displaystyle t-\sqrt{3}.
    (tg⁡x−3)2=0\displaystyle \left(\operatorname{tg}x-\sqrt{3}\right)^{2}=0
  4. Un pătrat este egal cu zero doar când baza este zero, deci tg⁡x−3=0\displaystyle \operatorname{tg}x-\sqrt{3}=0.
    tg⁡x=3\displaystyle \operatorname{tg}x=\sqrt{3}
  5. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) funcția tangentă este strict crescătoare, deci soluția este unică. Cum tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3} și π3∈(0,π2)\displaystyle \dfrac{\pi}{3}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), obținem răspunsul.
    x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(101011110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+z=1y+z=2x+y=a\displaystyle \begin{cases}x+z=1\\y+z=2\\x+y=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, care este de ordin 3, și îl vom calcula prin regula lui Sarrus: det⁡A=∣101011110∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣101011110∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  2. Calculăm termenii cu semnul plus: produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele de pe cele două paralele la ea. Avem 1⋅1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0=0, 0⋅1⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1=0 și 1⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0.
    1⋅1⋅0+0⋅1⋅1+1⋅0⋅1=0+0+0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 1=0+0+0=0
  3. Calculăm termenii cu semnul minus: produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele de pe cele două paralele la ea. Avem a13a22a31=1⋅1⋅1=1\displaystyle a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot 1\cdot 1=1, a11a23a32=1⋅1⋅1=1\displaystyle a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 1\cdot 1=1 și a12a21a33=0⋅0⋅0=0\displaystyle a_{12}a_{21}a_{33}=0\cdot 0\cdot 0=0, deci suma termenilor cu minus este 1+1+0\displaystyle 1+1+0.
    1+1+0=2\displaystyle 1+1+0=2
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: det⁡A=0+0+0−1−1−0=−2\displaystyle \det A=0+0+0-1-1-0=-2.
    det⁡A=0+0+0−1−1−0=−2\displaystyle \det A=0+0+0-1-1-0=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(101011110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+z=1y+z=2x+y=a\displaystyle \begin{cases}x+z=1\\y+z=2\\x+y=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că matricea B=12(1−11−11111−1)\displaystyle B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix} este inversa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem B=12C\displaystyle B=\dfrac{1}{2}C, unde C=(1−11−11111−1)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}. Atunci A⋅B=12 (A⋅C)\displaystyle A\cdot B=\dfrac{1}{2}\,(A\cdot C), deci calculăm mai întâi A⋅C\displaystyle A\cdot C.
    A⋅B=12 (A⋅C)\displaystyle A\cdot B=\frac{1}{2}\,(A\cdot C)
  2. Înmulțim liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui C\displaystyle C. Linia 1: 1⋅1+0⋅(−1)+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot1=2,   1⋅(−1)+0⋅1+1⋅1=0\displaystyle \;1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot1=0,   1⋅1+0⋅1+1⋅(−1)=0\displaystyle \;1\cdot1+0\cdot1+1\cdot(-1)=0. Linia 2: 0+1⋅(−1)+1=0\displaystyle 0+1\cdot(-1)+1=0,   0+1+1=2\displaystyle \;0+1+1=2,   0+1−1=0\displaystyle \;0+1-1=0. Linia 3: 1−1+0=0\displaystyle 1-1+0=0,   −1+1+0=0\displaystyle \;-1+1+0=0,   1+1+0=2\displaystyle \;1+1+0=2.
    A⋅C=(200020002)\displaystyle A\cdot C=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  3. Înmulțim cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}: fiecare element 2 de pe diagonală devine 1, iar zerourile rămân zerouri. Deci A⋅B=I3\displaystyle A\cdot B=I_3.
    A⋅B=12(200020002)=(100010001)=I3\displaystyle A\cdot B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  4. Înmulțim liniile lui C\displaystyle C cu coloanele lui A\displaystyle A. Linia 1: 1+0+1=2\displaystyle 1+0+1=2,   0−1+1=0\displaystyle \;0-1+1=0,   1−1+0=0\displaystyle \;1-1+0=0. Linia 2: −1+0+1=0\displaystyle -1+0+1=0,   0+1+1=2\displaystyle \;0+1+1=2,   −1+1+0=0\displaystyle \;-1+1+0=0. Linia 3: 1+0−1=0\displaystyle 1+0-1=0,   0+1−1=0\displaystyle \;0+1-1=0,   1+1+0=2\displaystyle \;1+1+0=2.
