Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 15: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+3i)2=i(5i+12)\displaystyle (2+3i)^2=i(5i+12), unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei după formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=2\displaystyle a=2 și b=3i\displaystyle b=3i.
    (2+3i)2=22+2⋅2⋅3i+(3i)2\displaystyle (2+3i)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3i+(3i)^2
  2. Calculăm fiecare termen: 22=4\displaystyle 2^2=4, 2⋅2⋅3i=12i\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3i=12i, iar (3i)2=9i2\displaystyle (3i)^2=9i^2.
    (2+3i)2=4+12i+9i2\displaystyle (2+3i)^2=4+12i+9i^2
  3. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și reducem termenii reali: 4−9=−5\displaystyle 4-9=-5.
    4+12i+9⋅(−1)=4−9+12i=−5+12i\displaystyle 4+12i+9\cdot(-1)=4-9+12i=-5+12i
  4. Scriem −5\displaystyle -5 ca 5i2\displaystyle 5i^2, deoarece i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    −5+12i=5i2+12i\displaystyle -5+12i=5i^2+12i
  5. Dăm factor comun pe i\displaystyle i și obținem forma cerută, deci egalitatea este demonstrată.
    5i2+12i=i(5i+12), deci (2+3i)2=i(5i+12)\displaystyle 5i^2+12i=i(5i+12)\text{, deci }(2+3i)^2=i(5i+12)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a. Determinați numărul real a\displaystyle a, astfel încât (f∘f)(x)=f(x+1)\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm compunerea f∘f\displaystyle f\circ f: înlocuim pe x\displaystyle x cu f(x)\displaystyle f(x) în expresia funcției f\displaystyle f. Obținem (f∘f)(x)=f(f(x))=f(x)+a=x+a+a\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x)+a=x+a+a.
    (f∘f)(x)=x+2a\displaystyle (f\circ f)(x)=x+2a
  2. Calculăm f(x+1)\displaystyle f(x+1): înlocuim pe x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(x+1)=x+1+a\displaystyle f(x+1)=x+1+a
  3. Egalăm cele două expresii, deoarece egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x: x+2a=x+1+a\displaystyle x+2a=x+1+a.
    x+2a=x+1+a\displaystyle x+2a=x+1+a
  4. Reducem termenul x\displaystyle x din ambele părți și mutăm termenii cu a\displaystyle a într-o parte: 2a−a=1\displaystyle 2a-a=1. Rezultă a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5⋅2x+1⋅3x=12⋅5x\displaystyle 5\cdot 2^{x+1}\cdot 3^x=12\cdot 5^x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}. Ecuația devine 5⋅2⋅2x⋅3x=12⋅5x\displaystyle 5\cdot 2\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}=12\cdot 5^{x}.
    5⋅2⋅2x⋅3x=12⋅5x\displaystyle 5\cdot 2\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}=12\cdot 5^{x}
  2. Grupăm puterile cu același exponent: 2x⋅3x=6x\displaystyle 2^{x}\cdot 3^{x}=6^{x}. Cum 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot 2=10, obținem 10⋅6x=12⋅5x\displaystyle 10\cdot 6^{x}=12\cdot 5^{x}.
    10⋅6x=12⋅5x\displaystyle 10\cdot 6^{x}=12\cdot 5^{x}
  3. Împărțim ecuația la 10⋅5x\displaystyle 10\cdot 5^{x}, care este nenul, și simplificăm 1210=65\displaystyle \dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}. Obținem (65)x=65\displaystyle \left(\dfrac{6}{5}\right)^{x}=\dfrac{6}{5}.
    (65)x=65\displaystyle \left(\frac{6}{5}\right)^{x}=\frac{6}{5}
  4. Baza 65\displaystyle \dfrac{6}{5} este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă. Scriem 65=(65)1\displaystyle \dfrac{6}{5}=\left(\dfrac{6}{5}\right)^{1} și egalăm exponenții, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul funcțiilor f:{1,2,3}→{1,2,3,4}\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}, care au proprietatea f(1)≥3\displaystyle f(1)\geq 3.
