Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡2(43+23+1)=−log⁡2(23−1)\displaystyle \log_2\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)=-\log_2\left(\sqrt[3]{2}-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că logaritmii au sens: argumentele trebuie să fie pozitive. Avem 43+23+1>0\displaystyle \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1>0, iar 23>13=1\displaystyle \sqrt[3]{2}>\sqrt[3]{1}=1, deci 23−1>0\displaystyle \sqrt[3]{2}-1>0.
    43+23+1>0 și 23−1>0\displaystyle \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1>0\text{ și }\sqrt[3]{2}-1>0
  2. Mutăm termenul din dreapta în stânga, astfel încât egalitatea devine o sumă de logaritmi egală cu zero: log⁡2(43+23+1)+log⁡2(23−1)=0\displaystyle \log_2\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)+\log_2\left(\sqrt[3]{2}-1\right)=0.
    log⁡2(43+23+1)+log⁡2(23−1)=0\displaystyle \log_2\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)+\log_2\left(\sqrt[3]{2}-1\right)=0
  3. Folosim formula log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a(xy), valabilă pentru x,y>0\displaystyle x,y>0. Egalitatea de demonstrat este echivalentă cu log⁡2((43+23+1)(23−1))=0\displaystyle \log_2\left(\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\right)=0.
    log⁡2((43+23+1)(23−1))=0\displaystyle \log_2\left(\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\right)=0
  4. Observăm că 43=(23)2\displaystyle \sqrt[3]{4}=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2. Notăm a=23\displaystyle a=\sqrt[3]{2}. Atunci produsul devine (a2+a+1)(a−1)\displaystyle \left(a^2+a+1\right)(a-1).
    (a2+a+1)(a−1)\displaystyle \left(a^2+a+1\right)(a-1)
  5. Aplicăm formula diferenței de cuburi a3−1=(a−1)(a2+a+1)\displaystyle a^3-1=(a-1)\left(a^2+a+1\right). Cum a3=(23)3=2\displaystyle a^3=\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=2, obținem (43+23+1)(23−1)=2−1=1\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)=2-1=1.
    (43+23+1)(23−1)=(23)3−1=1\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)=\left(\sqrt[3]{2}\right)^3-1=1
  6. Deoarece log⁡21=0\displaystyle \log_2 1=0, rezultă log⁡2((43+23+1)(23−1))=0\displaystyle \log_2\left(\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\right)=0. Prin echivalența de mai sus, egalitatea din enunț este demonstrată.
    log⁡2((43+23+1)(23−1))=log⁡21=0\displaystyle \log_2\left(\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\right)=\log_2 1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, astfel încât f(x)+f(−x)=2020\displaystyle f(x)+f(-x)=2020, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem expresia lui f(−x)\displaystyle f(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în formula funcției: f(−x)=2⋅(−x)+a=−2x+a\displaystyle f(-x)=2\cdot(-x)+a=-2x+a.
    f(−x)=−2x+a\displaystyle f(-x)=-2x+a
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f(−x)\displaystyle f(-x) în condiția dată: f(x)+f(−x)=2020\displaystyle f(x)+f(-x)=2020 devine 2x+a+2⋅(−x)+a=2020\displaystyle 2x+a+2\cdot(-x)+a=2020.
    2x+a+2⋅(−x)+a=2020\displaystyle 2x+a+2\cdot(-x)+a=2020
  3. Reducem termenii în x\displaystyle x: 2x\displaystyle 2x și −2x\displaystyle -2x se anulează, deci rămân doar termenii cu a\displaystyle a. Egalitatea devine 2a=2020\displaystyle 2a=2020 și nu mai depinde de x\displaystyle x, deci este valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    2a=2020\displaystyle 2a=2020
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    2a=2020, deci a=1010\displaystyle 2a=2020\text{, deci }a=1010
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+31−x=4\displaystyle 3^x+3^{1-x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim 31−x=33x\displaystyle 3^{1-x}=\dfrac{3}{3^{x}}, deci ecuația devine 3x+33x=4\displaystyle 3^x+\dfrac{3}{3^x}=4.
