Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a2=2\displaystyle a_2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rația progresiei cu r\displaystyle r. Atunci primul și al treilea termen se exprimă prin a2\displaystyle a_2: a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r și a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r.
    a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r,a3=a2+r\displaystyle \quad a_3=a_2+r
  2. Adunăm a1\displaystyle a_1 și a3\displaystyle a_3: rația r\displaystyle r se reduce, deci suma lor este dublul lui a2\displaystyle a_2.
    a1+a3=(a2−r)+(a2+r)=2a2\displaystyle a_1+a_3=(a_2-r)+(a_2+r)=2a_2
  3. Scriem suma primilor trei termeni și înlocuim a1+a3\displaystyle a_1+a_3 cu 2a2\displaystyle 2a_2, apoi folosim a2=2\displaystyle a_2=2. Rezultatul este 6\displaystyle 6.
    a1+a2+a3=2a2+a2=3a2=3⋅2=6\displaystyle a_1+a_2+a_3=2a_2+a_2=3a_2=3\cdot 2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(a,a2)\displaystyle A(a,a^2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−4\displaystyle f(x)=4x-4.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(a,a2)\displaystyle A(a,a^2) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=a2\displaystyle f(a)=a^2, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa a\displaystyle a.
    f(a)=a2\displaystyle f(a)=a^{2}
  2. Calculăm f(a)=4a−4\displaystyle f(a)=4a-4 și egalăm cu a2\displaystyle a^2.
    4a−4=a2\displaystyle 4a-4=a^{2}
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea a2−4a+4=0\displaystyle a^2-4a+4=0.
    a2−4a+4=0\displaystyle a^{2}-4a+4=0
  4. Recunoaștem în membrul stâng pătratul unei diferențe: a2−4a+4=(a−2)2\displaystyle a^2-4a+4=(a-2)^2.
    (a−2)2=0\displaystyle (a-2)^{2}=0
  5. Un pătrat este zero doar dacă baza este zero, deci a−2=0\displaystyle a-2=0, de unde a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−5x+7=x−1\displaystyle \sqrt{x^2-5x+7}=x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este pozitiv sau nul, deci trebuie ca x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, adică x≥1\displaystyle x\ge 1. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2−5x+7)2=(x−1)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2-5x+7}\right)^2=(x-1)^2.
    x2−5x+7=(x−1)2\displaystyle x^2-5x+7=(x-1)^2
  2. Dezvoltăm pătratul din membrul drept: (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1. Ecuația devine x2−5x+7=x2−2x+1\displaystyle x^2-5x+7=x^2-2x+1.
    x2−5x+7=x2−2x+1\displaystyle x^2-5x+7=x^2-2x+1
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 și grupăm: −5x+2x=1−7\displaystyle -5x+2x=1-7, deci −3x=−6\displaystyle -3x=-6, adică 3x=6\displaystyle 3x=6.
    3x=6\displaystyle 3x=6
  4. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x=2\displaystyle x=2. Verificăm în ecuația inițială: 22−5⋅2+7=1=1\displaystyle \sqrt{2^2-5\cdot 2+7}=\sqrt{1}=1 și 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Egalitatea se verifică, iar x=2≥1\displaystyle x=2\ge 1, deci soluția convine.
    3x=6, deci x=2, care convine\displaystyle 3x=6\text{, deci }x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Numerele de două cifre divizibile cu 10\displaystyle 10 sunt 10,20,30,…,90\displaystyle 10, 20, 30, \ldots, 90, adică 10⋅k\displaystyle 10\cdot k cu k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,9\}. Sunt 9\displaystyle 9 numere, deci există 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9\displaystyle 9
  3. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{9}{90}. Simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9 și obținem p=110\displaystyle p=\dfrac{1}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, pentru care vectorii u⃗=mi⃗+5j⃗\displaystyle \vec{u}=m\vec{i}+5\vec{j} și v⃗=3i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+3\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coordonatele vectorilor: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele m\displaystyle m și 5\displaystyle 5, iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele 3\displaystyle 3 și 3\displaystyle 3.
    u⃗(m,5)\displaystyle \vec{u}(m,5), v⃗(3,3)\displaystyle \ \vec{v}(3,3)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale, adică raportul coordonatelor de pe i⃗\displaystyle \vec{i} este egal cu raportul coordonatelor de pe j⃗\displaystyle \vec{j}. Scriem condiția de proporționalitate.
