Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=3\displaystyle a_1=3 și rația r=2\displaystyle r=2.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică fiecare termen se obține din precedentul adunând rația r=2\displaystyle r=2. Primul termen este dat: a1=3\displaystyle a_1=3.
    a1=3\displaystyle a_1=3
  2. Al doilea termen este a1+r\displaystyle a_1+r, adică a2=3+2=5\displaystyle a_2=3+2=5.
    a2=3+2=5\displaystyle a_2=3+2=5
  3. Al treilea termen este a1+2r\displaystyle a_1+2r, adică a3=3+2⋅2=7\displaystyle a_3=3+2\cdot 2=7.
    a3=3+2⋅2=7\displaystyle a_3=3+2\cdot 2=7
  4. Scriem suma primilor trei termeni, înlocuind fiecare termen cu expresia lui: a1+a2+a3=3+(3+2)+(3+2⋅2)\displaystyle a_1+a_2+a_3=3+(3+2)+(3+2\cdot 2).
    a1+a2+a3=3+(3+2)+(3+2⋅2)\displaystyle a_1+a_2+a_3=3+(3+2)+(3+2\cdot 2)
  5. Calculăm suma: 3+5+7=15\displaystyle 3+5+7=15. Suma primilor trei termeni este 15\displaystyle 15.
    3+5+7=15\displaystyle 3+5+7=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−2\displaystyle f(x)=x^2+2x-2.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2+2x−2\displaystyle f(x)=x^2+2x-2 este de forma ax2+bx+c\displaystyle ax^2+bx+c, deci avem a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−2\displaystyle c=-2.
    a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle \ b=2, c=−2\displaystyle \ c=-2
  2. Vârful parabolei are coordonatele V(−b2a, −Δ4a)\displaystyle V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right), unde Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^2-4ac.
    V(−b2a, −Δ4a)\displaystyle V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)
  3. Abscisa vârfului este xV=−b2a=−22⋅1=−1\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1.
    xV=−22=−1\displaystyle x_V=-\dfrac{2}{2}=-1
  4. Discriminantul este Δ=b2−4ac=22−4⋅1⋅(−2)=4+8=12\displaystyle \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=4+8=12.
    Δ=4+8=12\displaystyle \Delta=4+8=12
  5. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a=−124=−3\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{12}{4}=-3. Deci vârful parabolei este V(−1,−3)\displaystyle V(-1,-3).
    yV=−124=−3\displaystyle y_V=-\dfrac{12}{4}=-3,V(−1,−3)\displaystyle \quad V(-1,-3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−4x+5=1\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical, x2−4x+5=(x−2)2+1>0\displaystyle x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1>0, este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real, deci radicalul are sens. Ridicăm ecuația la pătrat: x2−4x+5=1\displaystyle x^{2}-4x+5=1.
    x2−4x+5=1\displaystyle x^{2}-4x+5=1
  2. Mutăm 1\displaystyle 1 în membrul stâng și reducem termenii: x2−4x+5−1=0\displaystyle x^{2}-4x+5-1=0, deci x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  3. Recunoaștem pătratul unei diferențe: (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0, de unde x−2=0\displaystyle x-2=0, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 22−4⋅2+5=1=1\displaystyle \sqrt{2^{2}-4\cdot 2+5}=\sqrt{1}=1, deci egalitatea este adevărată și soluția convine. Ecuația are o singură soluție reală.
    x=2 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu trei elemente se alege fără a conta ordinea elementelor, deci numărul ei este numărul de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 3\displaystyle 3: C53\displaystyle C_{5}^{3}.
    C53\displaystyle C_{5}^{3}
  2. Scriem formula combinărilor Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} și o aplicăm pentru n=5\displaystyle n=5 și k=3\displaystyle k=3.
    C53=5!3!⋅2!\displaystyle C_{5}^{3}=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}
  3. Simplificăm 3!\displaystyle 3! din numărător cu cel de la numitor, deoarece 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!. Rămâne 5⋅42!=202\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2!}=\dfrac{20}{2}.
