Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (\log_2 63-\log_2 7)\cdot\frac{1}{\log_2 3}=2

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm proprietatea diferenței de logaritmi în aceeași bază: $\displaystyle \log_2 a-\log_2 b=\log_2\dfrac{a}{b}$ , pentru $\displaystyle a,b>0$ .
$\displaystyle \log_2 63-\log_2 7=\log_2\frac{63}{7}$
Simplificăm fracția din logaritm: $\displaystyle \dfrac{63}{7}=9$ . Expresia devine $\displaystyle \log_2 9\cdot\dfrac{1}{\log_2 3}$ , adică $\displaystyle \log_2\dfrac{63}{7}\cdot\dfrac{1}{\log_2 3}$ .
$\displaystyle \log_2\frac{63}{7}\cdot\frac{1}{\log_2 3}=\log_2 9\cdot\frac{1}{\log_2 3}$
Scriem $\displaystyle 9=3^{2}$ și aplicăm proprietatea puterii: $\displaystyle \log_2 a^{n}=n\log_2 a$ .
$\displaystyle \log_2 3^{2}\cdot\frac{1}{\log_2 3}=2\log_2 3\cdot\frac{1}{\log_2 3}$
Simplificăm cu $\displaystyle \log_2 3$ , care este nenul (deoarece $\displaystyle 3\neq 1$ ), și obținem $\displaystyle 2$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 2\log_2 3\cdot\frac{1}{\log_2 3}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle m

pentru care ecuația

\displaystyle x^2+mx-m=0

nu are soluții reale.

Vezi rezolvarea

Ecuația este de gradul al doilea, cu coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=m$ , $\displaystyle c=-m$ . Ea nu are soluții reale exact când discriminantul este negativ: $\displaystyle \Delta<0$ .
$\displaystyle \Delta<0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4\cdot 1\cdot(-m)$ .
$\displaystyle \Delta=m^{2}+4m$
Impunem condiția $\displaystyle \Delta<0$ și obținem inegalitatea în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m^{2}+4m<0$
Descompunem în factori: $\displaystyle m(m+4)<0$ . Rădăcinile expresiei sunt $\displaystyle m=-4$ și $\displaystyle m=0$ .
$\displaystyle m(m+4)<0$ , $\displaystyle \quad m_{1}=-4$ , $\displaystyle \ m_{2}=0$
Funcția $\displaystyle m^{2}+4m$ are coeficientul dominant pozitiv, deci ia valori negative doar între rădăcini. Inegalitatea este strictă, deci capetele nu se includ.
$\displaystyle m\in(-4,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x^2-20}=\frac{1}{81}

.

Vezi rezolvarea

Scriem membrul drept ca putere a lui $\displaystyle 3$ : cum $\displaystyle 81=3^{4}$ , avem $\displaystyle \dfrac{1}{81}=3^{-4}$ .
$\displaystyle \frac{1}{81}=3^{-4}$
Ecuația devine $\displaystyle 3^{x^{2}-20}=3^{-4}$ . Bazele sunt egale și diferite de $\displaystyle 1$ , deci egalăm exponenții: $\displaystyle x^{2}-20=-4$ .
$\displaystyle 3^{x^{2}-20}=3^{-4}\Leftrightarrow x^{2}-20=-4$
Mutăm $\displaystyle -20$ în membrul drept: $\displaystyle x^{2}=-4+20$ , deci $\displaystyle x^{2}=16$ .
$\displaystyle x^{2}=16$
Din $\displaystyle x^{2}=16$ rezultă $\displaystyle x=\pm\sqrt{16}=\pm 4$ . Ambele valori sunt reale, deci sunt soluții ale ecuației.
$\displaystyle x=-4\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle n!\le n(n-1)

