Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a3=5\displaystyle a_3=5 și a5=11\displaystyle a_5=11.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (de la al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi. Deci a4\displaystyle a_4 este media aritmetică a lui a3\displaystyle a_3 și a5\displaystyle a_5, pentru că a4−a3=a5−a4=r\displaystyle a_4-a_3=a_5-a_4=r, de unde 2a4=a3+a5\displaystyle 2a_4=a_3+a_5.
    a4=a3+a52\displaystyle a_4=\dfrac{a_3+a_5}{2}
  2. Înlocuim valorile date, a3=5\displaystyle a_3=5 și a5=11\displaystyle a_5=11, în formulă.
    a4=5+112=162\displaystyle a_4=\dfrac{5+11}{2}=\dfrac{16}{2}
  3. Efectuăm împărțirea: 162=8\displaystyle \dfrac{16}{2}=8. Verificare: rația este r=3\displaystyle r=3, iar termenii 5, 8, 11\displaystyle 5,\,8,\,11 sunt în progresie aritmetică.
    a4=8\displaystyle a_4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1. Determinați numărul real a\displaystyle a știind că f(a)=f(a+1)\displaystyle f(a)=f(a+1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1.
    f(a)=a2+1\displaystyle f(a)=a^{2}+1
  2. Calculăm f(a+1)\displaystyle f(a+1) înlocuind x\displaystyle x cu a+1\displaystyle a+1.
    f(a+1)=(a+1)2+1\displaystyle f(a+1)=(a+1)^{2}+1
  3. Scriem condiția f(a)=f(a+1)\displaystyle f(a)=f(a+1) cu expresiile obținute.
    a2+1=(a+1)2+1\displaystyle a^{2}+1=(a+1)^{2}+1
  4. Desfacem pătratul sumei: (a+1)2=a2+2a+1\displaystyle (a+1)^{2}=a^{2}+2a+1. Apoi reducem termenii asemenea: a2\displaystyle a^{2} apare în ambii membri și se reduce, iar ecuația devine liniară.
    a2+1=a2+2a+2⇔2a+1=0\displaystyle a^{2}+1=a^{2}+2a+2\Leftrightarrow 2a+1=0
  5. Rezolvăm ecuația liniară: 2a=−1\displaystyle 2a=-1, deci a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}.
    a=−12\displaystyle a=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−x+13=x+1\displaystyle \sqrt{x^2-x+13}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−x+13=x+1\displaystyle \sqrt{x^2-x+13}=x+1 are sens doar dacă x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, adică x≥−1\displaystyle x\ge -1 (expresia de sub radical este oricum pozitivă). Ridicăm ambii membri la pătrat.
    x2−x+13=(x+1)2\displaystyle x^2-x+13=(x+1)^2
  2. Desfacem (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1, deci ecuația devine:
    x2−x+13=x2+2x+1\displaystyle x^2-x+13=x^2+2x+1
  3. Reducem x2\displaystyle x^2 din ambii membri și mutăm termenii: −x−2x=1−13\displaystyle -x-2x=1-13, deci ecuația liniară este:
    x2−x+13=x2+2x+1⇔3x=12\displaystyle x^2-x+13=x^2+2x+1\Leftrightarrow 3x=12
  4. Din 3x=12\displaystyle 3x=12 obținem x=4\displaystyle x=4. Verificăm: 16−4+13=25=5\displaystyle \sqrt{16-4+13}=\sqrt{25}=5 și 4+1=5\displaystyle 4+1=5, deci soluția convine (și x≥−1\displaystyle x\ge -1).
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele strict mai mici decât 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10,11,\ldots,99, deci sunt 99−10+1\displaystyle 99-10+1 numere. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Ambele cifre trebuie să fie strict mai mici decât 3\displaystyle 3, deci pot fi 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2. Cifra zecilor nu poate fi 0\displaystyle 0, deci are 2\displaystyle 2 posibilități (1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2). Cifra unităților are 3\displaystyle 3 posibilități (0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2).
    zeci: 2 variante\displaystyle \text{zeci: }2\text{ variante}, unita˘ți: 3 variante\displaystyle \ \text{unități: }3\text{ variante}
  4. Înmulțim numărul de posibilități pentru cele două cifre și obținem numărul cazurilor favorabile. Numerele sunt 10,11,12,20,21,22\displaystyle 10, 11, 12, 20, 21, 22.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
  5. Calculăm probabilitatea ca raport între 6\displaystyle 6 și 90\displaystyle 90 și simplificăm fracția prin 6\displaystyle 6.