    C⋅A=(200020002)\displaystyle C\cdot A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  5. Atunci B⋅A=12 (C⋅A)=I3\displaystyle B\cdot A=\dfrac{1}{2}\,(C\cdot A)=I_3. Cum A⋅B=B⋅A=I3\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_3, matricea B\displaystyle B este inversa matricei A\displaystyle A.
    B⋅A=12(200020002)=I3, deci B este inversa matricei A\displaystyle B\cdot A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=I_3\text{, deci }B\text{ este inversa matricei }A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(101011110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+z=1y+z=2x+y=a\displaystyle \begin{cases}x+z=1\\y+z=2\\x+y=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că sistemul de ecuații are soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0, z0\displaystyle z_0 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, ca să vedem că sistemul este de tip Cramer. Dezvoltăm după prima linie: det⁡A=1⋅(0−1)−0+1⋅(0−1)=−2≠0\displaystyle \det A=1\cdot(0-1)-0+1\cdot(0-1)=-2\neq 0, deci sistemul are soluție unică pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.
    det⁡A=−2≠0\displaystyle \det A=-2\neq 0
  2. Aflăm soluția sistemului. Adunăm cele trei ecuații: fiecare necunoscută apare de două ori, deci 2(x+y+z)=1+2+a\displaystyle 2(x+y+z)=1+2+a, adică x+y+z=a+32\displaystyle x+y+z=\dfrac{a+3}{2}.
    x+y+z=a+32\displaystyle x+y+z=\frac{a+3}{2}
  3. Din x+y+z=a+32\displaystyle x+y+z=\dfrac{a+3}{2} scădem pe rând y+z=2\displaystyle y+z=2, x+z=1\displaystyle x+z=1 și x+y=a\displaystyle x+y=a: x0=a+32−2=a−12\displaystyle x_0=\dfrac{a+3}{2}-2=\dfrac{a-1}{2}, y0=a+32−1=a+12\displaystyle y_0=\dfrac{a+3}{2}-1=\dfrac{a+1}{2}, z0=a+32−a=3−a2\displaystyle z_0=\dfrac{a+3}{2}-a=\dfrac{3-a}{2}.
    (a−12,a+12,3−a2), unde a∈R\displaystyle \left(\frac{a-1}{2},\frac{a+1}{2},\frac{3-a}{2}\right)\text{, unde }a\in\mathbb{R}
  4. Numerele x0,y0,z0\displaystyle x_0,y_0,z_0 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă 2y0=x0+z0\displaystyle 2y_0=x_0+z_0. Înlocuim: 2⋅a+12=a−12+3−a2\displaystyle 2\cdot\dfrac{a+1}{2}=\dfrac{a-1}{2}+\dfrac{3-a}{2}.
    2⋅a+12=a−12+3−a2\displaystyle 2\cdot\frac{a+1}{2}=\frac{a-1}{2}+\frac{3-a}{2}
  5. Simplificăm. Membrul stâng este a+1\displaystyle a+1, iar membrul drept este a−1+3−a2=1\displaystyle \dfrac{a-1+3-a}{2}=1. Înmulțind cu 2 echivalent: 2a+2=2\displaystyle 2a+2=2, deci a=0\displaystyle a=0. Verificare: pentru a=0\displaystyle a=0 soluția este (−12,12,32)\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right), progresie aritmetică cu rația 1\displaystyle 1.
    2a+2=2⇔a=0\displaystyle 2a+2=2\Leftrightarrow a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru z1∘z2=iz1z2+z1+z2\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2.

