Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=3+43−(2+3)2\displaystyle a=3+4\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)^2 este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei folosind formula (x+y)2=x2+2xy+y2\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, cu x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=\sqrt{3}.
    (2+3)2=22+2⋅2⋅3+(3)2\displaystyle \left(2+\sqrt{3}\right)^2=2^2+2\cdot 2\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2
  2. Calculăm termenii: 22=4\displaystyle 2^2=4, 2⋅2⋅3=43\displaystyle 2\cdot 2\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}, iar (3)2=3\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^2=3. Adunăm 4+3=7\displaystyle 4+3=7.
    (2+3)2=7+43\displaystyle \left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}
  3. Înlocuim rezultatul în expresia lui a\displaystyle a, păstrând paranteza deoarece înaintea ei este semnul minus.
    a=3+43−(7+43)\displaystyle a=3+4\sqrt{3}-\left(7+4\sqrt{3}\right)
  4. Desfacem paranteza schimbând semnele termenilor din ea, apoi reducem termenii cu radicali: 43−43=0\displaystyle 4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=0, iar 3−7=−4\displaystyle 3-7=-4. Rezultatul este număr întreg.
    a=3+43−7−43=−4, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle a=3+4\sqrt{3}-7-4\sqrt{3}=-4\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=4x2+2x\displaystyle g(x)=4x^2+2x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Egalăm expresiile celor două funcții: 2x+3=4x2+2x\displaystyle 2x+3=4x^{2}+2x.
    2x+3=4x2+2x\displaystyle 2x+3=4x^{2}+2x
  2. Trecem toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: 2x\displaystyle 2x se reduce cu 2x\displaystyle 2x, deci rămâne 4x2−3=0\displaystyle 4x^{2}-3=0.
    4x2−3=0\displaystyle 4x^{2}-3=0
  3. Izolăm x2\displaystyle x^{2} împărțind la 4\displaystyle 4: 4x2=3\displaystyle 4x^{2}=3, deci x2=34\displaystyle x^{2}=\dfrac{3}{4}.
    x2=34\displaystyle x^{2}=\dfrac{3}{4}
  4. Ecuația x2=34\displaystyle x^{2}=\dfrac{3}{4} are două soluții opuse: x=±34=±34=±32\displaystyle x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    x=±32\displaystyle x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  5. Abscisele punctelor de intersecție sunt −32\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2} și 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    x=−32 sau x=32\displaystyle x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ sau }x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+4x+2=64⋅2x\displaystyle 2^{x^2+4x+2}=64\cdot 2^x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 64\displaystyle 64 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 64=26\displaystyle 64=2^{6}. Ecuația devine 2x2+4x+2=26⋅2x\displaystyle 2^{x^{2}+4x+2}=2^{6}\cdot 2^{x}.
    2x2+4x+2=26⋅2x\displaystyle 2^{x^{2}+4x+2}=2^{6}\cdot 2^{x}
  2. Folosim regula am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, deci membrul drept devine 26+x\displaystyle 2^{6+x}.
    2x2+4x+2=2x+6\displaystyle 2^{x^{2}+4x+2}=2^{x+6}
  3. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci egalăm exponenții: x2+4x+2=x+6\displaystyle x^{2}+4x+2=x+6. Mutăm toți termenii în stânga și obținem x2+3x−4=0\displaystyle x^{2}+3x-4=0.
    x2+4x+2=6+x⇔x2+3x−4=0\displaystyle x^{2}+4x+2=6+x\Leftrightarrow x^{2}+3x-4=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Aplicăm formula x=−3±52\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 5}{2}, de unde x1=−3−52=−4\displaystyle x_1=\dfrac{-3-5}{2}=-4 și x2=−3+52=1\displaystyle x_2=\dfrac{-3+5}{2}=1. Ecuația exponențială nu are restricții pentru x\displaystyle x, deci ambele valori convin.
    x=−4 sau x=1\displaystyle x=-4\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr a\displaystyle a din mulțimea A={−2,−1,1,3,4}\displaystyle A=\{-2,-1,1,3,4\}, acesta să verifice inegalitatea a2−2a+1≥3\displaystyle \sqrt{a^2-2a+1}\ge 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A, adică 5\displaystyle 5.
