Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor șapte termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=−5\displaystyle a_1=-5 și rația r=8\displaystyle r=8.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sumei primilor n\displaystyle n termeni ai unei progresii aritmetice: Sn=(2a1+(n−1)r)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{(2a_1+(n-1)r)\cdot n}{2}. Pentru n=7\displaystyle n=7 obținem S7=(2a1+6r)⋅72\displaystyle S_7=\dfrac{(2a_1+6r)\cdot 7}{2}.
    S7=(2a1+6r)⋅72\displaystyle S_7=\frac{(2a_1+6r)\cdot 7}{2}
  2. Înlocuim a1=−5\displaystyle a_1=-5 și r=8\displaystyle r=8 în formulă.
    S7=(2⋅(−5)+6⋅8)⋅72\displaystyle S_7=\frac{(2\cdot(-5)+6\cdot 8)\cdot 7}{2}
  3. Calculăm paranteza: 2⋅(−5)=−10\displaystyle 2\cdot(-5)=-10, 6⋅8=48\displaystyle 6\cdot 8=48, iar −10+48=38\displaystyle -10+48=38.
    S7=38⋅72\displaystyle S_7=\frac{38\cdot 7}{2}
  4. Simplificăm fracția: 382=19\displaystyle \dfrac{38}{2}=19, iar 19⋅7=133\displaystyle 19\cdot 7=133. Deci suma primilor șapte termeni este 133.
    S7=19⋅7=133\displaystyle S_7=19\cdot 7=133
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale nenule ale lui a\displaystyle a pentru care ecuația ax2−x−a−1=0\displaystyle ax^2-x-a-1=0 are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația este de gradul al doilea (a≠0\displaystyle a\neq 0), deci are două soluții reale distincte exact când discriminantul este strict pozitiv. Identificăm coeficienții: a\displaystyle a, −1\displaystyle -1 și −a−1\displaystyle -a-1.
    coeficienții: a\displaystyle \text{coeficienții: }a, −1\displaystyle \ -1, −a−1\displaystyle \ -a-1
  2. Scriem discriminantul Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac și înlocuim coeficienții: Δ=(−1)2−4a(−a−1)\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4a(-a-1).
    Δ=1−4a(−a−1)\displaystyle \Delta=1-4a(-a-1)
  3. Efectuăm înmulțirea: −4a(−a−1)=4a2+4a\displaystyle -4a(-a-1)=4a^{2}+4a. Obținem Δ=4a2+4a+1\displaystyle \Delta=4a^{2}+4a+1, care este pătratul perfect al lui 2a+1\displaystyle 2a+1.
    Δ=4a2+4a+1=(2a+1)2\displaystyle \Delta=4a^{2}+4a+1=(2a+1)^{2}
  4. Impunem condiția Δ>0\displaystyle \Delta>0, adică (2a+1)2>0\displaystyle (2a+1)^{2}>0. Un pătrat este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0 și este egal cu 0\displaystyle 0 doar când baza este 0\displaystyle 0, deci trebuie ca 2a+1≠0\displaystyle 2a+1\neq 0.
    2a+1≠0\displaystyle 2a+1\neq 0
  5. Rezolvăm 2a+1≠0\displaystyle 2a+1\neq 0 și obținem a≠−12\displaystyle a\neq -\dfrac{1}{2}. Ținând cont și de condiția a≠0\displaystyle a\neq 0 din enunț, excludem ambele valori.
    a∈R∖{−12,0}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{1}{2},0\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−x3+x2−93=2x\displaystyle 3x-\sqrt[3]{x^3+x^2-9}=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul cubic: din 3x−x3+x2−93=2x\displaystyle 3x-\sqrt[3]{x^3+x^2-9}=2x obținem x3+x2−93=3x−2x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+x^2-9}=3x-2x, adică x3+x2−93=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+x^2-9}=x.
    x3+x2−93=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+x^2-9}=x
  2. Ridicăm la puterea a treia ambii membri. Radicalul cubic este definit pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, iar ridicarea la cub este injectivă, deci obținem o ecuație echivalentă: x3+x2−9=x3\displaystyle x^3+x^2-9=x^3.
