Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al treilea termen al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, știind că b1=1\displaystyle b_1=1 și b2=2\displaystyle b_2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, raportul dintre un termen și termenul precedent este constant și se numește rație. Notăm rația cu q\displaystyle q și o scriem ca q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}.
    q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}
  2. Înlocuim b1=1\displaystyle b_1=1 și b2=2\displaystyle b_2=2 și obținem q=21=2\displaystyle q=\dfrac{2}{1}=2.
    q=21=2\displaystyle q=\dfrac{2}{1}=2
  3. Folosim formula termenului general bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}, pentru n=3\displaystyle n=3, adică b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}.
    b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}
  4. Înlocuim b1=1\displaystyle b_1=1 și q=2\displaystyle q=2 și calculăm: b3=1⋅22=4\displaystyle b_3=1\cdot 2^{2}=4. Așadar, al treilea termen este 4\displaystyle 4.
    b3=1⋅22=4\displaystyle b_3=1\cdot 2^{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1. Determinați numerele naturale x\displaystyle x, pentru care f(x)<7\displaystyle f(x)<7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1 în condiția f(x)<7\displaystyle f(x)<7 și obținem inegalitatea 3x+1<7\displaystyle 3x+1<7.
    3x+1<7\displaystyle 3x+1<7
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 3x<7−1\displaystyle 3x<7-1, deci 3x<6\displaystyle 3x<6.
    3x<6\displaystyle 3x<6
  3. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3, care este pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă: x<2\displaystyle x<2.
    3x+1<7⇔x<2\displaystyle 3x+1<7\Leftrightarrow x<2
  4. Numerele naturale x\displaystyle x cu x<2\displaystyle x<2 sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Verificare: f(0)=1<7\displaystyle f(0)=1<7 și f(1)=4<7\displaystyle f(1)=4<7, iar f(2)=7\displaystyle f(2)=7 nu este mai mic decât 7\displaystyle 7.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+8=x+2\displaystyle \sqrt{x^2+8}=x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mereu pozitiv sau zero, deci trebuie ca x+2≥0\displaystyle x+2\geq 0, adică x≥−2\displaystyle x\geq -2. Această condiție o verificăm la final pe soluția găsită.
    x+2≥0  ⟺  x≥−2\displaystyle x+2\geq 0\iff x\geq -2
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2+8)2=(x+2)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+8}\right)^2=(x+2)^2, deci obținem ecuația de mai jos.
    x2+8=(x+2)2\displaystyle x^2+8=(x+2)^2
  3. Dezvoltăm pătratul sumei: (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^2=x^2+4x+4, deci ecuația devine x2+8=x2+4x+4\displaystyle x^2+8=x^2+4x+4.
    x2+8=x2+4x+4\displaystyle x^2+8=x^2+4x+4
  4. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 de pe ambele părți și obținem 8=4x+4\displaystyle 8=4x+4, adică 4x=4\displaystyle 4x=4.
    4x=4\displaystyle 4x=4
  5. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  6. Verificăm în ecuația inițială: pentru x=1\displaystyle x=1, membrul stâng este 12+8=9=3\displaystyle \sqrt{1^2+8}=\sqrt{9}=3, iar membrul drept este 1+2=3\displaystyle 1+2=3. Egalitatea este adevărată, iar 1≥−2\displaystyle 1\geq -2. Deci x=1\displaystyle x=1 convine și este unica soluție.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {0,1,2,3}\displaystyle \{0,1,2,3\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea {0,1,2,3}\displaystyle \{0,1,2,3\} are 4\displaystyle 4 elemente, iar submulțimile cu două elemente se aleg fără să conteze ordinea elementelor. Deci numărul lor este C42\displaystyle C_{4}^{2}.
    C42\displaystyle C_{4}^{2}
  2. Aplicăm formula combinărilor Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, cu n=4\displaystyle n=4 și k=2\displaystyle k=2.
    C42=4!2!⋅2!\displaystyle C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}
  3. Calculăm factorialele: 4!=1⋅2⋅3⋅4=24\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24 și 2!=2\displaystyle 2!=2. Obținem 242⋅2=244\displaystyle \dfrac{24}{2\cdot 2}=\dfrac{24}{4}.