    3x+33x=4\displaystyle 3^x+\dfrac{3}{3^x}=4
  2. Notăm t=3x\displaystyle t=3^x, cu t>0\displaystyle t>0, deoarece 3x>0\displaystyle 3^x>0 pentru orice x\displaystyle x real. Ecuația devine t+3t=4\displaystyle t+\dfrac{3}{t}=4.
    t+3t=4\displaystyle t+\dfrac{3}{t}=4, t=3x>0\displaystyle \ t=3^x>0
  3. Înmulțim cu t\displaystyle t și mutăm totul în stânga: t2−4t+3=0\displaystyle t^2-4t+3=0. Cu t=3x\displaystyle t=3^x aceasta înseamnă 32x−4⋅3x+3=0\displaystyle 3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0.
    32x−4⋅3x+3=0\displaystyle 3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0
  4. Căutăm două numere cu suma 4\displaystyle 4 și produsul 3\displaystyle 3: sunt 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3. Deci t2−4t+3=(t−1)(t−3)\displaystyle t^2-4t+3=(t-1)(t-3), adică (3x−1)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x-1\right)\left(3^x-3\right)=0.
    (3x−1)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x-1\right)\left(3^x-3\right)=0
  5. Un produs este nul când un factor este nul. Din 3x=1\displaystyle 3^x=1 obținem x=0\displaystyle x=0, iar din 3x=3\displaystyle 3^x=3 obținem x=1\displaystyle x=1. Ambele valori t=1\displaystyle t=1 și t=3\displaystyle t=3 sunt pozitive, deci convin.
    3x=1⇒x=0\displaystyle 3^x=1\Rightarrow x=0,3x=3⇒x=1\displaystyle \quad 3^x=3\Rightarrow x=1
  6. Mulțimea soluțiilor ecuației este formată din numerele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie cuprins între 122\displaystyle \sqrt{122} și 170\displaystyle \sqrt{170}.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90, deci avem 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Încadrăm radicalii între pătrate perfecte consecutive. Cum 121<122<144\displaystyle 121<122<144, rezultă că 11<122<12\displaystyle 11<\sqrt{122}<12. Cum 169<170<196\displaystyle 169<170<196, rezultă că 13<170<14\displaystyle 13<\sqrt{170}<14.
    11<122<12 și 13<170<14\displaystyle 11<\sqrt{122}<12\text{ și }13<\sqrt{170}<14
  3. Numerele naturale cuprinse între 122\displaystyle \sqrt{122} și 170\displaystyle \sqrt{170} sunt 12\displaystyle 12 și 13\displaystyle 13, ambele de două cifre. Deci avem 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    {12,13}, adica˘ 2 cazuri favorabile\displaystyle \{12,13\}\text{, adică }2\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Obținem 290\displaystyle \dfrac{2}{90}, care se simplifică la 145\displaystyle \dfrac{1}{45}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=290=145\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD. Arătați că AB→+2BD→+3DA→=CA→\displaystyle \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}.
Vezi rezolvarea
  1. Separăm din suma dată grupul AB→+BD→+DA→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}, pe care îl calculăm cu regula triunghiului. Din 2BD→\displaystyle 2\overrightarrow{BD} păstrăm un BD→\displaystyle \overrightarrow{BD} în grup, iar din 3DA→\displaystyle 3\overrightarrow{DA} păstrăm un DA→\displaystyle \overrightarrow{DA} în grup, deci rămân BD→\displaystyle \overrightarrow{BD} și 2DA→\displaystyle 2\overrightarrow{DA}.
    AB→+2BD→+3DA→=(AB→+BD→+DA→)+BD→+2DA→\displaystyle \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD}+3\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}\right)+\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DA}
  2. Prin regula triunghiului, AB→+BD→=AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}, deci AB→+BD→+DA→=AD→+DA→=0→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}. Rămâne suma BD→+2DA→\displaystyle \overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DA}.
    0→+BD→+2DA→=BD→+DA→+DA→\displaystyle \overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}
  3. Aplicăm din nou regula triunghiului: BD→+DA→=BA→\displaystyle \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}. Obținem BA→+DA→\displaystyle \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}.