    5\displaystyle 5
  2. Observăm că expresia de sub radical este un pătrat perfect: a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}.
    a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}
  3. Radicalul dintr-un pătrat este modulul: (a−1)2=∣a−1∣\displaystyle \sqrt{(a-1)^{2}}=|a-1|. Inegalitatea devine ∣a−1∣≥3\displaystyle |a-1|\ge 3.
    ∣a−1∣≥3\displaystyle |a-1|\ge 3
  4. Rezolvăm inegalitatea cu modul: a−1≥3\displaystyle a-1\ge 3 sau a−1≤−3\displaystyle a-1\le -3, adică a≥4\displaystyle a\ge 4 sau a≤−2\displaystyle a\le -2.
    a≥4 sau a≤−2\displaystyle a\ge 4\text{ sau }a\le -2
  5. Verificăm elementele mulțimii A\displaystyle A: pentru −2\displaystyle -2 avem ∣−3∣=3\displaystyle |-3|=3, convine; pentru −1\displaystyle -1 avem 2\displaystyle 2, nu convine; pentru 1\displaystyle 1 avem 0\displaystyle 0, nu convine; pentru 3\displaystyle 3 avem 2\displaystyle 2, nu convine; pentru 4\displaystyle 4 avem 3\displaystyle 3, convine. Cazurile favorabile sunt −2\displaystyle -2 și 4\displaystyle 4, deci 2\displaystyle 2 cazuri.
    −2 și 4, deci 2 cazuri favorabile\displaystyle -2\text{ și }4\text{, deci }2\text{ cazuri favorabile}
  6. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică p=25\displaystyle p=\dfrac{2}{5}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=25\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră paralelogramul MNPQ\displaystyle MNPQ cu M(2,3)\displaystyle M(2,3), N(5,4)\displaystyle N(5,4) și P(4,0)\displaystyle P(4,0). Determinați ecuația dreptei MQ\displaystyle MQ.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram MNPQ\displaystyle MNPQ laturile opuse sunt paralele, deci MQ∥NP\displaystyle MQ\parallel NP. Prin urmare, cele două drepte au aceeași pantă: mMQ=mNP\displaystyle m_{MQ}=m_{NP}.
    MQ∥NP⇒mMQ=mNP\displaystyle MQ\parallel NP\Rightarrow m_{MQ}=m_{NP}
  2. Calculăm panta dreptei NP\displaystyle NP din coordonatele punctelor N(5,4)\displaystyle N(5,4) și P(4,0)\displaystyle P(4,0): mNP=yP−yNxP−xN=0−44−5\displaystyle m_{NP}=\dfrac{y_P-y_N}{x_P-x_N}=\dfrac{0-4}{4-5}.
    mNP=0−44−5=−4−1=4\displaystyle m_{NP}=\dfrac{0-4}{4-5}=\dfrac{-4}{-1}=4
  3. Panta dreptei MQ\displaystyle MQ este egală cu panta dreptei NP\displaystyle NP, deci mMQ=4\displaystyle m_{MQ}=4.
    mMQ=4\displaystyle m_{MQ}=4
  4. Dreapta MQ\displaystyle MQ trece prin M(2,3)\displaystyle M(2,3) și are panta 4\displaystyle 4, deci y−yM=mMQ(x−xM)\displaystyle y-y_M=m_{MQ}(x-x_M), adică y−3=4(x−2)\displaystyle y-3=4(x-2).