    m3=53\displaystyle \frac{m}{3}=\frac{5}{3}
  3. Înmulțim ambii membri ai egalității cu 3\displaystyle 3 și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=5\displaystyle m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡x−cos⁡x)2+(sin⁡x+cos⁡x)2=2\displaystyle (\sin x-\cos x)^2+(\sin x+\cos x)^2=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (sin⁡x−cos⁡x)2=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Scriem apoi suma celor două dezvoltări.
    sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x
  3. Termenii micști, −2sin⁡xcos⁡x\displaystyle -2\sin x\cos x și +2sin⁡xcos⁡x\displaystyle +2\sin x\cos x, se reduc. Rămân doi termeni cu sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x și doi cu cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x, pe care îi grupăm.
    2sin⁡2x+2cos⁡2x=2(sin⁡2x+cos⁡2x)\displaystyle 2\sin^2 x+2\cos^2 x=2(\sin^2 x+\cos^2 x)
  4. Aplicăm identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, pentru orice număr real x\displaystyle x. Rezultă că expresia este egală cu 2\displaystyle 2.
    2(sin⁡2x+cos⁡2x)=2⋅1=2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2(\sin^2 x+\cos^2 x)=2\cdot 1=2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣4−62−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&-6\\2&-3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣4−62−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&-6\\2&-3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci det⁡A=4⋅(−3)−2⋅(−6)\displaystyle \det A=4\cdot(-3)-2\cdot(-6).
    det⁡A=4⋅(−3)−2⋅(−6)\displaystyle \det A=4\cdot(-3)-2\cdot(-6)
  3. Calculăm produsele: 4⋅(−3)=−12\displaystyle 4\cdot(-3)=-12 și 2⋅(−6)=−12\displaystyle 2\cdot(-6)=-12, deci scăderea lui −12\displaystyle -12 înseamnă adunare cu 12\displaystyle 12. Rezultă det⁡A=−12+12=0\displaystyle \det A=-12+12=0.
    det⁡A=−12+12=0\displaystyle \det A=-12+12=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)M(y)=M(x+y+xy)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul folosind definiția: M(x)M(y)=(I2+xA)(I2+yA)\displaystyle M(x)M(y)=(I_2+xA)(I_2+yA).
    M(x)M(y)=(I2+xA)(I2+yA)\displaystyle M(x)M(y)=(I_2+xA)(I_2+yA)
  2. Distribuim înmulțirea. Avem I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅yA=yA\displaystyle I_2\cdot yA=yA, xA⋅I2=xA\displaystyle xA\cdot I_2=xA și xA⋅yA=xy A⋅A\displaystyle xA\cdot yA=xy\,A\cdot A, deoarece scalarii se scot în fața produsului.
    M(x)M(y)=I2+xA+yA+xyA⋅A\displaystyle M(x)M(y)=I_2+xA+yA+xyA\cdot A
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A prin înmulțirea liniilor cu coloanele: A⋅A=(4⋅4+(−6)⋅24⋅(−6)+(−6)⋅(−3)2⋅4+(−3)⋅22⋅(−6)+(−3)⋅(−3))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4\cdot 4+(-6)\cdot 2 & 4\cdot(-6)+(-6)\cdot(-3)\\ 2\cdot 4+(-3)\cdot 2 & 2\cdot(-6)+(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix}.
    A⋅A=(4−62−3)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4&-6\\2&-3\end{pmatrix}=A
  4. Înlocuim A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A în expresia obținută la început.
    M(x)M(y)=I2+xA+yA+xyA\displaystyle M(x)M(y)=I_2+xA+yA+xyA
  5. Dăm factor comun pe A\displaystyle A: I2+(x+y+xy)A\displaystyle I_2+(x+y+xy)A. Aceasta este chiar M(x+y+xy)\displaystyle M(x+y+xy), conform definiției M(t)=I2+tA\displaystyle M(t)=I_2+tA, cu t=x+y+xy\displaystyle t=x+y+xy. Deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    M(x)M(y)=I2+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)\displaystyle M(x)M(y)=I_2+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile de numere naturale (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care M(m)M(n)=M(6)\displaystyle M(m)M(n)=M(6).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2\displaystyle A^{2}. Prima linie: 4⋅4+(−6)⋅2=4\displaystyle 4\cdot 4+(-6)\cdot 2=4 și 4⋅(−6)+(−6)⋅(−3)=−6\displaystyle 4\cdot(-6)+(-6)\cdot(-3)=-6. A doua linie: 2⋅4+(−3)⋅2=2\displaystyle 2\cdot 4+(-3)\cdot 2=2 și 2⋅(−6)+(−3)⋅(−3)=−3\displaystyle 2\cdot(-6)+(-3)\cdot(-3)=-3. Deci A2=A\displaystyle A^{2}=A.
