Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1−i\displaystyle z=1-i. Arătați că z2+2i=0\displaystyle z^2+2i=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=1−i\displaystyle z=1-i în expresia z2+2i\displaystyle z^{2}+2i.
    z2+2i=(1−i)2+2i\displaystyle z^{2}+2i=(1-i)^{2}+2i
  2. Dezvoltăm pătratul diferenței cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, unde a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    (1−i)2+2i=1−2i+i2+2i\displaystyle (1-i)^{2}+2i=1-2i+i^{2}+2i
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, apoi reducem termenii −2i\displaystyle -2i și 2i\displaystyle 2i, care se anulează.
    1−2i+i2+2i=1−1=0\displaystyle 1-2i+i^{2}+2i=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (g∘f)(0)\displaystyle (g\circ f)(0), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2017\displaystyle f(x)=x+2017 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−2017\displaystyle g(x)=x-2017.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția compunerii de funcții: (g∘f)(0)=g(f(0))\displaystyle (g\circ f)(0)=g(f(0)). Calculăm mai întâi valoarea din interior, f(0)\displaystyle f(0).
    (g∘f)(0)=g(f(0))\displaystyle (g\circ f)(0)=g(f(0))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=x+2017\displaystyle f(x)=x+2017: f(0)=0+2017\displaystyle f(0)=0+2017.
    f(0)=2017\displaystyle f(0)=2017
  3. Acum calculăm g\displaystyle g în valoarea obținută: g(2017)=2017−2017=0\displaystyle g(2017)=2017-2017=0. Deci (g∘f)(0)=0\displaystyle (g\circ f)(0)=0.
    (g∘f)(0)=g(2017)=2017−2017=0\displaystyle (g\circ f)(0)=g(2017)=2017-2017=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−3x=3x−4\displaystyle 3^{x^2-3x}=3^{x-4}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 3\displaystyle 3, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x2−3x=x−4\displaystyle x^{2}-3x=x-4
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2−3x−x+4=0\displaystyle x^{2}-3x-x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  3. Recunoaștem în membrul stâng pătratul perfect al diferenței x−2\displaystyle x-2.
    (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0
  4. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci x−2=0\displaystyle x-2=0. Singura soluție reală este x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,100\}, acesta să fie pătrat perfect.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Mulțimea M\displaystyle M are elementele de la 1\displaystyle 1 la 100\displaystyle 100, deci numărul cazurilor posibile este 100\displaystyle 100.
    nr. cazuri posibile=100\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=100
  2. Cazurile favorabile sunt numerele din M\displaystyle M care sunt pătrate perfecte: 12,22,…,102\displaystyle 1^{2},2^{2},\ldots,10^{2}. Cum 102=100\displaystyle 10^{2}=100, iar 112=121>100\displaystyle 11^{2}=121>100, nu mai avem alte pătrate perfecte în M\displaystyle M.
    {12,22,…,102}={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}\displaystyle \{1^{2},2^{2},\ldots,10^{2}\}=\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\}
  3. Numărăm pătratele perfecte găsite: sunt 10\displaystyle 10, deci numărul cazurilor favorabile este 10\displaystyle 10.
    nr. cazuri favorabile=10\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=10
  4. Înlocuim în formula probabilității și simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10: p=10100=110\displaystyle p=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}.
    p=10100=110\displaystyle p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(0,1)\displaystyle A(0,1). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d, care trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta de ecuație y=x−10\displaystyle y=x-10.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta dată are ecuația y=x−10\displaystyle y=x-10, deci panta ei este m1=1\displaystyle m_1=1.
    m1=1\displaystyle m_1=1
  2. Două drepte perpendiculare, care nu sunt verticale, au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1. Notăm cu m\displaystyle m panta dreptei d\displaystyle d și obținem m1⋅m=−1\displaystyle m_1\cdot m=-1, adică 1⋅m=−1\displaystyle 1\cdot m=-1, deci m=−1\displaystyle m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
  3. Dreapta d\displaystyle d trece prin A(0,1)\displaystyle A(0,1) și are panta −1\displaystyle -1, deci ecuația ei este y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A), adică y−1=−1⋅(x−0)\displaystyle y-1=-1\cdot(x-0).
    y−1=−x\displaystyle y-1=-x
  4. Aducem ecuația la forma redusă: y=−x+1\displaystyle y=-x+1. Aceasta este ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y=−x+1\displaystyle y=-x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, AC=4\displaystyle AC=4 și A=π6\displaystyle A=\frac{\pi}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ariei unui triunghi când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele: AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}
  2. Înlocuim valorile date: AB=6\displaystyle AB=6, AC=4\displaystyle AC=4 și A=π6\displaystyle A=\dfrac{\pi}{6}.