    BA→+DA→\displaystyle \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}
  4. Schimbăm sensul vectorilor: BA→=−AB→\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} și DA→=−AD→\displaystyle \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}. Scoatem semnul minus în față.
    BA→+DA→=−(AB→+AD→)\displaystyle \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)
  5. Folosim regula paralelogramului în ABCD\displaystyle ABCD: AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}. Rezultă că suma este −AC→=CA→\displaystyle -\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}, ceea ce trebuia arătat.
    −(AB→+AD→)=−AC→=CA→\displaystyle -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4. Arătați că triunghiul este obtuzunghic.
Vezi rezolvarea
  1. Cel mai mare unghi al triunghiului este opus celei mai mari laturi, adică laturii de lungime 4\displaystyle 4. Notăm cu A\displaystyle A acest unghi. Dacă el este obtuz, triunghiul este obtuzunghic.
    a=4\displaystyle a=4, b=2\displaystyle \ b=2, c=3\displaystyle \ c=3
  2. Scriem teorema cosinusului pentru unghiul A\displaystyle A, opus laturii de lungime 4\displaystyle 4: pătratul laturii opuse este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor înmulțit cu cosinusul unghiului.
    42=22+32−2⋅2⋅3⋅cos⁡A\displaystyle 4^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot\cos A
  3. Exprimăm cosinusul și înlocuim valorile: 22+32−42=4+9−16=−3\displaystyle 2^2+3^2-4^2=4+9-16=-3, iar la numitor avem 2⋅2⋅3=12\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3=12, deci cosinusul este −312=−14\displaystyle -\dfrac{3}{12}=-\dfrac{1}{4}.
    cos⁡A=22+32−422⋅2⋅3=−312=−14\displaystyle \cos A=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot 2\cdot 3}=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4}
  4. Cosinusul unghiului A\displaystyle A este negativ. Un unghi al unui triunghi cu cosinus negativ are măsura între 90∘\displaystyle 90^\circ și 180∘\displaystyle 180^\circ, deci A\displaystyle A este obtuz. Prin urmare, triunghiul este obtuzunghic.
    cos⁡A<0, deci unghiul A este obtuz\displaystyle \cos A<0\text{, deci unghiul }A\text{ este obtuz}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(313−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&13\\-1&-4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=det⁡(A+I2)\displaystyle \det A=\det\left(A+I_2\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm det⁡A\displaystyle \det A după formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣313−1−4∣=3⋅(−4)−13⋅(−1)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&13\\-1&-4\end{vmatrix}=3\cdot(-4)-13\cdot(-1)
  2. Efectuăm calculele: −12+13=1\displaystyle -12+13=1.
    det⁡A=−12+13=1\displaystyle \det A=-12+13=1
  3. Calculăm matricea A+I2\displaystyle A+I_2, adunând element cu element. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală, la care se adaugă 1\displaystyle 1.
    A+I2=(3+113−1−4+1)=(413−1−3)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}3+1&13\\-1&-4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&13\\-1&-3\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei A+I2\displaystyle A+I_2 cu aceeași formulă.
    det⁡(A+I2)=∣413−1−3∣=4⋅(−3)−13⋅(−1)=−12+13=1\displaystyle \det\left(A+I_2\right)=\begin{vmatrix}4&13\\-1&-3\end{vmatrix}=4\cdot(-3)-13\cdot(-1)=-12+13=1
  5. Am obținut că ambii determinanți sunt egali cu 1\displaystyle 1, deci det⁡(A+I2)=det⁡A\displaystyle \det\left(A+I_2\right)=\det A.
    det⁡(A+I2)=1=det⁡A\displaystyle \det\left(A+I_2\right)=1=\det A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(313−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&13\\-1&-4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A⋅A⋅A=aI2\displaystyle A\cdot A\cdot A=aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A înmulțind linie cu coloană. Prima linie: 3⋅3+13⋅(−1)=−4\displaystyle 3\cdot 3+13\cdot(-1)=-4 și 3⋅13+13⋅(−4)=−13\displaystyle 3\cdot 13+13\cdot(-4)=-13. A doua linie: (−1)⋅3+(−4)⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot 3+(-4)\cdot(-1)=1 și (−1)⋅13+(−4)⋅(−4)=3\displaystyle (-1)\cdot 13+(-4)\cdot(-4)=3.