    p=690=115\displaystyle p=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4), B(−1,1)\displaystyle B(-1,1) și C(3,a)\displaystyle C(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care dreptele OC\displaystyle OC și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, folosind A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(−1,1)\displaystyle B(-1,1): mAB=1−4−1−2=−3−3\displaystyle m_{AB}=\dfrac{1-4}{-1-2}=\dfrac{-3}{-3}.
    mAB=1\displaystyle m_{AB}=1
  2. Calculăm panta dreptei OC\displaystyle OC, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) și C(3,a)\displaystyle C(3,a): mOC=a−03−0\displaystyle m_{OC}=\dfrac{a-0}{3-0}.
    mAB=1 și mOC=a3\displaystyle m_{AB}=1\text{ și }m_{OC}=\dfrac{a}{3}
  3. Dreptele OC\displaystyle OC și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare dacă mAB⋅mOC=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_{OC}=-1. Înlocuim pantele: 1⋅a3=−1\displaystyle 1\cdot\dfrac{a}{3}=-1.
    a3=−1\displaystyle \dfrac{a}{3}=-1
  4. Înmulțim ecuația cu 3\displaystyle 3 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că, pentru orice număr real x\displaystyle x, cos⁡(x+π3)+cos⁡(x−π3)=cos⁡x\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula pentru cosinusul sumei: cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. Pentru a=x\displaystyle a=x și b=π3\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3} obținem cos⁡(x+π3)=cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin x\sin\dfrac{\pi}{3}.
    cos⁡(x+π3)=cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}
  2. Folosim formula pentru cosinusul diferenței: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. Pentru a=x\displaystyle a=x și b=π3\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3} obținem cos⁡(x−π3)=cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{3}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{3}.
    cos⁡(x−π3)=cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{3}+\sin x\sin\frac{\pi}{3}
  3. Adunăm cele două egalități și scriem suma din enunț ca o singură expresie.
    cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3+cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}+\cos x\cos\frac{\pi}{3}+\sin x\sin\frac{\pi}{3}
  4. Termenii −sin⁡xsin⁡π3\displaystyle -\sin x\sin\dfrac{\pi}{3} și +sin⁡xsin⁡π3\displaystyle +\sin x\sin\dfrac{\pi}{3} se reduc, iar cei doi termeni cos⁡xcos⁡π3\displaystyle \cos x\cos\dfrac{\pi}{3} se adună.
    2cos⁡xcos⁡π3\displaystyle 2\cos x\cos\frac{\pi}{3}
  5. Știm că cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}, deci expresia devine 2⋅cos⁡x⋅12=cos⁡x\displaystyle 2\cdot\cos x\cdot\dfrac{1}{2}=\cos x. Egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2cos⁡xcos⁡π3=2⋅cos⁡x⋅12=cos⁡x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2\cos x\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\cos x\cdot\frac{1}{2}=\cos x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+5x−2x10x1−4x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+5x & -2x\\ 10x & 1-4x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementul 1+5x\displaystyle 1+5x devine 1+5=6\displaystyle 1+5=6, elementul −2x\displaystyle -2x devine −2\displaystyle -2, elementul 10x\displaystyle 10x devine 10\displaystyle 10, iar 1−4x\displaystyle 1-4x devine 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3.
    A(1)=(6−210−3)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}6 & -2\\ 10 & -3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), care este un determinant de ordinul doi.
    det⁡(A(1))=∣6−210−3∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}6 & -2\\ 10 & -3\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Avem 6⋅(−3)=−18\displaystyle 6\cdot(-3)=-18, iar 10⋅(−2)=−20\displaystyle 10\cdot(-2)=-20, deci −18−(−20)=−18+20=2\displaystyle -18-(-20)=-18+20=2.
    6⋅(−3)−10⋅(−2)=−18+20=2\displaystyle 6\cdot(-3)-10\cdot(-2)=-18+20=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+5x−2x10x1−4x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+5x & -2x\\ 10x & 1-4x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y+xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y) după regula linie pe coloană. Fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele unei linii din A(x)\displaystyle A(x) și ale unei coloane din A(y)\displaystyle A(y).