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de o cifră sunt $\displaystyle 0,1,2,\ldots,9$ , deci avem $\displaystyle 10$ cazuri posibile.
$\displaystyle 10$
Verificăm separat $\displaystyle n=0$ și $\displaystyle n=1$ . Pentru $\displaystyle n=0$ avem $\displaystyle 0!=1$ , iar $\displaystyle n(n-1)=0$ , deci $\displaystyle 1\le 0$ este fals. Pentru $\displaystyle n=1$ avem $\displaystyle 1!=1$ , iar $\displaystyle n(n-1)=0$ , deci $\displaystyle 1\le 0$ este fals. Aceste valori nu convin.
$\displaystyle n=0\text{ și }n=1\text{ nu verifică inegalitatea}$
Pentru $\displaystyle n\ge 2$ scriem $\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)!$ . Inegalitatea devine $\displaystyle n(n-1)(n-2)!\le n(n-1)$ . Cum $\displaystyle n(n-1)>0$ , putem simplifica și obținem $\displaystyle (n-2)!\le 1$ .
$\displaystyle (n-2)!\le 1$
Avem $\displaystyle (n-2)!\le 1$ doar pentru $\displaystyle (n-2)!=1$ , adică $\displaystyle n-2=0$ sau $\displaystyle n-2=1$ . Rezultă $\displaystyle n=2$ sau $\displaystyle n=3$ . Pentru $\displaystyle n\ge 4$ avem $\displaystyle (n-2)!\ge 2$ , deci nu convine. Verificare: $\displaystyle 2!=2=2\cdot 1$ și $\displaystyle 3!=6=3\cdot 2$ . Sunt $\displaystyle 2$ cazuri favorabile.
$\displaystyle n=2\text{ sau }n=3$ , $\displaystyle \ 2\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-4,0)

,

\displaystyle B(0,4)

și

\displaystyle O(0,0)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

, știind că

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle C(a,b)$ . Cum $\displaystyle O(0,0)$ este originea, vectorul $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ are componentele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle \overrightarrow{OC}=a\vec{i}+b\vec{j}$
Calculăm $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ scăzând coordonatele lui $\displaystyle A$ din cele ale lui $\displaystyle B$ : $\displaystyle x_B-x_A=0-(-4)=4$ și $\displaystyle y_B-y_A=4-0=4$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}=4\vec{i}+4\vec{j}$
Din condiția $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$ obținem egalitatea expresiilor celor doi vectori.
$\displaystyle a\vec{i}+b\vec{j}=4\vec{i}+4\vec{j}$
Doi vectori sunt egali când au aceleași componente, deci egalăm coeficienții lui $\displaystyle \vec{i}$ și ai lui $\displaystyle \vec{j}$ . Rezultă $\displaystyle C(4,4)$ .
$\displaystyle a=4$ , $\displaystyle \ b=4\text{, deci }C(4,4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a>1

, știind că

\displaystyle a-1

,

\displaystyle 2a

și

\displaystyle 2a+1

sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a>1$ avem $\displaystyle a-1<2a<2a+1$ . Deci cea mai mare latură, adică ipotenuza, este $\displaystyle 2a+1$ , iar catetele sunt $\displaystyle a-1$ și $\displaystyle 2a$ .
$\displaystyle a-1<2a<2a+1$
Scriem teorema lui Pitagora: $\displaystyle (2a+1)^{2}=(2a)^{2}+(a-1)^{2}$ .
$\displaystyle (2a+1)^{2}=(2a)^{2}+(a-1)^{2}$
Dezvoltăm pătratele: $\displaystyle 4a^{2}+4a+1=4a^{2}+a^{2}-2a+1$ . Mutăm toți termenii în dreapta și reducem termenii asemenea: $\displaystyle a^{2}-6a=0$ .
$\displaystyle a^{2}-6a=0$
Dăm factor comun: $\displaystyle a(a-6)=0$ , deci $\displaystyle a=0$ sau $\displaystyle a=6$ . Condiția $\displaystyle a>1$ exclude valoarea $\displaystyle 0$ , deci rămâne doar $\displaystyle a=6$ .
$\displaystyle a(a-6)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=6$
Verificăm: pentru $\displaystyle a=6$ laturile sunt $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 12$ și $\displaystyle 13$ , iar $\displaystyle 13^{2}=12^{2}+5^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic. Răspunsul final este $\displaystyle a=6$ .
$\displaystyle a=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\ln a\\0&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Arătați că

