Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că modulul numărului complex

\displaystyle z=\frac{1+2i}{1-2i}

este egal cu

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

Folosim faptul că modulul unui raport de numere complexe este raportul modulelor. Deci $\displaystyle |z|=\dfrac{|1+2i|}{|1-2i|}$ .
$\displaystyle |z|=\dfrac{|1+2i|}{|1-2i|}$
Calculăm fiecare modul cu formula $\displaystyle |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . Pentru numărător, $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=2$ ; pentru numitor, $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=-2$ .
$\displaystyle |z|=\dfrac{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$
Efectuăm calculele de sub radicali: $\displaystyle 1+4=5$ , iar $\displaystyle (-2)^{2}=4$ , deci și la numitor obținem $\displaystyle 1+4=5$ .
$\displaystyle |z|=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
Numărătorul și numitorul sunt egale și nenule, deci fracția este egală cu $\displaystyle 1$ . Am arătat că $\displaystyle |z|=1$ .
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x

este pară.

Vezi rezolvarea

Funcția este definită pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem și $\displaystyle -x\in\mathbb{R}$ . Pentru a arăta că $\displaystyle f$ este pară, verificăm că $\displaystyle f(-x)=f(x)$ . Scriem $\displaystyle f(-x)$ .
$\displaystyle f(-x)=(\sqrt{2}+1)^{-x}+(\sqrt{2}-1)^{-x}$
Folosim regula $\displaystyle a^{-x}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{x}$ , valabilă pentru $\displaystyle a>0$ , aplicată ambilor termeni.
$\displaystyle f(-x)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^x+\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^x$
Calculăm $\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$ , deci numerele $\displaystyle \sqrt{2}+1$ și $\displaystyle \sqrt{2}-1$ sunt inverse unul altuia.
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\text{ și }\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$
Înlocuim inversele în expresia lui $\displaystyle f(-x)$ și obținem aceeași sumă ca în $\displaystyle f(x)$ , cu termenii în altă ordine. Deci $\displaystyle f(-x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , adică $\displaystyle f$ este pară.
$\displaystyle f(-x)=(\sqrt{2}-1)^x+(\sqrt{2}+1)^x=f(x)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x+2}=x

.

Vezi rezolvarea

Radicalul este mereu pozitiv sau zero, deci soluțiile trebuie să verifice $\displaystyle x\ge 0$ (din $\displaystyle \sqrt{x+2}=x$ ), iar sub radical $\displaystyle x+2\ge 0$ . Ridicăm ecuația $\displaystyle \sqrt{x+2}=x$ la pătrat, ceea ce poate introduce soluții străine, de aceea verificăm la final.
$\displaystyle \left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=x^{2}$
După ridicarea la pătrat obținem $\displaystyle x+2=x^{2}$ . Mutăm toți termenii într-o parte și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-x-2=0$ .
$\displaystyle x+2=x^{2}\Rightarrow x^{2}-x-2=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{2}$ .
$\displaystyle \{-1,\ 2\}$
Verificăm $\displaystyle x=-1$ : $\displaystyle \sqrt{-1+2}=1\ne -1$ , deci nu convine (nu respectă $\displaystyle x\ge 0$ ). Verificăm $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \sqrt{2+2}=2$ , deci convine.
$\displaystyle x=-1\text{, care nu convine, sau }x=2\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre divizibile cu