    x3+x2−9=x3\displaystyle x^3+x^2-9=x^3
  3. Reducem termenii x3\displaystyle x^3 din cei doi membri: x3+x2−9=x3⇔x2−9=0\displaystyle x^3+x^2-9=x^3\Leftrightarrow x^2-9=0.
    x3+x2−9=x3⇔x2−9=0\displaystyle x^3+x^2-9=x^3\Leftrightarrow x^2-9=0
  4. Din x2−9=0\displaystyle x^2-9=0 obținem x2=9\displaystyle x^2=9, deci x=−3\displaystyle x=-3 sau x=3\displaystyle x=3. Ambele valori convin, deoarece transformările au fost echivalențe.
    x=−3 sau x=3\displaystyle x=-3\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați 5A32−3C53\displaystyle 5A_3^2-3C_5^3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele: Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} și Cnk=n!(n−k)!⋅k!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}.
    Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!},Cnk=n!(n−k)!⋅k!\displaystyle \quad C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}
  2. Înlocuim în expresie: pentru A32\displaystyle A_3^2 avem n=3\displaystyle n=3, k=2\displaystyle k=2, iar pentru C53\displaystyle C_5^3 avem n=5\displaystyle n=5, k=3\displaystyle k=3.
    5A32−3C53=5⋅3!(3−2)!−3⋅5!(5−3)!⋅3!\displaystyle 5A_3^2-3C_5^3=5\cdot\dfrac{3!}{(3-2)!}-3\cdot\dfrac{5!}{(5-3)!\cdot 3!}
  3. Calculăm aranjamentele: 3!=6\displaystyle 3!=6 și (3−2)!=1!=1\displaystyle (3-2)!=1!=1, deci A32=61=6\displaystyle A_3^2=\dfrac{6}{1}=6.
    A32=6\displaystyle A_3^2=6
  4. Calculăm combinările: 5!2!⋅3!=3!⋅4⋅52⋅3!=4⋅52=10\displaystyle \dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{3!\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3!}=\dfrac{4\cdot 5}{2}=10, deci C53=10\displaystyle C_5^3=10.
    C53=4⋅52=10\displaystyle C_5^3=\dfrac{4\cdot 5}{2}=10
  5. Înlocuim valorile obținute: 5⋅6−3⋅4⋅52=30−30=0\displaystyle 5\cdot 6-3\cdot\dfrac{4\cdot 5}{2}=30-30=0.
    5⋅6−3⋅4⋅52=30−30=0\displaystyle 5\cdot 6-3\cdot\dfrac{4\cdot 5}{2}=30-30=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗+mj⃗\displaystyle \vec{a}=2\vec{i}+m\vec{j} și b⃗=5i⃗−(m2+1)j⃗\displaystyle \vec{b}=5\vec{i}-(m^2+1)\vec{j}, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care vectorii a⃗\displaystyle \vec{a} și b⃗\displaystyle \vec{b} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Coordonatele vectorilor sunt a⃗(2, m)\displaystyle \vec{a}(2,\ m) și b⃗(5, −(m2+1))\displaystyle \vec{b}(5,\ -(m^2+1)). Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale. Avem 5≠0\displaystyle 5\neq 0 și −(m2+1)≠0\displaystyle -(m^2+1)\neq 0 pentru orice m\displaystyle m real, deci putem scrie proporția.
    25=m−(m2+1)\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{m}{-(m^2+1)}
  2. Înmulțim pe diagonală: 2⋅(−(m2+1))=5⋅m\displaystyle 2\cdot\left(-(m^2+1)\right)=5\cdot m.
    −2m2−2=5m\displaystyle -2m^2-2=5m
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și schimbăm semnele, obținând ecuația de gradul al doilea 2m2+5m+2=0\displaystyle 2m^2+5m+2=0.
    2m2+5m+2=0\displaystyle 2m^2+5m+2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=52−4⋅2⋅2=25−16=9\displaystyle \Delta=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Aplicăm formula soluțiilor: m=−5±34\displaystyle m=\dfrac{-5\pm 3}{4}. Obținem m=−24=−12\displaystyle m=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2} și m=−84=−2\displaystyle m=\dfrac{-8}{4}=-2. Ambele valori sunt reale și convin.
    m=−2 sau m=−12\displaystyle m=-2\text{ sau }m=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB>BC\displaystyle AB>BC, AC=6\displaystyle AC=6, BC=10\displaystyle BC=10 și aria egală cu 15\displaystyle 15. Determinați măsura unghiului C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Aria triunghiului se poate scrie cu sinusul unghiului cuprins între laturile AC\displaystyle AC și BC\displaystyle BC: AΔABC=AC⋅BC⋅sin⁡C2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AC\cdot BC\cdot\sin C}{2}.