    5⋅4⋅3!3!⋅2=202=10\displaystyle \dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}=\dfrac{20}{2}=10
  4. Mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\} are deci 10\displaystyle 10 submulțimi cu trei elemente.
    10\displaystyle 10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(−2,1)\displaystyle B(-2,1) și C(−2,5)\displaystyle C(-2,5). Determinați lungimea vectorului AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}, știind că M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula mijlocului segmentului BC\displaystyle BC: xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yM=yB+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}.
    xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}, yM=yB+yC2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}
  2. Înlocuim B(−2,1)\displaystyle B(-2,1) și C(−2,5)\displaystyle C(-2,5): xM=−2+(−2)2=−2\displaystyle x_M=\dfrac{-2+(-2)}{2}=-2, iar yM=1+52=3\displaystyle y_M=\dfrac{1+5}{2}=3. Deci M(−2,3)\displaystyle M(-2,3).
    M(−2,3)\displaystyle M(-2,3)
  3. Lungimea vectorului este distanța dintre A\displaystyle A și M\displaystyle M: AM=(xM−xA)2+(yM−yA)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_M-x_A)^{2}+(y_M-y_A)^{2}}.
    AM=(xM−xA)2+(yM−yA)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_M-x_A)^{2}+(y_M-y_A)^{2}}
  4. Înlocuim A(2,3)\displaystyle A(2,3) și M(−2,3)\displaystyle M(-2,3): AM=(−2−2)2+(3−3)2=16+0=4\displaystyle AM=\sqrt{(-2-2)^{2}+(3-3)^{2}}=\sqrt{16+0}=4.
    AM=(−4)2+02=16=4\displaystyle AM=\sqrt{(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{16}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați ctg⁡a\displaystyle \operatorname{ctg} a, știind că sin⁡a=13\displaystyle \sin a=\frac{1}{3} și a∈(0,π2)\displaystyle a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2a+cos⁡2a=1\displaystyle \sin^{2}a+\cos^{2}a=1. De aici cos⁡2a=1−sin⁡2a\displaystyle \cos^{2}a=1-\sin^{2}a.
    cos⁡2a=1−sin⁡2a\displaystyle \cos^{2}a=1-\sin^{2}a
  2. Înlocuim sin⁡a=13\displaystyle \sin a=\dfrac{1}{3} și obținem cos⁡2a=1−19=89\displaystyle \cos^{2}a=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.
    cos⁡2a=89\displaystyle \cos^{2}a=\frac{8}{9}
  3. Deoarece a∈(0,π2)\displaystyle a\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡a>0\displaystyle \cos a>0, deci cos⁡a=89=223\displaystyle \cos a=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
    cos⁡a=223\displaystyle \cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}
  4. Cotangenta este ctg⁡a=cos⁡asin⁡a=22313\displaystyle \operatorname{ctg} a=\dfrac{\cos a}{\sin a}=\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}.
    ctg⁡a=22313\displaystyle \operatorname{ctg} a=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}
  5. Simplificăm cu 3: ctg⁡a=223⋅3=22\displaystyle \operatorname{ctg} a=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 3=2\sqrt{2}.
    ctg⁡a=22\displaystyle \operatorname{ctg} a=2\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x13)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ 1 & 3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡(A(3))\displaystyle \det(A(3)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Prima linie devine 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3.
    A(3)=(2313)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅3−1⋅3\displaystyle 2\cdot 3-1\cdot 3.
    det⁡(A(3))=∣2313∣=2⋅3−1⋅3\displaystyle \det(A(3))=\begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & 3\end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, iar 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3. Apoi scădem: 6−3=3\displaystyle 6-3=3.
    det⁡(A(3))=6−3=3\displaystyle \det(A(3))=6-3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x13)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ 1 & 3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(−2015)+A(2015)=2A(0)\displaystyle A(-2015)+A(2015)=2A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −2015\displaystyle -2015 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(−2015)\displaystyle A(-2015).