\displaystyle 3

.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci sunt $\displaystyle 99-10+1=90$ de numere.
$\displaystyle 90$
Scriem numărul sub forma $\displaystyle \overline{ab}$ , cu $\displaystyle a$ cifra zecilor și $\displaystyle b$ cifra unităților. Cifra zecilor este nenulă și divizibilă cu $\displaystyle 3$ , deci $\displaystyle a\in\{3,6,9\}$ .
$\displaystyle a\in\{3,6,9\}$
Cifra unităților poate fi și $\displaystyle 0$ , care este divizibil cu $\displaystyle 3$ , deci $\displaystyle b\in\{0,3,6,9\}$ .
$\displaystyle b\in\{0,3,6,9\}$
Numărăm cazurile favorabile: pentru fiecare dintre cele $\displaystyle 3$ alegeri ale lui $\displaystyle a$ avem $\displaystyle 4$ alegeri ale lui $\displaystyle b$ , deci $\displaystyle 3\cdot 4=12$ numere.
$\displaystyle a\in\{3,6,9\}$ , $\displaystyle \ b\in\{0,3,6,9\}$ , $\displaystyle \ 12$
Aplicăm formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{12}{90}$ , apoi simplificăm prin $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle p=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În triunghiul isoscel

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=AC

, ecuația mediatoarei laturii

\displaystyle AC

este

\displaystyle y=3x+1

și ecuația perpendicularei din

\displaystyle A

pe

\displaystyle BC

este

\displaystyle 2y=x+7

. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Într-un triunghi isoscel cu $\displaystyle AB=AC$ , perpendiculara din $\displaystyle A$ pe $\displaystyle BC$ este și mediatoarea laturii $\displaystyle BC$ , deoarece înălțimea din vârful $\displaystyle A$ coincide cu mediana. Centrul cercului circumscris se află la intersecția mediatoarelor, deci pe mediatoarea laturii $\displaystyle AC$ și pe mediatoarea laturii $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle O\in\{y=3x+1\}\cap\{2y=x+7\}$
Coordonatele centrului sunt soluția sistemului format din ecuațiile celor două mediatoare.
$\displaystyle \begin{cases}y=3x+1\\2y=x+7\end{cases}$
Înlocuim $\displaystyle y=3x+1$ în a doua ecuație și obținem $\displaystyle 2(3x+1)=x+7$ , adică $\displaystyle 6x+2=x+7$ .
$\displaystyle 6x+2=x+7$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle 5x=5$ , deci $\displaystyle x=1$ . Apoi $\displaystyle y=3\cdot 1+1=4$ . Verificare în a doua ecuație: $\displaystyle 2\cdot 4=8=1+7$ . Centrul cercului circumscris este punctul $\displaystyle O(1,4)$ .
$\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \ y=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

, știind că

\displaystyle \sin x\cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos x=-1

.

Vezi rezolvarea

Folosim formulele de reducere la primul cadran: $\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x$ și $\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x$ .
$\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x$ , $\displaystyle \ \sin(\pi-x)=\sin x$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle \sin x\cdot(-\cos x)-\sin x\cos x=-1$ .
$\displaystyle -\sin x\cos x-\sin x\cos x=-1$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -2\sin x\cos x=-1$ , deci $\displaystyle 2\sin x\cos x=1$ .
$\displaystyle 2\sin x\cos x=1$
Aplicăm formula $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ , deci ecuația devine $\displaystyle \sin 2x=1$ .
$\displaystyle \sin 2x=1$
Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , avem $\displaystyle 2x\in(0,\pi)$ . În acest interval $\displaystyle \sin 2x=1$ doar pentru $\displaystyle 2x=\dfrac{\pi}{2}$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Arătați că

\displaystyle \det(A(a))=1

, pentru orice

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}$ . Reținem formula determinantului de ordin doi: $\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r$
Aplicăm formula: pe diagonala principală avem elementele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 1$ , iar pe cea secundară $\displaystyle \ln a$ și $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle \det(A(a))=1\cdot 1-0\cdot\ln a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=1\cdot1-0\cdot\ln a$
Orice număr înmulțit cu $\displaystyle 0$ dă $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle 0\cdot\ln a=0$ (logaritmul există, fiindcă $\displaystyle a>0$ ). Rămâne $\displaystyle 1-0=1$ , valoare care nu depinde de $\displaystyle a$ . Deci $\displaystyle \det(A(a))=1$ pentru orice $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle \det(A(a))=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Demonstrați că

\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab)