    A(x)⋅A(y)=((1+5x)(1+5y)−20xy−2y(1+5x)−2x(1−4y)10x(1+5y)+10y(1−4x)−20xy+(1−4x)(1−4y))\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}(1+5x)(1+5y)-20xy & -2y(1+5x)-2x(1-4y)\\ 10x(1+5y)+10y(1-4x) & -20xy+(1-4x)(1-4y)\end{pmatrix}
  2. Desfacem parantezele în elementul de pe linia 1, coloana 1 și grupăm termenii: 25xy−20xy=5xy\displaystyle 25xy-20xy=5xy, deci obținem 1+5(x+y+xy)\displaystyle 1+5(x+y+xy).
    (1+5x)(1+5y)−20xy=1+5x+5y+25xy−20xy=1+5(x+y+xy)\displaystyle (1+5x)(1+5y)-20xy=1+5x+5y+25xy-20xy=1+5(x+y+xy)
  3. Desfacem parantezele în elementul de pe linia 1, coloana 2: −10xy+8xy=−2xy\displaystyle -10xy+8xy=-2xy, deci obținem −2(x+y+xy)\displaystyle -2(x+y+xy).
    −2y(1+5x)−2x(1−4y)=−2y−10xy−2x+8xy=−2(x+y+xy)\displaystyle -2y(1+5x)-2x(1-4y)=-2y-10xy-2x+8xy=-2(x+y+xy)
  4. Desfacem parantezele în elementul de pe linia 2, coloana 1: 50xy−40xy=10xy\displaystyle 50xy-40xy=10xy, deci obținem 10(x+y+xy)\displaystyle 10(x+y+xy).
    10x(1+5y)+10y(1−4x)=10x+50xy+10y−40xy=10(x+y+xy)\displaystyle 10x(1+5y)+10y(1-4x)=10x+50xy+10y-40xy=10(x+y+xy)
  5. Desfacem parantezele în elementul de pe linia 2, coloana 2: −20xy+16xy=−4xy\displaystyle -20xy+16xy=-4xy, deci obținem 1−4(x+y+xy)\displaystyle 1-4(x+y+xy).
    −20xy+(1−4x)(1−4y)=−20xy+1−4x−4y+16xy=1−4(x+y+xy)\displaystyle -20xy+(1-4x)(1-4y)=-20xy+1-4x-4y+16xy=1-4(x+y+xy)
  6. Punem la loc cele patru elemente. Matricea obținută are exact forma lui A(t)\displaystyle A(t), cu t=x+y+xy\displaystyle t=x+y+xy, deci produsul este A(x+y+xy)\displaystyle A(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A(x)⋅A(y)=(1+5(x+y+xy)−2(x+y+xy)10(x+y+xy)1−4(x+y+xy))=A(x+y+xy), pentru orice numere \displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1+5(x+y+xy) & -2(x+y+xy)\\ 10(x+y+xy) & 1-4(x+y+xy)\end{pmatrix}=A(x+y+xy)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+5x−2x10x1−4x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+5x & -2x\\ 10x & 1-4x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile de numere întregi (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversa matricei A(n)\displaystyle A(n).
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversa matricei A(n)\displaystyle A(n) exact când produsul lor este matricea unitate I2\displaystyle I_2. Observăm că I2=A(0)\displaystyle I_2=A(0).
    A(m)A(n)=I2=A(0)\displaystyle A(m)A(n)=I_2=A(0)
  2. Scriem A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB, unde B=(5−210−4)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5 & -2\\ 10 & -4\end{pmatrix}. Calculăm B2=(25−20−10+850−40−20+16)=B\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}25-20 & -10+8\\ 50-40 & -20+16\end{pmatrix}=B. Atunci A(m)A(n)=I2+(m+n)B+mnB2=I2+(m+n+mn)B\displaystyle A(m)A(n)=I_2+(m+n)B+mnB^2=I_2+(m+n+mn)B, adică A(m+n+mn)\displaystyle A(m+n+mn).