Arătați că i∘i=i\displaystyle i\circ i=i.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este z1∘z2=iz1z2+z1+z2\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2. Înlocuim z1=i\displaystyle z_1=i și z2=i\displaystyle z_2=i.
    i∘i=i⋅i⋅i+i+i\displaystyle i\circ i=i\cdot i\cdot i+i+i
  2. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci i⋅i⋅i=i3=i2⋅i=−i\displaystyle i\cdot i\cdot i=i^{3}=i^{2}\cdot i=-i.
    i⋅i⋅i=−i\displaystyle i\cdot i\cdot i=-i
  3. Adunăm termenii: −i+i+i=−i+2i=i\displaystyle -i+i+i=-i+2i=i. Deci i∘i=i\displaystyle i\circ i=i.
    i∘i=−i+2i=i\displaystyle i\circ i=-i+2i=i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru z1∘z2=iz1z2+z1+z2\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2.

Demonstrați că z1∘z2=i(z1−i)(z2−i)+i\displaystyle z_1\circ z_2=i(z_1-i)(z_2-i)+i, pentru orice numere complexe z1\displaystyle z_1 și z2\displaystyle z_2.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția z1∘z2=iz1z2+z1+z2\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2 și adăugăm și scădem numărul i\displaystyle i, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei.
    z1∘z2=iz1z2+z1+z2−i+i\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2-i+i
  2. Observăm că iz1(z2−i)=iz1z2−i2z1=iz1z2+z1\displaystyle iz_1(z_2-i)=iz_1z_2-i^2z_1=iz_1z_2+z_1, deoarece i2=−1\displaystyle i^2=-1. Grupăm astfel iz1z2+z1=iz1(z2−i)\displaystyle iz_1z_2+z_1=iz_1(z_2-i) și z2−i\displaystyle z_2-i rămâne separat. Expresia devine iz1(z2−i)+(z2−i)+i\displaystyle iz_1(z_2-i)+(z_2-i)+i.
    z1∘z2=iz1(z2−i)+(z2−i)+i\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1(z_2-i)+(z_2-i)+i
  3. Dăm factor comun pe z2−i\displaystyle z_2-i din primii doi termeni: iz1(z2−i)+(z2−i)=(z2−i)(iz1+1)\displaystyle iz_1(z_2-i)+(z_2-i)=(z_2-i)(iz_1+1).
    z1∘z2=(z2−i)(iz1+1)+i\displaystyle z_1\circ z_2=(z_2-i)(iz_1+1)+i
  4. Scriem iz1+1=i(z1−i)\displaystyle iz_1+1=i(z_1-i), deoarece i⋅(−i)=−i2=1\displaystyle i\cdot(-i)=-i^2=1. Înlocuind, obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere complexe z1\displaystyle z_1 și z2\displaystyle z_2.
    z1∘z2=i(z1−i)(z2−i)+i, pentru orice numere \displaystyle z_1\circ z_2=i(z_1-i)(z_2-i)+i\text{, pentru orice numere }complexe z1 și z2\displaystyle \text{complexe }z_1\text{ și }z_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru z1∘z2=iz1z2+z1+z2\displaystyle z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2.

Demonstrați că simetricul numărului 12(1+i)\displaystyle \frac{1}{2}(1+i) în raport cu legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este număr real.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru e\displaystyle e. Din z∘e=z\displaystyle z\circ e=z obținem ize+z+e=z\displaystyle ize+z+e=z, adică e(iz+1)=0\displaystyle e(iz+1)=0 pentru orice z\displaystyle z, deci e=0\displaystyle e=0. Verificăm: z∘0=z\displaystyle z\circ 0=z și 0∘z=z\displaystyle 0\circ z=z, legea fiind comutativă.
    z∘0=z, 0∘z=z, pentru orice z∈C, deci e=0\displaystyle z\circ 0=z\text{, }0\circ z=z\text{, pentru orice }z\in\mathbb{C}\text{, deci }e=0
  2. Punem legea sub formă factorizată. Dezvoltăm: i(z−i)(z′−i)+i=i(zz′−iz−iz′−1)+i=izz′+z+z′−i+i\displaystyle i(z-i)(z'-i)+i=i(zz'-iz-iz'-1)+i=izz'+z+z'-i+i, deci obținem exact legea.
    z∘z′=i(z−i)(z′−i)+i\displaystyle z\circ z'=i(z-i)(z'-i)+i
  3. Simetricul z′\displaystyle z' al lui z\displaystyle z satisface z∘z′=0\displaystyle z\circ z'=0, adică i(z−i)(z′−i)+i=0\displaystyle i(z-i)(z'-i)+i=0. Împărțim la i\displaystyle i și obținem (z−i)(z′−i)=−1\displaystyle (z-i)(z'-i)=-1.