    244=6\displaystyle \dfrac{24}{4}=6
  4. Mulțimea are 6\displaystyle 6 submulțimi cu două elemente: {0,1}\displaystyle \{0,1\}, {0,2}\displaystyle \{0,2\}, {0,3}\displaystyle \{0,3\}, {1,2}\displaystyle \{1,2\}, {1,3}\displaystyle \{1,3\}, {2,3}\displaystyle \{2,3\}.
    6\displaystyle 6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(4,4)\displaystyle B(4,4), C(1,a)\displaystyle C(1,a) și D(2,1)\displaystyle D(2,1), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care dreptele AB\displaystyle AB și CD\displaystyle CD sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte sunt paralele când au pantele egale. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula m=yB−yAxB−xA\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(4,4)\displaystyle B(4,4).
    mAB=4−14−1=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-1}{4-1}=1
  2. Calculăm panta dreptei CD\displaystyle CD, pentru C(1,a)\displaystyle C(1,a) și D(2,1)\displaystyle D(2,1). Diferența de ordonate este 1−a\displaystyle 1-a, iar diferența de abscise este 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    mCD=1−a2−1=1−a\displaystyle m_{CD}=\dfrac{1-a}{2-1}=1-a
  3. Punem condiția de paralelism, adică mAB=mCD\displaystyle m_{AB}=m_{CD}, și rezolvăm ecuația obținută: 1−a=1\displaystyle 1-a=1, deci a=0\displaystyle a=0.
    1−a=1⇔a=0\displaystyle 1-a=1\Leftrightarrow a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC a triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC, în care AB=10\displaystyle AB=10 și cos⁡B=12\displaystyle \cos B=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci unghiul drept este în A\displaystyle A. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta alăturată este AB\displaystyle AB, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ,BC ipotenuza˘\displaystyle \quad BC\text{ ipotenuză},AB cateta ala˘turata˘ lui B\displaystyle \quad AB\text{ cateta alăturată lui }B
  2. Scriem cosinusul unghiului B\displaystyle B ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză și înlocuim datele problemei: cos⁡B=12\displaystyle \cos B=\dfrac{1}{2} și AB=10\displaystyle AB=10.
    cos⁡B=ABBC⇔12=10BC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{10}{BC}
  3. Din proporția obținută, înmulțind pe diagonală, avem BC⋅1=2⋅10\displaystyle BC\cdot 1=2\cdot 10. Deci BC=20\displaystyle BC=20.
    BC=2⋅10=20\displaystyle BC=2\cdot 10=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+xx2x1+2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & x\\ 2x & 1+2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementele sunt 1+x=1+1=2\displaystyle 1+x=1+1=2, x=1\displaystyle x=1, 2x=2\displaystyle 2x=2 și 1+2x=1+2=3\displaystyle 1+2x=1+2=3.
    A(1)=(2123)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul lui A(1)\displaystyle A(1) și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣2123∣=2⋅3−2⋅1\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=2\cdot 3-2\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, apoi scădem.
    6−2=4, deci det⁡(A(1))=4\displaystyle 6-2=4\text{, deci }\det(A(1))=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+xx2x1+2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & x\\ 2x & 1+2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)A(y)=A(x+y+3xy)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+3xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(x)=(1+xx2x1+2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & x\\ 2x & 1+2x\end{pmatrix} și A(y)=(1+yy2y1+2y)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}1+y & y\\ 2y & 1+2y\end{pmatrix} și le înmulțim, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A(x)A(y)=((1+x)(1+y)+x⋅2y(1+x)y+x(1+2y)2x(1+y)+(1+2x)⋅2y2x⋅y+(1+2x)(1+2y))\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}(1+x)(1+y)+x\cdot 2y & (1+x)y+x(1+2y)\\ 2x(1+y)+(1+2x)\cdot 2y & 2x\cdot y+(1+2x)(1+2y)\end{pmatrix}
  2. Desfacem parantezele în fiecare element: (1+x)(1+y)=1+x+y+xy\displaystyle (1+x)(1+y)=1+x+y+xy, apoi adăugăm 2xy\displaystyle 2xy; la fel procedăm și pentru celelalte elemente.