    A⋅A=(−4−1313)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-4&-13\\1&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅A⋅A\displaystyle A\cdot A\cdot A ca produs dintre A⋅A\displaystyle A\cdot A și A\displaystyle A. Prima linie: (−4)⋅3+(−13)⋅(−1)=1\displaystyle (-4)\cdot 3+(-13)\cdot(-1)=1 și (−4)⋅13+(−13)⋅(−4)=0\displaystyle (-4)\cdot 13+(-13)\cdot(-4)=0. A doua linie: 1⋅3+3⋅(−1)=0\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot(-1)=0 și 1⋅13+3⋅(−4)=1\displaystyle 1\cdot 13+3\cdot(-4)=1. Obținem matricea unitate.
    A⋅A⋅A=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Înlocuim în egalitatea dată: A⋅A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A\cdot A=I_2 și A⋅A⋅A=aI2\displaystyle A\cdot A\cdot A=aI_2, deci aI2=I2\displaystyle aI_2=I_2. Comparând elementele de pe diagonala principală, obținem a=1\displaystyle a=1.
    aI2=I2, deci a=1\displaystyle aI_2=I_2\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(313−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&13\\-1&-4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m≠n\displaystyle m\neq n, pentru care det⁡(A+mI2)=det⁡(A+nI2)\displaystyle \det\left(A+mI_2\right)=\det\left(A+nI_2\right).
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm mI2=(m00m)\displaystyle mI_2=\begin{pmatrix}m&0\\0&m\end{pmatrix} la A\displaystyle A, deci m se adaugă pe diagonala principală: A+mI2=(3+m13−1−4+m)\displaystyle A+mI_2=\begin{pmatrix}3+m&13\\-1&-4+m\end{pmatrix}.
    A+mI2=(3+m13−1m−4)\displaystyle A+mI_2=\begin{pmatrix}3+m&13\\-1&m-4\end{pmatrix}
  2. Determinantul este (3+m)(m−4)−13⋅(−1)\displaystyle (3+m)(m-4)-13\cdot(-1). Dezvoltăm: (3+m)(m−4)=m2−m−12\displaystyle (3+m)(m-4)=m^{2}-m-12, iar −13⋅(−1)=13\displaystyle -13\cdot(-1)=13. Adunând, obținem m2−m−12+13\displaystyle m^{2}-m-12+13.
    det⁡(A+mI2)=(3+m)(m−4)+13=m2−m+1\displaystyle \det\left(A+mI_2\right)=(3+m)(m-4)+13=m^{2}-m+1
  3. La fel, det⁡(A+nI2)=n2−n+1\displaystyle \det\left(A+nI_2\right)=n^{2}-n+1. Egalitatea din enunț devine m2−m+1=n2−n+1\displaystyle m^{2}-m+1=n^{2}-n+1.
    m2−m+1=n2−n+1\displaystyle m^{2}-m+1=n^{2}-n+1
  4. Reducem 1\displaystyle 1 din ambele părți și mutăm totul în stânga: m2−n2−(m−n)=0\displaystyle m^{2}-n^{2}-(m-n)=0. Aplicăm m2−n2=(m−n)(m+n)\displaystyle m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n) și dăm factor comun m−n\displaystyle m-n.
    (m−n)(m+n−1)=0\displaystyle (m-n)(m+n-1)=0
  5. Cum m≠n\displaystyle m\neq n, avem m−n≠0\displaystyle m-n\neq 0, deci m+n−1=0\displaystyle m+n-1=0, adică m+n=1\displaystyle m+n=1. Numerele m,n\displaystyle m,n sunt naturale, deci unul este 0\displaystyle 0 și celălalt este 1\displaystyle 1. Perechile cerute sunt (1,0)\displaystyle (1,0) și (0,1)\displaystyle (0,1).
    m+n=1, deci (m,n)∈{(1,0),(0,1)}\displaystyle m+n=1\text{, deci }(m,n)\in\{(1,0),(0,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,1)\displaystyle M=(0,1) se definește legea de compoziție x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{1-x-y+2xy}.