\displaystyle \det(A(e))=e

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=e$ în matricea $\displaystyle A(a)$ . Cum $\displaystyle \ln e=1$ , elementul din colțul dreapta-sus devine $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle A(e)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&e&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(e)$ . Matricea este superior triunghiulară, deci termenii din regula lui Sarrus care conțin un element aflat sub diagonala principală sunt nuli.
$\displaystyle \det(A(e))=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&e&0\\0&0&1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este $\displaystyle 1\cdot e\cdot 1$ , deci determinantul este $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \det(A(e))=1\cdot e\cdot 1+0+0-0-0-0=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\ln a\\0&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Demonstrați că

\displaystyle \det(A(a^2))=\det(A(a)\cdot A(a))

, pentru orice

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(a)$ , linie cu coloană. Elementul din colțul dreapta sus este $\displaystyle 1\cdot\ln a+0\cdot 0+\ln a\cdot 1=2\ln a$ , iar elementul din mijloc este $\displaystyle a\cdot a=a^{2}$ . Celelalte elemente se obțin la fel.
$\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1&0&2\ln a\\0&a^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Matricea $\displaystyle A(a)\cdot A(a)$ este superior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: $\displaystyle 1\cdot a^{2}\cdot 1$ .
$\displaystyle \det(A(a)\cdot A(a))=1\cdot a^{2}\cdot 1=a^{2}$
Scriem matricea $\displaystyle A(a^{2})$ , înlocuind peste tot $\displaystyle a$ cu $\displaystyle a^{2}$ . Elementul $\displaystyle \ln a$ devine $\displaystyle \ln a^{2}$ , iar elementul din mijloc devine $\displaystyle a^{2}$ .
$\displaystyle A(a^{2})=\begin{pmatrix}1&0&\ln a^{2}\\0&a^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Și matricea $\displaystyle A(a^{2})$ este superior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală, adică $\displaystyle a^{2}$ . Acesta coincide cu $\displaystyle \det(A(a)\cdot A(a))=a^{2}$ , deci egalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle \det(A(a^{2}))=\begin{vmatrix}1&0&\ln a^{2}\\0&a^{2}&0\\0&0&1\end{vmatrix}=a^{2}=\det(A(a)\cdot A(a))$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&\ln a\\0&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a\in(0,+\infty)

.

Determinați numerele

\displaystyle a,b\in(0,+\infty)

pentru care

\displaystyle A(a)+A(b)=2A(a)\cdot A(b)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm suma $\displaystyle A(a)+A(b)$ , adunând elementele corespunzătoare. Pe diagonală obținem $\displaystyle 1+1=2$ , $\displaystyle a+b$ și $\displaystyle 1+1=2$ , iar în colțul din dreapta sus $\displaystyle \ln a+\ln b=\ln(ab)$ .
$\displaystyle A(a)+A(b)=\begin{pmatrix}2&0&\ln(ab)\\0&a+b&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(b)$ înmulțind linie cu coloană. Elementul din dreapta sus este $\displaystyle 1\cdot\ln b+\ln a\cdot 1=\ln(ab)$ , elementul central este $\displaystyle a\cdot b$ , iar restul elementelor sunt $\displaystyle 0$ sau $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0&\ln(ab)\\0&ab&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Scriem egalitatea $\displaystyle A(a)+A(b)=2A(a)\cdot A(b)$ și egalăm elementele corespunzătoare. Elementele de pe pozițiile $\displaystyle (1,1)$ și $\displaystyle (3,3)$ dau $\displaystyle 2=2$ , iar elementul $\displaystyle (1,3)$ dă $\displaystyle \ln(ab)=2\ln(ab)$ , deci $\displaystyle \ln(ab)=0$ . Elementul $\displaystyle (2,2)$ dă $\displaystyle a+b=2ab$ .
$\displaystyle \ln(ab)=0\text{ și }a+b=2ab$
Din $\displaystyle \ln(ab)=0$ rezultă $\displaystyle ab=1$ . Înlocuind în $\displaystyle a+b=2ab$ obținem $\displaystyle a+b=2$ .
$\displaystyle ab=1\text{ și }a+b=2$
Numerele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt rădăcinile ecuației $\displaystyle t^{2}-2t+1=0$ , adică $\displaystyle (t-1)^{2}=0$ , deci $\displaystyle t=1$ . Rezultă $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=1$ , valori din $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle a=1\text{ și }b=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=3xy-3\sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}