    A(x)A(y)=(1+x+y+xy+2xyy+xy+x+2xy2x+2xy+2y+4xy2xy+1+2x+2y+4xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+x+y+xy+2xy & y+xy+x+2xy\\ 2x+2xy+2y+4xy & 2xy+1+2x+2y+4xy\end{pmatrix}
  3. Reducem termenii asemenea: xy+2xy=3xy\displaystyle xy+2xy=3xy, 2xy+4xy=6xy\displaystyle 2xy+4xy=6xy, deci în fiecare element apare combinația x+y+3xy\displaystyle x+y+3xy.
    A(x)A(y)=(1+x+y+3xyx+y+3xy2x+2y+6xy1+2x+2y+6xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+x+y+3xy & x+y+3xy\\ 2x+2y+6xy & 1+2x+2y+6xy\end{pmatrix}
  4. Notăm t=x+y+3xy\displaystyle t=x+y+3xy. Atunci 2x+2y+6xy=2t\displaystyle 2x+2y+6xy=2t, iar matricea devine exact de forma A(t)\displaystyle A(t), cu t=x+y+3xy\displaystyle t=x+y+3xy.
    (1+(x+y+3xy)x+y+3xy2(x+y+3xy)1+2(x+y+3xy))=A(x+y+3xy), pentru orice numere \displaystyle \begin{pmatrix}1+(x+y+3xy) & x+y+3xy\\ 2(x+y+3xy) & 1+2(x+y+3xy)\end{pmatrix}=A(x+y+3xy)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+xx2x1+2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & x\\ 2x & 1+2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care A(a)A(a)=A(5)\displaystyle A(a)A(a)=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB, unde B=(1122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}.
    A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB,B=(1122)\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm B2=(1⋅1+1⋅21⋅1+1⋅22⋅1+2⋅22⋅1+2⋅2)\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot2 & 1\cdot1+1\cdot2\\ 2\cdot1+2\cdot2 & 2\cdot1+2\cdot2\end{pmatrix}, deci B2=3B\displaystyle B^2=3B.
    B2=(3366)=3B\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}3 & 3\\ 6 & 6\end{pmatrix}=3B
  3. Avem A(x)A(y)=(I2+xB)(I2+yB)=I2+(x+y)B+xyB2=I2+(x+y+3xy)B\displaystyle A(x)A(y)=(I_2+xB)(I_2+yB)=I_2+(x+y)B+xyB^2=I_2+(x+y+3xy)B, deci A(x)A(y)=A(x+y+3xy)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+3xy).
    A(x)A(y)=A(x+y+3xy)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+3xy)
  4. Pentru x=y=a\displaystyle x=y=a obținem A(a)A(a)=A(a+a+3a⋅a)\displaystyle A(a)A(a)=A(a+a+3a\cdot a), deci ecuația devine A(2a+3a2)=A(5)\displaystyle A(2a+3a^2)=A(5).
    A(a+a+3a⋅a)=A(5)\displaystyle A(a+a+3a\cdot a)=A(5)
  5. Elementul de pe linia 1, coloana 2 din A(x)\displaystyle A(x) este x\displaystyle x, deci egalitatea de matrice dă 2a+3a2=5\displaystyle 2a+3a^2=5, adică 3a2+2a−5=0\displaystyle 3a^2+2a-5=0.
    3a2+2a−5=0\displaystyle 3a^2+2a-5=0
  6. Discriminantul este Δ=22−4⋅3⋅(−5)=4+60=64\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64, deci Δ=8\displaystyle \sqrt{\Delta}=8.
    Δ=64\displaystyle \Delta=64
  7. Atunci a=−2±86\displaystyle a=\dfrac{-2\pm8}{6}, deci a=66=1\displaystyle a=\dfrac{6}{6}=1 sau a=−106=−53\displaystyle a=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac{5}{3}.
    a=−53 sau a=1\displaystyle a=-\frac{5}{3}\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy.