Arătați că x∘12=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în definiția legii: x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{1-x-y+2xy}.
    x∘12=x⋅121−x−12+2⋅x⋅12\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{1-x-\frac{1}{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}}
  2. La numitor, 2⋅x⋅12=x\displaystyle 2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}=x, deci −x\displaystyle -x și +x\displaystyle +x se reduc, iar rămâne 1−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    1−x−12+x=12\displaystyle 1-x-\frac{1}{2}+x=\frac{1}{2}
  3. Fracția devine x⋅1212\displaystyle \dfrac{x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}. Simplificăm cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, deci obținem x\displaystyle x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∘12=x⋅1212=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=x\text{, pentru orice }x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,1)\displaystyle M=(0,1) se definește legea de compoziție x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{1-x-y+2xy}.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈(0,1)\displaystyle x,y\in(0,1). Scriem x∘y\displaystyle x\circ y conform definiției.
    x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{1-x-y+2xy}
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării în numărător și în numitor: xy=yx\displaystyle xy=yx, −x−y=−y−x\displaystyle -x-y=-y-x și 2xy=2yx\displaystyle 2xy=2yx. Rescriem fracția cu x\displaystyle x și y\displaystyle y schimbate între ele.
    x∘y=xy1−x−y+2xy=yx1−y−x+2yx\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{1-x-y+2xy}=\dfrac{yx}{1-y-x+2yx}
  3. Fracția obținută este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, adică formula legii în care x\displaystyle x și y\displaystyle y își schimbă locurile. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈(0,1)\displaystyle x,y\in(0,1), adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice x\displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice }x,y∈(0,1), deci legea de \displaystyle y\in(0,1)\text{, deci legea de }compoziție „∘” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}\circ\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,1)\displaystyle M=(0,1) se definește legea de compoziție x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{1-x-y+2xy}.

Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,1)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,1), f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}. Arătați că f(x)∘f(y)=f(xy)\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy), pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=xy1−x−y+2xy\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{1-x-y+2xy} pentru f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y), care sunt în M=(0,1)\displaystyle M=(0,1).
    f(x)∘f(y)=f(x)f(y)1−f(x)−f(y)+2f(x)f(y)\displaystyle f(x)\circ f(y)=\dfrac{f(x)f(y)}{1-f(x)-f(y)+2f(x)f(y)}
  2. Înlocuim f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+1} și f(y)=yy+1\displaystyle f(y)=\dfrac{y}{y+1} în numărător și în numitor.
    xx+1⋅yy+11−xx+1−yy+1+2⋅xy(x+1)(y+1)\displaystyle \dfrac{\dfrac{x}{x+1}\cdot\dfrac{y}{y+1}}{1-\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{y}{y+1}+2\cdot\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}}
  3. Aducem numitorul la numitor comun (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1). Numărătorul fracției mari este xy(x+1)(y+1)\displaystyle \dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}, iar numitorul devine o fracție cu același numitor comun.
    xy(x+1)(y+1)(x+1)(y+1)−x(y+1)−y(x+1)+2xy(x+1)(y+1)=xyxy+x+y+1−xy−x−yx−y+2xy\displaystyle \dfrac{\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}}{\dfrac{(x+1)(y+1)-x(y+1)-y(x+1)+2xy}{(x+1)(y+1)}}=\dfrac{xy}{xy+x+y+1-xy-x-yx-y+2xy}
  4. Reducem termenii asemenea din numitor: xy−xy−xy+2xy=xy\displaystyle xy-xy-xy+2xy=xy, iar x−x=0\displaystyle x-x=0 și y−y=0\displaystyle y-y=0, deci rămâne xy+1\displaystyle xy+1. Rezultatul este chiar f(xy)\displaystyle f(xy), pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
    xyxy+1=f(xy), pentru orice x\displaystyle \dfrac{xy}{xy+1}=f(xy)\text{, pentru orice }x,y∈(0,+∞)\displaystyle y\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+x}{e^x}.