    y−3=4(x−2)\displaystyle y-3=4(x-2)
  5. Desfacem parantezele: y−3=4x−8\displaystyle y-3=4x-8, deci y=4x−5\displaystyle y=4x-5. Aceasta este ecuația dreptei MQ\displaystyle MQ.
    y=4x−5\displaystyle y=4x-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC este înscris într-un cerc de rază 5\displaystyle 5. Arătați că sin⁡A⋅sin⁡B⋅sin⁡C=AB⋅AC⋅BC1000\displaystyle \sin A\cdot\sin B\cdot\sin C=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{1000}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC înscris într-un cerc de rază R=5\displaystyle R=5: fiecare latură împărțită la sinusul unghiului opus este egală cu 2R\displaystyle 2R.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B=ABsin⁡C=2R\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R
  2. Înlocuim R=5\displaystyle R=5, deci 2R=10\displaystyle 2R=10.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B=ABsin⁡C=10\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=10
  3. Din fiecare egalitate exprimăm sinusul unghiului în funcție de latura opusă.
    sin⁡A=BC10\displaystyle \sin A=\frac{BC}{10}, sin⁡B=AC10\displaystyle \ \sin B=\frac{AC}{10}, sin⁡C=AB10\displaystyle \ \sin C=\frac{AB}{10}
  4. Înmulțim cele trei relații membru cu membru: numitorii se înmulțesc, 10⋅10⋅10=1000\displaystyle 10\cdot 10\cdot 10=1000, iar numărătorii dau produsul laturilor.
    sin⁡A⋅sin⁡B⋅sin⁡C=BC10⋅AC10⋅AB10=AB⋅AC⋅BC1000\displaystyle \sin A\cdot\sin B\cdot\sin C=\frac{BC}{10}\cdot\frac{AC}{10}\cdot\frac{AB}{10}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{1000}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(aa−2b+1b−1)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(1,0))=0\displaystyle \det(A(1,0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=0\displaystyle b=0 în matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b): elementele sunt a=1\displaystyle a=1, a−2=1−2=−1\displaystyle a-2=1-2=-1, b+1=0+1=1\displaystyle b+1=0+1=1, b−1=0−1=−1\displaystyle b-1=0-1=-1.
    A(1,0)=(1−11−1)\displaystyle A(1,0)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin doi al matricei A(1,0)\displaystyle A(1,0).
    det⁡(A(1,0))=∣1−11−1∣\displaystyle \det(A(1,0))=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul ca diferență dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: 1⋅(−1)−(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)-(-1)\cdot 1. Obținem −1−(−1)=0\displaystyle -1-(-1)=0, deci determinantul este zero.
    det⁡(A(1,0))=1⋅(−1)−(−1)⋅1=−1−(−1)=0\displaystyle \det(A(1,0))=1\cdot(-1)-(-1)\cdot 1=-1-(-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(aa−2b+1b−1)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă a∈(−∞,0)\displaystyle a\in(-\infty,0) și b∈(0,+∞)\displaystyle b\in(0,+\infty), atunci matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(a,b))\displaystyle \det(A(a,b)).
    det⁡(A(a,b))=∣aa−2b+1b−1∣\displaystyle \det(A(a,b))=\begin{vmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: det⁡(A(a,b))=a(b−1)−(a−2)(b+1)\displaystyle \det(A(a,b))=a(b-1)-(a-2)(b+1).
    a(b−1)−(a−2)(b+1)\displaystyle a(b-1)-(a-2)(b+1)
  3. Desfacem parantezele: ab−a−(ab+a−2b−2)=ab−a−ab−a+2b+2\displaystyle ab-a-(ab+a-2b-2)=ab-a-ab-a+2b+2. Reducem termenii asemenea și dăm factor comun pe 2.