    A(−2015)=(2−201513)\displaystyle A(-2015)=\begin{pmatrix}2 & -2015\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2015\displaystyle 2015 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(2015)\displaystyle A(2015).
    A(2015)=(2201513)\displaystyle A(2015)=\begin{pmatrix}2 & 2015\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: pe prima linie 2+2\displaystyle 2+2 și −2015+2015\displaystyle -2015+2015, pe a doua linie 1+1\displaystyle 1+1 și 3+3\displaystyle 3+3.
    A(−2015)+A(2015)=(2+2−2015+20151+13+3)=(4026)\displaystyle A(-2015)+A(2015)=\begin{pmatrix}2+2 & -2015+2015\\ 1+1 & 3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0, apoi scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea obținută la adunare și constatăm că rămâne A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(2013)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}, (4026)=2⋅(2013)\displaystyle \ \begin{pmatrix}4 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  5. Concluzie: suma A(−2015)+A(2015)\displaystyle A(-2015)+A(2015) este egală cu dublul matricei A(0)\displaystyle A(0), deci egalitatea cerută este adevărată.
    A(−2015)+A(2015)=(4026)=2⋅(2013)=2A(0)\displaystyle A(-2015)+A(2015)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2x13)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ 1 & 3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=x2\displaystyle \det(A(x))=x^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=2⋅3−x⋅1\displaystyle \det(A(x))=2\cdot 3-x\cdot 1.
    det⁡(A(x))=∣2x13∣=6−x\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2 & x\\ 1 & 3\end{vmatrix}=6-x
  2. Punem condiția din enunț: det⁡(A(x))=x2\displaystyle \det(A(x))=x^2, deci 6−x=x2\displaystyle 6-x=x^2.
    6−x=x2\displaystyle 6-x=x^{2}
  3. Aducem ecuația la forma generală, mutând toți termenii în partea stângă: x2+x−6=0\displaystyle x^2+x-6=0.
    x2+x−6=0\displaystyle x^{2}+x-6=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25, deci Δ=5\displaystyle \sqrt{\Delta}=5.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25, Δ=5\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=5
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x1,2=−1±52\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-1\pm 5}{2}. Obținem x1=−62=−3\displaystyle x_1=\dfrac{-6}{2}=-3 și x2=42=2\displaystyle x_2=\dfrac{4}{2}=2. Acestea sunt numerele reale căutate.
    x1=−3 și x2=2\displaystyle x_1=-3\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=X3+aX\displaystyle f=X^3+aX, unde Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\} și a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5.

Calculați f(0^)\displaystyle f(\hat{0}).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 0^\displaystyle \hat{0} în expresia polinomului f=X3+aX\displaystyle f=X^{3}+aX.
    f(0^)=0^3+a⋅0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^{3}+a\cdot\hat{0}
  2. Calculăm puterea: 0^3=0^\displaystyle \hat{0}^{3}=\hat{0}, iar produsul oricărei clase cu 0^\displaystyle \hat{0} este 0^\displaystyle \hat{0}, deci a⋅0^=0^\displaystyle a\cdot\hat{0}=\hat{0}.
    0^3=0^\displaystyle \hat{0}^{3}=\hat{0},a⋅0^=0^\displaystyle \quad a\cdot\hat{0}=\hat{0}
  3. Adunăm: 0^+0^=0^\displaystyle \hat{0}+\hat{0}=\hat{0}. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a.
    f(0^)=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=X3+aX\displaystyle f=X^3+aX, unde Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\} și a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5.