    AΔABC=AC⋅BC⋅sin⁡C2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AC\cdot BC\cdot\sin C}{2}
  2. Înlocuim A=15\displaystyle \mathcal{A}=15, AC=6\displaystyle AC=6, BC=10\displaystyle BC=10 și obținem 15=6⋅10⋅sin⁡C2\displaystyle 15=\dfrac{6\cdot 10\cdot\sin C}{2}.
    15=6⋅10⋅sin⁡C2\displaystyle 15=\dfrac{6\cdot 10\cdot\sin C}{2}
  3. Simplificăm: 6⋅102=30\displaystyle \dfrac{6\cdot 10}{2}=30, deci 15=30sin⁡C\displaystyle 15=30\sin C, de unde sin⁡C=1530\displaystyle \sin C=\dfrac{15}{30}.
    sin⁡C=12\displaystyle \sin C=\dfrac{1}{2}
  4. Unghiul C\displaystyle C are măsura în intervalul (0∘,180∘)\displaystyle (0^\circ,180^\circ). Din sin⁡C=12\displaystyle \sin C=\dfrac{1}{2} rezultă două posibilități.
    C=30∘ sau C=150∘\displaystyle C=30^\circ\text{ sau }C=150^\circ
  5. Condiția AB>BC\displaystyle AB>BC înseamnă C>A\displaystyle C>A, deoarece AB\displaystyle AB este opusă lui C\displaystyle C și BC\displaystyle BC este opusă lui A\displaystyle A. Dacă C=30∘\displaystyle C=30^\circ, atunci A<30∘\displaystyle A<30^\circ, deci B>120∘\displaystyle B>120^\circ, iar AC\displaystyle AC ar fi latura cea mai mare, ceea ce contrazice AC=6<BC=10\displaystyle AC=6<BC=10. Deci C=150∘\displaystyle C=150^\circ.
    C=150∘\displaystyle C=150^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−11−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a,b)=aI2+bA\displaystyle M(a,b)=aI_2+bA, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(1−11−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin 2 avem ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣1−11−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\1&-1\end{vmatrix}
  2. Diagonala principală are elementele 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, iar diagonala secundară are elementele −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1. Înlocuim în formulă.
    det⁡A=1⋅(−1)−(−1)⋅1\displaystyle \det A=1\cdot(-1)-(-1)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1 și (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1. Scăderea lui −1\displaystyle -1 înseamnă adunarea lui 1\displaystyle 1, deci obținem −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Prin urmare det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    −1+1=0, deci det⁡A=0\displaystyle -1+1=0\text{, deci }\det A=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−11−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a,b)=aI2+bA\displaystyle M(a,b)=aI_2+bA, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că M(a,b)⋅M(x,y)=M(ax,ay+bx)\displaystyle M(a,b)\cdot M(x,y)=M(ax,ay+bx), pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅1+(−1)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0, iar celelalte elemente se calculează la fel și ies tot 0\displaystyle 0.
    A⋅A=(1−11−1)(1−11−1)=(0000)=O2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
  2. Scriem produsul M(a,b)⋅M(x,y)\displaystyle M(a,b)\cdot M(x,y) înlocuind M(a,b)\displaystyle M(a,b) și M(x,y)\displaystyle M(x,y) cu definiția lor.
    M(a,b)⋅M(x,y)=(aI2+bA)(xI2+yA)\displaystyle M(a,b)\cdot M(x,y)=(aI_2+bA)(xI_2+yA)
  3. Desfacem parantezele prin distributivitate. Folosim faptul că I2⋅A=A⋅I2=A\displaystyle I_2\cdot A=A\cdot I_2=A și I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2.
    axI2+ayA+bxA+byA⋅A\displaystyle axI_2+ayA+bxA+byA\cdot A
  4. Înlocuim A⋅A=O2\displaystyle A\cdot A=O_2, deci ultimul termen dispare. Apoi grupăm termenii care conțin A\displaystyle A.
    axI2+(ay+bx)A\displaystyle axI_2+(ay+bx)A
  5. Expresia obținută este exact definiția matricei M\displaystyle M cu parametrii ax\displaystyle ax și ay+bx\displaystyle ay+bx, deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, x\displaystyle x, y\displaystyle y.