, pentru orice

\displaystyle a,b\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln b\\0&1\end{pmatrix}$ , cu $\displaystyle a,b\in(0,+\infty)$ , deci $\displaystyle \ln a$ și $\displaystyle \ln b$ sunt definiți.
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&\ln b\\0&1\end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle 1\cdot1+\ln a\cdot0=1$ , $\displaystyle 1\cdot\ln b+\ln a\cdot1=\ln a+\ln b$ , $\displaystyle 0\cdot1+1\cdot0=0$ , $\displaystyle 0\cdot\ln b+1\cdot1=1$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln a+\ln b\\0&1\end{pmatrix}$
Folosim proprietatea logaritmilor $\displaystyle \ln a+\ln b=\ln(ab)$ , valabilă pentru $\displaystyle a,b>0$ , și înlocuim în elementul din dreapta sus.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&\ln a+\ln b\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\ln(ab)\\0&1\end{pmatrix}$
Matricea obținută are exact forma lui $\displaystyle A(ab)$ , deoarece $\displaystyle ab\in(0,+\infty)$ . Deci $\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab)$ , pentru orice $\displaystyle a,b\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln(ab)\\0&1\end{pmatrix}=A(ab)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Determinați

\displaystyle a\in(0,+\infty)

, astfel încât

\displaystyle A(a)\cdot A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1&2020\\0&1\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln a\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\ln b\\0&1\end{pmatrix}$ . Pe prima linie obținem $\displaystyle 1\cdot\ln b+\ln a\cdot 1=\ln a+\ln b=\ln(ab)$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&\ln a+\ln b\\0&1\end{pmatrix}=A(ab)$
Avem $\displaystyle A(a)\cdot A(a)=A(a^{2})$ , apoi $\displaystyle A(a^{2})\cdot A(a)=A(a^{3})$ . Deci $\displaystyle A(a)\cdot A(a)\cdot A(a)=A(a^{3})$ , iar $\displaystyle A(a^{3})=\begin{pmatrix}1&\ln a^{3}\\0&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(a)\cdot A(a)=A(a^{3})=\begin{pmatrix}1&\ln a^{3}\\0&1\end{pmatrix}$
Egalăm $\displaystyle \begin{pmatrix}1&\ln a^{3}\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2020\\0&1\end{pmatrix}$ . Celelalte elemente coincid, deci rămâne ecuația $\displaystyle \ln a^{3}=2020$ .
$\displaystyle \ln a^{3}=2020$
Deoarece $\displaystyle \ln a^{3}=3\ln a$ , ecuația devine $\displaystyle 3\ln a=2020$ , deci $\displaystyle \ln a=\dfrac{2020}{3}$ .
$\displaystyle \ln a=\frac{2020}{3}$
Din $\displaystyle \ln a=\dfrac{2020}{3}$ rezultă $\displaystyle a=e^{\frac{2020}{3}}=\sqrt[3]{e^{2020}}$ . Cum $\displaystyle a>0$ , valoarea convine.
$\displaystyle a=\sqrt[3]{e^{2020}}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy+x+y

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii: $\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}xy+x+y$ . Vrem să ajungem la produsul $\displaystyle (x+3)(y+3)$ , deci adăugăm și scădem $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}xy+x+y+3-3$
Grupăm termenii: $\displaystyle \dfrac{1}{3}xy+x$ și $\displaystyle y+3$ . Din primul grup dăm factor comun pe $\displaystyle x$ , deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{3}xy+x=\dfrac{1}{3}x(y+3)$ , iar $\displaystyle y+3$ rămâne ca atare. Astfel apare factorul $\displaystyle y+3$ .
$\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}x(y+3)+(y+3)-3$
Dăm factor comun $\displaystyle y+3$ între primii doi termeni.
$\displaystyle x\circ y=(y+3)\left(\dfrac{1}{3}x+1\right)-3$
Scriem paranteza cu numitor comun: $\displaystyle \dfrac{1}{3}x+1=\dfrac{1}{3}(x+3)$ . Obținem forma cerută, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy+x+y

.