    A2=A\displaystyle A^{2}=A
  2. Dezvoltăm: M(m)M(n)=(I2+mA)(I2+nA)=I2+(m+n)A+mnA2\displaystyle M(m)M(n)=(I_2+mA)(I_2+nA)=I_2+(m+n)A+mnA^{2}. Cum A2=A\displaystyle A^{2}=A, obținem I2+(m+n+mn)A=M(m+n+mn)\displaystyle I_2+(m+n+mn)A=M(m+n+mn).
    M(m)M(n)=M(m+n+mn)\displaystyle M(m)M(n)=M(m+n+mn)
  3. Din M(m+n+mn)=M(6)\displaystyle M(m+n+mn)=M(6) rezultă (m+n+mn)A=6A\displaystyle (m+n+mn)A=6A. Cum A≠O2\displaystyle A\neq O_2, obținem m+n+mn=6\displaystyle m+n+mn=6.
    M(m+n+mn)=M(6)⇔m+n+mn=6\displaystyle M(m+n+mn)=M(6)\Leftrightarrow m+n+mn=6
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: mn+m+n+1=7\displaystyle mn+m+n+1=7, adică (m+1)(n+1)=7\displaystyle (m+1)(n+1)=7.
    (m+1)(n+1)=7\displaystyle (m+1)(n+1)=7
  5. Cum 7\displaystyle 7 este prim, iar m+1,n+1∈N∗\displaystyle m+1,n+1\in\mathbb{N}^{*}, avem m+1=1\displaystyle m+1=1 și n+1=7\displaystyle n+1=7, sau m+1=7\displaystyle m+1=7 și n+1=1\displaystyle n+1=1. Deci (m,n)=(0,6)\displaystyle (m,n)=(0,6) sau (m,n)=(6,0)\displaystyle (m,n)=(6,0).
    (m,n)=(6,0) sau (m,n)=(0,6)\displaystyle (m,n)=(6,0)\text{ sau }(m,n)=(0,6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Arătați că x∘y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2
  2. Scriem 2\displaystyle 2 ca 1+1\displaystyle 1+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=xy−x−y+1+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1+1
  3. Grupăm primii doi termeni, xy\displaystyle xy și −x\displaystyle -x, și dăm factor comun pe x\displaystyle x. Obținem x(y−1)\displaystyle x(y-1). Rămân termenii −y+1\displaystyle -y+1, adică −(y−1)\displaystyle -(y-1).
    x∘y=x(y−1)−(y−1)+1\displaystyle x\circ y=x(y-1)-(y-1)+1
  4. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 și obținem forma cerută.
    x∘y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x≤5\displaystyle x\circ x\le 5.
Vezi rezolvarea
  1. Particularizăm legea de compoziție pentru y=x\displaystyle y=x: x∘x=x⋅x−x−x+2\displaystyle x\circ x=x\cdot x-x-x+2.
    x∘x=x2−2x+2\displaystyle x\circ x=x^{2}-2x+2
  2. Scriem expresia sub formă de pătrat perfect: x2−2x+2=(x2−2x+1)+1\displaystyle x^{2}-2x+2=(x^{2}-2x+1)+1. Inegalitatea x∘x≤5\displaystyle x\circ x\le 5 devine (x−1)2+1≤5\displaystyle (x-1)^{2}+1\le 5, deci (x−1)2≤4\displaystyle (x-1)^{2}\le 4.
    x∘x=(x−1)2+1, de unde (x−1)2≤4\displaystyle x\circ x=(x-1)^{2}+1\text{, de unde }(x-1)^{2}\le 4
  3. Un pătrat este mai mic sau egal cu 4\displaystyle 4 exact când valoarea absolută a numărului este cel mult 2\displaystyle 2: ∣x−1∣≤2\displaystyle |x-1|\le 2.
    ∣x−1∣≤2\displaystyle |x-1|\le 2
  4. Desfacem valoarea absolută: −2≤x−1≤2\displaystyle -2\le x-1\le 2. Adunăm 1\displaystyle 1 în toți membrii și obținem −1≤x≤3\displaystyle -1\le x\le 3.
    x∈[−1,3]\displaystyle x\in[-1,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2.