    M(a,b)⋅M(x,y)=axI2+(ay+bx)A=M(ax,ay+bx)\displaystyle M(a,b)\cdot M(x,y)=axI_2+(ay+bx)A=M(ax,ay+bx)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−11−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a,b)=aI2+bA\displaystyle M(a,b)=aI_2+bA, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale pentru care matricele B=M(x,2y)+M(y,2x)\displaystyle B=M(x,2y)+M(y,2x) și C=M(x2,1)⋅M(y2,1)\displaystyle C=M\left(x\sqrt{2},1\right)\cdot M\left(y\sqrt{2},1\right) sunt egale, atunci x2+y2=0\displaystyle x^2+y^2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem B\displaystyle B desfăcând fiecare matrice după definiția M(a,b)=aI2+bA\displaystyle M(a,b)=aI_2+bA: M(x,2y)=xI2+2yA\displaystyle M(x,2y)=xI_2+2yA și M(y,2x)=yI2+2xA\displaystyle M(y,2x)=yI_2+2xA. Apoi grupăm termenii cu I2\displaystyle I_2 și termenii cu A\displaystyle A.
    B=(x+y)I2+2(x+y)A=M(x+y, 2(x+y))\displaystyle B=(x+y)I_2+2(x+y)A=M\left(x+y,\,2(x+y)\right)
  2. Calculăm A2\displaystyle A^2: A⋅A=(1−1−1+11−1−1+1)=O2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1-1&-1+1\\1-1&-1+1\end{pmatrix}=O_2. Cu această observație, înmulțind (aI2+bA)(cI2+dA)=acI2+(ad+bc)A+bdA2\displaystyle (aI_2+bA)(cI_2+dA)=acI_2+(ad+bc)A+bdA^2 și folosind A2=O2\displaystyle A^2=O_2, obținem formula de produs.
    M(a,b)⋅M(c,d)=M(ac, ad+bc)\displaystyle M(a,b)\cdot M(c,d)=M(ac,\,ad+bc)
  3. Aplicăm formula de produs pentru C\displaystyle C, cu a=x2\displaystyle a=x\sqrt{2}, b=1\displaystyle b=1, c=y2\displaystyle c=y\sqrt{2}, d=1\displaystyle d=1. Primul parametru este x2⋅y2=2xy\displaystyle x\sqrt{2}\cdot y\sqrt{2}=2xy, iar al doilea este x2+y2=2(x+y)\displaystyle x\sqrt{2}+y\sqrt{2}=\sqrt{2}(x+y).
    C=M(2xy, 2(x+y))\displaystyle C=M\left(2xy,\,\sqrt{2}(x+y)\right)
  4. Matricea M(a,b)\displaystyle M(a,b) are elementele a+b\displaystyle a+b, −b\displaystyle -b, b\displaystyle b, a−b\displaystyle a-b, deci M(a,b)=M(c,d)\displaystyle M(a,b)=M(c,d) doar dacă a=c\displaystyle a=c și b=d\displaystyle b=d. Din B=C\displaystyle B=C egalăm parametrii: x+y=2xy\displaystyle x+y=2xy și 2(x+y)=2(x+y)\displaystyle 2(x+y)=\sqrt{2}(x+y). A doua relație dă (2−2)(x+y)=0\displaystyle (2-\sqrt{2})(x+y)=0, iar cum 2−2≠0\displaystyle 2-\sqrt{2}\neq 0, rezultă x+y=0\displaystyle x+y=0. Atunci și 2xy=0\displaystyle 2xy=0. Din x+y=0\displaystyle x+y=0 și xy=0\displaystyle xy=0 rezultă x=y=0\displaystyle x=y=0, deci x2+y2=0\displaystyle x^2+y^2=0.
    x+y=2xy=0⇒x=y=0⇒x2+y2=0\displaystyle x+y=2xy=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow x^2+y^2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2 și x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+2.