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x-3

. Arătați că

\displaystyle f(xy)=f(x)\circ f(y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Calculăm separat $\displaystyle f(xy)$ și $\displaystyle f(x)\circ f(y)$ și le comparăm. Înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle xy$ în $\displaystyle f(x)=3x-3$ obținem $\displaystyle f(xy)=3xy-3$ .
$\displaystyle f(xy)=3xy-3$
Aplicăm definiția legii pentru numerele $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle f(y)$ : $\displaystyle f(x)\circ f(y)=\dfrac{1}{3}f(x)f(y)+f(x)+f(y)$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=\frac{1}{3}f(x)f(y)+f(x)+f(y)$
Observăm că $\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$ . Verificăm: $\displaystyle \dfrac{1}{3}(xy+3x+3y+9)-3=\dfrac{1}{3}xy+x+y+3-3$ . Deci $\displaystyle f(x)\circ f(y)=\dfrac{1}{3}(f(x)+3)(f(y)+3)-3$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=\frac{1}{3}\left(f(x)+3\right)\left(f(y)+3\right)-3$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=3x-3$ și $\displaystyle f(y)=3y-3$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=\frac{1}{3}(3x-3+3)(3y-3+3)-3$
În paranteze rămân $\displaystyle 3x$ și $\displaystyle 3y$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 3x\cdot 3y-3=\dfrac{1}{3}\cdot 9xy-3=3xy-3$ . Cum $\displaystyle f(xy)=3xy-3$ , rezultă $\displaystyle f(xy)=f(x)\circ f(y)$ , pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=3xy-3=f(xy)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy+x+y

.

Demonstrați că

\displaystyle x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n=\frac{(x_1+3)(x_2+3)\cdot\ldots\cdot(x_n+3)-3^n}{3^{n-1}}

, pentru orice

\displaystyle n\in\mathbb{N}

,

\displaystyle n\geq2

și orice numere reale

\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}

și

\displaystyle x_n

.

Vezi rezolvarea

Folosim funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=3x-3$ . Verificăm relația $\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy)$ : $\displaystyle f(x)\circ f(y)=\dfrac{1}{3}(3x-3)(3y-3)+(3x-3)+(3y-3)=3xy-3x-3y+3+3x+3y-6=3xy-3=f(xy)$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=3xy-3=f(xy)$
Scriem fiecare număr $\displaystyle x_k$ cu ajutorul lui $\displaystyle f$ . Avem $\displaystyle f\left(\dfrac{x_k+3}{3}\right)=3\cdot\dfrac{x_k+3}{3}-3=x_k$ , deci $\displaystyle x_k=f\left(\dfrac{x_k+3}{3}\right)$ .
$\displaystyle x_k=f\left(\dfrac{x_k+3}{3}\right)$ , $\displaystyle \ k=1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle n$
Aplicăm relația $\displaystyle f(a)\circ f(b)=f(ab)$ de mai multe ori. Legea este asociativă, deci grupăm de la stânga: $\displaystyle f(a_1)\circ f(a_2)=f(a_1a_2)$ , apoi $\displaystyle f(a_1a_2)\circ f(a_3)=f(a_1a_2a_3)$ și așa mai departe, până la $\displaystyle f(a_1)\circ\ldots\circ f(a_n)=f(a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n)$ .
$\displaystyle f(a_1)\circ f(a_2)\circ\ldots\circ f(a_n)=f(a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n)$
Înlocuim fiecare $\displaystyle x_k$ prin $\displaystyle f\left(\dfrac{x_k+3}{3}\right)$ și folosim relația de la pasul anterior cu $\displaystyle a_k=\dfrac{x_k+3}{3}$ . Produsul celor $\displaystyle n$ numitori egali cu $\displaystyle 3$ este $\displaystyle 3^n$ , deci $\displaystyle x_1\circ\ldots\circ x_n=f\left(\dfrac{x_1+3}{3}\cdot\ldots\cdot\dfrac{x_n+3}{3}\right)$ .
$\displaystyle x_1\circ\ldots\circ x_n=f\left(\dfrac{(x_1+3)(x_2+3)\cdot\ldots\cdot(x_n+3)}{3^n}\right)$
Folosim definiția lui $\displaystyle f$ , adică $\displaystyle f(t)=3t-3$ . Obținem $\displaystyle x_1\circ\ldots\circ x_n=3\cdot\dfrac{(x_1+3)\cdot\ldots\cdot(x_n+3)}{3^n}-3$ . Simplificăm prin $\displaystyle 3$ prima fracție, apoi aducem la numitor comun $\displaystyle 3^{n-1}$ , folosind $\displaystyle 3=\dfrac{3^n}{3^{n-1}}$ . Rezultă formula cerută, pentru orice $\displaystyle n\geq 2$ și orice numere reale $\displaystyle x_1,\ldots,x_n$ .
$\displaystyle x_1\circ\ldots\circ x_n=3\cdot\dfrac{(x_1+3)\cdot\ldots\cdot(x_n+3)}{3^n}-3=\dfrac{(x_1+3)(x_2+3)\cdot\ldots\cdot(x_n+3)-3^n}{3^{n-1}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}