Arătați că x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy.
    x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy
  2. Desfacem parantezele: 5(x+y−4)=5x+5y−20\displaystyle 5(x+y-4)=5x+5y-20. Obținem x∗y=−xy+5x+5y−20\displaystyle x*y=-xy+5x+5y-20.
    x∗y=−xy+5x+5y−20\displaystyle x*y=-xy+5x+5y-20
  3. Scriem −20\displaystyle -20 ca −25+5\displaystyle -25+5, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=−xy+5x+5y−25+5\displaystyle x*y=-xy+5x+5y-25+5
  4. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: −xy+5x=−x(y−5)\displaystyle -xy+5x=-x(y-5), iar 5y−25=5(y−5)\displaystyle 5y-25=5(y-5).
    x∗y=−x(y−5)+5(y−5)+5\displaystyle x*y=-x(y-5)+5(y-5)+5
  5. Dăm factor comun pe y−5\displaystyle y-5 între primii doi termeni: −x(y−5)+5(y−5)=(y−5)(−x+5)=−(x−5)(y−5)\displaystyle -x(y-5)+5(y-5)=(y-5)(-x+5)=-(x-5)(y-5). Deci x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=−(x−5)(y−5)+5, pentru orice numere \displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x≥x\displaystyle x*x\ge x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy și obținem x∗x=5(2x−4)−x2\displaystyle x*x=5(2x-4)-x^{2}.
    x∗x=10x−20−x2\displaystyle x*x=10x-20-x^{2}
  2. Observăm că −x2+10x−20=−(x2−10x+25)+5\displaystyle -x^{2}+10x-20=-(x^{2}-10x+25)+5, deci x∗x=−(x−5)2+5\displaystyle x*x=-(x-5)^{2}+5.
    x∗x=−(x−5)2+5\displaystyle x*x=-(x-5)^{2}+5
  3. Inegalitatea x∗x≥x\displaystyle x*x\ge x devine −(x−5)2+5≥x\displaystyle -(x-5)^{2}+5\ge x.
    −(x−5)2+5≥x\displaystyle -(x-5)^{2}+5\ge x
  4. Mutăm x\displaystyle x în stânga: −(x−5)2+5−x≥0\displaystyle -(x-5)^{2}+5-x\ge 0. Cum 5−x=−(x−5)\displaystyle 5-x=-(x-5), avem −(x−5)2−(x−5)≥0\displaystyle -(x-5)^{2}-(x-5)\ge 0, adică −(x−5)[(x−5)+1]≥0\displaystyle -(x-5)\left[(x-5)+1\right]\ge 0, deci −(x−5)(x−4)≥0\displaystyle -(x-5)(x-4)\ge 0.
    −(x−5)(x−4)≥0\displaystyle -(x-5)(x-4)\ge 0
  5. Înmulțim cu −1\displaystyle -1, iar sensul inegalității se schimbă: (x−5)(x−4)≤0\displaystyle (x-5)(x-4)\le 0.
    (x−5)(x−4)≤0\displaystyle (x-5)(x-4)\le 0
  6. Rădăcinile sunt x=4\displaystyle x=4 și x=5\displaystyle x=5. Parabola are ramurile în sus, deci produsul este ≤0\displaystyle \le 0 între rădăcini, inclusiv rădăcinile.
    x∈[4,5]\displaystyle x\in[4,5]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+y−4)−xy\displaystyle x*y=5(x+y-4)-xy.

Calculați 1∗(−2)∗3∗(−4)∗…∗2019∗(−2020)\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*\ldots*2019*(-2020).
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm legea: x∗y=5x+5y−20−xy\displaystyle x*y=5x+5y-20-xy. Grupăm termenii: x∗y=5−(x−5)(y−5)\displaystyle x*y=5-(x-5)(y-5).
    x∗y=5−(x−5)(y−5)\displaystyle x*y=5-(x-5)(y-5)
  2. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗5=5−(x−5)(5−5)=5−0=5\displaystyle x*5=5-(x-5)(5-5)=5-0=5.
    x∗5=5\displaystyle x*5=5
  3. Expresia 5−(x−5)(y−5)\displaystyle 5-(x-5)(y-5) este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă. Rezultă 5∗y=5\displaystyle 5*y=5 pentru orice y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}.
    x∗5=5 și 5∗y=5\displaystyle x*5=5\text{ și }5*y=5
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii. Șirul este 1∗(−2)∗3∗(−4)∗5∗(−6)∗…∗2019∗(−2020)\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*5*(-6)*\ldots*2019*(-2020). Notăm a=1∗(−2)∗3∗(−4)\displaystyle a=1*(-2)*3*(-4), număr real.