    A(m)A(n)=A(m+n+mn)\displaystyle A(m)A(n)=A(m+n+mn)
  3. Egalitatea A(m+n+mn)=A(0)\displaystyle A(m+n+mn)=A(0) înseamnă că (m+n+mn)B\displaystyle (m+n+mn)B este matricea nulă. Cum B≠O2\displaystyle B\neq O_2, rezultă m+n+mn=0\displaystyle m+n+mn=0. Determinantul lui A(x)\displaystyle A(x) este 1+x\displaystyle 1+x, deci A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă doar pentru x≠−1\displaystyle x\neq -1, iar m≠−1\displaystyle m\neq -1 și n≠−1\displaystyle n\neq -1.
    m+n+mn=0, cu m≠−1 și n≠−1\displaystyle m+n+mn=0\text{, cu }m\neq -1\text{ și }n\neq -1
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri ai ecuației, ca să putem descompune în factori: mn+m+n+1=(m+1)(n+1)\displaystyle mn+m+n+1=(m+1)(n+1).
    mn+m+n+1=1⇔(m+1)(n+1)=1\displaystyle mn+m+n+1=1\Leftrightarrow (m+1)(n+1)=1
  5. Numerele m+1\displaystyle m+1 și n+1\displaystyle n+1 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1, deci sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1. Din m+1=n+1=1\displaystyle m+1=n+1=1 obținem m=n=0\displaystyle m=n=0, iar din m+1=n+1=−1\displaystyle m+1=n+1=-1 obținem m=n=−2\displaystyle m=n=-2. Ambele perechi convin, deoarece sunt diferite de −1\displaystyle -1 și verifică ecuația: 0+0+0=0\displaystyle 0+0+0=0, respectiv −2−2+4=0\displaystyle -2-2+4=0.
    (m,n)∈{(−2,−2),(0,0)}\displaystyle (m,n)\in\{(-2,-2),(0,0)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+2ay\displaystyle x\circ y=xy+x+2ay, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 1∘0=1\displaystyle 1\circ 0=1, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=xy+x+2ay\displaystyle x\circ y=xy+x+2ay. Pentru a calcula 1∘0\displaystyle 1\circ 0 înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0.
    1∘0=1⋅0+1+2⋅a⋅0\displaystyle 1\circ 0=1\cdot 0+1+2\cdot a\cdot 0
  2. Calculăm termenii: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, apoi termenul 1\displaystyle 1 rămâne neschimbat, iar 2⋅a⋅0=0\displaystyle 2\cdot a\cdot 0=0 pentru orice număr real a\displaystyle a, deoarece orice număr înmulțit cu 0\displaystyle 0 dă 0\displaystyle 0.
    1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0,2⋅a⋅0=0\displaystyle \quad 2\cdot a\cdot 0=0
  3. Adunăm termenii: 0+1+0=1\displaystyle 0+1+0=1. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    0+1+0=1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle 0+1+0=1\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+2ay\displaystyle x\circ y=xy+x+2ay, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că x∘1>4\displaystyle x\circ 1>4 dacă și numai dacă x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘1\displaystyle x\circ 1 folosind definiția legii: înlocuim y=1\displaystyle y=1 în xy+x+2ay\displaystyle xy+x+2ay.
    x∘1=x⋅1+x+2a⋅1=2x+2a\displaystyle x\circ 1=x\cdot 1+x+2a\cdot 1=2x+2a
  2. Scriem inegalitatea x∘1>4\displaystyle x\circ 1>4, adică 2x+2a>4\displaystyle 2x+2a>4. Trecem 2a\displaystyle 2a în membrul drept și apoi împărțim la 2\displaystyle 2, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează.
    x∘1>4⇔2x>4−2a⇔x>2−a⇔x∈(2−a,+∞)\displaystyle x\circ 1>4\Leftrightarrow 2x>4-2a\Leftrightarrow x>2-a\Leftrightarrow x\in(2-a,+\infty)
  3. Condiția din enunț spune că mulțimea soluțiilor este exact (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty). Cele două intervale (2−a,+∞)\displaystyle (2-a,+\infty) și (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty) coincid doar dacă extremitățile sunt egale, deci 2−a=3\displaystyle 2-a=3.
    2−a=3\displaystyle 2-a=3
  4. Rezolvăm ecuația 2−a=3\displaystyle 2-a=3, de unde a=2−3\displaystyle a=2-3.
    2−a=3, deci a=−1\displaystyle 2-a=3\text{, deci }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+2ay\displaystyle x\circ y=xy+x+2ay, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă dacă și numai dacă a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (x∘y)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z, aplicând definiția legii cu primul element x∘y\displaystyle x\circ y și al doilea z\displaystyle z: (x∘y)∘z=(x∘y)z+(x∘y)+2az\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x\circ y)z+(x\circ y)+2az. Apoi calculăm x∘(y∘z)=x(y∘z)+x+2a(y∘z)\displaystyle x\circ(y\circ z)=x(y\circ z)+x+2a(y\circ z). Legea este asociativă dacă cele două expresii sunt egale pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reale.