Calculați 1n∘2n∘3n∘…∘2020n\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2020^n, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=xy−x−y+2\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2 se scrie x∘y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1, deoarece (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1.
    x∘y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1
  2. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem 1∘x=(1−1)(x−1)+1=0+1\displaystyle 1\circ x=(1-1)(x-1)+1=0+1. Deci 1\displaystyle 1 este element absorbant.
    1∘x=1, pentru orice x∈R\displaystyle 1\circ x=1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Primul termen al compunerii este 1n=1\displaystyle 1^n=1, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    1n=1\displaystyle 1^n=1
  4. Legea fiind asociativă, scriem 1n∘2n∘…∘2020n=1∘(2n∘3n∘…∘2020n)\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ\ldots\circ 2020^n=1\circ\left(2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2020^n\right). Expresia din paranteză este un număr real, notat x\displaystyle x, iar 1∘x=1\displaystyle 1\circ x=1.
    1n∘2n∘3n∘…∘2020n=1∘(2n∘3n∘…∘2020n)=1, pentru orice n∈N∗\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2020^n=1\circ\left(2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2020^n\right)=1\text{, pentru orice }n\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x.

Arătați că f′(x)=x−ex\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivăm termen cu termen și scoatem constanta e\displaystyle e în fața derivatei.
    f′(x)=x′−e(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-e(\ln x)'
  2. Folosim derivatele cunoscute: x′=1\displaystyle x'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=1−e⋅1x\displaystyle f'(x)=1-e\cdot\frac{1}{x}
  3. Aducem la același numitor x\displaystyle x: 1=xx\displaystyle 1=\dfrac{x}{x}. Obținem expresia cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1−ex=x−ex, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x.

Demonstrați că graficul funcției f\displaystyle f nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuație y=x\displaystyle y=x.
Vezi rezolvarea
  1. Panta dreptei y=x\displaystyle y=x este 1\displaystyle 1. O tangentă la grafic în punctul de abscisă a>0\displaystyle a>0 are panta f′(a)\displaystyle f'(a). Tangenta este paralelă cu dreapta dată exact când pantele sunt egale, adică f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1.
    f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Deci f′(x)=1−ex=x−ex\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e}{x}=\dfrac{x-e}{x}.
    f′(x)=1−ex=x−ex\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e}{x}=\dfrac{x-e}{x}
  3. Punem condiția f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1 cu expresia derivatei, unde a>0\displaystyle a>0: a−ea=1\displaystyle \dfrac{a-e}{a}=1.
    a−ea=1\displaystyle \dfrac{a-e}{a}=1
  4. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0, înmulțim ambii membri cu a\displaystyle a și obținem a−e=a\displaystyle a-e=a. Scăzând a\displaystyle a din ambii membri, rezultă e=0\displaystyle e=0. Dar e≈2,718\displaystyle e\approx 2{,}718, deci e=0\displaystyle e=0 este imposibil. Ecuația f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1 nu are soluții, deci graficul nu admite nicio tangentă paralelă cu dreapta y=x\displaystyle y=x.
    a−ea=1⇔a−e=a⇔e=0, ceea ce este imposibil\displaystyle \dfrac{a-e}{a}=1\Leftrightarrow a-e=a\Leftrightarrow e=0\text{, ceea ce este imposibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x.

Demonstrați că ecuația ex−xe=0\displaystyle e^x-x^e=0 are exact o soluție în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=1−e⋅1x=x−ex\displaystyle f'(x)=1-e\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-e}{x}.