Arătați că f′(x)=1−xex\displaystyle f'(x)=\frac{1-x}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f=uv\displaystyle f=\dfrac{u}{v}, cu u(x)=ex+x\displaystyle u(x)=e^{x}+x și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(ex+x)′⋅ex−(ex+x)⋅(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\frac{(e^{x}+x)'\cdot e^{x}-(e^{x}+x)\cdot(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (ex+x)′=ex+1\displaystyle (e^{x}+x)'=e^{x}+1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Le înlocuim în formulă, iar numitorul (ex)2\displaystyle (e^{x})^{2} se scrie e2x\displaystyle e^{2x}.
    f′(x)=(ex+1)ex−(ex+x)exe2x\displaystyle f'(x)=\frac{\left(e^{x}+1\right)e^{x}-\left(e^{x}+x\right)e^{x}}{e^{2x}}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și grupăm termenii din paranteză.
    f′(x)=(ex+1−ex−x)exe2x\displaystyle f'(x)=\frac{\left(e^{x}+1-e^{x}-x\right)e^{x}}{e^{2x}}
  4. În paranteză ex\displaystyle e^{x} se reduce cu −ex\displaystyle -e^{x}, deci rămâne 1−x\displaystyle 1-x. Apoi simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^{x}, deoarece e2x=ex⋅ex\displaystyle e^{2x}=e^{x}\cdot e^{x}. Obținem rezultatul cerut, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=1−xex, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{1-x}{e^{x}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+x}{e^x}.

Demonstrați că tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(1,f(1))\displaystyle A(1,f(1)) este paralelă cu asimptota spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția: f(x)=ex+xex=1+xe−x\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}+x}{e^{x}}=1+x e^{-x}.
    f(x)=1+xe−x\displaystyle f(x)=1+x e^{-x}
  2. Derivăm folosind formula produsului: f′(x)=(xe−x)′=e−x−xe−x\displaystyle f'(x)=\left(x e^{-x}\right)'=e^{-x}-x e^{-x}.
    f′(x)=e−x(1−x)\displaystyle f'(x)=e^{-x}(1-x)
  3. Panta tangentei în A(1,f(1))\displaystyle A(1,f(1)) este f′(1)=e−1(1−1)=0\displaystyle f'(1)=e^{-1}(1-1)=0.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0
  4. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty: lim⁡x→+∞xe−x=lim⁡x→+∞xex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}=0, deoarece ex\displaystyle e^{x} crește mai repede decât x\displaystyle x (regula lui l'Hospital: 1ex→0\displaystyle \dfrac{1}{e^{x}}\to 0).
    lim⁡x→+∞xex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}=0
  5. Rezultă lim⁡x→+∞f(x)=1+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1+0=1, deci dreapta y=1\displaystyle y=1 este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de pantă 0\displaystyle 0. Tangenta în A\displaystyle A are panta f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, deci este paralelă cu asimptota.
    lim⁡x→+∞f(x)=1, dreapta y=1 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1\text{, dreapta }y=1\text{ este asimptota orizontală }spre +∞, de panta˘ 0, deci sunt paralele\displaystyle \text{spre }+\infty\text{, de pantă }0\text{, deci sunt paralele}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+x}{e^x}.

Arătați că g′(x)+g(x)=1ex\displaystyle g'(x)+g(x)=\frac{1}{e^x}, pentru orice număr real x\displaystyle x, unde g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f′′(x)\displaystyle g(x)=f''(x).