    (xy+x+2ay)z+xy+x+2ay+2az=x(yz+y+2az)+x+2a(yz+y+2az)\displaystyle (xy+x+2ay)z+xy+x+2ay+2az=x(yz+y+2az)+x+2a(yz+y+2az)
  2. Desfacem parantezele în membrul stâng: xyz+xz+2ayz+xy+x+2ay+2az\displaystyle xyz+xz+2ayz+xy+x+2ay+2az.
    xyz+xz+2ayz+xy+x+2ay+2az\displaystyle xyz+xz+2ayz+xy+x+2ay+2az
  3. Desfacem parantezele în membrul drept: xyz+xy+2axz+x+2ayz+2ay+4a2z\displaystyle xyz+xy+2axz+x+2ayz+2ay+4a^{2}z.
    xyz+xy+2axz+x+2ayz+2ay+4a2z\displaystyle xyz+xy+2axz+x+2ayz+2ay+4a^{2}z
  4. Reducem termenii identici din cele două părți: xyz\displaystyle xyz, xy\displaystyle xy, x\displaystyle x, 2ayz\displaystyle 2ayz și 2ay\displaystyle 2ay apar în ambele. Rămâne egalitatea xz+2az=2axz+4a2z\displaystyle xz+2az=2axz+4a^{2}z.
    xz+2az=2axz+4a2z\displaystyle xz+2az=2axz+4a^{2}z
  5. Mutăm totul în stânga și dăm factor comun z\displaystyle z: z(x+2a−2ax−4a2)=0\displaystyle z(x+2a-2ax-4a^{2})=0. Grupăm: x(1−2a)+2a(1−2a)=(x+2a)(1−2a)\displaystyle x(1-2a)+2a(1-2a)=(x+2a)(1-2a). Deci egalitatea devine z(x+2a)(1−2a)=0\displaystyle z(x+2a)(1-2a)=0.
    z(x+2a)(1−2a)=0\displaystyle z(x+2a)(1-2a)=0
  6. Dacă a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, factorul 1−2a\displaystyle 1-2a este 0\displaystyle 0, deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x și z\displaystyle z: legea este asociativă. Reciproc, presupunem egalitatea adevărată pentru orice x\displaystyle x și z\displaystyle z reale. Pentru x=0\displaystyle x=0 și z=1\displaystyle z=1 obținem 2a(1−2a)=0\displaystyle 2a(1-2a)=0, iar pentru x=1\displaystyle x=1 și z=1\displaystyle z=1 obținem (1+2a)(1−2a)=0\displaystyle (1+2a)(1-2a)=0. Dacă 1−2a≠0\displaystyle 1-2a\neq 0, ar rezulta a=0\displaystyle a=0 și a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2} simultan, imposibil. Deci 1−2a=0\displaystyle 1-2a=0, adică a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}. Legea este asociativă dacă și numai dacă a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}.
    z(x+2a)(1−2a)=0 pentru orice x\displaystyle z(x+2a)(1-2a)=0\text{ pentru orice }x,z∈R⇔a=12\displaystyle z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Arătați că ex(f(x)+f′(x))=1\displaystyle e^x\left(f(x)+f'(x)\right)=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=x\displaystyle u=x și v=ex\displaystyle v=e^{x}. Avem u′=1\displaystyle u'=1 și v′=ex\displaystyle v'=e^{x}.
    f′(x)=1⋅ex−x⋅ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}
  2. La numărător dăm factor comun ex\displaystyle e^{x}, iar la numitor avem (ex)2=e2x\displaystyle \left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}. Simplificăm fracția cu ex\displaystyle e^{x}, pentru x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=1⋅ex−x⋅exe2x=ex(1−x)e2x=1−xex, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}}{e^{2x}}=\dfrac{e^{x}(1-x)}{e^{2x}}=\dfrac{1-x}{e^{x}}\text{, }x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{e^{x}} și f′(x)=1−xex\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x}{e^{x}} în expresie. Fracțiile au același numitor ex\displaystyle e^{x}, deci adunăm numărătorii: x+(1−x)=1\displaystyle x+(1-x)=1.