    (z−i)(z′−i)=−1\displaystyle (z-i)(z'-i)=-1
  4. Exprimăm z′\displaystyle z' în funcție de z\displaystyle z, pentru z≠i\displaystyle z\neq i.
    z′=−1z−i+i\displaystyle z'=-\frac{1}{z-i}+i
  5. Înlocuim z=1+i2\displaystyle z=\dfrac{1+i}{2}. Atunci z−i=1+i−2i2=1−i2\displaystyle z-i=\dfrac{1+i-2i}{2}=\dfrac{1-i}{2}, deci z′=−21−i+i\displaystyle z'=-\dfrac{2}{1-i}+i.
    z′=−21+i−2i+i=−21−i+i\displaystyle z'=-\frac{2}{1+i-2i}+i=-\frac{2}{1-i}+i
  6. Aducem la același numitor: z′=−2+i(1−i)1−i=−2+i+11−i=−1+i1−i=−1\displaystyle z'=\dfrac{-2+i(1-i)}{1-i}=\dfrac{-2+i+1}{1-i}=\dfrac{-1+i}{1-i}=-1. Deci simetricul este −1\displaystyle -1, număr real.
    z′=−1+i1−i=−1∈R\displaystyle z'=\frac{-1+i}{1-i}=-1\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xn−nln⁡x+1\displaystyle f(x)=x^n-n\ln x+1, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Arătați că f′(x)=n(xn−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{n(x^n-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}, (nln⁡x)′=nx\displaystyle (n\ln x)'=\dfrac{n}{x}, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=nxn−1−n⋅1x\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}-n\cdot\frac{1}{x}
  2. Dăm factor comun pe n\displaystyle n din cei doi termeni.
    f′(x)=nxn−1−n⋅1x=n(xn−1−1x)\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}-n\cdot\frac{1}{x}=n\left(x^{n-1}-\frac{1}{x}\right)
  3. Aducem la numitor comun x\displaystyle x: amplificăm primul termen cu x\displaystyle x și folosim xn−1⋅x=xn\displaystyle x^{n-1}\cdot x=x^{n}.
    xn−1−1x=xn−1⋅x−1x=xn−1x\displaystyle x^{n-1}-\frac{1}{x}=\frac{x^{n-1}\cdot x-1}{x}=\frac{x^{n}-1}{x}
  4. Înlocuim în expresia derivatei și obținem egalitatea cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=n⋅xn−1x=n(xn−1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=n\cdot\frac{x^n-1}{x}=\frac{n(x^n-1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xn−nln⁡x+1\displaystyle f(x)=x^n-n\ln x+1, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)−xnx=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^n}{x}=0, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xn−nln⁡x+1\displaystyle f(x)=x^{n}-n\ln x+1 în limita dată.
    lim⁡x→+∞f(x)−xnx=lim⁡x→+∞xn−nln⁡x+1−xnx\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^{n}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}-n\ln x+1-x^{n}}{x}
  2. Termenii xn\displaystyle x^{n} și −xn\displaystyle -x^{n} se reduc, deci numărătorul devine −nln⁡x+1\displaystyle -n\ln x+1.
    lim⁡x→+∞−nln⁡x+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-n\ln x+1}{x}
  3. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem −nln⁡x+1→−∞\displaystyle -n\ln x+1\to-\infty și x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} și putem aplica regula lui l'Hospital.