    f′(x)=x−ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-e}{x}
  2. Studiem semnul derivatei. Cum x>0\displaystyle x>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−e\displaystyle x-e. Pentru x∈(0,e)\displaystyle x\in(0,e) avem x−e<0\displaystyle x-e<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,e)\displaystyle (0,e). Pentru x∈(e,+∞)\displaystyle x\in(e,+\infty) avem x−e>0\displaystyle x-e>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este strict crescătoare pe (e,+∞)\displaystyle (e,+\infty).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(0,e)⇒f strict descresca˘toare pe (0,e); f′(x)>0, pentru orice x∈(e,+∞)⇒f strict cresca˘toare pe (e,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,e)\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare pe }(0,e)\text{; }f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(e,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare pe }(e,+\infty)
  3. Rescriem ecuația. Pentru x>0\displaystyle x>0, ecuația ex=xe\displaystyle e^x=x^e se logaritmează și devine x=eln⁡x\displaystyle x=e\ln x, adică x−eln⁡x=0\displaystyle x-e\ln x=0. Logaritmul este injectiv, deci echivalența are loc în ambele sensuri, iar ecuația dată este echivalentă cu f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    ex−xe=0⇔x=eln⁡x⇔f(x)=0\displaystyle e^x-x^e=0\Leftrightarrow x=e\ln x\Leftrightarrow f(x)=0
  4. Calculăm f(e)\displaystyle f(e). Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, obținem f(e)=e−eln⁡e=e−e=0\displaystyle f(e)=e-e\ln e=e-e=0. Deci x=e\displaystyle x=e este soluție a ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(e)=e−eln⁡e=0\displaystyle f(e)=e-e\ln e=0
  5. Arătăm că nu există alte soluții. Pentru x∈(0,e)\displaystyle x\in(0,e), f\displaystyle f este strict descrescătoare, deci f(x)>f(e)=0\displaystyle f(x)>f(e)=0. Pentru x∈(e,+∞)\displaystyle x\in(e,+\infty), f\displaystyle f este strict crescătoare, deci f(x)>f(e)=0\displaystyle f(x)>f(e)=0. Prin urmare f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pentru orice x≠e\displaystyle x\neq e, iar f(x)=0\displaystyle f(x)=0 doar pentru x=e\displaystyle x=e. Cum ecuația ex−xe=0\displaystyle e^x-x^e=0 este echivalentă cu f(x)=0\displaystyle f(x)=0, ea are exact o soluție în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), anume x=e\displaystyle x=e.
    ex−xe=0⇔f(x)=0 și, cum f(e)=0, ecuația are exact o \displaystyle e^x-x^e=0\Leftrightarrow f(x)=0\text{ și, cum }f(e)=0\text{, ecuația are exact o }soluție ıˆn (0,+∞), anume x=e\displaystyle \text{soluție în }(0,+\infty)\text{, anume }x=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+2)ex\displaystyle f(x)=x(x+2)e^x.

Arătați că ∫03f(x)ex dx=18\displaystyle \int_0^3\frac{f(x)}{e^x}\,dx=18.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul: f(x)ex=x(x+2)exex\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^x}=\dfrac{x(x+2)e^x}{e^x}. Simplificăm factorul ex≠0\displaystyle e^x\neq 0 și rămâne polinomul x(x+2)\displaystyle x(x+2).
    f(x)ex=x(x+2)\displaystyle \frac{f(x)}{e^x}=x(x+2)
  2. Desfacem parantezele: x(x+2)=x2+2x\displaystyle x(x+2)=x^2+2x. Integrala devine ∫03(x2+2x) dx\displaystyle \int_0^3 (x^2+2x)\,dx.
    ∫03x(x+2) dx=∫03(x2+2x) dx\displaystyle \int_0^3 x(x+2)\,dx=\int_0^3 (x^2+2x)\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03f(x)ex dx=(x33+x2)∣03\displaystyle \int_0^3 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Big|_0^3
  4. Înlocuim limitele: în x=3\displaystyle x=3 obținem 333+32=9+9\displaystyle \dfrac{3^3}{3}+3^2=9+9, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci integrala este 9+9−0=18\displaystyle 9+9-0=18, adică egalitatea cerută.
    (273+9)−0=9+9−0=18\displaystyle \left(\frac{27}{3}+9\right)-0=9+9-0=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+2)ex\displaystyle f(x)=x(x+2)e^x.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala și desfacem parantezele: x(x+2)=x2+2x\displaystyle x(x+2)=x^{2}+2x.
    ∫01f(x) dx=∫01(x2+2x)ex dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x^{2}+2x)e^{x}\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du, cu u=x2+2x\displaystyle u=x^{2}+2x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx. Atunci du=(2x+2) dx\displaystyle du=(2x+2)\,dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫01(x2+2x)ex dx=(x2+2x)ex∣01−∫01(2x+2)ex dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+2x)e^{x}\,dx=(x^{2}+2x)e^{x}\Big|_0^1-\int_0^1 (2x+2)e^{x}\,dx
  3. Calculăm termenul integrat: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem (1+2)e=3e\displaystyle (1+2)e=3e, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0.