    f(x)+f′(x)=xex+1−xex=1ex\displaystyle f(x)+f'(x)=\dfrac{x}{e^{x}}+\dfrac{1-x}{e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}}
  4. Înmulțim cu ex\displaystyle e^{x}: ex⋅1ex=1\displaystyle e^{x}\cdot\dfrac{1}{e^{x}}=1, pentru orice x\displaystyle x real, ceea ce trebuia demonstrat.
    ex(f(x)+f′(x))=ex(xex+1−xex)=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle e^{x}\left(f(x)+f'(x)\right)=e^{x}\left(\dfrac{x}{e^{x}}+\dfrac{1-x}{e^{x}}\right)=1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita există și este finită. Scriem limita: lim⁡x→+∞xex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui L'Hospital: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Obținem lim⁡x→+∞1ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}, iar cum ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty, limita este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞xex=lim⁡x→+∞1ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}=0
  3. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f admite spre +∞\displaystyle +\infty asimptota orizontală de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Demonstrați că dreapta de ecuație y=x\displaystyle y=x este tangentă la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm punctele comune ale graficului lui f\displaystyle f cu dreapta y=x\displaystyle y=x, adică rezolvăm ecuația f(x)=x\displaystyle f(x)=x, deci xex=x\displaystyle \dfrac{x}{e^{x}}=x.
    xex=x\displaystyle \dfrac{x}{e^{x}}=x
  2. Mutăm totul într-o parte și dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1ex−1)=0\displaystyle x\left(\dfrac{1}{e^{x}}-1\right)=0. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, paranteza se anulează când ex=1\displaystyle e^{x}=1, adică x=0\displaystyle x=0. Deci ecuația are singura soluție x=0\displaystyle x=0.
    f(x)=x⇔x=0\displaystyle f(x)=x\Leftrightarrow x=0
  3. Calculăm valoarea funcției în x=0\displaystyle x=0: f(0)=0e0=0\displaystyle f(0)=\dfrac{0}{e^{0}}=0. Punctul comun este (0,0)\displaystyle (0,0).
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  4. Scriem f(x)=x⋅e−x\displaystyle f(x)=x\cdot e^{-x} și derivăm: f′(x)=e−x−x⋅e−x=1−xex\displaystyle f'(x)=e^{-x}-x\cdot e^{-x}=\dfrac{1-x}{e^{x}}.
    f′(x)=1−xex\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x}{e^{x}}
  5. Evaluăm derivata în 0\displaystyle 0: f′(0)=1−0e0=1\displaystyle f'(0)=\dfrac{1-0}{e^{0}}=1.
    f′(0)=1\displaystyle f'(0)=1
  6. Tangenta în punctul de abscisă 0\displaystyle 0 are ecuația y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y−0=1⋅x\displaystyle y-0=1\cdot x, deci y=x\displaystyle y=x. Aceasta este dreapta dată, deci dreapta y=x\displaystyle y=x este tangentă la graficul funcției f\displaystyle f.
    y−f(0)=f′(0)(x−0)⇒y=x\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că ∫0πf(x) dx=2\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu sin⁡x\displaystyle \sin x în integrala dată, deoarece f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.
    ∫0πf(x) dx=∫0πsin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\pi}\sin x\,dx
  2. Căutăm o primitivă a funcției sinus. Deoarece (−cos⁡x)′=sin⁡x\displaystyle (-\cos x)'=\sin x, funcția −cos⁡x\displaystyle -\cos x este o primitivă a lui sin⁡x\displaystyle \sin x.
    (−cos⁡x)′=sin⁡x\displaystyle (-\cos x)'=\sin x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului, adică în π\displaystyle \pi minus în 0\displaystyle 0.
    ∫0πsin⁡x dx=−cos⁡x∣0π=−cos⁡π−(−cos⁡0)=−cos⁡π+cos⁡0\displaystyle \int_0^{\pi}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos 0)=-\cos\pi+\cos 0
  4. Folosim valorile cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1 și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1 și calculăm. Obținem 2\displaystyle 2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    −cos⁡π+cos⁡0=−(−1)+1=2\displaystyle -\cos\pi+\cos 0=-(-1)+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Calculați ∫0πxf(x) dx\displaystyle \int_0^{\pi}xf(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x, integrala devine ∫0πxsin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\pi}x\sin x\,dx.