    (1∗(−2)∗3∗(−4))∗5=a∗5\displaystyle \left(1*(-2)*3*(-4)\right)*5=a*5
  5. Din x∗5=5\displaystyle x*5=5 obținem a∗5=5\displaystyle a*5=5, deci expresia devine 5∗(−6)∗…∗2019∗(−2020)\displaystyle 5*(-6)*\ldots*2019*(-2020).
    5∗(−6)∗…∗2019∗(−2020)\displaystyle 5*(-6)*\ldots*2019*(-2020)
  6. Notăm b=(−6)∗7∗…∗2019∗(−2020)\displaystyle b=(-6)*7*\ldots*2019*(-2020), număr real. Atunci expresia este 5∗b=5\displaystyle 5*b=5, deoarece 5∗y=5\displaystyle 5*y=5 pentru orice y\displaystyle y real.
    1∗(−2)∗3∗(−4)∗…∗2019∗(−2020)=5\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*\ldots*2019*(-2020)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)2e−x\displaystyle f(x)=(x+2)^2e^{-x}.

Arătați că f′(x)=−x(x+2)e−x\displaystyle f'(x)=-x(x+2)e^{-x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs u⋅v\displaystyle u\cdot v, cu u(x)=(x+2)2\displaystyle u(x)=(x+2)^{2} și v(x)=e−x\displaystyle v(x)=e^{-x}. Aplicăm regula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=((x+2)2)′e−x+(x+2)2(e−x)′\displaystyle f'(x)=\left((x+2)^{2}\right)'e^{-x}+(x+2)^{2}\left(e^{-x}\right)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: ((x+2)2)′=2(x+2)⋅(x+2)′=2(x+2)\displaystyle \left((x+2)^{2}\right)'=2(x+2)\cdot(x+2)'=2(x+2), iar (e−x)′=e−x⋅(−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=e^{-x}\cdot(-x)'=-e^{-x}. Înlocuim în formula produsului.
    f′(x)=2(x+2)e−x+(x+2)2e−x⋅(−1)\displaystyle f'(x)=2(x+2)e^{-x}+(x+2)^{2}e^{-x}\cdot(-1)
  3. Dăm factor comun (x+2)e−x\displaystyle (x+2)e^{-x}. În paranteză rămâne 2−(x+2)=−x\displaystyle 2-(x+2)=-x.
    f′(x)=(x+2)e−x[2−(x+2)]=(x+2)e−x⋅(−x)\displaystyle f'(x)=(x+2)e^{-x}\left[2-(x+2)\right]=(x+2)e^{-x}\cdot(-x)
  4. Scriem rezultatul sub forma cerută; el coincide cu (−x2−2x)e−x\displaystyle (-x^{2}-2x)e^{-x}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(−x2−2x)e−x=−x(x+2)e−x, x∈R\displaystyle f'(x)=(-x^{2}-2x)e^{-x}=-x(x+2)e^{-x}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)2e−x\displaystyle f(x)=(x+2)^2e^{-x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Calculăm această limită.
    L=lim⁡x→+∞(x+2)2e−x\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}(x+2)^2e^{-x}
  2. Scriem e−x=1ex\displaystyle e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}. Obținem o fracție care are la +∞\displaystyle +\infty forma nedeterminată ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci se poate aplica regula lui l'Hospital.
    lim⁡x→+∞(x+2)2ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(x+2)^2}{e^x}
  3. Aplicăm prima dată regula lui l'Hospital: derivăm numărătorul și numitorul. Avem ((x+2)2)′=2(x+2)\displaystyle ((x+2)^2)'=2(x+2) și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Limita obținută are tot forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞2(x+2)ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2(x+2)}{e^x}
  4. Aplicăm a doua oară regula lui l'Hospital: (2(x+2))′=2\displaystyle (2(x+2))'=2 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Cum ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracția 2ex\displaystyle \dfrac{2}{e^x} tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x+2)2ex=lim⁡x→+∞2(x+2)ex=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+2)^2}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2(x+2)}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0
  5. Limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)2e−x\displaystyle f(x)=(x+2)^2e^{-x}.

Demonstrați că 0≤(x+2)(y+2)ex+y≤4\displaystyle 0\le\frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}}}\le 4, pentru orice x,y∈[−2,+∞)\displaystyle x,y\in[-2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind formula derivatei unui produs: ((x+2)2)′=2(x+2)\displaystyle ((x+2)^{2})'=2(x+2) și (e−x)′=−e−x\displaystyle (e^{-x})'=-e^{-x}.