    det⁡(A(a,b))=−2a+2b+2=2(b−a+1)\displaystyle \det(A(a,b))=-2a+2b+2=2(b-a+1)
  4. Folosim condițiile date: din a<0\displaystyle a<0 rezultă −a>0\displaystyle -a>0, iar b>0\displaystyle b>0.
    −a>0 și b>0\displaystyle -a>0\text{ și }b>0
  5. Adunând cele două inegalități și încă 1\displaystyle 1, obținem b−a+1>1>0\displaystyle b-a+1>1>0.
    b−a+1>1\displaystyle b-a+1>1
  6. Prin urmare det⁡(A(a,b))=2(b−a+1)>2>0\displaystyle \det(A(a,b))=2(b-a+1)>2>0, deci determinantul este nenul. Rezultă că matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b) este inversabilă.
    det⁡(A(a,b))≠0, deci A(a,b) este inversabila˘\displaystyle \det(A(a,b))\neq 0\text{, deci }A(a,b)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(aa−2b+1b−1)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(1,3)⋅X=A(2,1)\displaystyle A(1,3)\cdot X=A(2,1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=3\displaystyle b=3 în A(a,b)=(aa−2b+1b−1)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix} și obținem A(1,3)\displaystyle A(1,3).
    A(1,3)=(1−142)\displaystyle A(1,3)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(A(1,3))=1⋅2−(−1)⋅4\displaystyle \det(A(1,3))=1\cdot 2-(-1)\cdot 4. Cum 6≠0\displaystyle 6\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(1,3))=2+4=6\displaystyle \det(A(1,3))=2+4=6
  3. Pentru o matrice (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} inversa este 1det⁡(s−q−rp)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix} s & -q \\ -r & p \end{pmatrix}. Aici avem (A(1,3))−1=16(21−41)\displaystyle (A(1,3))^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}.
    (A(1,3))−1=(1316−2316)\displaystyle (A(1,3))^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}
  4. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 și b=1\displaystyle b=1 în A(a,b)\displaystyle A(a,b) și obținem A(2,1)\displaystyle A(2,1).
    A(2,1)=(2020)\displaystyle A(2,1)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
  5. Înmulțim la stânga ecuația A(1,3)⋅X=A(2,1)\displaystyle A(1,3)\cdot X=A(2,1) cu (A(1,3))−1\displaystyle (A(1,3))^{-1}. Cum (A(1,3))−1⋅A(1,3)=I2\displaystyle (A(1,3))^{-1}\cdot A(1,3)=I_2, obținem X=(A(1,3))−1⋅A(2,1)\displaystyle X=(A(1,3))^{-1}\cdot A(2,1).
    X=(A(1,3))−1⋅A(2,1)\displaystyle X=(A(1,3))^{-1}\cdot A(2,1)
  6. Efectuăm produsul: prima linie dă 13⋅2+16⋅2=23+13=1\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1, iar a doua linie dă −23⋅2+16⋅2=−43+13=−1\displaystyle -\frac{2}{3}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 2=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=-1. A doua coloană a lui A(2,1)\displaystyle A(2,1) are elementele nule, deci și în X\displaystyle X este nulă.
    X=(10−10)\displaystyle X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−(x+y)+23\displaystyle x\circ y=3xy-(x+y)+\frac{2}{3}.

Arătați că 1∘(−1)=−73\displaystyle 1\circ(-1)=-\frac{7}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=3xy−(x+y)+23\displaystyle x\circ y=3xy-(x+y)+\dfrac{2}{3} și înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1.
    1∘(−1)=3⋅1⋅(−1)−(1+(−1))+23\displaystyle 1\circ(-1)=3\cdot 1\cdot(-1)-(1+(-1))+\frac{2}{3}
  2. Calculăm separat: 3⋅1⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot 1\cdot(-1)=-3 și 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0.
    3⋅1⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot 1\cdot(-1)=-3,1+(−1)=0\displaystyle \quad 1+(-1)=0
  3. Înlocuim în expresie: 1∘(−1)=−3−0+23\displaystyle 1\circ(-1)=-3-0+\dfrac{2}{3}, deci 1∘(−1)=−3+23\displaystyle 1\circ(-1)=-3+\dfrac{2}{3}.