.

Arătați că

\displaystyle \sqrt{2}\circ 1=\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiția $\displaystyle x\circ y=3xy-3\sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}$ valorile $\displaystyle x=\sqrt{2}$ și $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle \sqrt{2}\circ 1=3\cdot\sqrt{2}\cdot 1-3\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)+6+\sqrt{2}$
Primul termen este $\displaystyle 3\cdot\sqrt{2}\cdot 1=3\sqrt{2}$ . În al doilea termen, $\displaystyle 3\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6+3\sqrt{2}$ , deoarece $\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ .
$\displaystyle 3\sqrt{2}-(6+3\sqrt{2})+6+\sqrt{2}=3\sqrt{2}-6-3\sqrt{2}+6+\sqrt{2}$
Termenii $\displaystyle 3\sqrt{2}$ și $\displaystyle -3\sqrt{2}$ se reduc, iar $\displaystyle -6$ și $\displaystyle 6$ se reduc, deci rămâne doar $\displaystyle \sqrt{2}$ . Astfel $\displaystyle \sqrt{2}\circ 1=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \sqrt{2}\circ 1=\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=3xy-3\sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii și desfacem parantezele: înmulțim factorul $\displaystyle -3\sqrt{2}$ cu suma $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle x\circ y=3xy-3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y+6+\sqrt{2}$
Observăm că $\displaystyle 6=3\cdot 2=3\left(\sqrt{2}\right)^{2}$ , pentru că $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=2$ . Așa pregătim completarea produsului din forma cerută.
$\displaystyle 6=3\left(\sqrt{2}\right)^{2}$
Grupăm termenii cu $\displaystyle x$ și dăm factor comun $\displaystyle 3x$ ; apoi grupăm ceilalți termeni care conțin $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 6$ și dăm factor comun $\displaystyle -3\sqrt{2}$ .
$\displaystyle 3x(y-\sqrt{2})-3\sqrt{2}y+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\sqrt{2}=3x(y-\sqrt{2})-3\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}$
Dăm factor comun paranteza $\displaystyle (y-\sqrt{2})$ și obținem forma cerută, pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle x\circ y=3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=3xy-3\sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}

.

Calculați

\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}\circ\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\circ\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\circ\ldots\circ\frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}

.