Determinați a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5, știind că f(3^)=3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 3^\displaystyle \hat{3} în f=X3+aX\displaystyle f=X^3+aX și obținem f(3^)=3^3+a⋅3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}^3+a\cdot\hat{3}.
    f(3^)=3^3+a⋅3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}^3+a\cdot\hat{3}
  2. Calculăm 3^3=27^\displaystyle \hat{3}^3=\hat{27}. Cum 27=5⋅5+2\displaystyle 27=5\cdot 5+2, rezultă 27^=2^\displaystyle \hat{27}=\hat{2}. Deci f(3^)=2^+a⋅3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{2}+a\cdot\hat{3}.
    f(3^)=2^+a⋅3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{2}+a\cdot\hat{3}
  3. Din f(3^)=3^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3} obținem ecuația 2^+a⋅3^=3^\displaystyle \hat{2}+a\cdot\hat{3}=\hat{3}.
    2^+a⋅3^=3^\displaystyle \hat{2}+a\cdot\hat{3}=\hat{3}
  4. Scădem 2^\displaystyle \hat{2} din ambii membri: a⋅3^=3^−2^=1^\displaystyle a\cdot\hat{3}=\hat{3}-\hat{2}=\hat{1}.
    a⋅3^=1^\displaystyle a\cdot\hat{3}=\hat{1}
  5. Cum 3^⋅2^=6^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{2}=\hat{6}=\hat{1}, inversul lui 3^\displaystyle \hat{3} este 2^\displaystyle \hat{2}. Înmulțim ecuația cu 2^\displaystyle \hat{2} și obținem a=2^⋅1^=2^\displaystyle a=\hat{2}\cdot\hat{1}=\hat{2}. Verificare: 2^+2^⋅3^=8^=3^\displaystyle \hat{2}+\hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{8}=\hat{3}.
    a=2^\displaystyle a=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=X3+aX\displaystyle f=X^3+aX, unde Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\} și a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5. Arătați că, dacă f(1^)=f(2^)\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2}), atunci f(3^)=f(4^)\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4}).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1^)\displaystyle f(\hat{1}) și f(2^)\displaystyle f(\hat{2}). Avem f(1^)=1^3+a⋅1^=1^+a\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^3+a\cdot\hat{1}=\hat{1}+a și f(2^)=2^3+a⋅2^=8^+2^a=3^+2^a\displaystyle f(\hat{2})=\hat{2}^3+a\cdot\hat{2}=\hat{8}+\hat{2}a=\hat{3}+\hat{2}a, deoarece 8^=3^\displaystyle \hat{8}=\hat{3} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
    f(1^)=1^+a și f(2^)=3^+2^a\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+a\text{ și }f(\hat{2})=\hat{3}+\hat{2}a
  2. Din ipoteza f(1^)=f(2^)\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2}) obținem 1^+a=3^+2^a\displaystyle \hat{1}+a=\hat{3}+\hat{2}a. Rezultă a=1^−3^=−2^=3^\displaystyle a=\hat{1}-\hat{3}=-\hat{2}=\hat{3} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
    1^+a=3^+2^a⇒a=3^\displaystyle \hat{1}+a=\hat{3}+\hat{2}a\Rightarrow a=\hat{3}
  3. Pentru a=3^\displaystyle a=\hat{3} avem f=X3+3^X\displaystyle f=X^3+\hat{3}X. Calculăm f(3^)=3^3+3^⋅3^=27^+9^=2^+4^=6^=1^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}^3+\hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{27}+\hat{9}=\hat{2}+\hat{4}=\hat{6}=\hat{1}.
    f(3^)=2^+4^=1^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{2}+\hat{4}=\hat{1}
  4. Calculăm f(4^)=4^3+3^⋅4^=64^+12^=4^+2^=6^=1^\displaystyle f(\hat{4})=\hat{4}^3+\hat{3}\cdot\hat{4}=\hat{64}+\hat{12}=\hat{4}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{1}. Cum f(3^)=1^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{1} și f(4^)=1^\displaystyle f(\hat{4})=\hat{1}, rezultă f(3^)=f(4^)\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4}).
    f(3^)=1^ și f(4^)=1^⇒f(3^)=f(4^)\displaystyle f(\hat{3})=\hat{1}\text{ și }f(\hat{4})=\hat{1}\Rightarrow f(\hat{3})=f(\hat{4})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{x+\ln x}{x}.