    1∘(−1)=−3+23\displaystyle 1\circ(-1)=-3+\frac{2}{3}
  4. Aducem la același numitor: −3=−93\displaystyle -3=-\dfrac{9}{3}, deci −93+23=−73\displaystyle -\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{7}{3}. Am arătat că 1∘(−1)=−73\displaystyle 1\circ(-1)=-\dfrac{7}{3}.
    −3+23=−93+23=−73\displaystyle -3+\frac{2}{3}=-\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−(x+y)+23\displaystyle x\circ y=3xy-(x+y)+\frac{2}{3}.

Demonstrați că x∘y=3(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=3xy−(x+y)+23\displaystyle x\circ y=3xy-(x+y)+\dfrac{2}{3}. Desfacem paranteza și scriem 23=13+13\displaystyle \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}.
    x∘y=3xy−x−y+13+13\displaystyle x\circ y=3xy-x-y+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}
  2. Grupăm termenii: 3xy−x=x(3y−1)\displaystyle 3xy-x=x(3y-1) se scrie ca 3x(y−13)\displaystyle 3x\left(y-\dfrac{1}{3}\right), iar −y+13=−(y−13)\displaystyle -y+\dfrac{1}{3}=-\left(y-\dfrac{1}{3}\right). Rămâne cealaltă fracție 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    x∘y=3x(y−13)−(y−13)+13\displaystyle x\circ y=3x\left(y-\frac{1}{3}\right)-\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}
  3. Dăm factor comun pe y−13\displaystyle y-\dfrac{1}{3} între primii doi termeni.
    x∘y=(y−13)(3x−1)+13\displaystyle x\circ y=\left(y-\frac{1}{3}\right)(3x-1)+\frac{1}{3}
  4. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 din 3x−1\displaystyle 3x-1, deoarece 3x−1=3(x−13)\displaystyle 3x-1=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right). Obținem forma cerută, pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∘y=3(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−(x+y)+23\displaystyle x\circ y=3xy-(x+y)+\frac{2}{3}.

Calculați 1∘12∘13∘…∘12021\displaystyle 1\circ\frac{1}{\sqrt{2}}\circ\frac{1}{\sqrt{3}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{2021}}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} scriem, după definiția legii, x∘13=3x⋅13−(x+13)+23\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=3x\cdot\frac{1}{3}-\left(x+\frac{1}{3}\right)+\frac{2}{3}.
    x∘13=x−x−13+23\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=x-x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}
  2. Reducem termenii: x∘13=13\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=\frac{1}{3}. Expresia 3xy−(x+y)+23\displaystyle 3xy-(x+y)+\frac{2}{3} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și 13∘y=13\displaystyle \frac{1}{3}\circ y=\frac{1}{3}, pentru orice y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}.
    x∘13=13 și 13∘y=13, pentru orice x\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\text{ și }\frac{1}{3}\circ y=\frac{1}{3}\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. Căutăm în șir un factor egal cu 13\displaystyle \frac{1}{3}: din 1n=13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{3} rezultă n=3\displaystyle \sqrt{n}=3, deci n=9\displaystyle n=9. Factorul 19\displaystyle \frac{1}{\sqrt{9}} se află în șir, deoarece 9≤2021\displaystyle 9\le 2021.
    19=13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii și scriem expresia ca ((1∘12∘…∘18)∘13)∘110∘…∘12021\displaystyle \left(\left(1\circ\frac{1}{\sqrt{2}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{8}}\right)\circ\frac{1}{3}\right)\circ\frac{1}{\sqrt{10}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{2021}}.