Vezi rezolvarea
  1. O funcție f:{1,2,3}→{1,2,3,4}\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\} este complet determinată de tripletul de valori (f(1),f(2),f(3))\displaystyle (f(1),f(2),f(3)). Numărăm tripletele care respectă condiția f(1)≥3\displaystyle f(1)\geq 3, folosind regula produsului.
    (f(1),f(2),f(3))∈{1,2,3,4}3\displaystyle (f(1),f(2),f(3))\in\{1,2,3,4\}^3
  2. Valoarea f(1)∈{1,2,3,4}\displaystyle f(1)\in\{1,2,3,4\} trebuie să satisfacă f(1)≥3\displaystyle f(1)\geq 3, deci f(1)∈{3,4}\displaystyle f(1)\in\{3,4\}: două moduri de alegere.
    f(1)∈{3,4}⇒2 moduri\displaystyle f(1)\in\{3,4\}\Rightarrow 2\text{ moduri}
  3. Pentru f(2)\displaystyle f(2) și f(3)\displaystyle f(3) nu există nicio restricție, deci fiecare poate fi aleasă oricum din cele 4 elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}: câte patru moduri.
    f(1) ıˆn 2 moduri\displaystyle f(1)\text{ în }2\text{ moduri}, f(2) ıˆn 4 moduri\displaystyle \ f(2)\text{ în }4\text{ moduri}, f(3) ıˆn 4 moduri\displaystyle \ f(3)\text{ în }4\text{ moduri}
  4. Alegerile sunt independente, deci după regula produsului înmulțim numărul de moduri: 4⋅4⋅2=42⋅2=16⋅2=32\displaystyle 4\cdot 4\cdot 2=4^2\cdot 2=16\cdot 2=32. Există 32 de funcții cu proprietatea cerută.
    42⋅2=32\displaystyle 4^2\cdot 2=32
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy, se consideră rombul ABCD\displaystyle ABCD cu A(−1,3)\displaystyle A(-1,3) și C(−2,4)\displaystyle C(-2,4). Determinați panta dreptei BD\displaystyle BD.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare, deci BD⊥AC\displaystyle BD\perp AC. Calculăm mai întâi panta dreptei AC\displaystyle AC cu formula mAC=yC−yAxC−xA\displaystyle m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}, pentru A(−1,3)\displaystyle A(-1,3) și C(−2,4)\displaystyle C(-2,4).
    mAC=4−3−2−(−1)\displaystyle m_{AC}=\dfrac{4-3}{-2-(-1)}
  2. Efectuăm calculele: numărătorul este 4−3=1\displaystyle 4-3=1, iar numitorul este −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1, deci panta dreptei AC\displaystyle AC este −1\displaystyle -1.
    mAC=1−1=−1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{1}{-1}=-1
  3. Două drepte perpendiculare, care nu sunt verticale sau orizontale, au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1. Scriem condiția pentru BD⊥AC\displaystyle BD\perp AC.
    mBD⋅mAC=−1  ⇒  mBD⋅(−1)=−1\displaystyle m_{BD}\cdot m_{AC}=-1\;\Rightarrow\; m_{BD}\cdot(-1)=-1
  4. Împărțim la −1\displaystyle -1 și obținem panta dreptei BD\displaystyle BD.
    mBD=1\displaystyle m_{BD}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), astfel încât cos⁡2xcos⁡(x−π6)=sin⁡2xsin⁡(π6−x)\displaystyle \cos 2x\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2x\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că sin⁡(π6−x)=−sin⁡(x−π6)\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right), deci ecuația devine cos⁡2xcos⁡(x−π6)=−sin⁡2xsin⁡(x−π6)\displaystyle \cos 2x\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin 2x\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right). Mutăm termenul din dreapta în stânga.
    cos⁡2xcos⁡(x−π6)+sin⁡2xsin⁡(x−π6)=0\displaystyle \cos 2x\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin 2x\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0
  2. Aplicăm formula cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, cu a=2x\displaystyle a=2x și b=x−π6\displaystyle b=x-\frac{\pi}{6}. Obținem cos⁡(2x−x+π6)=cos⁡(x+π6)\displaystyle \cos\left(2x-x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).