    −∞+∞\displaystyle \frac{-\infty}{+\infty}
  4. Derivăm numărătorul: (−nln⁡x+1)′=−n⋅1x\displaystyle (-n\ln x+1)'=-n\cdot\dfrac{1}{x}, iar numitorul: (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    lim⁡x→+∞−n⋅1x1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-n\cdot\frac{1}{x}}{1}
  5. Cum 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to0 pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, iar n\displaystyle n este constant, obținem limita 0\displaystyle 0, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    lim⁡x→+∞−n⋅1x1=0, pentru orice numa˘r \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-n\cdot\frac{1}{x}}{1}=0\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xn−nln⁡x+1\displaystyle f(x)=x^n-n\ln x+1, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are soluție în intervalul (0,1]\displaystyle (0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=xn−nln⁡x+1\displaystyle f(x)=x^{n}-n\ln x+1 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=nxn−1−nx\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}-\dfrac{n}{x}.
    f′(x)=nxn−1−nx\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}-\dfrac{n}{x}
  2. Aducem la același numitor: f′(x)=n(xn−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{n\left(x^{n}-1\right)}{x}.
    f′(x)=n(xn−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{n\left(x^{n}-1\right)}{x}
  3. Pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem xn≤1\displaystyle x^{n}\leq 1, deci xn−1≤0\displaystyle x^{n}-1\leq 0. Cum n>0\displaystyle n>0 și x>0\displaystyle x>0, rezultă f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  4. Calculăm limita la capătul din stânga: xn→0\displaystyle x^{n}\to 0, iar −nln⁡x→+∞\displaystyle -n\ln x\to+\infty când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0. Deci lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=+\infty.
    lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=+\infty
  5. Calculăm f(1)=1n−nln⁡1+1=1−0+1=2\displaystyle f(1)=1^{n}-n\ln 1+1=1-0+1=2.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  6. Funcția f\displaystyle f este continuă și descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1], cu lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=+\infty și f(1)=2\displaystyle f(1)=2, deci f((0,1])=[2,+∞)\displaystyle f((0,1])=[2,+\infty). Ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are soluție în (0,1]\displaystyle (0,1] exact când a∈[2,+∞)\displaystyle a\in[2,+\infty).
    a∈[2,+∞)\displaystyle a\in[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Arătați că ∫03f(x) dx=12\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa: ∫03f(x) dx=∫03(x2+1) dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3 (x^{2}+1)\,dx.
    ∫03f(x) dx=∫03(x2+1) dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3 (x^{2}+1)\,dx
  2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci o primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=x33+x\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+x.
    F(x)=x33+x\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), adică ∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_0^3 (x^{2}+1)\,dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_0^3.
    ∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_0^3 (x^{2}+1)\,dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_0^3
  4. Calculăm F(3)=333+3=273+3=9+3=12\displaystyle F(3)=\dfrac{3^{3}}{3}+3=\dfrac{27}{3}+3=9+3=12 și F(0)=03+0=0\displaystyle F(0)=\dfrac{0}{3}+0=0. Atunci F(3)−F(0)=12−0=12\displaystyle F(3)-F(0)=12-0=12, deci ∫03f(x) dx=12\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=12.
    273+3−0=12\displaystyle \dfrac{27}{3}+3-0=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Calculați ∫01f(x)ex3+3x dx\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{x^3+3x}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1 și obținem integrala ∫01(x2+1)ex3+3x dx\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)e^{x^3+3x}\,dx.
    ∫01(x2+1)ex3+3x dx\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)e^{x^3+3x}\,dx
  2. Derivăm exponentul: (x3+3x)′=3x2+3=3(x2+1)\displaystyle (x^3+3x)'=3x^2+3=3(x^2+1).
    (x3+3x)′=3(x2+1)\displaystyle (x^3+3x)'=3(x^2+1)
  3. Deducem că x2+1=13(x3+3x)′\displaystyle x^2+1=\dfrac{1}{3}(x^3+3x)', deci integrala devine 13∫01(x3+3x)′ex3+3x dx\displaystyle \dfrac{1}{3}\int_0^1 (x^3+3x)'e^{x^3+3x}\,dx.
    13∫01(x3+3x)′ex3+3x dx\displaystyle \frac{1}{3}\int_0^1 (x^3+3x)'e^{x^3+3x}\,dx
  4. Deoarece (eu)′=u′eu\displaystyle \left(e^{u}\right)'=u'e^{u}, cu u=x3+3x\displaystyle u=x^3+3x, primitiva este ex3+3x\displaystyle e^{x^3+3x}. Rezultă 13ex3+3x∣01\displaystyle \dfrac{1}{3}e^{x^3+3x}\Big|_0^1.