    ((1∘12∘…∘18)∘13)∘110∘…∘12021\displaystyle \left(\left(1\circ\frac{1}{\sqrt{2}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{8}}\right)\circ\frac{1}{3}\right)\circ\frac{1}{\sqrt{10}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{2021}}
  5. Folosim x∘13=13\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=\frac{1}{3} pentru paranteza din stânga, deci primim 13∘(110∘…∘12021)\displaystyle \frac{1}{3}\circ\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{2021}}\right). Apoi folosim 13∘y=13\displaystyle \frac{1}{3}\circ y=\frac{1}{3} cu y\displaystyle y egal cu paranteza rămasă, deci rezultatul este 13\displaystyle \frac{1}{3}.
    1∘12∘13∘…∘12021=13\displaystyle 1\circ\frac{1}{\sqrt{2}}\circ\frac{1}{\sqrt{3}}\circ\ldots\circ\frac{1}{\sqrt{2021}}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−1x2+1\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=1−1x2+1\displaystyle f(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1} termen cu termen: 1′=0\displaystyle 1'=0, iar al doilea termen este un cât, deci aplicăm regula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=1′−(1x2+1)′\displaystyle f'(x)=1'-\left(\dfrac{1}{x^{2}+1}\right)'
  2. Aplicăm regula câtului cu u=1\displaystyle u=1 și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1. Avem u′=1′=0\displaystyle u'=1'=0 și v′=(x2+1)′=2x\displaystyle v'=\left(x^{2}+1\right)'=2x.
    f′(x)=1′−1′⋅(x2+1)−1⋅(x2+1)′(x2+1)2\displaystyle f'(x)=1'-\dfrac{1'\cdot\left(x^{2}+1\right)-1\cdot\left(x^{2}+1\right)'}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  3. Înlocuim derivatele: numărătorul devine 0⋅(x2+1)−1⋅2x=−2x\displaystyle 0\cdot\left(x^{2}+1\right)-1\cdot 2x=-2x, iar 1′=0\displaystyle 1'=0.
    f′(x)=0−−2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=0-\dfrac{-2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  4. Minusul din fața fracției se combină cu minusul de la numărător și obținem plus. Relația este valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    f′(x)=−−2x(x2+1)2=2x(x2+1)2, x∈R\displaystyle f'(x)=-\dfrac{-2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−1x2+1\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}.

Demonstrați că dreapta de ecuație y=2021\displaystyle y=2021 este paralelă cu asimptota spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a găsi asimptota spre +∞\displaystyle +\infty, calculăm limita funcției f\displaystyle f când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Observăm că în fracția 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞(x2+1)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}+1\right)=+\infty
  2. Rezultă că 1x2+1→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}\to 0, deci limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty este 1\displaystyle 1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=1\displaystyle y=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(1−1x2+1)=1⇒y=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=1\Rightarrow y=1
  3. Dreptele de forma y=c\displaystyle y=c sunt orizontale, deci au panta 0\displaystyle 0. Atât dreapta y=2021\displaystyle y=2021, cât și asimptota y=1\displaystyle y=1 au panta 0\displaystyle 0, deci cele două drepte sunt paralele.
    m=0 pentru y=2021 și pentru asimptota˘, deci \displaystyle m=0\text{ pentru }y=2021\text{ și pentru asimptotă, deci }dreptele sunt paralele\displaystyle \text{dreptele sunt paralele}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−1x2+1\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}.

Determinați punctele de inflexiune ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)=1−(x2+1)−1\displaystyle f(x)=1-\left(x^{2}+1\right)^{-1} și derivăm: f′(x)=(x2+1)−2⋅2x\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-2}\cdot 2x.
    f′(x)=2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  2. Derivăm încă o dată, cu formula câtului: f′′(x)=2(x2+1)2−2x⋅2(x2+1)⋅2x(x2+1)4\displaystyle f''(x)=\dfrac{2\left(x^{2}+1\right)^{2}-2x\cdot 2\left(x^{2}+1\right)\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}. Simplificăm prin x2+1\displaystyle x^{2}+1 și obținem f′′(x)=2x2+2−8x2(x2+1)3=2−6x2(x2+1)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{2x^{2}+2-8x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\dfrac{2-6x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}.