    ∫0πxf(x) dx=∫0πxsin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\pi}xf(x)\,dx=\int_0^{\pi}x\sin x\,dx
  2. Deoarece (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x, avem sin⁡x=−(cos⁡x)′\displaystyle \sin x=-(\cos x)'. Atunci integrala se scrie −∫0πx(cos⁡x)′ dx\displaystyle -\int_0^{\pi}x(\cos x)'\,dx.
    ∫0πxsin⁡x dx=−∫0πx(cos⁡x)′ dx\displaystyle \int_0^{\pi}x\sin x\,dx=-\int_0^{\pi}x(\cos x)'\,dx
  3. Aplicăm formula ∫abu v′ dx=uv∣ab−∫abu′v dx\displaystyle \int_a^b u\,v'\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b u'v\,dx cu u=x\displaystyle u=x și v=cos⁡x\displaystyle v=\cos x. Obținem −xcos⁡x∣0π+∫0πcos⁡x dx\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx.
    −xcos⁡x∣0π+∫0πcos⁡x dx\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx
  4. Primitiva lui cos⁡x\displaystyle \cos x este sin⁡x\displaystyle \sin x, deci avem −πcos⁡π+sin⁡x∣0π\displaystyle -\pi\cos\pi+\sin x\Big|_0^{\pi}. Folosim cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1, sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0.
    −πcos⁡π+sin⁡x∣0π=−π⋅(−1)+0−0\displaystyle -\pi\cos\pi+\sin x\Big|_0^{\pi}=-\pi\cdot(-1)+0-0
  5. Rezultă −π⋅(−1)+0−0=π\displaystyle -\pi\cdot(-1)+0-0=\pi.
    ∫0πxf(x) dx=π\displaystyle \int_0^{\pi}xf(x)\,dx=\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că ∫01f(x) dx≥∫01f2(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx\geq\int_0^1 f^2(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a compara cele două integrale, studiem diferența lor. Folosim liniaritatea integralei și scriem diferența ca o singură integrală: ∫01f(x) dx−∫01f2(x) dx=∫01(f(x)−f2(x))dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx-\int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\left(f(x)-f^2(x)\right)dx.
    ∫01f(x) dx−∫01f2(x) dx=∫01(f(x)−f2(x))dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx-\int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\left(f(x)-f^2(x)\right)dx
  2. Înlocuim f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x și dăm factor comun sin⁡x\displaystyle \sin x în integrand: sin⁡x−sin⁡2x=sin⁡x(1−sin⁡x)\displaystyle \sin x-\sin^2 x=\sin x(1-\sin x).
    ∫01f(x) dx−∫01f2(x) dx=∫01sin⁡x(1−sin⁡x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx-\int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\sin x(1-\sin x)\,dx
  3. Studiem semnul factorilor pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]. Deoarece 1<π2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}, avem [0,1]⊂[0,π2]\displaystyle [0,1]\subset\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], deci sin⁡x≥0\displaystyle \sin x\geq 0. În plus, sin⁡x≤1\displaystyle \sin x\leq 1 pentru orice x\displaystyle x, deci 1−sin⁡x≥0\displaystyle 1-\sin x\geq 0.
    sin⁡x≥0 și 1−sin⁡x≥0, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \sin x\geq 0\text{ și }1-\sin x\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  4. Produsul a doi factori pozitivi sau nuli este pozitiv sau nul, deci sin⁡x(1−sin⁡x)≥0\displaystyle \sin x(1-\sin x)\geq 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Din monotonia integralei, ∫01sin⁡x(1−sin⁡x) dx≥0\displaystyle \int_0^1\sin x(1-\sin x)\,dx\geq 0. Rezultă ∫01f(x) dx−∫01f2(x) dx≥0\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx-\int_0^1 f^2(x)\,dx\geq 0, adică inegalitatea cerută.
    Pentru orice x∈[0,1], sin⁡x(1−sin⁡x)≥0⇒∫01sin⁡x(1−sin⁡x) dx≥0, deci ∫01f(x) dx≥∫01f2(x) dx\displaystyle \text{Pentru orice }x\in[0,1]\text{, }\sin x(1-\sin x)\geq 0\Rightarrow\int_0^1\sin x(1-\sin x)\,dx\geq 0\text{, deci }\int_0^1 f(x)\,dx\geq\int_0^1 f^2(x)\,dx
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.