    AΔABC=6⋅4⋅sin⁡π62\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 4\cdot\sin\frac{\pi}{6}}{2}
  3. Știm că sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, deci îl înlocuim în expresie.
    AΔABC=6⋅4⋅122\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 4\cdot\frac{1}{2}}{2}
  4. Calculăm: 6⋅4=24\displaystyle 6\cdot 4=24, apoi 24⋅12=12\displaystyle 24\cdot\dfrac{1}{2}=12, iar 122=6\displaystyle \dfrac{12}{2}=6. Aria triunghiului este 6.
    AΔABC=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m): elementul m−1\displaystyle m-1 devine 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1, iar elementul m−2\displaystyle m-2 devine 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2.
    A(0)=(−1−12−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)) și aplicăm formula determinantului de ordinul 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣−1−12−2∣=(−1)⋅(−2)−(−1)⋅2\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2 și (−1)⋅2=−2\displaystyle (-1)\cdot 2=-2, deci determinantul este 2−(−2)=4\displaystyle 2-(-2)=4.
    det⁡(A(0))=2−(−2)=4\displaystyle \det(A(0))=2-(-2)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că A(1+m)+A(1−m)=2A(1)\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1), pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 1+m\displaystyle 1+m în A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix} și obținem matricea A(1+m)\displaystyle A(1+m).
    A(1+m)=(1+m−1−121+m−2)=(m−12m−1)\displaystyle A(1+m)=\begin{pmatrix} 1+m-1 & -1 \\ 2 & 1+m-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m & -1 \\ 2 & m-1 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m\displaystyle m cu 1−m\displaystyle 1-m în definiția lui A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(1−m)\displaystyle A(1-m).
    A(1−m)=(1−m−1−121−m−2)=(−m−12−m−1)\displaystyle A(1-m)=\begin{pmatrix} 1-m-1 & -1 \\ 2 & 1-m-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -m & -1 \\ 2 & -m-1 \end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element. Termenii cu m\displaystyle m se reduc: m+(−m)=0\displaystyle m+(-m)=0 și (m−1)+(−m−1)=−2\displaystyle (m-1)+(-m-1)=-2. Elementele de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) dau −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2, iar cele de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) dau 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    A(1+m)+A(1−m)=(0−24−2)\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}
  4. Calculăm A(1)=(0−12−1)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, apoi îl înmulțim cu 2\displaystyle 2 și comparăm cu suma obținută. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci egalitatea A(1+m)+A(1−m)=2A(1)\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1) este adevărată pentru orice m\displaystyle m real.
    2A(1)=2(0−12−1)=(0−24−2)=A(1+m)+A(1−m)\displaystyle 2A(1)=2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}=A(1+m)+A(1-m)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci trebuie să arătăm că det⁡(A(m))≠0\displaystyle \det(A(m))\neq 0 pentru orice m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.
    det⁡(A(m))≠0\displaystyle \det(A(m))\neq 0, ∀m∈R\displaystyle \ \forall m\in\mathbb{R}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(m))=(m−1)(m−2)−(−1)⋅2\displaystyle \det(A(m))=(m-1)(m-2)-(-1)\cdot 2.
    det⁡(A(m))=(m−1)(m−2)−(−1)⋅2\displaystyle \det(A(m))=(m-1)(m-2)-(-1)\cdot 2
  3. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: (m−1)(m−2)=m2−3m+2\displaystyle (m-1)(m-2)=m^{2}-3m+2, iar la acesta adunăm 2\displaystyle 2.
    det⁡(A(m))=m2−3m+2+2=m2−3m+4\displaystyle \det(A(m))=m^{2}-3m+2+2=m^{2}-3m+4
  4. Determinantul este o funcție de gradul al doilea în m\displaystyle m. Pentru a vedea dacă are rădăcini reale, calculăm discriminantul Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=4\displaystyle c=4.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16=−7\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7
  5. Discriminantul este negativ, deci ecuația m2−3m+4=0\displaystyle m^{2}-3m+4=0 nu are rădăcini reale. Coeficientul lui m2\displaystyle m^{2} este pozitiv, deci expresia este strict pozitivă pentru orice m\displaystyle m real, în particular nenulă. Prin urmare det⁡(A(m))≠0\displaystyle \det(A(m))\neq 0, iar matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă pentru orice m\displaystyle m real.