Vezi rezolvarea

Verificăm că $\displaystyle \sqrt{2}$ este element absorbant. Calculăm $\displaystyle x\circ\sqrt{2}$ : înlocuim $\displaystyle y=\sqrt{2}$ în definiția legii.
$\displaystyle x\circ\sqrt{2}=3\sqrt{2}\,x-3\sqrt{2}\left(x+\sqrt{2}\right)+6+\sqrt{2}$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 3\sqrt{2}\,x$ se reduce cu $\displaystyle -3\sqrt{2}\,x$ , iar $\displaystyle -3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=-6$ se reduce cu $\displaystyle +6$ . Rămâne $\displaystyle \sqrt{2}$ . Expresia legii este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci legea este comutativă și avem și $\displaystyle \sqrt{2}\circ y=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle x\circ\sqrt{2}=\sqrt{2}$ , $\displaystyle \ \sqrt{2}\circ y=\sqrt{2}$ , $\displaystyle \ x$ , $\displaystyle y\in\mathbb{R}$
Observăm că al treilea factor din șir este $\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{6}{3}}=\sqrt{2}$ , adică exact elementul absorbant.
$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
Legea este asociativă, deci grupăm primii trei factori: compunem primii doi, iar rezultatul îl compunem cu $\displaystyle \sqrt{2}$ , ceea ce dă $\displaystyle \sqrt{2}$ . Apoi $\displaystyle \sqrt{2}$ compus cu produsul celorlalți factori dă din nou $\displaystyle \sqrt{2}$ , conform proprietății de element absorbant.
$\displaystyle \left(\left(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}\circ\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\circ\sqrt{2}\right)\circ\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}\circ\ldots\circ\frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}=\sqrt{2}\circ\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}\circ\ldots\circ\frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}\right)=\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+3^x-4,&x\in(-\infty,1)\\\frac{x^2-x+1}{x^2},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Arătați că funcția

\displaystyle f

este continuă pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Pe $\displaystyle (-\infty,1)$ funcția $\displaystyle f(x)=2^x+3^x-4$ este continuă, fiind sumă de funcții exponențiale și o constantă. Pe $\displaystyle (1,+\infty)$ funcția $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}$ este continuă, fiind raport de polinoame cu numitorul $\displaystyle x^2\neq 0$ . Rămâne de verificat continuitatea în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle \text{De verificat: } \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=f(1)$
Limita la stânga: pentru $\displaystyle x<1$ avem $\displaystyle f(x)=2^x+3^x-4$ , deci $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=2^1+3^1-4$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=2+3-4=1$
Limita la dreapta: pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}$ , deci $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\dfrac{1^2-1+1}{1^2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\dfrac{1-1+1}{1}=1$
Cum $\displaystyle 1\in[1,+\infty)$ , folosim a doua ramură: $\displaystyle f(1)=\dfrac{1^2-1+1}{1^2}$ . Obținem că limita la stânga, limita la dreapta și $\displaystyle f(1)$ sunt toate egale cu $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=1$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=1$ , $\displaystyle \ f(1)=1$
Deoarece $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=f(1)=1$ , funcția este continuă în $\displaystyle x=1$ . Împreună cu continuitatea pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , rezultă că $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+3^x-4,&x\in(-\infty,1)\\\frac{x^2-x+1}{x^2},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este crescătoare pe

\displaystyle (-\infty,1)

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,1)$ funcția este $\displaystyle f(x)=2^x+3^x-4$ . Ea este derivabilă pe acest interval, deci studiem monotonia cu ajutorul derivatei.
$\displaystyle f(x)=2^x+3^x-4$ , $\displaystyle \ x\in(-\infty,1)$
Folosim formula $\displaystyle (a^x)'=a^x\ln a$ pentru $\displaystyle a=2$ și $\displaystyle a=3$ , iar derivata constantei $\displaystyle -4$ este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (2^x)'=2^x\ln 2$ , $\displaystyle \quad (3^x)'=3^x\ln 3$ , $\displaystyle \quad (-4)'=0$
Adunăm derivatele și obținem derivata funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (-\infty,1)$ .
$\displaystyle f'(x)=2^x\ln 2+3^x\ln 3$
Studiem semnul fiecărui termen: $\displaystyle 2^x>0$ și $\displaystyle 3^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, iar $\displaystyle \ln 2>0$ și $\displaystyle \ln 3>0$ deoarece $\displaystyle 2>1$ și $\displaystyle 3>1$ .
$\displaystyle 2^x\ln 2>0$ , $\displaystyle \quad 3^x\ln 3>0$
Suma a doi termeni strict pozitivi este strict pozitivă, deci derivata este pozitivă pe tot intervalul $\displaystyle (-\infty,1)$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1)$ .
$\displaystyle f'(x)>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,1)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }(-\infty,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+3^x-4,&x\in(-\infty,1)\\\frac{x^2-x+1}{x^2},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că