    f′(x)=2(x+2)e−x−(x+2)2e−x\displaystyle f'(x)=2(x+2)e^{-x}-(x+2)^{2}e^{-x}
  2. Dăm factor comun (x+2)e−x\displaystyle (x+2)e^{-x} și simplificăm paranteza: 2−(x+2)=−x\displaystyle 2-(x+2)=-x.
    f′(x)=(x+2)e−x(2−x−2)=−x(x+2)e−x\displaystyle f'(x)=(x+2)e^{-x}\left(2-x-2\right)=-x(x+2)e^{-x}
  3. Studiem semnul derivatei pe [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty). Avem x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0 și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0. Pentru x∈[−2,0]\displaystyle x\in[-2,0] avem −x≥0\displaystyle -x\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare. Pentru x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) avem −x≤0\displaystyle -x\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare.
    f cresca˘toare pe [−2,0], descresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }[-2,0]\text{, descrescătoare pe }[0,+\infty)
  4. Deoarece f\displaystyle f crește până în 0\displaystyle 0 și apoi descrește, f(0)\displaystyle f(0) este maximul pe [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty). Calculăm f(0)=22⋅e0=4\displaystyle f(0)=2^{2}\cdot e^{0}=4, deci f(x)≤4\displaystyle f(x)\le 4 pentru orice x∈[−2,+∞)\displaystyle x\in[-2,+\infty).
    f(0)=4⇒f(x)≤4\displaystyle f(0)=4\Rightarrow f(x)\le 4, ∀x∈[−2,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[-2,+\infty)
  5. Pentru x∈[−2,+∞)\displaystyle x\in[-2,+\infty) avem (x+2)2≥0\displaystyle (x+2)^{2}\ge 0 și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0. Împreună cu pasul anterior, 0≤f(x)≤4\displaystyle 0\le f(x)\le 4 și analog 0≤f(y)≤4\displaystyle 0\le f(y)\le 4.
    0≤f(x)≤4 și 0≤f(y)≤4\displaystyle 0\le f(x)\le 4\text{ și }0\le f(y)\le 4
  6. Înmulțim inegalitățile între numere pozitive sau nule și apoi extragem radicalul, care este o funcție crescătoare: din 0≤f(x)f(y)≤16\displaystyle 0\le f(x)f(y)\le 16 rezultă 0≤f(x)f(y)≤4\displaystyle 0\le\sqrt{f(x)f(y)}\le 4.
    0≤f(x)f(y)≤16⇒0≤f(x)f(y)≤4\displaystyle 0\le f(x)f(y)\le 16\Rightarrow 0\le\sqrt{f(x)f(y)}\le 4
  7. Scriem produsul explicit: f(x)f(y)=(x+2)2(y+2)2ex+y\displaystyle f(x)f(y)=\dfrac{(x+2)^{2}(y+2)^{2}}{e^{x+y}}. Cum x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0 și y+2≥0\displaystyle y+2\ge 0, radicalul este (x+2)(y+2)ex+y\displaystyle \dfrac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}}}. Deci inegalitatea cerută este demonstrată.
    f(x)f(y)=(x+2)(y+2)ex+y⇒0≤(x+2)(y+2)ex+y≤4\displaystyle \sqrt{f(x)f(y)}=\frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}}}\Rightarrow 0\le\frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}}}\le 4, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈[−2,+∞)\displaystyle y\in[-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Arătați că ∫011exf(x) dx=14\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}f(x)\,dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu x3ex\displaystyle x^{3}e^{x}.
    ∫011ex x3ex dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}\,x^3e^x\,dx
  2. Simplificăm factorul exponențial: ex\displaystyle e^{x} de la numărător se reduce cu ex\displaystyle e^{x} de la numitor, deci rămâne doar x3\displaystyle x^{3}.