    m2−3m+4≠0\displaystyle m^{2}-3m+4\neq 0, ∀m∈R\displaystyle \ \forall m\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Arătați că x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24 și scriem −24=−27+3\displaystyle -24=-27+3, pentru a face să apară termenul −27\displaystyle -27, necesar mai departe.
    x∗y=−3xy+9x+9y−27+3\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-27+3
  2. Grupăm termenii care conțin x\displaystyle x: −3xy+9x=−3x(y−3)\displaystyle -3xy+9x=-3x(y-3). Grupăm apoi termenii care conțin y\displaystyle y și constanta −27\displaystyle -27: 9y−27=9(y−3)\displaystyle 9y-27=9(y-3).
    x∗y=−3x(y−3)+9(y−3)+3\displaystyle x*y=-3x(y-3)+9(y-3)+3
  3. Dăm factor comun (y−3)\displaystyle (y-3) și obținem (y−3)(−3x+9)\displaystyle (y-3)(-3x+9). Apoi −3x+9=−3(x−3)\displaystyle -3x+9=-3(x-3), deci egalitatea cerută este demonstrată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    −3x(y−3)+9(y−3)+3=(y−3)(−3x+9)+3=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle -3x(y-3)+9(y-3)+3=(y-3)(-3x+9)+3=-3(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă convenabilă. Avem −3(x−3)(y−3)+3=−3xy+9x+9y−27+3\displaystyle -3(x-3)(y-3)+3=-3xy+9x+9y-27+3, deci x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3.
    x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3
  2. Din forma găsită rezultă x∗y−3=−3(x−3)(y−3)\displaystyle x*y-3=-3(x-3)(y-3). Folosim această relație la ambele grupări.
    (x∗y)−3=−3(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=-3(x-3)(y-3)
  3. Calculăm (x∗y)∗z=−3((x∗y)−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=-3\left((x*y)-3\right)(z-3)+3. Înlocuim (x∗y)−3=−3(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=-3(x-3)(y-3) și obținem (x∗y)∗z=−3⋅(−3(x−3)(y−3))(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=-3\cdot\left(-3(x-3)(y-3)\right)(z-3)+3.
    (x∗y)∗z=−3⋅(−3(x−3)(y−3))(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=-3\cdot\left(-3(x-3)(y-3)\right)(z-3)+3
  4. Deoarece (−3)⋅(−3)=9\displaystyle (-3)\cdot(-3)=9, obținem (x∗y)∗z=9(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3.
    (x∗y)∗z=9(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3
  5. Calculăm x∗(y∗z)=−3(x−3)((y∗z)−3)+3\displaystyle x*(y*z)=-3(x-3)\left((y*z)-3\right)+3. Cum (y∗z)−3=−3(y−3)(z−3)\displaystyle (y*z)-3=-3(y-3)(z-3), obținem x∗(y∗z)=−3(x−3)⋅(−3(y−3)(z−3))+3\displaystyle x*(y*z)=-3(x-3)\cdot\left(-3(y-3)(z-3)\right)+3.
    x∗(y∗z)=−3(x−3)⋅(−3(y−3)(z−3))+3\displaystyle x*(y*z)=-3(x-3)\cdot\left(-3(y-3)(z-3)\right)+3
  6. Cum (−3)⋅(−3)=9\displaystyle (-3)\cdot(-3)=9, avem x∗(y∗z)=9(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x*y)*z pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=9(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care (x∗x)∗x=12\displaystyle (x*x)*x=12.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Observăm că x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3, pentru că dezvoltând obținem −3xy+9x+9y−27+3=−3xy+9x+9y−24\displaystyle -3xy+9x+9y-27+3=-3xy+9x+9y-24.
    x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma factorizată.
    x∗x=−3(x−3)2+3\displaystyle x*x=-3(x-3)^2+3
  3. Scădem 3 din x∗x\displaystyle x*x, ca să obținem factorul din forma factorizată: (x∗x)−3=−3(x−3)2\displaystyle (x*x)-3=-3(x-3)^{2}.
    (x∗x)−3=−3(x−3)2\displaystyle (x*x)-3=-3(x-3)^{2}
  4. Aplicăm legea pentru (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x: (x∗x)∗x=−3((x∗x)−3)(x−3)+3=−3⋅(−3)(x−3)2(x−3)+3\displaystyle (x*x)*x=-3\left((x*x)-3\right)(x-3)+3=-3\cdot(-3)(x-3)^{2}(x-3)+3.