Arătați că (1∗2)∘(1∗3)=1∗(2∘3)\displaystyle (1*2)\circ(1*3)=1*(2\circ 3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 1∗2\displaystyle 1*2 cu definiția x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2, pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=1⋅2+2⋅1+2⋅2+2=2+2+4+2=10\displaystyle 1*2=1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2+2=2+2+4+2=10
  2. Calculăm 1∗3\displaystyle 1*3 cu aceeași definiție, pentru x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=1⋅3+2⋅1+2⋅3+2=3+2+6+2=13\displaystyle 1*3=1\cdot 3+2\cdot 1+2\cdot 3+2=3+2+6+2=13
  3. Aplicăm legea ∘\displaystyle \circ, cu x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+2, numerelor 10\displaystyle 10 și 13\displaystyle 13 și obținem valoarea membrului stâng.
    (1∗2)∘(1∗3)=10∘13=10+13+2=25\displaystyle (1*2)\circ(1*3)=10\circ 13=10+13+2=25
  4. Pentru membrul drept, calculăm mai întâi 2∘3\displaystyle 2\circ 3 cu definiția legii ∘\displaystyle \circ.
    2∘3=2+3+2=7\displaystyle 2\circ 3=2+3+2=7
  5. Calculăm 1∗7\displaystyle 1*7 cu definiția legii ∗\displaystyle * și comparăm cu membrul stâng, care a fost 25\displaystyle 25.
    1∗(2∘3)=1∗7=7+2+14+2=25, deci (1∗2)∘(1∗3)=1∗(2∘3)\displaystyle 1*(2\circ 3)=1*7=7+2+14+2=25\text{, deci }(1*2)\circ(1*3)=1*(2\circ 3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2 și x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+2.

Demonstrați că x∗e=e\displaystyle x*e=e, pentru orice număr real x\displaystyle x, unde e\displaystyle e este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e al legii „∘\displaystyle \circ” trebuie să verifice x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Legea este comutativă, deci este suficient să impunem x∘e=x\displaystyle x\circ e=x.
    x∘e=x\displaystyle x\circ e=x
  2. Înlocuim definiția legii: x∘e=x+e+2\displaystyle x\circ e=x+e+2 și egalăm cu x\displaystyle x. Rezultă e+2=0\displaystyle e+2=0, deci e=−2\displaystyle e=-2. Verificăm: x∘(−2)=x−2+2=x\displaystyle x\circ(-2)=x-2+2=x și (−2)∘x=x\displaystyle (-2)\circ x=x, deci e=−2\displaystyle e=-2 este elementul neutru.
    x∘(−2)=(−2)∘x=x, deci e=−2\displaystyle x\circ(-2)=(-2)\circ x=x\text{, deci }e=-2
  3. Calculăm x∗e\displaystyle x*e cu e=−2\displaystyle e=-2, folosind definiția x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2: x∗(−2)=x⋅(−2)+2x+2⋅(−2)+2\displaystyle x*(-2)=x\cdot(-2)+2x+2\cdot(-2)+2.
    x∗(−2)=−2x+2x−4+2\displaystyle x*(-2)=-2x+2x-4+2
  4. Termenii −2x\displaystyle -2x și 2x\displaystyle 2x se reduc, iar −4+2=−2\displaystyle -4+2=-2. Obținem x∗e=−2\displaystyle x*e=-2, adică exact e\displaystyle e, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗e=x∗(−2)=−2x+2x+(−4)+2=−2=e\displaystyle x*e=x*(-2)=-2x+2x+(-4)+2=-2=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2 și x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+2.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care n∗(−n)≥n∘(−n)\displaystyle n*(-n)\geq n\circ(-n).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm n∗(−n)\displaystyle n*(-n) înlocuind x=n\displaystyle x=n și y=−n\displaystyle y=-n în x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2.
    n∗(−n)=n⋅(−n)+2n+2(−n)+2\displaystyle n*(-n)=n\cdot(-n)+2n+2(-n)+2
  2. Reducem termenii: 2n\displaystyle 2n și −2n\displaystyle -2n se anulează, deci rămâne 2−n2\displaystyle 2-n^{2}.
    n∗(−n)=−n2+2n−2n+2=2−n2\displaystyle n*(-n)=-n^{2}+2n-2n+2=2-n^{2}
  3. Calculăm n∘(−n)\displaystyle n\circ(-n) cu x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+2: n\displaystyle n și −n\displaystyle -n se anulează, rămâne 2\displaystyle 2.