    f′′(x)=2(1−3x2)(x2+1)3, x∈R\displaystyle f''(x)=\dfrac{2\left(1-3x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\text{, }x\in\mathbb{R}
  3. Rezolvăm f′′(x)=0\displaystyle f''(x)=0. Numitorul (x2+1)3\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{3} este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci fracția se anulează doar când numărătorul este zero: 1−3x2=0\displaystyle 1-3x^{2}=0, adică x2=13\displaystyle x^{2}=\dfrac{1}{3}.
    f′′(x)=0⇔x=−13 sau x=13\displaystyle f''(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{ sau }x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'', care este dat de 1−3x2\displaystyle 1-3x^{2}, deoarece numitorul este pozitiv. Pe (−∞,−13)\displaystyle \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) avem f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0, deci f\displaystyle f este concavă. Pe (−13,13)\displaystyle \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) avem f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0, deci f\displaystyle f este convexă. Pe (13,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},+\infty\right) avem f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0, deci f\displaystyle f este concavă.
    f′′<0 pe (−∞,−13), f′′>0 pe (−13,13), f′′<0 pe (13,+∞)\displaystyle f''<0\text{ pe }\left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\text{, }f''>0\text{ pe }\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\text{, }f''<0\text{ pe }\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},+\infty\right)
  5. În ambele puncte f′′\displaystyle f'' își schimbă semnul, deci se schimbă concavitatea. Funcția este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci aceste puncte sunt puncte de inflexiune. Ordonata lor este f(±13)=1−113+1=14\displaystyle f\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=1-\dfrac{1}{\frac{1}{3}+1}=\dfrac{1}{4}.
    x=−13 și x=13 sunt punctele de \displaystyle x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{ și }x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{ sunt punctele de }inflexiune\displaystyle \text{inflexiune}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exsin⁡x\displaystyle f(x)=e^x\sin x.

Arătați că ∫12f(x)sin⁡x dx=e(e−1)\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sin x}\,dx=e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exsin⁡x\displaystyle f(x)=e^{x}\sin x în integrala dată: ∫12f(x)sin⁡x dx\displaystyle \int_1^2 \dfrac{f(x)}{\sin x}\,dx.
    ∫12f(x)sin⁡x dx=∫12exsin⁡xsin⁡x dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\sin x}\,dx=\int_1^2\frac{e^{x}\sin x}{\sin x}\,dx
  2. Simplificăm fracția prin sin⁡x\displaystyle \sin x. Pe intervalul [1,2]⊂(0,π)\displaystyle [1,2]\subset(0,\pi) avem sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0, deci simplificarea este corectă.
    ∫12exsin⁡xsin⁡x dx=∫12ex dx\displaystyle \int_1^2\frac{e^{x}\sin x}{\sin x}\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx
  3. Primitiva lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2.
    ∫12ex dx=ex∣12=e2−e1\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2=e^{2}-e^{1}
  4. Dăm factor comun pe e\displaystyle e: e2−e=e⋅e−e⋅1=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e\cdot e-e\cdot 1=e(e-1), ceea ce trebuia demonstrat.
    e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exsin⁡x\displaystyle f(x)=e^x\sin x.

Calculați ∫0π2f(x) dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm integrala căutată cu I=∫0π2exsin⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x\sin x\,dx. Aplicăm prima integrare prin părți: alegem u=sin⁡x\displaystyle u=\sin x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=cos⁡x dx\displaystyle du=\cos x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    I=exsin⁡x∣0π2−∫0π2excos⁡x dx\displaystyle I=e^x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx
  2. Calculăm termenul ieșit din integrală: la π2\displaystyle \frac{\pi}{2} avem eπ2sin⁡π2=eπ2\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}=e^{\frac{\pi}{2}}, iar la 0\displaystyle 0 avem e0sin⁡0=0\displaystyle e^0\sin 0=0.