    cos⁡2xcos⁡(x−π6)+sin⁡2xsin⁡(x−π6)=cos⁡(x+π6)\displaystyle \cos 2x\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin 2x\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
  3. Ecuația inițială devine cos⁡(x+π6)=0\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0.
    cos⁡(x+π6)=0\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0
  4. Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), argumentul x+π6\displaystyle x+\frac{\pi}{6} aparține intervalului (π6,2π3)\displaystyle \left(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right). În acest interval, cosinusul se anulează doar în π2\displaystyle \frac{\pi}{2}.
    x+π6=π2\displaystyle x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}
  5. Rezolvăm ecuația: x=π2−π6=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}, valoare care aparține intervalului (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right).
    x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x003x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0\\ 0 & 3^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x))=6x\displaystyle \det(A(x))=6^x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x), care are pe diagonala principală elementele 2x\displaystyle 2^{x} și 3x\displaystyle 3^{x}, iar în rest zerouri: det⁡(A(x))=∣2x003x∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2^{x} & 0\\ 0 & 3^{x}\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=∣2x003x∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2^{x} & 0\\ 0 & 3^{x}\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala secundară sunt zerouri, deci det⁡(A(x))=2x⋅3x−0⋅0=2x⋅3x\displaystyle \det(A(x))=2^{x}\cdot 3^{x}-0\cdot 0=2^{x}\cdot 3^{x}.
    det⁡(A(x))=2x⋅3x−0⋅0=2x⋅3x\displaystyle \det(A(x))=2^{x}\cdot 3^{x}-0\cdot 0=2^{x}\cdot 3^{x}
  3. Folosim regula ax⋅bx=(a⋅b)x\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}=(a\cdot b)^{x}, cu a=2\displaystyle a=2 și b=3\displaystyle b=3. Obținem 2x⋅3x=(2⋅3)x=6x\displaystyle 2^{x}\cdot 3^{x}=(2\cdot 3)^{x}=6^{x}, deci det⁡(A(x))=6x\displaystyle \det(A(x))=6^{x} pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x))=(2⋅3)x=6x\displaystyle \det(A(x))=(2\cdot 3)^{x}=6^{x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x003x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0\\ 0 & 3^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că A(x)⋅(1101)=(1101)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm primul produs, A(x)⋅(1101)\displaystyle A(x)\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}. Linia întâi: 2x⋅1+0⋅0=2x\displaystyle 2^x\cdot 1+0\cdot 0=2^x și 2x⋅1+0⋅1=2x\displaystyle 2^x\cdot 1+0\cdot 1=2^x. Linia a doua: 0⋅1+3x⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+3^x\cdot 0=0 și 0⋅1+3x⋅1=3x\displaystyle 0\cdot 1+3^x\cdot 1=3^x.
    A(x)⋅(1101)=(2x2x03x)\displaystyle A(x)\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^x & 2^x\\ 0 & 3^x\end{pmatrix}
  2. Calculăm al doilea produs, (1101)⋅A(x)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot A(x). Linia întâi: 1⋅2x+1⋅0=2x\displaystyle 1\cdot 2^x+1\cdot 0=2^x și 1⋅0+1⋅3x=3x\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 3^x=3^x. Linia a doua: 0⋅2x+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 2^x+1\cdot 0=0 și 0⋅0+1⋅3x=3x\displaystyle 0\cdot 0+1\cdot 3^x=3^x.
    (1101)⋅A(x)=(2x3x03x)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 3^x\\ 0 & 3^x\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele 2x=2x\displaystyle 2^x=2^x, 0=0\displaystyle 0=0 și 3x=3x\displaystyle 3^x=3^x coincid deja, deci rămâne doar condiția de pe linia întâi, coloana a doua.
    2x=3x\displaystyle 2^x=3^x
  4. Împărțim egalitatea la 3x>0\displaystyle 3^x>0 și obținem (23)x=1=(23)0\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1=\left(\dfrac{2}{3}\right)^0. Cum baza 23\displaystyle \dfrac{2}{3} este diferită de 1\displaystyle 1, exponenții sunt egali, deci x=0\displaystyle x=0.