    13ex3+3x∣01\displaystyle \frac{1}{3}e^{x^3+3x}\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 exponentul este 13+3⋅1=4\displaystyle 1^3+3\cdot 1=4, iar pentru x=0\displaystyle x=0 este 0\displaystyle 0. Deci obținem 13(e4−e0)\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(e^4-e^0\right).
    13(e4−e0)\displaystyle \frac{1}{3}\left(e^4-e^0\right)
  6. Cum e0=1\displaystyle e^0=1, rezultatul final este e4−13\displaystyle \dfrac{e^4-1}{3}.
    e4−13\displaystyle \frac{e^4-1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Arătați că 15∫01f7(x) dx−14∫01f6(x) dx=128\displaystyle 15\int_0^1 f^7(x)\,dx-14\int_0^1 f^6(x)\,dx=128.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f7(x)=(x2+1)7\displaystyle f^7(x)=(x^2+1)^7 și observăm că x′=1\displaystyle x'=1, deci ∫01f7(x) dx=∫01x′(x2+1)7 dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=\int_0^1 x'(x^2+1)^7\,dx.
    ∫01f7(x) dx=∫01x′(x2+1)7 dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=\int_0^1 x'(x^2+1)^7\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: ∫01x′g(x) dx=xg(x)∣01−∫01x g′(x) dx\displaystyle \int_0^1 x'g(x)\,dx=xg(x)\Big|_0^1-\int_0^1 x\,g'(x)\,dx, unde g(x)=(x2+1)7\displaystyle g(x)=(x^2+1)^7. Avem g′(x)=7(x2+1)6⋅2x=14x(x2+1)6\displaystyle g'(x)=7(x^2+1)^6\cdot 2x=14x(x^2+1)^6.
    ∫01f7(x) dx=x(x2+1)7∣01−∫0114x2(x2+1)6 dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=x(x^2+1)^7\Big|_0^1-\int_0^1 14x^2(x^2+1)^6\,dx
  3. Calculăm x(x2+1)7∣01=1⋅27−0=27=128\displaystyle x(x^2+1)^7\Big|_0^1=1\cdot 2^7-0=2^7=128. În integrală scriem x2=(x2+1)−1\displaystyle x^2=(x^2+1)-1.
    ∫01f7(x) dx=27−14∫01(x2+1−1)(x2+1)6 dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=2^7-14\int_0^1(x^2+1-1)(x^2+1)^6\,dx
  4. Desfacem: (x2+1−1)(x2+1)6=(x2+1)7−(x2+1)6\displaystyle (x^2+1-1)(x^2+1)^6=(x^2+1)^7-(x^2+1)^6. Separăm integrala și folosim 27=128\displaystyle 2^7=128.
    ∫01f7(x) dx=128−14∫01(x2+1)7 dx+14∫01(x2+1)6 dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=128-14\int_0^1(x^2+1)^7\,dx+14\int_0^1(x^2+1)^6\,dx
  5. Cum (x2+1)7=f7(x)\displaystyle (x^2+1)^7=f^7(x) și (x2+1)6=f6(x)\displaystyle (x^2+1)^6=f^6(x), avem ∫01f7(x) dx=128−14∫01f7(x) dx+14∫01f6(x) dx\displaystyle \int_0^1 f^7(x)\,dx=128-14\int_0^1 f^7(x)\,dx+14\int_0^1 f^6(x)\,dx. Mutăm 14∫01f7(x) dx\displaystyle 14\int_0^1 f^7(x)\,dx în stânga și 14∫01f6(x) dx\displaystyle 14\int_0^1 f^6(x)\,dx de asemenea în stânga: 15∫01f7(x) dx−14∫01f6(x) dx=128\displaystyle 15\int_0^1 f^7(x)\,dx-14\int_0^1 f^6(x)\,dx=128.
    15∫01f7(x) dx−14∫01f6(x) dx=128\displaystyle 15\int_0^1 f^7(x)\,dx-14\int_0^1 f^6(x)\,dx=128
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.