    n∘(−n)=n+(−n)+2=2\displaystyle n\circ(-n)=n+(-n)+2=2
  4. Scriem inegalitatea n∗(−n)≥n∘(−n)\displaystyle n*(-n)\geq n\circ(-n) cu rezultatele obținute.
    2−n2≥2\displaystyle 2-n^{2}\geq 2
  5. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, obținem −n2≥0\displaystyle -n^{2}\geq 0, apoi înmulțim cu −1\displaystyle -1 și schimbăm sensul inegalității.
    −n2≥0⇔n2≤0\displaystyle -n^{2}\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\leq 0
  6. Un pătrat de număr real este mereu ≥0\displaystyle \geq 0, deci n2≤0\displaystyle n^{2}\leq 0 implică n2=0\displaystyle n^{2}=0, adică n=0\displaystyle n=0. Acest număr este natural, deci convine.
    n=0\displaystyle n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−1+x2−x+1,x∈(−∞,0)xln⁡(x+1),x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-1+\sqrt{x^2-x+1}, & x\in(-\infty,0)\\ x\ln(x+1), & x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) funcția este formată din operații cu funcții elementare: polinom plus radical dintr-un polinom. Expresia x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1 are discriminantul Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0, deci este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar radicalul este definit. Deci f\displaystyle f este continuă pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0).
    x2−x+1>0 ∀x∈R⇒f continua˘ pe (−∞,0)\displaystyle x^{2}-x+1>0\ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ continuă pe }(-\infty,0)
  2. Pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) funcția este produsul dintre x\displaystyle x și ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), ambele continue, deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0. Deci f\displaystyle f este continuă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Rămâne de verificat continuitatea în punctul 0\displaystyle 0.
    f continua˘ pe (0,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }(0,+\infty)
  3. Calculăm limita la stânga în 0\displaystyle 0: înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia continuă x−1+x2−x+1\displaystyle x-1+\sqrt{x^{2}-x+1} și obținem 0−1+1\displaystyle 0-1+\sqrt{1}.
    lim⁡x→0, x<0f(x)=0−1+1=0\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=0-1+\sqrt{1}=0
  4. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0: expresia xln⁡(x+1)\displaystyle x\ln(x+1) este continuă în 0\displaystyle 0, deci limita este 0⋅ln⁡1=0\displaystyle 0\cdot\ln 1=0. Valoarea funcției în 0\displaystyle 0 se calculează cu a doua ramură: f(0)=0⋅ln⁡1=0\displaystyle f(0)=0\cdot\ln 1=0. Cele trei valori coincid, deci limita lui f\displaystyle f în 0\displaystyle 0 este egală cu f(0)\displaystyle f(0).
    lim⁡x→0, x<0f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=0, lim⁡x→0, x>0f(x)=0\displaystyle \ \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=0, f(0)=0⇒lim⁡x→0f(x)=f(0)\displaystyle \ f(0)=0\Rightarrow\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)
  5. Funcția este continuă pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0), pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și în punctul 0\displaystyle 0, deci este continuă pe întreg R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este continua˘ pe R\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−1+x2−x+1,x∈(−∞,0)xln⁡(x+1),x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-1+\sqrt{x^2-x+1}, & x\in(-\infty,0)\\ x\ln(x+1), & x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>0\displaystyle x>0 funcția este f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1). Aplicăm regula de derivare a produsului: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}.
    f′(x)=1⋅ln⁡(x+1)+x⋅1x+1\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln(x+1)+x\cdot\dfrac{1}{x+1}
  2. Scriem prima derivată simplificat.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+xx+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}
  3. Pentru a doua derivată, derivăm fiecare termen. Derivata lui ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}. Pentru xx+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1} folosim regula câtului: (xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.
    f′′(x)=1x+1+1(x+1)2\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+1>1>0\displaystyle x+1>1>0, deci ambele fracții sunt strict pozitive, iar suma lor este strict pozitivă.