    2x=3x, de unde x=0\displaystyle 2^x=3^x\text{, de unde }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x003x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0\\ 0 & 3^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Demonstrați că orice matrice X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că X⋅X=A(1)\displaystyle X\cdot X=A(1) are două elemente numere iraționale.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} cu a,b,c,d∈R\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem A(1)=(2003)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}, iar condiția din enunț este X⋅X=A(1)\displaystyle X\cdot X=A(1).
    X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}
  2. Avem X3=X2⋅X=A(1)⋅X\displaystyle X^3=X^2\cdot X=A(1)\cdot X și, în alt fel, X3=X⋅X2=X⋅A(1)\displaystyle X^3=X\cdot X^2=X\cdot A(1). Deci A(1)⋅X=X⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot X=X\cdot A(1).
    A(1)⋅X=X⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot X=X\cdot A(1)
  3. Calculăm A(1)⋅X=(2a2b3c3d)\displaystyle A(1)\cdot X=\begin{pmatrix}2a & 2b\\ 3c & 3d\end{pmatrix} și X⋅A(1)=(2a3b2c3d)\displaystyle X\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2a & 3b\\ 2c & 3d\end{pmatrix}.
    (2a2b3c3d)=(2a3b2c3d)\displaystyle \begin{pmatrix}2a & 2b\\ 3c & 3d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a & 3b\\ 2c & 3d\end{pmatrix}
  4. Egalând elementele corespunzătoare obținem 2b=3b\displaystyle 2b=3b, deci b=0\displaystyle b=0, și 3c=2c\displaystyle 3c=2c, deci c=0\displaystyle c=0. Egalitățile 2a=2a\displaystyle 2a=2a și 3d=3d\displaystyle 3d=3d sunt mereu adevărate. Așadar X\displaystyle X este diagonală.
    b=0 și c=0\displaystyle b=0\text{ și }c=0
  5. Cu X=(a00d)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & d\end{pmatrix} avem X⋅X=(a200d2)\displaystyle X\cdot X=\begin{pmatrix}a^2 & 0\\ 0 & d^2\end{pmatrix}. Din X⋅X=A(1)\displaystyle X\cdot X=A(1) rezultă a2=2\displaystyle a^2=2 și d2=3\displaystyle d^2=3.
    (a200d2)=(2003)\displaystyle \begin{pmatrix}a^2 & 0\\ 0 & d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  6. Din a2=2\displaystyle a^2=2 obținem a=±2\displaystyle a=\pm\sqrt{2}, iar din d2=3\displaystyle d^2=3 obținem d=±3\displaystyle d=\pm\sqrt{3}. Numerele 2\displaystyle \sqrt{2} și 3\displaystyle \sqrt{3} sunt iraționale, deci cele două elemente de pe diagonala lui X\displaystyle X sunt iraționale, ceea ce trebuia demonstrat.
    a∈{−2,2} și d∈{−3,3}\displaystyle a\in\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}\text{ și }d\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2+xy+y^2.

Arătați că x∘x≥0\displaystyle x\circ x\geq 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∘y=x2+xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2+xy+y^2, și înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∘x=x2+x⋅x+x2\displaystyle x\circ x=x^2+x\cdot x+x^2
  2. Calculăm produsul x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^2 și adunăm cei trei termeni asemenea: x2+x2+x2=3x2\displaystyle x^2+x^2+x^2=3x^2.
    x∘x=3x2\displaystyle x\circ x=3x^2
  3. Pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero, deci x2≥0\displaystyle x^2\geq 0. Înmulțind cu 3\displaystyle 3, care este pozitiv, sensul inegalității se păstrează, deci 3x2≥0\displaystyle 3x^2\geq 0 pentru orice x\displaystyle x real. Așadar x∘x≥0\displaystyle x\circ x\geq 0.
    x∘x=3x2≥0\displaystyle x\circ x=3x^2\geq 0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2+xy+y^2.

Se consideră numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b cu a≠b\displaystyle a\neq b. Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘a=x∘b\displaystyle x\circ a=x\circ b.
Vezi rezolvarea
  1. Folosind definiția x∘y=x2+xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2+xy+y^2, egalitatea x∘a=x∘b\displaystyle x\circ a=x\circ b devine o egalitate între două expresii.
    x2+xa+a2=x2+xb+b2\displaystyle x^2+xa+a^2=x^2+xb+b^2
  2. Scădem membrul drept din cel stâng. Termenii x2\displaystyle x^2 se reduc și obținem xa−xb+a2−b2=0\displaystyle xa-xb+a^2-b^2=0.
    x(a−b)+(a2−b2)=0\displaystyle x(a-b)+(a^2-b^2)=0
  3. Folosim formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b) și dăm factor comun (a−b)\displaystyle (a-b).
    (a−b)(x+a+b)=0\displaystyle (a-b)(x+a+b)=0
  4. Cum a≠b\displaystyle a\neq b, avem a−b≠0\displaystyle a-b\neq 0. Un produs este nul doar dacă un factor este nul, deci rămâne x+a+b=0\displaystyle x+a+b=0.
    x+a+b=0\displaystyle x+a+b=0
  5. Din x+a+b=0\displaystyle x+a+b=0 rezultă valoarea lui x\displaystyle x.
    x=−a−b\displaystyle x=-a-b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2+xy+y^2.

Determinați numărul real x\displaystyle x cu proprietatea că x∘(x+1)=−x3\displaystyle x\circ(x+1)=-x^3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1: x∘(x+1)=x2+x(x+1)+(x+1)2\displaystyle x\circ(x+1)=x^2+x(x+1)+(x+1)^2, iar ecuația devine x2+x(x+1)+(x+1)2=−x3\displaystyle x^2+x(x+1)+(x+1)^2=-x^3.
    x2+x(x+1)+(x+1)2=−x3\displaystyle x^2+x(x+1)+(x+1)^2=-x^3
  2. Dezvoltăm parantezele: x(x+1)=x2+x\displaystyle x(x+1)=x^2+x și (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1. Adunăm termenii asemenea în partea stângă: x2+x2+x+x2+2x+1=3x2+3x+1\displaystyle x^2+x^2+x+x^2+2x+1=3x^2+3x+1.
    3x2+3x+1=−x3\displaystyle 3x^2+3x+1=-x^3
  3. Mutăm −x3\displaystyle -x^3 în partea stângă și ordonăm după puterile lui x\displaystyle x. Obținem ecuația x3+3x2+3x+1=0\displaystyle x^3+3x^2+3x+1=0.
    x3+3x2+3x+1=0\displaystyle x^3+3x^2+3x+1=0
  4. Recunoaștem dezvoltarea cubului sumei: (x+1)3=x3+3x2+3x+1\displaystyle (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1. Deci ecuația devine (x+1)3=0\displaystyle (x+1)^3=0.
    (x+1)3=0\displaystyle (x+1)^3=0
  5. Un cub este nul doar dacă baza este nulă, deci x+1=0\displaystyle x+1=0, de unde x=−1\displaystyle x=-1. Acesta este singurul număr real cu proprietatea cerută.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−(x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=2x-(x+1)\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=1−ln⁡(x+1)\displaystyle f'(x)=1-\ln(x+1), x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, iar termenul (x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle (x+1)\ln(x+1) se derivează cu regula produsului (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(2x)′−((x+1)ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=(2x)'-\left((x+1)\ln(x+1)\right)'
  2. Calculăm derivata produsului, cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=ln⁡(x+1)\displaystyle v=\ln(x+1). Avem u′=1\displaystyle u'=1 și v′=1x+1\displaystyle v'=\dfrac{1}{x+1}, deci derivata produsului este 1⋅ln⁡(x+1)+(x+1)⋅1x+1\displaystyle 1\cdot\ln(x+1)+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}.
    ((x+1)ln⁡(x+1))′=ln⁡(x+1)+(x+1)⋅1x+1\displaystyle \left((x+1)\ln(x+1)\right)'=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}
  3. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x), fără să uităm semnul minus dinaintea produsului.
    f′(x)=2−ln⁡(x+1)−(x+1)⋅1x+1\displaystyle f'(x)=2-\ln(x+1)-(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}
  4. Simplificăm: (x+1)⋅1x+1=1\displaystyle (x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}=1, deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty). Apoi 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci obținem rezultatul cerut.
    f′(x)=2−ln⁡(x+1)−1=1−ln⁡(x+1)\displaystyle f'(x)=2-\ln(x+1)-1=1-\ln(x+1), x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−(x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=2x-(x+1)\ln(x+1).

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Derivăm termenul (x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle (x+1)\ln(x+1) cu regula produsului: ((x+1)ln⁡(x+1))′=ln⁡(x+1)+(x+1)⋅1x+1\displaystyle \left((x+1)\ln(x+1)\right)'=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}.
    ((x+1)ln⁡(x+1))′=ln⁡(x+1)+1\displaystyle \left((x+1)\ln(x+1)\right)'=\ln(x+1)+1
  2. Obținem f′(x)=2−ln⁡(x+1)−1\displaystyle f'(x)=2-\ln(x+1)-1, deci f′(x)=1−ln⁡(x+1)\displaystyle f'(x)=1-\ln(x+1) pentru x>−1\displaystyle x>-1.
    f′(x)=1−ln⁡(x+1)\displaystyle f'(x)=1-\ln(x+1)
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică ln⁡(x+1)=1\displaystyle \ln(x+1)=1. De aici x+1=e\displaystyle x+1=e, deci x=e−1\displaystyle x=e-1, valoare care aparține domeniului (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=e−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=e-1
  4. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare. Pentru x∈(−1,e−1)\displaystyle x\in(-1,e-1) avem x+1<e\displaystyle x+1<e, deci ln⁡(x+1)<1\displaystyle \ln(x+1)<1 și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)>0 pe (−1,e−1)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-1,e-1)
  5. Pentru x∈(e−1,+∞)\displaystyle x\in(e-1,+\infty) avem x+1>e\displaystyle x+1>e, deci ln⁡(x+1)>1\displaystyle \ln(x+1)>1 și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f′(x)<0 pe (e−1,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(e-1,+\infty)
  6. Deoarece f′>0\displaystyle f'>0 pe (−1,e−1)\displaystyle (-1,e-1) și f′<0\displaystyle f'<0 pe (e−1,+∞)\displaystyle (e-1,+\infty), iar f\displaystyle f este continuă în e−1\displaystyle e-1, funcția f\displaystyle f este crescătoare pe (−1,e−1]\displaystyle (-1,e-1] și descrescătoare pe [e−1,+∞)\displaystyle [e-1,+\infty).
    f este cresca˘toare pe (−1,e−1] și descresca˘toare pe [e−1,+∞)\displaystyle f\text{ este crescătoare pe }(-1,e-1]\text{ și descrescătoare pe }[e-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−(x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=2x-(x+1)\ln(x+1).

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției f\displaystyle f pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, iar pentru produsul (x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle (x+1)\ln(x+1) folosim regula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv': ((x+1)ln⁡(x+1))′=ln⁡(x+1)+(x+1)⋅1x+1\displaystyle \left((x+1)\ln(x+1)\right)'=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}.
    ((x+1)ln⁡(x+1))′=ln⁡(x+1)+1\displaystyle \left((x+1)\ln(x+1)\right)'=\ln(x+1)+1
  2. Scădem derivatele: f′(x)=2−ln⁡(x+1)−1\displaystyle f'(x)=2-\ln(x+1)-1, deci după reducerea termenilor asemenea obținem expresia derivatei întâi.
    f′(x)=1−ln⁡(x+1)\displaystyle f'(x)=1-\ln(x+1), x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
  3. Derivăm încă o dată. Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}. Astfel obținem derivata a doua a lui f\displaystyle f.
    f′′(x)=−1x+1\displaystyle f''(x)=-\dfrac{1}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci 1x+1>0\displaystyle \dfrac{1}{x+1}>0, iar opusul ei, −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}, este strict negativ pe tot domeniul.
    −1x+1<0\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}<0, ∀x∈(−1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(-1,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty), funcția f\displaystyle f este concavă pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    −1x+1<0, deci f′′(x)<0, deci f este concava˘\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}<0\text{, deci }f''(x)<0\text{, deci }f\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ex\displaystyle f(x)=x-e^x.

Arătați că ∫01f(x) dx=32−e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{3}{2}-e.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−ex\displaystyle f(x)=x-e^x și folosim liniaritatea integralei: integrala diferenței este diferența integralelor.
    ∫01f(x) dx=∫01x dx−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx-\int_0^1 e^x\,dx
  2. Determinăm o primitivă a fiecărui termen: x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} pentru x\displaystyle x, respectiv ex\displaystyle e^x pentru ex\displaystyle e^x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(x−ex)dx=(x22−ex)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x-e^x\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-e^x\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm primitiva în limitele de integrare: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. În 0\displaystyle 0 avem 02−e0=−1\displaystyle \dfrac{0}{2}-e^0=-1.
    (12−e)−(02−e0)=12−e−(0−1)\displaystyle \left(\frac{1}{2}-e\right)-\left(\frac{0}{2}-e^0\right)=\frac{1}{2}-e-(0-1)
  4. Eliminăm parantezele și adunăm termenii numerici: 12+1=32\displaystyle \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}. Am obținut rezultatul cerut.
    12−e+1=32−e\displaystyle \frac{1}{2}-e+1=\frac{3}{2}-e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ex\displaystyle f(x)=x-e^x.

Calculați ∫01xf(x) dx\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−ex\displaystyle f(x)=x-e^x în integrală și înmulțim cu x\displaystyle x: xf(x)=x2−xex\displaystyle x f(x)=x^{2}-xe^{x}.
    ∫01xf(x) dx=∫01(x2−xex)dx\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}-xe^{x}\right)dx
  2. Folosim liniaritatea integralei și separăm în două integrale.
    ∫01x2 dx−∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx-\int_0^1 xe^{x}\,dx
  3. Pentru prima integrală, o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}.
    ∫01x2 dx=x33∣01=13\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\dfrac{1}{3}
  4. Pentru a doua integrală folosim integrarea prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int e^{x}\,dx=xe^{x}-e^{x}=(x-1)e^{x}
  5. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: la x=1\displaystyle x=1 avem (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^{1}=0, iar la x=0\displaystyle x=0 avem (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^{0}=-1.
    ∫01xex dx=(x−1)ex∣01=0−(−1)=1\displaystyle \int_0^1 xe^{x}\,dx=(x-1)e^{x}\Big|_0^1=0-(-1)=1
  6. Scădem rezultatele celor două integrale: 13−1\displaystyle \dfrac{1}{3}-1.
    13−1=−23\displaystyle \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ex\displaystyle f(x)=x-e^x.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xn(x−f(x))dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\left(x-f(x)\right)dx. Demonstrați că In+nIn−1=e\displaystyle I_n+nI_{n-1}=e, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x−f(x)=x−(x−ex)=ex\displaystyle x-f(x)=x-(x-e^x)=e^x. Deci In=∫01xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx.
    In=∫01xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=xn\displaystyle u=x^n și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=nxn−1 dx\displaystyle du=nx^{n-1}\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=xn\displaystyle u=x^n, dv=ex dx⇒du=nxn−1 dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=nx^{n-1}\,dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du și obținem relația de mai jos.
    In=xnex∣01−n∫01xn−1ex dx\displaystyle I_n=x^ne^x\Big|_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,dx
  4. Evaluăm xnex∣01=1n⋅e−0n⋅e0=e−0=e\displaystyle x^ne^x\Big|_0^1=1^n\cdot e-0^n\cdot e^0=e-0=e, deoarece n≥2\displaystyle n\geq 2. Integrala rămasă este chiar In−1=∫01xn−1ex dx\displaystyle I_{n-1}=\int_0^1 x^{n-1}e^x\,dx.
    In=e−nIn−1\displaystyle I_n=e-nI_{n-1}
  5. Mutăm nIn−1\displaystyle nI_{n-1} în membrul stâng și obținem egalitatea cerută, pentru orice n≥2\displaystyle n\geq 2.
    In+nIn−1=e\displaystyle I_n+nI_{n-1}=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.