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția: împărțim fiecare termen de la numărător la ex\displaystyle e^x, deci f(x)=ex+xex=1+xe−x\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x+x}{e^x}=1+xe^{-x}.
    f(x)=1+xe−x\displaystyle f(x)=1+xe^{-x}
  2. Calculăm prima derivată cu regula produsului, pentru xe−x\displaystyle xe^{-x}. Derivata lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}, deci f′(x)=e−x+x⋅(−e−x)=(1−x)e−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}.
    f′(x)=(1−x)e−x\displaystyle f'(x)=(1-x)e^{-x}
  3. Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului: f′′(x)=−e−x+(1−x)(−e−x)=(−1−1+x)e−x=(x−2)e−x\displaystyle f''(x)=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(-1-1+x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}. Deci g(x)=(x−2)e−x\displaystyle g(x)=(x-2)e^{-x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′′(x)=(x−2)e−x, deci g(x)=(x−2)e−x\displaystyle f''(x)=(x-2)e^{-x}\text{, deci }g(x)=(x-2)e^{-x}
  4. Derivăm g\displaystyle g cu regula produsului: g′(x)=1⋅e−x+(x−2)(−e−x)=(1−x+2)e−x=(3−x)e−x\displaystyle g'(x)=1\cdot e^{-x}+(x-2)(-e^{-x})=(1-x+2)e^{-x}=(3-x)e^{-x}.
    g′(x)=(3−x)e−x\displaystyle g'(x)=(3-x)e^{-x}
  5. Adunăm g′(x)\displaystyle g'(x) și g(x)\displaystyle g(x) și dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x}: g′(x)+g(x)=(3−x)e−x+(x−2)e−x=(3−x+x−2)e−x=e−x=1ex\displaystyle g'(x)+g(x)=(3-x)e^{-x}+(x-2)e^{-x}=(3-x+x-2)e^{-x}=e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    g′(x)+g(x)=(3−x)e−x+(x−2)e−x=e−x=1ex\displaystyle g'(x)+g(x)=(3-x)e^{-x}+(x-2)e^{-x}=e^{-x}=\frac{1}{e^x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−2xx2+1+1x2+1\displaystyle f(x)=4x-\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫01(x2+1)f(x) dx=3\displaystyle \int_0^1\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul și distribuim factorul x2+1\displaystyle x^2+1 la fiecare termen al lui f(x)\displaystyle f(x): (x2+1)f(x)=(x2+1)⋅4x−(x2+1)⋅2xx2+1+(x2+1)⋅1x2+1\displaystyle (x^2+1)f(x)=(x^2+1)\cdot 4x-(x^2+1)\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}+(x^2+1)\cdot\dfrac{1}{x^2+1}.
    (x2+1)f(x)=(x2+1)⋅4x−(x2+1)⋅2xx2+1+(x2+1)⋅1x2+1\displaystyle (x^2+1)f(x)=(x^2+1)\cdot 4x-(x^2+1)\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}+(x^2+1)\cdot\dfrac{1}{x^2+1}
  2. În al doilea și al treilea termen se simplifică x2+1\displaystyle x^2+1, iar primul termen devine 4x3+4x\displaystyle 4x^3+4x. Obținem 4x3+4x−2x+1=4x3+2x+1\displaystyle 4x^3+4x-2x+1=4x^3+2x+1, deci integrala devine ∫01(4x3+2x+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(4x^3+2x+1\right)dx.
    ∫01(x2+1)f(x) dx=∫01(4x3+2x+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=\int_0^1\left(4x^3+2x+1\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 4x3\displaystyle 4x^3 este x4\displaystyle x^4, a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci integrala este (x4+x2+x)∣01\displaystyle \left(x^4+x^2+x\right)\Big|_0^1.
    (x4+x2+x)∣01\displaystyle \left(x^4+x^2+x\right)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 este 1+1+1=3\displaystyle 1+1+1=3, iar în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0. Prin urmare integrala este 3−0=3\displaystyle 3-0=3, ceea ce trebuia arătat.
    1+1+1−0=3\displaystyle 1+1+1-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−2xx2+1+1x2+1\displaystyle f(x)=4x-\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim liniaritatea integralei și scriem ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx ca sumă de trei integrale, câte una pentru fiecare termen al funcției.