    (x∗x)∗x=9(x−3)3+3\displaystyle (x*x)*x=9(x-3)^{3}+3
  5. Punem condiția (x∗x)∗x=12\displaystyle (x*x)*x=12, adică 9(x−3)3+3=12\displaystyle 9(x-3)^{3}+3=12, și scădem 3 din ambii membri.
    9(x−3)3=9\displaystyle 9(x-3)^{3}=9
  6. Împărțim la 9 și obținem (x−3)3=1\displaystyle (x-3)^{3}=1. Cum funcția cub este injectivă pe numerele reale, rezultă x−3=1\displaystyle x-3=1, deci x=4\displaystyle x=4.
    (x−3)3=1⇔x=4\displaystyle (x-3)^{3}=1\Leftrightarrow x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, iar (3ln⁡x)′=3x\displaystyle (3\ln x)'=\dfrac{3}{x}.
    f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x}
  2. Aducem la numitor comun x\displaystyle x: 3x2=3x3x\displaystyle 3x^{2}=\dfrac{3x^{3}}{x}, deci scădem fracțiile.
    f′(x)=3x3−3x\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{3}-3}{x}
  3. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 la numărător.
    f′(x)=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^{3}-1)}{x}
  4. Aplicăm formula diferenței de cuburi a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x3−1=(x−1)(x2+x+1)\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1). Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci singurul capăt finit în care funcția nu este definită este x=0\displaystyle x=0. Acolo poate exista asimptota verticală, deci studiem limita la dreapta în 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=lim⁡x→0, x>0(x3−3ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=\lim_{x\to 0,\,x>0}\left(x^{3}-3\ln x\right)
  2. Calculăm separat termenii: x3→0\displaystyle x^{3}\to 0, iar ln⁡x→−∞\displaystyle \ln x\to-\infty când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0, deci −3ln⁡x→+∞\displaystyle -3\ln x\to+\infty.
    0 și +∞\displaystyle 0\text{ și }+\infty
  3. Adunând cele două limite, obținem că limita funcției în 0\displaystyle 0 la dreapta este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→0, x>0(x3−3ln⁡x)=0+∞=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}\left(x^{3}-3\ln x\right)=0+\infty=+\infty
  4. Deoarece limita la dreapta în 0\displaystyle 0 este infinită, dreapta x=0\displaystyle x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Demonstrați că f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, iar (3ln⁡x)′=3x\displaystyle (3\ln x)'=\dfrac{3}{x}.
    f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor: f′(x)=3x3−3x=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{3}-3}{x}=\dfrac{3(x^{3}-1)}{x}, apoi folosim x3−1=(x−1)(x2+x+1)\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
    f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle x>0 și x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0, deci derivata se anulează doar când x−1=0\displaystyle x-1=0.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Pe (0,1]\displaystyle (0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, iar 3\displaystyle 3, x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 și x\displaystyle x sunt pozitive, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    x∈(0,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  5. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, iar ceilalți factori sunt pozitivi, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  6. Funcția scade pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), deci x=1\displaystyle x=1 este punct de minim. Calculăm f(1)=13−3ln⁡1=1−0=1\displaystyle f(1)=1^{3}-3\ln 1=1-0=1. Deci f(x)≥f(1)=1\displaystyle f(x)\geq f(1)=1 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f(1)=1, deci f(x)≥1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(1)=1\text{, deci }f(x)\geq 1\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Calculați ∫12(x2+3x+3)f(x) dx\displaystyle \int_1^2 (x^2+3x+3)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+3} în produs. Discriminantul lui x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 este 9−12=−3<0\displaystyle 9-12=-3<0, deci expresia nu se anulează și putem simplifica: (x2+3x+3)f(x)=2x+3\displaystyle (x^2+3x+3)f(x)=2x+3.
    (x2+3x+3)⋅2x+3x2+3x+3=2x+3\displaystyle (x^2+3x+3)\cdot\dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}=2x+3
  2. Integrala devine ∫12(2x+3) dx\displaystyle \int_1^2 (2x+3)\,dx. O primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2, iar o primitivă a lui 3\displaystyle 3 este 3x\displaystyle 3x, deci primitiva este x2+3x\displaystyle x^2+3x.