Arătați că f′(x)=1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): numărătorul u(x)=x+ln⁡x\displaystyle u(x)=x+\ln x și numitorul v(x)=x≠0\displaystyle v(x)=x\neq 0. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x+ln⁡x)′⋅x−(x+ln⁡x)⋅x′x2\displaystyle f'(x)=\frac{(x+\ln x)'\cdot x-(x+\ln x)\cdot x'}{x^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x+ln⁡x)′=1+1x\displaystyle (x+\ln x)'=1+\dfrac{1}{x} și x′=1\displaystyle x'=1.
    (x+ln⁡x)′=1+1x\displaystyle (x+\ln x)'=1+\frac{1}{x},x′=1\displaystyle \quad x'=1
  3. Înlocuim derivatele în formula câtului.
    f′(x)=(1+1x)⋅x−(x+ln⁡x)⋅1x2\displaystyle f'(x)=\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot x-(x+\ln x)\cdot 1}{x^{2}}
  4. Efectuăm înmulțirea de la numărător: (1+1x)⋅x=x+1\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\cdot x=x+1. Apoi scădem x+ln⁡x\displaystyle x+\ln x și reducem termenii asemenea: x+1−x−ln⁡x=1−ln⁡x\displaystyle x+1-x-\ln x=1-\ln x. Rezultatul este cel cerut pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=x+1−x−ln⁡xx2=1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\frac{x+1-x-\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{x+\ln x}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f(1)=1+ln⁡11=1+01=1\displaystyle f(1)=\dfrac{1+\ln 1}{1}=\dfrac{1+0}{1}=1
  3. Simplificăm funcția ca să derivăm mai ușor: f(x)=xx+ln⁡xx=1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=1+\dfrac{\ln x}{x}.
    f(x)=1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}
  4. Derivăm folosind formula derivatei câtului pentru ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    f′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}
  5. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1): înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f′(1)=1−ln⁡112=1−01=1\displaystyle f'(1)=\dfrac{1-\ln 1}{1^{2}}=\dfrac{1-0}{1}=1
  6. Înlocuim f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1 în formula tangentei: y−1=1⋅(x−1)\displaystyle y-1=1\cdot(x-1), deci y=x\displaystyle y=x.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=1\displaystyle \ f'(1)=1, deci ecuația tangentei \displaystyle \text{ deci ecuația tangentei }este y=x\displaystyle \text{este }y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{x+\ln x}{x}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia funcției, împărțind fiecare termen de la numărător la x\displaystyle x: f(x)=1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(x)=1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}
  2. Derivăm funcția folosind formula de derivare a câtului, cu (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x)′=1\displaystyle (x)'=1: f′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}.
    f′(x)=1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}
  3. Aflăm punctul critic din f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x2>0\displaystyle x^{2}>0, trebuie ca 1−ln⁡x=0\displaystyle 1-\ln x=0, deci ln⁡x=1\displaystyle \ln x=1, adică x=e\displaystyle x=e.
    f′(x)=0⇔x=e\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=e
  4. Studiem semnul derivatei pe (0,e]\displaystyle (0,e]. Numitorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui 1−ln⁡x\displaystyle 1-\ln x. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, deci pentru x≤e\displaystyle x\le e avem ln⁡x≤1\displaystyle \ln x\le 1, adică 1−ln⁡x≥0\displaystyle 1-\ln x\ge 0. Rezultă f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe (0,e]\displaystyle (0,e].
    f′(x)≥0 pentru orice x∈(0,e]⇒f este cresca˘toare pe (0,e]\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in(0,e]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(0,e]
  5. Studiem semnul derivatei pe [e,+∞)\displaystyle [e,+\infty). Pentru x≥e\displaystyle x\ge e avem ln⁡x≥1\displaystyle \ln x\ge 1, deci 1−ln⁡x≤0\displaystyle 1-\ln x\le 0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} rămâne pozitiv. Rezultă f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe [e,+∞)\displaystyle [e,+\infty).
    f′(x)≤0 pentru orice x∈[e,+∞)⇒f este descresca˘toare pe [e,+∞)\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in[e,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[e,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+1\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x+1}.