,

\displaystyle x\in(1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este o radical dintr-o fracție, deci o derivăm ca funcție compusă: $\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , unde $\displaystyle u(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\cdot u'(x)$
Calculăm $\displaystyle u'$ cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$ , cu $\displaystyle a=x+1$ și $\displaystyle b=x-1$ , deci $\displaystyle a'=b'=1$ .
$\displaystyle u'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x-1-(x+1)}{(x-1)^{2}}$
Înlocuim $\displaystyle u'$ în formula de la primul pas.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\cdot\dfrac{x-1-(x+1)}{(x-1)^{2}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle x-1-(x+1)=-2$ . Apoi $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\cdot\dfrac{-2}{(x-1)^{2}}=-\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\cdot\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$
Pentru $\displaystyle x>1$ scriem $\displaystyle \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ , apoi simplificăm cu $\displaystyle (x-1)$ din $\displaystyle (x-1)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\dfrac{1}{(x-1)^{2}}=-\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^{2}-1}}$ , $\displaystyle \ x\in(1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x_0=2

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Calculăm valoarea funcției în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$ : înlocuim $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$ .
$\displaystyle f(2)=\sqrt{\dfrac{3}{1}}=\sqrt{3}$
Notăm $\displaystyle g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ , deci $\displaystyle f(x)=\sqrt{g(x)}$ . Derivăm $\displaystyle g$ cu formula câtului: $\displaystyle g'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}$ .
$\displaystyle g'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^{2}}$
Folosim formula $\displaystyle \left(\sqrt{g}\right)'=\dfrac{g'}{2\sqrt{g}}$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2}{2(x-1)^{2}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}$
Calculăm derivata în $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle (2-1)^{2}=1$ , iar $\displaystyle \sqrt{\dfrac{3}{1}}=\sqrt{3}$ .
$\displaystyle f'(2)=-\dfrac{1}{1\cdot\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Ecuația tangentei în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$ este $\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)$ . Înlocuim valorile găsite.
$\displaystyle y-\sqrt{3}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}(x-2)$
Explicităm $\displaystyle y$ : $\displaystyle y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$ . Cum $\displaystyle \sqrt{3}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}$ , termenii liberi dau $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ .
$\displaystyle y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{5}{\sqrt{3}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Domeniul funcției este $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci singura asimptotă verticală posibilă este $\displaystyle x=1$ , iar limita se calculează la dreapta lui $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x\to1$ , $\displaystyle \ x>1$
Când $\displaystyle x\to1$ , $\displaystyle x>1$ , numărătorul $\displaystyle x+1$ tinde la $\displaystyle 2$ , iar numitorul $\displaystyle x-1$ tinde la $\displaystyle 0$ prin valori pozitive. Fracția tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci și radicalul. Rezultă că dreapta $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală.
$\displaystyle \lim_{x\to1,\ x>1}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=+\infty\text{, deci }x=1\text{ este asimptotă verticală}$
Pentru asimptota orizontală la $\displaystyle +\infty$ calculăm întâi limita fracției de sub radical, împărțind numărătorul și numitorul la $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1$
Funcția radical este continuă, deci $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{1}=1$ . Rezultă că $\displaystyle y=1$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=1\text{, deci }y=1\text{ este asimptotă orizontală}$
Cele două asimptote sunt dreapta verticală $\displaystyle x=1$ și dreapta orizontală $\displaystyle y=1$ . Ele se intersectează în punctul $\displaystyle (1,1)$ .
$\displaystyle (1,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right)dx=\frac{1}{3}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată: $\displaystyle f(x)=x^{2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$ .
$\displaystyle f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}=x^{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$
Termenii cu radical se reduc, deci rămâne doar $\displaystyle x^{2}$ . Integrala devine $\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\right)dx=\int_0^1 x^{2}\,dx$
Folosim primitiva lui $\displaystyle x^{2}$ , care este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ .
$\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în $\displaystyle 1$ minus valoarea în $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^4(f(x)-f(-x))dx