    ∫014x dx−∫012xx2+1 dx+∫011x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 4x\,dx-\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,dx+\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx
  2. Primul termen are primitiva 2x2\displaystyle 2x^2, deoarece (2x2)′=4x\displaystyle (2x^2)'=4x.
    ∫4x dx=2x2\displaystyle \int 4x\,dx=2x^2
  3. La al doilea termen, numărătorul 2x\displaystyle 2x este derivata numitorului x2+1\displaystyle x^2+1, deci primitiva este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln\left(x^2+1\right); expresia este pozitivă, deci nu e nevoie de modul.
    ∫2xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)\displaystyle \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\left(x^2+1\right)
  4. Al treilea termen este o primitivă uzuală: ∫1x2+1 dx=arctg⁡x\displaystyle \int\dfrac{1}{x^2+1}\,dx=\operatorname{arctg}x.
    ∫1x2+1 dx=arctg⁡x\displaystyle \int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\operatorname{arctg}x
  5. Adunăm primitivele și aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01f(x) dx=(2x2−ln⁡(x2+1)+arctg⁡x)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\left(2x^2-\ln\left(x^2+1\right)+\operatorname{arctg}x\right)\Big|_0^1
  6. Calculăm valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Folosim că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0.
    2−ln⁡2+arctg⁡1−0+ln⁡1−arctg⁡0=2−ln⁡2+π4\displaystyle 2-\ln 2+\operatorname{arctg}1-0+\ln 1-\operatorname{arctg}0=2-\ln 2+\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−2xx2+1+1x2+1\displaystyle f(x)=4x-\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫1e(f(x)+2x−1x2+1)ln⁡x dx=e2+a\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1}\right)\ln x\,dx=e^2+a.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm f(x)\displaystyle f(x) cu fracția 2x−1x2+1\displaystyle \dfrac{2x-1}{x^{2}+1}. Fracțiile au același numitor x2+1\displaystyle x^{2}+1, iar −2x+1\displaystyle -2x+1 se reduce cu 2x−1\displaystyle 2x-1, deoarece −2x+1x2+1+2x−1x2+1=0\displaystyle \dfrac{-2x+1}{x^{2}+1}+\dfrac{2x-1}{x^{2}+1}=0.
    f(x)+2x−1x2+1=4x\displaystyle f(x)+\frac{2x-1}{x^{2}+1}=4x
  2. Integrandul devine 4xln⁡x\displaystyle 4x\ln x, deci integrala se reduce la o integrală mai simplă.
    ∫1e4xln⁡x dx\displaystyle \int_1^e 4x\ln x\,dx
  3. Integrăm prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=4x dx\displaystyle dv=4x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=2x2\displaystyle v=2x^{2}.
    ∫1e4xln⁡x dx=2x2ln⁡x∣1e−∫1e2x2⋅1x dx=2x2ln⁡x∣1e−∫1e2x dx\displaystyle \int_1^e 4x\ln x\,dx=2x^{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 2x^{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx=2x^{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 2x\,dx
  4. Calculăm termenul integrat: la x=e\displaystyle x=e avem 2e2ln⁡e=2e2\displaystyle 2e^{2}\ln e=2e^{2}, iar la x=1\displaystyle x=1 avem 2⋅1⋅ln⁡1=0\displaystyle 2\cdot 1\cdot\ln 1=0. Apoi ∫1e2x dx=x2∣1e=e2−1\displaystyle \int_1^e 2x\,dx=x^{2}\Big|_1^e=e^{2}-1.
    2e2−(e2−1)\displaystyle 2e^{2}-(e^{2}-1)
  5. Scădem cele două rezultate și obținem valoarea integralei.
    2e2−e2+1=e2+1\displaystyle 2e^{2}-e^{2}+1=e^{2}+1
  6. Egalăm valoarea obținută cu e2+a\displaystyle e^{2}+a: e2+1=e2+a\displaystyle e^{2}+1=e^{2}+a, deci scăzând e2\displaystyle e^{2} din ambele părți obținem a=1\displaystyle a=1.
    e2+1=e2+a, deci a=1\displaystyle e^{2}+1=e^{2}+a\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.