Calculați ∫01(f(x)−1x+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)=x+1x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}.
    ∫01(x+1x+1−1x+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx
  2. Termenii 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} și −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x+1} se reduc, deci rămâne doar x\displaystyle x sub integrală.
    ∫01(x+1x+1−1x+1)dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\int_0^1 x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1
  4. Calculăm 122−022=12−0\displaystyle \dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{2}-0. Răspunsul final este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    122−022=12\displaystyle \frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+1\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x+1}.

Arătați că ∫01xf(x) dx=43−ln⁡2\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=\frac{4}{3}-\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+1} în integrală și distribuim factorul x\displaystyle x: x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2}, iar x⋅1x+1=xx+1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}.
    ∫01xf(x) dx=∫01(x2+xx+1)dx\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}+\dfrac{x}{x+1}\right)dx
  2. Descompunem fracția xx+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}: scriem numărătorul x=(x+1)−1\displaystyle x=(x+1)-1, deci xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{(x+1)-1}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}.
    xx+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}
  3. Înlocuim descompunerea în integrală și obținem o sumă de termeni simpli, ușor de integrat.
    ∫01xf(x) dx=∫01(x2+1−1x+1)dx\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}+1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx
  4. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    (x33+x−ln⁡(x+1))∣01\displaystyle \left(\dfrac{x^{3}}{3}+x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. În 0\displaystyle 0 expresia este 0+0−ln⁡1=0\displaystyle 0+0-\ln 1=0. În 1\displaystyle 1 obținem 13+1−ln⁡2=43−ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{3}+1-\ln 2=\dfrac{4}{3}-\ln 2.
    (13+1−ln⁡2)−0=43−ln⁡2\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}+1-\ln 2\right)-0=\dfrac{4}{3}-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+1\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x+1}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0, x=1\displaystyle x=1, are aria egală cu 12+ln⁡(n2+n)\displaystyle \frac{1}{2}+\ln(n^2+n).
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0. Graficul este deasupra axei Ox\displaystyle Ox, deci aria este integrala lui f\displaystyle f de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1, fără modul.
    A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(x+1x+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx
  2. Aflăm o primitivă: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0.
    ∫(x+1x+1)dx=x22+ln⁡(x+1)+C\displaystyle \int\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln(x+1)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: evaluăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    A=(x22+ln⁡(x+1))∣01=(12+ln⁡2)−(0+ln⁡1)=12+ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=\left(\frac{x^2}{2}+\ln(x+1)\right)\Big|_0^1=\left(\frac{1}{2}+\ln 2\right)-\left(0+\ln 1\right)=\frac{1}{2}+\ln 2
  4. Egalăm aria obținută cu expresia din enunț: 12+ln⁡2=12+ln⁡(n2+n)\displaystyle \dfrac{1}{2}+\ln 2=\dfrac{1}{2}+\ln(n^2+n). Scădem 12\displaystyle \dfrac{1}{2} din ambii membri.
    ln⁡2=ln⁡(n2+n)\displaystyle \ln 2=\ln(n^2+n)
  5. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci argumentele sunt egale. Obținem o ecuație de gradul al doilea în n\displaystyle n.
    n2+n=2  ⟺  n2+n−2=0\displaystyle n^2+n=2\iff n^2+n-2=0
  6. Rezolvăm ecuația: n2+n−2=(n+2)(n−1)=0\displaystyle n^2+n-2=(n+2)(n-1)=0, deci n=−2\displaystyle n=-2 sau n=1\displaystyle n=1. Cum n\displaystyle n trebuie să fie număr natural nenul, n=−2\displaystyle n=-2 nu convine. Rămâne n=1\displaystyle n=1.
    n=−2 nu este numa˘r natural și n=1\displaystyle n=-2\text{ nu este număr natural și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.