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle f(-x)$ : înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în expresia lui $\displaystyle f$ . Pătratul rămâne același, iar numitorul nu se schimbă, deoarece $\displaystyle (-x)^2=x^2$ .
$\displaystyle f(-x)=(-x)^2+\dfrac{-x}{\sqrt{(-x)^2+9}}=x^2-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$
Facem diferența $\displaystyle f(x)-f(-x)$ : termenii $\displaystyle x^2$ se reduc, iar fracțiile se adună.
$\displaystyle f(x)-f(-x)=x^2+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}-x^2+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+9}}$
Integrala devine $\displaystyle \int_0^4\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+9}}dx$ . Observăm că $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ . Prin urmare, o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+9}}$ este $\displaystyle 2\sqrt{x^2+9}$ .
$\displaystyle \int\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+9}}dx=2\sqrt{x^2+9}+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în $\displaystyle 4$ și în $\displaystyle 0$ și facem diferența. Pentru $\displaystyle x=4$ avem $\displaystyle \sqrt{25}=5$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle \sqrt{9}=3$ .
$\displaystyle \int_0^4\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+9}}dx=2\sqrt{x^2+9}\Big|_0^4=2(5-3)=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a>4

, astfel încât

\displaystyle \int_4^a\frac{f(x)}{x}dx=10+\ln\frac{a+\sqrt{a^2+9}}{9}

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle [4,a]$ avem $\displaystyle x>0$ , deci putem împărți la $\displaystyle x$ : $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=x+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}$
O primitivă a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , iar $\displaystyle \left(\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}$ . Deci o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ este $\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)$ .
$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_4^a\dfrac{f(x)}{x}dx=F(a)-F(4)$ . Cum $\displaystyle F(4)=8+\ln\left(4+\sqrt{25}\right)=8+\ln 9$ , obținem $\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}-8+\ln\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)-\ln 9$ , adică $\displaystyle \dfrac{a^{2}-16}{2}+\ln\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+9}}{9}$ .
$\displaystyle \int_4^a\frac{f(x)}{x}dx=\frac{a^{2}-16}{2}+\ln\frac{a+\sqrt{a^{2}+9}}{9}$
Egalăm cu $\displaystyle 10+\ln\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+9}}{9}$ . Logaritmii sunt egali și se reduc, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{a^{2}-16}{2}=10$ .
$\displaystyle \frac{a^{2}-16}{2}=10$
Din $\displaystyle a^{2}-16=20$ rezultă $\displaystyle a^{2}=36$ , deci $\displaystyle a=6$ sau $\displaystyle a=-6$ . Cum $\displaystyle a>4$ , rămâne $\displaystyle a=6$ .
$\displaystyle a=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani