Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a2021\displaystyle a_{2021} al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8: 8=2+2r\displaystyle 8=2+2r, deci 2r=6\displaystyle 2r=6, de unde r=3\displaystyle r=3.
    r=3\displaystyle r=3
  3. Pentru n=2021\displaystyle n=2021 avem a2021=a1+2020r\displaystyle a_{2021}=a_1+2020r.
    a2021=a1+2020r\displaystyle a_{2021}=a_1+2020r
  4. Înlocuim a1=2\displaystyle a_1=2 și r=3\displaystyle r=3: a2021=2+2020⋅3=2+6060=6062\displaystyle a_{2021}=2+2020\cdot 3=2+6060=6062.
    a2021=6062\displaystyle a_{2021}=6062
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3 cu dreapta d\displaystyle d de ecuație y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele care verifică ambele ecuații, deci egalăm expresiile lui y\displaystyle y din graficul funcției și din dreapta: f(x)=y\displaystyle f(x)=y și y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
    2x−3=−x+3\displaystyle 2x-3=-x+3
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm x\displaystyle x la ambele părți și adunăm 3\displaystyle 3 la ambele părți.
    2x+x=3+3⇒3x=6\displaystyle 2x+x=3+3\Rightarrow 3x=6
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=2\displaystyle x=2 în ecuația dreptei: y=−2+3=1\displaystyle y=-2+3=1. Verificăm și în f\displaystyle f: f(2)=2⋅2−3=1\displaystyle f(2)=2\cdot 2-3=1, deci obținem același rezultat. Punctul de intersecție este (2,1)\displaystyle (2,1).
    x=2 și y=1\displaystyle x=2\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2=27\displaystyle \sqrt{3^{x+2}}=27.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are sens pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece 3x+2>0\displaystyle 3^{x+2}>0. Scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar: a=a12\displaystyle \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, deci 3x+2=(3x+2)12\displaystyle \sqrt{3^{x+2}}=\left(3^{x+2}\right)^{\frac{1}{2}}.
    3x+2=3x+22\displaystyle \sqrt{3^{x+2}}=3^{\frac{x+2}{2}}
  2. Scriem membrul drept ca putere a lui 3: 27=33\displaystyle 27=3^{3}. Ecuația devine 3x+22=33\displaystyle 3^{\frac{x+2}{2}}=3^{3}.
    3x+22=33\displaystyle 3^{\frac{x+2}{2}}=3^{3}
  3. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții.
    3x+22=33⇔x+22=3\displaystyle 3^{\frac{x+2}{2}}=3^3\Leftrightarrow \frac{x+2}{2}=3
  4. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 și obținem x+2=6\displaystyle x+2=6, apoi scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri. Soluția este x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să fie divizor al numărului 48\displaystyle 48.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A, adică 10\displaystyle 10.
    10\displaystyle 10
  2. Găsim divizorii lui 48\displaystyle 48: 48\displaystyle 48 se împarte exact la 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\displaystyle 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Dintre aceștia, în mulțimea A\displaystyle A se află doar cei mai mici decât 10\displaystyle 10.
    {1,2,3,4,6,8}\displaystyle \{1,2,3,4,6,8\}
  3. Numărul 0\displaystyle 0 nu este divizor al lui 48\displaystyle 48, iar 5\displaystyle 5, 7\displaystyle 7 și 9\displaystyle 9 nu împart exact pe 48\displaystyle 48. Deci cazurile favorabile sunt 1,2,3,4,6,8\displaystyle 1, 2, 3, 4, 6, 8, adică 6\displaystyle 6 cazuri.
    6\displaystyle 6
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: cazuri favorabile împărțite la cazuri posibile, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=610=35\displaystyle p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii u⃗=2i⃗+mj⃗\displaystyle \vec{u}=2\vec{i}+m\vec{j} și v⃗=(m−4)i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=(m-4)\vec{i}+2\vec{j}, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care u⃗⋅v⃗=0\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coordonatele vectorilor: u⃗=(2, m)\displaystyle \vec{u}=(2,\,m) și v⃗=(m−4, 2)\displaystyle \vec{v}=(m-4,\,2).
    u⃗=(2, m)\displaystyle \vec{u}=(2,\,m),v⃗=(m−4, 2)\displaystyle \quad \vec{v}=(m-4,\,2)
  2. Scriem produsul scalar prin coordonate: u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v, deci u⃗⋅v⃗=2(m−4)+m⋅2\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=2(m-4)+m\cdot 2.
    u⃗⋅v⃗=2(m−4)+m⋅2\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=2(m-4)+m\cdot 2
  3. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 2m−8+2m=4m−8\displaystyle 2m-8+2m=4m-8.
    u⃗⋅v⃗=4m−8\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=4m-8
  4. Egalăm produsul scalar cu zero, conform condiției din enunț: 4m−8=0\displaystyle 4m-8=0.
    4m−8=0\displaystyle 4m-8=0
  5. Adunăm 8\displaystyle 8 în ambii membri și obținem 4m=8\displaystyle 4m=8, apoi împărțim la 4\displaystyle 4.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=6\displaystyle AB=6, AC=3\displaystyle AC=3 și unghiul A\displaystyle A de 120∘\displaystyle 120^\circ. Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Perimetrul este suma celor trei laturi: P=AB+BC+CA\displaystyle P=AB+BC+CA. Cunoaștem AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, deci trebuie să aflăm BC\displaystyle BC. Folosim teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC, pentru unghiul A\displaystyle A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Calculăm cosinusul unghiului de 120∘\displaystyle 120^\circ: cos⁡120∘=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡60∘\displaystyle \cos 120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos 60^\circ, deci cosinusul este negativ.
    cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}
  3. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6, AC=3\displaystyle AC=3 și cos⁡A=−12\displaystyle \cos A=-\dfrac{1}{2}. Minusul din formulă se combină cu minusul din cosinus și devine plus.
    BC2=36+9+2⋅6⋅3⋅12\displaystyle BC^{2}=36+9+2\cdot 6\cdot 3\cdot\dfrac{1}{2}
  4. Calculăm: 36+9+18=63\displaystyle 36+9+18=63. Cum 63=9⋅7\displaystyle 63=9\cdot 7, extragem rădăcina pătrată și obținem lungimea laturii BC\displaystyle BC.
    BC2=63, deci BC=37\displaystyle BC^{2}=63\text{, deci }BC=3\sqrt{7}
  5. Adunăm cele trei laturi: P=AB+BC+CA=6+37+3=37+9\displaystyle P=AB+BC+CA=6+3\sqrt{7}+3=3\sqrt{7}+9. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3.
    PΔABC=37+9=3(7+3)\displaystyle P_{\Delta ABC}=3\sqrt{7}+9=3(\sqrt{7}+3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1112a11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a&1&1\\1&2a&1\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2ax+y+z=0x+2ay+z=1x+ay−z=−1\displaystyle \begin{cases}2ax+y+z=0\\x+2ay+z=1\\x+ay-z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(−1))=−3\displaystyle \det(A(-1))=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementele 2a\displaystyle 2a devin −2\displaystyle -2, iar elementul a\displaystyle a din ultima linie devine −1\displaystyle -1. Determinantul lui A(−1)\displaystyle A(-1) este determinantul acestei matrice.
    A(−1)=(−2111−211−1−1)⇒det⁡(A(−1))=∣−2111−211−1−1∣\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&-1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(-1))=\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&-1&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, care se adună: (−2)⋅(−2)⋅(−1)\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot(-1), 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1).
    (−2)(−2)(−1)+1⋅1⋅1+1⋅1⋅(−1)=−4+1+(−1)=−4\displaystyle (-2)(-2)(-1)+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot(-1)=-4+1+(-1)=-4
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei, care se scad: 1⋅(−2)⋅1\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot 1, (−2)⋅1⋅(−1)\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot(-1) și 1⋅1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1).
    1⋅(−2)⋅1+(−2)⋅1⋅(−1)+1⋅1⋅(−1)=−2+2−1=−1\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot1+(-2)\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)=-2+2-1=-1
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma celor de pe diagonala principală: −4−(−1)=−3\displaystyle -4-(-1)=-3. Am arătat astfel că det⁡(A(−1))=−3\displaystyle \det(A(-1))=-3.
    det⁡(A(−1))=−4+1+(−1)−(−2)−(−1)−2=−3\displaystyle \det(A(-1))=-4+1+(-1)-(-2)-(-1)-2=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1112a11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a&1&1\\1&2a&1\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2ax+y+z=0x+2ay+z=1x+ay−z=−1\displaystyle \begin{cases}2ax+y+z=0\\x+2ay+z=1\\x+ay-z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul: det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0. Trebuie așadar calculat determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A(a))=2a⋅(−2a−a)−1⋅(−1−1)+1⋅(a−2a)\displaystyle \det(A(a))=2a\cdot(-2a-a)-1\cdot(-1-1)+1\cdot(a-2a).
    det⁡(A(a))=2a⋅(−3a)+2−a\displaystyle \det(A(a))=2a\cdot(-3a)+2-a
  3. Efectuăm calculele: 2a⋅(−3a)=−6a2\displaystyle 2a\cdot(-3a)=-6a^{2}, deci determinantul este un polinom de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=−6a2−a+2\displaystyle \det(A(a))=-6a^{2}-a+2
  4. Determinantul este zero când −6a2−a+2=0\displaystyle -6a^{2}-a+2=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem ecuația echivalentă 6a2+a−2=0\displaystyle 6a^{2}+a-2=0.
    6a2+a−2=0\displaystyle 6a^{2}+a-2=0
  5. Discriminantul este Δ=12−4⋅6⋅(−2)=49\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 6\cdot(-2)=49, deci a=−1±712\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 7}{12}.
    a1=−1−712=−23\displaystyle a_1=\dfrac{-1-7}{12}=-\dfrac{2}{3},a2=−1+712=12\displaystyle \quad a_2=\dfrac{-1+7}{12}=\dfrac{1}{2}
  6. Determinantul este nenul pentru toate valorile reale ale lui a\displaystyle a, cu excepția rădăcinilor găsite. Pentru aceste valori sistemul are soluție unică.
    a∈R∖{−23,12}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{2}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1112a11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a&1&1\\1&2a&1\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2ax+y+z=0x+2ay+z=1x+ay−z=−1\displaystyle \begin{cases}2ax+y+z=0\\x+2ay+z=1\\x+ay-z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul întreg a\displaystyle a, știind că există numerele reale y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 astfel încât (1,y0,z0)\displaystyle (1,y_0,z_0) este soluție a sistemului de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului: det⁡(A(a))=2a⋅(−2a−a)−1⋅(−1−1)+1⋅(a−2a)\displaystyle \det(A(a))=2a\cdot(-2a-a)-1\cdot(-1-1)+1\cdot(a-2a).
    det⁡(A(a))=−6a2−a+2\displaystyle \det(A(a))=-6a^{2}-a+2
  2. Determinantul se anulează când 6a2+a−2=0\displaystyle 6a^{2}+a-2=0, adică a=−1±712\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 7}{12}, deci a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2} sau a=−23\displaystyle a=-\dfrac{2}{3}. Niciuna nu este întreagă, deci pentru a\displaystyle a întreg avem det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0 și sistemul are soluție unică, dată de regula lui Cramer.
    det⁡(A(a))≠0 pentru a∈Z\displaystyle \det(A(a))\neq 0\text{ pentru } a\in\mathbb{Z}
  3. Înlocuim prima coloană cu termenii liberi (0,1,−1)\displaystyle (0,1,-1): Δx=∣01112a1−1a−1∣=−1⋅(−1+1)+1⋅(a+2a)\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&2a&1\\-1&a&-1\end{vmatrix}=-1\cdot(-1+1)+1\cdot(a+2a).
    Δx=3a\displaystyle \Delta_x=3a
  4. Din regula lui Cramer, prima componentă a soluției este x=Δxdet⁡(A(a))\displaystyle x=\dfrac{\Delta_x}{\det(A(a))}.
    x=3a−6a2−a+2\displaystyle x=\frac{3a}{-6a^{2}-a+2}
  5. Cum soluția are forma (1,y0,z0)\displaystyle (1,y_0,z_0), avem x=1\displaystyle x=1, deci 3a=−6a2−a+2\displaystyle 3a=-6a^{2}-a+2. Mutăm toți termenii în stânga: 6a2+4a−2=0\displaystyle 6a^{2}+4a-2=0, iar după împărțirea cu 2 obținem 3a2+2a−1=0\displaystyle 3a^{2}+2a-1=0.
    1=3a−6a2−a+2⇔3a2+2a−1=0\displaystyle 1=\frac{3a}{-6a^{2}-a+2}\Leftrightarrow 3a^{2}+2a-1=0
  6. Discriminantul este Δ=4+12=16\displaystyle \Delta=4+12=16, deci a=−2±46\displaystyle a=\dfrac{-2\pm 4}{6}, adică a=13\displaystyle a=\dfrac{1}{3} sau a=−1\displaystyle a=-1. Numărul a\displaystyle a este întreg, deci a=−1\displaystyle a=-1. Verificare: det⁡(A(−1))=−6+1+2=−3≠0\displaystyle \det(A(-1))=-6+1+2=-3\neq 0.
    3a2+2a−1=0⇒a=13 sau a=−1; a∈Z⇒a=−1\displaystyle 3a^{2}+2a-1=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}\text{ sau }a=-1;\ a\in\mathbb{Z}\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+5xy+y\displaystyle x\circ y=x+5xy+y.

Verificați dacă e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Un element e\displaystyle e este neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm pentru e=0\displaystyle e=0, deci trebuie să arătăm că x∘0=x\displaystyle x\circ 0=x și 0∘x=x\displaystyle 0\circ x=x.
    x∘0=x și 0∘x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\circ 0=x\text{ și }0\circ x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘0\displaystyle x\circ 0 înlocuind y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0 în definiția legii. Termenul 5xy\displaystyle 5xy devine 0\displaystyle 0, iar restul rămâne x\displaystyle x.
    x∘0=x+5⋅x⋅0+0=x\displaystyle x\circ 0=x+5\cdot x\cdot 0+0=x
  3. Calculăm 0∘x\displaystyle 0\circ x înlocuind primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x în definiția legii. Termenul 5⋅0⋅x\displaystyle 5\cdot 0\cdot x este 0\displaystyle 0, iar restul rămâne x\displaystyle x.
    0∘x=0+5⋅0⋅x+x=x\displaystyle 0\circ x=0+5\cdot 0\cdot x+x=x
  4. Cum x∘0=0∘x=x\displaystyle x\circ 0=0\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
    x∘0=0∘x=x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle x\circ 0=0\circ x=x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+5xy+y\displaystyle x\circ y=x+5xy+y.

Demonstrați că x∘y=5(x+15)(y+15)−15\displaystyle x\circ y=5\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=x+5xy+y\displaystyle x\circ y=x+5xy+y, pe care o rescriem ca x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y.
    x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y
  2. Adunăm și scădem 15\displaystyle \dfrac{1}{5}, ca să putem forma factorul y+15\displaystyle y+\dfrac{1}{5}. Valoarea expresiei nu se schimbă.
    x∘y=5xy+x+y+15−15\displaystyle x\circ y=5xy+x+y+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}
  3. Observăm că 5x(y+15)=5xy+x\displaystyle 5x\left(y+\dfrac{1}{5}\right)=5xy+x. Deci termenii 5xy+x\displaystyle 5xy+x se scriu ca 5x(y+15)\displaystyle 5x\left(y+\dfrac{1}{5}\right), iar y+15\displaystyle y+\dfrac{1}{5} rămâne separat.
    x∘y=5x(y+15)+(y+15)−15\displaystyle x\circ y=5x\left(y+\frac{1}{5}\right)+\left(y+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}
  4. Dăm factor comun y+15\displaystyle y+\dfrac{1}{5} între primii doi termeni.
    x∘y=(y+15)(5x+1)−15\displaystyle x\circ y=\left(y+\frac{1}{5}\right)(5x+1)-\frac{1}{5}
  5. Scoatem factor 5\displaystyle 5 din 5x+1\displaystyle 5x+1, deoarece 5x+1=5(x+15)\displaystyle 5x+1=5\left(x+\dfrac{1}{5}\right). Obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∘y=5(x+15)(y+15)−15\displaystyle x\circ y=5\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+5xy+y\displaystyle x\circ y=x+5xy+y.

Calculați partea întreagă a numărului q=(−12)∘(−13)∘…∘(−12021)\displaystyle q=\left(-\frac{1}{2}\right)\circ\left(-\frac{1}{3}\right)\circ\ldots\circ\left(-\frac{1}{2021}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘(−15)\displaystyle x\circ\left(-\dfrac{1}{5}\right) folosind definiția x∘y=x+5xy+y\displaystyle x\circ y=x+5xy+y: înlocuim y=−15\displaystyle y=-\dfrac{1}{5}.
    x∘(−15)=x+5x⋅(−15)−15\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{5}\right)=x+5x\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}
  2. Reducem termenii: x−x=0\displaystyle x-x=0, deci rămâne doar −15\displaystyle -\dfrac{1}{5}. Expresia x+5xy+y\displaystyle x+5xy+y este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și la fel obținem (−15)∘y\displaystyle \left(-\dfrac{1}{5}\right)\circ y. Deci −15\displaystyle -\dfrac{1}{5} este element absorbant.
    x∘(−15)=−15 și (−15)∘y=−15\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5}\text{ și }\left(-\frac{1}{5}\right)\circ y=-\frac{1}{5}
  3. Observăm că în produs apare factorul −15\displaystyle -\dfrac{1}{5}, deoarece 2≤5≤2021\displaystyle 2\le 5\le 2021. Folosind asociativitatea, grupăm primii trei factori, care se compun cu −15\displaystyle -\dfrac{1}{5}, iar apoi cu restul factorilor.
    q=((−12)∘(−13)∘(−14))∘(−15)∘(−16)∘…∘(−12021)\displaystyle q=\left(\left(-\frac{1}{2}\right)\circ\left(-\frac{1}{3}\right)\circ\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\circ\left(-\frac{1}{5}\right)\circ\left(-\frac{1}{6}\right)\circ\ldots\circ\left(-\frac{1}{2021}\right)
  4. Primul grup compus cu −15\displaystyle -\dfrac{1}{5} dă −15\displaystyle -\dfrac{1}{5}. Apoi −15\displaystyle -\dfrac{1}{5} compus cu −16\displaystyle -\dfrac{1}{6} dă din nou −15\displaystyle -\dfrac{1}{5}, și tot așa până la ultimul factor. Deci q=−15\displaystyle q=-\dfrac{1}{5}. Cum −1≤−15<0\displaystyle -1\le -\dfrac{1}{5}<0, partea întreagă este −1\displaystyle -1.
    q=−15, deci [q]=−1\displaystyle q=-\frac{1}{5}\text{, deci }[q]=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x+1)\ln x.

Arătați că f′(x)=1+1x+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x}+\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: u(x)=x+1\displaystyle u(x)=x+1 și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x. Aplicăm regula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(x+1)′⋅ln⁡x+(x+1)⋅(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x+1)'\cdot\ln x+(x+1)\cdot(\ln x)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1⋅ln⁡x+(x+1)⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x}
  3. Efectuăm înmulțirea lui x+1\displaystyle x+1 cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}: obținem xx+1x=1+1x\displaystyle \dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}. Adăugăm termenul ln⁡x\displaystyle \ln x și obținem expresia cerută.
    f′(x)=1+1x+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x}+\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x+1)\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0).
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1 are ecuația y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=(1+1)ln⁡1=2⋅0=0\displaystyle f(1)=(1+1)\ln 1=2\cdot 0=0, deci punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) se află pe grafic.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  3. Derivăm produsul: f′(x)=(x+1)′ln⁡x+(x+1)(ln⁡x)′=ln⁡x+x+1x\displaystyle f'(x)=(x+1)'\ln x+(x+1)(\ln x)'=\ln x+\dfrac{x+1}{x}.
    f′(x)=ln⁡x+x+1x\displaystyle f'(x)=\ln x+\dfrac{x+1}{x}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1: f′(1)=ln⁡1+1+11=0+2=2\displaystyle f'(1)=\ln 1+\dfrac{1+1}{1}=0+2=2.
    f′(1)=2\displaystyle f'(1)=2, f(1)=0\displaystyle \ f(1)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−0=2(x−1)\displaystyle y-0=2(x-1), deci y=2x−2\displaystyle y=2x-2.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=2x−2\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=2x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x+1)\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm prima derivată cu formula de derivare a produsului: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+(x+1)⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x}
  2. Simplificăm expresia primei derivate: x+1x=1+1x\displaystyle \dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=ln⁡x+1+1x\displaystyle f'(x)=\ln x+1+\dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Derivăm încă o dată: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (1)′=0\displaystyle (1)'=0, iar (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′′(x)=1x−1x2\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}
  4. Aducem la același numitor, x2\displaystyle x^{2}, și obținem derivata a doua sub formă de fracție.
    f′′(x)=x−1x2\displaystyle f''(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  5. Studiem semnul lui f′′(x)\displaystyle f''(x) pe intervalul [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Numitorul x2\displaystyle x^{2} este strict pozitiv, iar pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 numărătorul x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0. Deci fracția este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0.
    x≥1⇒x−1≥0\displaystyle x\ge 1\Rightarrow x-1\ge 0, x2>0⇒f′′(x)≥0\displaystyle \ x^{2}>0\Rightarrow f''(x)\ge 0
  6. Deoarece derivata a doua este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0 pe tot intervalul [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe acest interval.
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒f este convexa˘ pe [1,+∞)\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este convexă pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xn+1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^n+1}{x^2+1}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Pentru n=3\displaystyle n=3, se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=(x2+1)f(x)\displaystyle g(x)=(x^2+1)f(x). Determinați primitiva G\displaystyle G a funcției g\displaystyle g pentru care G(0)=2021\displaystyle G(0)=2021.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=3\displaystyle n=3 avem f(x)=x3+1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}, deci g(x)=(x2+1)⋅x3+1x2+1\displaystyle g(x)=(x^{2}+1)\cdot\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}.
    g(x)=(x2+1)⋅x3+1x2+1\displaystyle g(x)=(x^{2}+1)\cdot\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}
  2. Deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, simplificăm factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 și obținem g(x)=x3+1\displaystyle g(x)=x^{3}+1.
    g(x)=x3+1\displaystyle g(x)=x^{3}+1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Adăugăm o constantă reală c\displaystyle c.
    G(x)=x44+x+c\displaystyle G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+x+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  4. Folosim condiția G(0)=2021\displaystyle G(0)=2021. Înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia lui G\displaystyle G, obținem G(0)=044+0+c=c\displaystyle G(0)=\dfrac{0^{4}}{4}+0+c=c, deci c=2021\displaystyle c=2021.
    c=2021\displaystyle c=2021
  5. Înlocuim constanta c=2021\displaystyle c=2021 în expresia lui G\displaystyle G și obținem primitiva cerută.
    G(x)=x44+x+2021\displaystyle G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+x+2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xn+1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^n+1}{x^2+1}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Pentru n=1\displaystyle n=1, calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 funcția devine f(x)=x+1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+1}, deci integrala cerută este ∫01x+1x2+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x+1}{x^{2}+1}\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫01x+1x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx
  2. Descompunem fracția în două fracții cu același numitor: x+1x2+1=xx2+1+1x2+1\displaystyle \dfrac{x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1}+\dfrac{1}{x^{2}+1}.
    ∫01(xx2+1+1x2+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}\right)dx
  3. Aflăm primitivele celor doi termeni. Pentru primul, derivata lui x2+1\displaystyle x^{2}+1 este 2x\displaystyle 2x, deci o primitivă a lui xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1} este 12ln⁡(x2+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1). Al doilea termen are primitiva arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x, o primitivă uzuală.
    (12ln⁡(x2+1)+arctg⁡x)∣01\displaystyle \left(\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\operatorname{arctg}x\right)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0. În 1\displaystyle 1 avem 12ln⁡2+arctg⁡1=12ln⁡2+π4\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 2+\operatorname{arctg}1=\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{\pi}{4}, iar în 0\displaystyle 0 avem 12ln⁡1+arctg⁡0=0\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 1+\operatorname{arctg}0=0.
    (12ln⁡2+π4)−0\displaystyle \left(\frac{1}{2}\ln 2+\frac{\pi}{4}\right)-0
  5. Rezultatul final al integralei este 12ln⁡2+π4\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{\pi}{4}.
    ∫01f(x) dx=12ln⁡2+π4\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xn+1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^n+1}{x^2+1}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Demonstrați că π4≤∫01f(x) dx≤1\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\int_0^1 f(x)\,dx\le 1, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2.
Vezi rezolvarea
  1. Fixăm x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] și n≥2\displaystyle n\ge 2. Cum x≥0\displaystyle x\ge 0, avem xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0.
    xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le 1, iar n≥2\displaystyle n\ge 2, deci xn=x2⋅xn−2≤x2\displaystyle x^{n}=x^{2}\cdot x^{n-2}\le x^{2}, pentru că xn−2≤1\displaystyle x^{n-2}\le 1.
    0≤xn≤x2\displaystyle 0\le x^{n}\le x^{2}
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în toți membrii: 1≤xn+1≤x2+1\displaystyle 1\le x^{n}+1\le x^{2}+1. Împărțim la x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, deci sensul inegalităților se păstrează. Astfel, funcția f\displaystyle f este încadrată pe [0,1]\displaystyle [0,1], iar ultima fracție se simplifică la 1\displaystyle 1.
    1x2+1≤xn+1x2+1≤x2+1x2+1=1\displaystyle \frac{1}{x^{2}+1}\le\frac{x^{n}+1}{x^{2}+1}\le\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=1
  4. Integrăm inegalitatea de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1. Integrala păstrează sensul inegalităților, deoarece 0<1\displaystyle 0<1.
    ∫011x2+1dx≤∫01f(x)dx≤∫011dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^2+1}dx\le\int_0^1 f(x)dx\le\int_0^1 1dx
  5. Calculăm integrala din stânga: o primitivă a lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x. Deci integrala este arctg⁡1−arctg⁡0=π4−0\displaystyle \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\dfrac{\pi}{4}-0.
    ∫011x2+1dx=arctg⁡x∣01=π4\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=\frac{\pi}{4}
  6. Calculăm integrala din dreapta: ∫011 dx=x∣01=1\displaystyle \int_0^1 1\,dx=x\Big|_0^1=1. Înlocuind ambele valori în inegalitatea integrată, obținem concluzia cerută.
    π4≤∫01f(x)dx≤1\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\int_0^1 f(x)dx\le 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.