    ∫12(x2+3x+3)f(x) dx=∫12(2x+3) dx=(x2+3x)∣12\displaystyle \int_1^2(x^2+3x+3)f(x)\,dx=\int_1^2(2x+3)\,dx=(x^2+3x)\Big|_1^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=2\displaystyle x=2 obținem 22+3⋅2=10\displaystyle 2^2+3\cdot 2=10, iar în x=1\displaystyle x=1 obținem 12+3⋅1=4\displaystyle 1^2+3\cdot 1=4. Diferența este 10−4=6\displaystyle 10-4=6.
    (22+3⋅2)−(12+3⋅1)=10−4=6\displaystyle (2^2+3\cdot 2)-(1^2+3\cdot 1)=10-4=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=3\displaystyle x=3 are aria egală cu ln⁡7\displaystyle \ln 7.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul lui f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0 și x=3\displaystyle x=3 este integrala modulului funcției pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3].
    A=∫03∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^3|f(x)|\,dx
  2. Numitorul x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 are discriminantul Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe R\displaystyle \mathbb{R}. Pe [0,3]\displaystyle [0,3] avem 2x+3>0\displaystyle 2x+3>0. Deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    A=∫032x+3x2+3x+3 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^3\frac{2x+3}{x^2+3x+3}\,dx
  3. Observăm că (x2+3x+3)′=2x+3\displaystyle (x^2+3x+3)'=2x+3, adică exact numărătorul. Deci o primitivă a lui f\displaystyle f este ln⁡(x2+3x+3)\displaystyle \ln(x^2+3x+3), iar argumentul logaritmului este pozitiv.
    A=ln⁡(x2+3x+3)∣03\displaystyle \mathcal{A}=\ln(x^2+3x+3)\Big|_0^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. La x=3\displaystyle x=3 numitorul este 9+9+3=21\displaystyle 9+9+3=21, iar la x=0\displaystyle x=0 este 3\displaystyle 3.
    A=ln⁡21−ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=\ln 21-\ln 3
  5. Folosim proprietatea diferenței de logaritmi: ln⁡21−ln⁡3=ln⁡213=ln⁡7\displaystyle \ln 21-\ln 3=\ln\dfrac{21}{3}=\ln 7. Așadar aria este ln⁡7\displaystyle \ln 7, ceea ce trebuia arătat.
    A=ln⁡21−ln⁡3=ln⁡7\displaystyle \mathcal{A}=\ln 21-\ln 3=\ln 7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Demonstrați că ∫−10f′(x)f(x) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{0}f'(x)f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+3x+3\displaystyle x^{2}+3x+3 are discriminantul Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0, deci nu se anulează. Prin urmare f′(x)f(x)\displaystyle f'(x)f(x) este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0
  2. Din regula de derivare a unei compuneri avem (12f2(x))′=12⋅2f(x)f′(x)=f′(x)f(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2f(x)f'(x)=f'(x)f(x), deci 12f2\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2} este o primitivă a lui f′f\displaystyle f'f.
    (12f2(x))′=f′(x)f(x)\displaystyle \left(\frac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=f'(x)f(x)
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton:
    ∫−10f′(x)f(x) dx=12f2(x)∣−10=12(f2(0)−f2(−1))\displaystyle \int_{-1}^{0}f'(x)f(x)\,dx=\frac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_{-1}^{0}=\frac{1}{2}\left(f^{2}(0)-f^{2}(-1)\right)
  4. Calculăm f(0)=2⋅0+302+3⋅0+3=33=1\displaystyle f(0)=\dfrac{2\cdot 0+3}{0^{2}+3\cdot 0+3}=\dfrac{3}{3}=1.
    f(0)=33=1\displaystyle f(0)=\frac{3}{3}=1
  5. Calculăm f(−1)=2⋅(−1)+3(−1)2+3⋅(−1)+3=11−3+3=11=1\displaystyle f(-1)=\dfrac{2\cdot(-1)+3}{(-1)^{2}+3\cdot(-1)+3}=\dfrac{1}{1-3+3}=\dfrac{1}{1}=1.
    f(−1)=11=1\displaystyle f(-1)=\frac{1}{1}=1
  6. Înlocuim: f2(0)=1\displaystyle f^{2}(0)=1 și f2(−1)=1\displaystyle f^{2}(-1)=1, deci integrala este egală cu 12(1−1)=0\displaystyle \dfrac{1}{2}(1-1)=0.
    12(f2(0)−f2(−1))=12(1−1)=0\displaystyle \frac{1}{2}\left(f^{2}(0)-f^{2}(-1)\right)=\frac{1}{2}(1-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.