    I=eπ2−∫0π2excos⁡x dx\displaystyle I=e^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx
  3. Aplicăm a doua integrare prin părți pentru integrala cu cos⁡x\displaystyle \cos x: alegem u=cos⁡x\displaystyle u=\cos x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=−sin⁡x dx\displaystyle du=-\sin x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Semnul minus din du\displaystyle du schimbă semnul integralei rămase.
    I=eπ2−excos⁡x∣0π2−∫0π2exsin⁡x dx\displaystyle I=e^{\frac{\pi}{2}}-e^x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx
  4. Evaluăm termenul cu limite: la π2\displaystyle \frac{\pi}{2} avem eπ2cos⁡π2=0\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\pi}{2}=0, iar la 0\displaystyle 0 avem e0cos⁡0=1\displaystyle e^0\cos 0=1. Deci excos⁡x∣0π2=0−1=−1\displaystyle e^x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=0-1=-1. Integrala rămasă este chiar I\displaystyle I, deci obținem o ecuație în I\displaystyle I.
    I=eπ2+1−I\displaystyle I=e^{\frac{\pi}{2}}+1-I
  5. Rezolvăm ecuația: 2I=eπ2+1\displaystyle 2I=e^{\frac{\pi}{2}}+1, deci I=eπ2+12\displaystyle I=\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2}.
    ∫0π2exsin⁡x dx=eπ2+12\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exsin⁡x\displaystyle f(x)=e^x\sin x.

Arătați că ∫π6π2f(x−π2)f(x) dx=−ln⁡2eπ\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}\,dx=-\frac{\ln 2}{\sqrt{e^{\pi}}}.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=exsin⁡x\displaystyle f(x)=e^x\sin x obținem f(x−π2)=ex−π2sin⁡(x−π2)\displaystyle f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=e^{x-\frac{\pi}{2}}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right), deci raportul este de forma de mai jos.
    f(x−π2)f(x)=ex−π2sin⁡(x−π2)exsin⁡x\displaystyle \frac{f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}=\frac{e^{x-\frac{\pi}{2}}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{e^x\sin x}
  2. Avem ex−π2ex=e−π2\displaystyle \dfrac{e^{x-\frac{\pi}{2}}}{e^x}=e^{-\frac{\pi}{2}} și sin⁡(x−π2)=−cos⁡x\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x. Atunci raportul devine −e−π2⋅cos⁡xsin⁡x\displaystyle -e^{-\frac{\pi}{2}}\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}.
    f(x−π2)f(x)=−e−π2⋅cos⁡xsin⁡x\displaystyle \frac{f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}=-e^{-\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}
  3. Constanta iese în fața integralei, iar e−π2=1eπ\displaystyle e^{-\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}. Cum (ln⁡∣sin⁡x∣)′=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \left(\ln|\sin x|\right)'=\dfrac{\cos x}{\sin x}, obținem o primitivă a cotangentei.
    −1eπ⋅ln⁡∣sin⁡x∣∣π6π2\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}\cdot\ln|\sin x|\Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}
  4. Pe [π6,π2]\displaystyle \left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right] sinusul este pozitiv, deci aplicăm limitele: sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
    −1eπ(ln⁡sin⁡π2−ln⁡sin⁡π6)=−1eπ(ln⁡1−ln⁡12)\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}\left(\ln\sin\frac{\pi}{2}-\ln\sin\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}\left(\ln 1-\ln\frac{1}{2}\right)
  5. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și −ln⁡12=ln⁡2\displaystyle -\ln\dfrac{1}{2}=\ln 2, rezultă că integrala este egală cu valoarea cerută.
    −1eπ⋅ln⁡2=−ln⁡2eπ\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{e^{\pi}}}\cdot\ln 2=-\frac{\ln 2}{\sqrt{e^{\pi}}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.