    1x+1>0\displaystyle \dfrac{1}{x+1}>0, 1(x+1)2>0⇒f′′(x)>0\displaystyle \ \dfrac{1}{(x+1)^{2}}>0\Rightarrow f''(x)>0
  5. Deoarece a doua derivată este strict pozitivă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe acest interval.
    f′′(x)>0, deci f este convexa˘ pe (0,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, deci }f\text{ este convexă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−1+x2−x+1,x∈(−∞,0)xln⁡(x+1),x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-1+\sqrt{x^2-x+1}, & x\in(-\infty,0)\\ x\ln(x+1), & x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, a<0\displaystyle a<0, tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) nu este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta în punctul de abscisă a\displaystyle a este paralelă cu Ox\displaystyle Ox exact când panta ei f′(a)\displaystyle f'(a) este egală cu 0\displaystyle 0. Pentru a<0\displaystyle a<0 avem f(x)=x−1+x2−x+1\displaystyle f(x)=x-1+\sqrt{x^2-x+1}, deci derivăm pe această ramură.
    f′(x)=(x−1+x2−x+1)′\displaystyle f'(x)=\left(x-1+\sqrt{x^{2}-x+1}\right)'
  2. Derivăm radicalul cu formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, unde u=x2−x+1\displaystyle u=x^2-x+1 și u′=2x−1\displaystyle u'=2x-1. Derivata lui x−1\displaystyle x-1 este 1\displaystyle 1. Pentru x=a<0\displaystyle x=a<0 obținem derivata în a\displaystyle a.
    f′(a)=1+2a−12a2−a+1\displaystyle f'(a)=1+\dfrac{2a-1}{2\sqrt{a^{2}-a+1}}
  3. Presupunem că f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0 și izolăm radicalul. Expresia a2−a+1\displaystyle a^2-a+1 este strict pozitivă pentru orice a\displaystyle a real (discriminantul este negativ), deci radicalul este definit și nenul. Obținem 2a2−a+1=1−2a\displaystyle 2\sqrt{a^2-a+1}=1-2a.
    f′(a)=0⇔2a2−a+1=1−2a\displaystyle f'(a)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a+1}=1-2a
  4. Pentru a<0\displaystyle a<0 avem 1−2a>0\displaystyle 1-2a>0, deci ambii membri sunt pozitivi și putem ridica la pătrat: 4(a2−a+1)=(1−2a)2\displaystyle 4(a^2-a+1)=(1-2a)^2, adică 4a2−4a+4=4a2−4a+1\displaystyle 4a^2-4a+4=4a^2-4a+1. Reducând termenii asemenea rămâne 4=1\displaystyle 4=1, fals. Deci ecuația f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0 nu are soluții, iar tangenta în A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) nu este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox pentru niciun a<0\displaystyle a<0.
    4a2−4a+4=4a2−4a+1⇒4=1, imposibil\displaystyle 4a^{2}-4a+4=4a^{2}-4a+1\Rightarrow 4=1\text{, imposibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1+xxx2\displaystyle g(x)=\frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este o primitivă a funcției g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca f\displaystyle f să fie primitivă a lui g\displaystyle g pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), trebuie ca f\displaystyle f să fie derivabilă și f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Calculăm derivata lui f\displaystyle f.
    f′(x)=(2x−1x)′=(2x)′−(1x)′\displaystyle f'(x)=\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)'=\left(2\sqrt{x}\right)'-\left(\frac{1}{x}\right)'
  2. Folosim formulele de derivare: (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=2⋅12x−(−1x2)\displaystyle f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)
  3. Simplificăm: 2\displaystyle 2 se reduce cu 2\displaystyle 2 de la numitor, iar minusul dinaintea parantezei se combină cu minusul din paranteză.
    f′(x)=1x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}: amplificăm prima fracție cu xx\displaystyle x\sqrt{x}, deoarece x2=x⋅xx\displaystyle x^{2}=\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}.
    1x=xxx2\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}}{x^{2}}
  5. Adunăm fracțiile și observăm că rezultatul este exact g(x)\displaystyle g(x). Deci f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0, adică f\displaystyle f este o primitivă a lui g\displaystyle g.
    f′(x)=xx+1x2=g(x)\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^{2}}=g(x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1+xxx2\displaystyle g(x)=\frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}.