    ∫011exf(x) dx=∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}f(x)\,dx=\int_0^1x^3\,dx
  3. Aflăm o primitivă a lui x3\displaystyle x^{3}, folosind formula ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, și o scriem cu limitele de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1.
    ∫01x3 dx=x44∣01\displaystyle \int_0^1x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    144−044=14−0=14\displaystyle \frac{1^4}{4}-\frac{0^4}{4}=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Calculați ∫121x2f(x) dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x^2}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x în integrală și simplificăm: 1x2⋅x3ex=xex\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\cdot x^3e^x=xe^x. Integrala devine ∫12xex dx\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx.
    ∫121x2f(x) dx=∫12xex dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x^2}f(x)\,dx=\int_1^2 xe^x\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx
  3. Cum ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^x\,dx=e^x, obținem primitiva xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^x-e^x=(x-1)e^x.
    ∫xex dx=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12xex dx=(x−1)ex∣12=(2−1)e2−(1−1)e1\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_1^2=(2-1)e^2-(1-1)e^1.
    (x−1)ex∣12=1⋅e2−0⋅e\displaystyle (x-1)e^x\Big|_1^2=1\cdot e^2-0\cdot e
  5. Al doilea termen este 0⋅e=0\displaystyle 0\cdot e=0, deci integrala este e2\displaystyle e^2.
    e2\displaystyle e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f are un singur punct de inflexiune.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f. Atunci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), adică F′(x)=x3ex\displaystyle F'(x)=x^{3}e^{x}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    F′(x)=x3ex\displaystyle F'(x)=x^{3}e^{x}
  2. Derivăm încă o dată, folosind regula de derivare a produsului: F′′(x)=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex\displaystyle F''(x)=\left(x^{3}\right)'e^{x}+x^{3}\left(e^{x}\right)'=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.
    F′′(x)=3x2ex+x3ex\displaystyle F''(x)=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}
  3. Dăm factor comun x2ex\displaystyle x^{2}e^{x} și obținem forma factorizată a lui F′′\displaystyle F''.
    F′′(x)=x2(x+3)ex\displaystyle F''(x)=x^{2}(x+3)e^{x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui F′′\displaystyle F''. Avem ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x\displaystyle x, iar x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0, cu egalitate doar pentru x=0\displaystyle x=0. Deci semnul lui F′′(x)\displaystyle F''(x) coincide cu semnul lui x+3\displaystyle x+3 pentru x≠0\displaystyle x\neq 0. Zerourile lui F′′\displaystyle F'' sunt x=−3\displaystyle x=-3 și x=0\displaystyle x=0.
    x=−3 și x=0 sunt zerourile lui F′′\displaystyle x=-3\text{ și }x=0\text{ sunt zerourile lui }F''
  5. Pentru x∈(−∞,−3)\displaystyle x\in(-\infty,-3) avem x+3<0\displaystyle x+3<0, deci F′′(x)<0\displaystyle F''(x)<0. Pentru x∈(−3,0)\displaystyle x\in(-3,0) și pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x+3>0\displaystyle x+3>0, deci F′′(x)>0\displaystyle F''(x)>0.
    F′′(x)<0 pe (−∞,−3), F′′(x)>0 pe (−3,0) și pe (0,+∞)\displaystyle F''(x)<0\text{ pe }(-\infty,-3)\text{, }F''(x)>0\text{ pe }(-3,0)\text{ și pe }(0,+\infty)
  6. În x=−3\displaystyle x=-3 derivata a doua își schimbă semnul din negativ în pozitiv, deci F\displaystyle F trece de la concavă la convexă și x=−3\displaystyle x=-3 este punct de inflexiune. În x=0\displaystyle x=0 semnul lui F′′\displaystyle F'' nu se schimbă (este pozitiv de ambele părți), deci 0\displaystyle 0 nu este punct de inflexiune. Prin urmare, orice primitivă F\displaystyle F a lui f\displaystyle f are un singur punct de inflexiune, x=−3\displaystyle x=-3.
    Singurul punct de \displaystyle \text{Singurul punct de }inflexiune al lui F este x=−3\displaystyle \text{inflexiune al lui }F\text{ este }x=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.