    (x2+2x)ex∣01=3e−0=3e\displaystyle (x^{2}+2x)e^{x}\Big|_0^1=3e-0=3e
  4. Pentru integrala rămasă aplicăm din nou integrarea prin părți, cu u=2x+2\displaystyle u=2x+2 și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx. Atunci du=2 dx\displaystyle du=2\,dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫01(2x+2)ex dx=(2x+2)ex∣01−∫012ex dx\displaystyle \int_0^1 (2x+2)e^{x}\,dx=(2x+2)e^{x}\Big|_0^1-\int_0^1 2e^{x}\,dx
  5. Calculăm: (2x+2)ex∣01=4e−2\displaystyle (2x+2)e^{x}\Big|_0^1=4e-2 și ∫012ex dx=2ex∣01=2e−2\displaystyle \int_0^1 2e^{x}\,dx=2e^{x}\Big|_0^1=2e-2. Deci integrala rămasă este 4e−2−(2e−2)=2e\displaystyle 4e-2-(2e-2)=2e.
    ∫01(2x+2)ex dx=(4e−2)−(2e−2)=2e\displaystyle \int_0^1 (2x+2)e^{x}\,dx=(4e-2)-(2e-2)=2e
  6. Înlocuim în prima relație: 3e−2e=e\displaystyle 3e-2e=e.
    ∫01f(x) dx=3e−4e+2+2e−2=e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=3e-4e+2+2e-2=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+2)ex\displaystyle f(x)=x(x+2)e^x.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că ∫1n(x+1)exf(x) dx=3ln⁡22\displaystyle \int_1^n\frac{(x+1)e^x}{f(x)}\,dx=\frac{3\ln 2}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x(x+2)ex\displaystyle f(x)=x(x+2)e^x în integrand și simplificăm prin ex≠0\displaystyle e^x\neq 0. Cum x(x+2)=x2+2x\displaystyle x(x+2)=x^2+2x, obținem fracția x+1x2+2x\displaystyle \dfrac{x+1}{x^2+2x}.
    (x+1)exx(x+2)ex=x+1x2+2x\displaystyle \dfrac{(x+1)e^x}{x(x+2)e^x}=\dfrac{x+1}{x^2+2x}
  2. Observăm că (x2+2x)′=2x+2=2(x+1)\displaystyle (x^2+2x)'=2x+2=2(x+1), deci x+1=12(x2+2x)′\displaystyle x+1=\dfrac{1}{2}(x^2+2x)'. Integrandul are forma 12⋅u′u\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u'}{u}, cu u=x2+2x>0\displaystyle u=x^2+2x>0 pe [1,n]\displaystyle [1,n], deci o primitivă este 12ln⁡(x2+2x)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x).
    ∫x+1x2+2x dx=12ln⁡(x2+2x)+C\displaystyle \int\dfrac{x+1}{x^2+2x}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: la limita n\displaystyle n avem n2+2n\displaystyle n^2+2n, iar la limita 1\displaystyle 1 avem 1+2=3\displaystyle 1+2=3. Diferența logaritmilor este logaritmul câtului, deci integrala este 12ln⁡n2+2n3\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{n^2+2n}{3}.
    ∫1n(x+1)exf(x) dx=12ln⁡(x2+2x)∣1n=12ln⁡n2+2n3\displaystyle \int_1^n\dfrac{(x+1)e^x}{f(x)}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x)\Big|_1^n=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{n^2+2n}{3}
  4. Egalăm cu valoarea dată: 12ln⁡n2+2n3=3ln⁡22\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{n^2+2n}{3}=\dfrac{3\ln 2}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și folosim 3ln⁡2=ln⁡23=ln⁡8\displaystyle 3\ln 2=\ln 2^3=\ln 8, deci ln⁡n2+2n3=ln⁡8\displaystyle \ln\dfrac{n^2+2n}{3}=\ln 8.
    ln⁡n2+2n3=ln⁡8\displaystyle \ln\dfrac{n^2+2n}{3}=\ln 8
  5. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci n2+2n3=8\displaystyle \dfrac{n^2+2n}{3}=8, adică n2+2n=24\displaystyle n^2+2n=24. Rezultă ecuația de gradul al doilea n2+2n−24=0\displaystyle n^2+2n-24=0.
    n2+2n−24=0\displaystyle n^2+2n-24=0
  6. Discriminantul este Δ=4+96=100\displaystyle \Delta=4+96=100, deci n=−2±102\displaystyle n=\dfrac{-2\pm 10}{2}, adică n=4\displaystyle n=4 sau n=−6\displaystyle n=-6. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, convine doar n=4\displaystyle n=4.
    n=4\displaystyle n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.