Calculați ∫144g(x) dx\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{4}g(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem fracția care definește g\displaystyle g în două fracții și simplificăm: g(x)=1x2+xxx2=1x2+1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{x\sqrt{x}}{x^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
    g(x)=1x2+1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}
  2. Derivăm funcția f\displaystyle f: derivata lui 2x\displaystyle 2\sqrt{x} este 1x\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}, iar derivata lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}. Obținem f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x), deci f\displaystyle f este o primitivă a lui g\displaystyle g pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=1x+1x2=g(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}=g(x)
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva f\displaystyle f: integrala este diferența valorilor lui f\displaystyle f în capetele intervalului, adică ∫144g(x) dx=f(x)∣144=f(4)−f(14)\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{4}g(x)\,dx=f(x)\Big|_{\frac{1}{4}}^{4}=f(4)-f\left(\dfrac{1}{4}\right).
    ∫144g(x) dx=f(4)−f(14)\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{4}g(x)\,dx=f(4)-f\left(\dfrac{1}{4}\right)
  4. Calculăm f(4)\displaystyle f(4): cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, avem f(4)=2⋅2−14=4−14\displaystyle f(4)=2\cdot 2-\dfrac{1}{4}=4-\dfrac{1}{4}.
    f(4)=154\displaystyle f(4)=\dfrac{15}{4}
  5. Calculăm f(14)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right): cum 14=12\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}, avem f(14)=2⋅12−114=1−4\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=1-4.
    f(14)=−3\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-3
  6. Scădem cele două valori: f(4)−f(14)=154−(−3)=154+3=154+124\displaystyle f(4)-f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{15}{4}-(-3)=\dfrac{15}{4}+3=\dfrac{15}{4}+\dfrac{12}{4}.
    154+3=274\displaystyle \dfrac{15}{4}+3=\dfrac{27}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1x\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\frac{1}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1+xxx2\displaystyle g(x)=\frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m∈(0,1)\displaystyle m\in(0,1), pentru care ∫m1f2(x)g(x) dx=13\displaystyle \int_{m}^{1}f^2(x)g(x)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui f\displaystyle f. Derivata lui 2x\displaystyle 2\sqrt{x} este 1x\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}, iar derivata lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}. Aducem la același numitor: f′(x)=1x+1x2=xx+1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^{2}}, deci f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x).
    f′(x)=1+xxx2=g(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{1+x\sqrt{x}}{x^{2}}=g(x)
  2. Înlocuim g(x)\displaystyle g(x) cu f′(x)\displaystyle f'(x) sub integrală. Deoarece (f3(x)3)′=f2(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{f^{3}(x)}{3}\right)'=f^{2}(x)f'(x), avem o primitivă imediată și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫m1f2(x)g(x) dx=∫m1f2(x)f′(x) dx=13f3(x)∣m1=13(f3(1)−f3(m))\displaystyle \int_{m}^{1}f^{2}(x)g(x)\,dx=\int_{m}^{1}f^{2}(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{3}f^{3}(x)\Big|_{m}^{1}=\dfrac{1}{3}\left(f^{3}(1)-f^{3}(m)\right)
  3. Calculăm f(1)=21−11=1\displaystyle f(1)=2\sqrt{1}-\dfrac{1}{1}=1. Condiția din enunț devine 13(1−f3(m))=13\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(1-f^{3}(m)\right)=\dfrac{1}{3}, adică 1−f3(m)=1\displaystyle 1-f^{3}(m)=1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1,1−f3(m)=1⇒f3(m)=0⇒f(m)=0\displaystyle \quad 1-f^{3}(m)=1\Rightarrow f^{3}(m)=0\Rightarrow f(m)=0
  4. Rezolvăm ecuația f(m)=0\displaystyle f(m)=0, adică 2m=1m\displaystyle 2\sqrt{m}=\dfrac{1}{m}. Înmulțim cu m\displaystyle m și obținem 2mm=1\displaystyle 2m\sqrt{m}=1, deci mm=12\displaystyle m\sqrt{m}=\dfrac{1}{2}. Ridicăm la pătrat: m3=14\displaystyle m^{3}=\dfrac{1}{4}, deci m=143\displaystyle m=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}. Cum 43>1\displaystyle \sqrt[3]{4}>1, avem m∈(0,1)\displaystyle m\in(0,1), deci valoarea convine.
    m=143, care convine\displaystyle m=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.