\displaystyle f(x)\le 1

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(1)$ folosind a doua ramură a funcției, deoarece $\displaystyle 1\in[1,+\infty)$ . Obținem $\displaystyle f(1)=\dfrac{1^2-1+1}{1^2}=1$ .
$\displaystyle f(1)=\dfrac{1-1+1}{1}=1$
Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,1)$ , funcțiile $\displaystyle 2^x$ și $\displaystyle 3^x$ sunt strict crescătoare, deci și $\displaystyle f(x)=2^x+3^x-4$ este strict crescătoare. Valoarea de referință este $\displaystyle 2+3-4=1$ , egală cu $\displaystyle f(1)$ . Pentru $\displaystyle x<1$ rezultă $\displaystyle f(x)<1$ , deci $\displaystyle f(x)\le f(1)=1$ .
$\displaystyle f(x)\le f(1)=1$ , $\displaystyle \ x\in(-\infty,1)$
Pe intervalul $\displaystyle [1,+\infty)$ scriem funcția sub forma $\displaystyle f(x)=1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}$ , apoi o derivăm. Derivata este $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{3}}$ , adică $\displaystyle \dfrac{x-2}{x^{3}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{3}}=\dfrac{x-2}{x^{3}}$
Pentru $\displaystyle x\ge 1$ avem $\displaystyle x^3>0$ , deci semnul derivatei este semnul lui $\displaystyle x-2$ . Pe $\displaystyle (1,2)$ derivata este negativă, deci $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle [1,2]$ . Pe $\displaystyle (2,+\infty)$ derivata este pozitivă, deci $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(1,2)$ , $\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(2,+\infty)$
Calculăm limita la $\displaystyle +\infty$ . Termenii $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}$ tind la $\displaystyle 0$ , deci limita lui $\displaystyle f(x)$ este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1$
Concluzie. Pe $\displaystyle [1,2]$ , $\displaystyle f$ este descrescătoare, deci $\displaystyle f(x)\le f(1)=1$ . Pe $\displaystyle [2,+\infty)$ , $\displaystyle f$ este crescătoare și are limita $\displaystyle 1$ la $\displaystyle +\infty$ , deci $\displaystyle f(x)\le 1$ . Împreună cu rezultatul de pe $\displaystyle (-\infty,1)$ , obținem $\displaystyle f(x)\le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle f(x)\le 1$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x+3}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 (x+1)(x+3)f(x)\,dx=5

.

Vezi rezolvarea

Observăm că numitorul funcției se descompune în factori: $\displaystyle x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)$ .
$\displaystyle x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)$
Înmulțim $\displaystyle f(x)$ cu $\displaystyle (x+1)(x+3)$ : factorii se simplifică cu numitorul și rămâne doar numărătorul $\displaystyle 2x+4$ .
$\displaystyle (x+1)(x+3)f(x)=(x+1)(x+3)\cdot\dfrac{2x+4}{(x+1)(x+3)}=2x+4$
Integrala devine integrala polinomului $\displaystyle 2x+4$ pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ . O primitivă a lui $\displaystyle 2x+4$ este $\displaystyle x^{2}+4x$ , deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^1(2x+4)\,dx=\left(x^{2}+4x\right)\Big|_0^1$
Înlocuim limitele de integrare: valoarea la $\displaystyle 1$ minus valoarea la $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle 1+4-0=5$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \left(1^{2}+4\cdot 1\right)-\left(0^{2}+4\cdot 0\right)=1+4-0=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x+3}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata numitorului $\displaystyle x^{2}+4x+3$ . Obținem $\displaystyle (x^{2}+4x+3)'=2x+4$ , adică exact numărătorul fracției.
$\displaystyle (x^{2}+4x+3)'=2x+4$
Deoarece numărătorul este derivata numitorului, o primitivă a lui $\displaystyle f$ este logaritmul numitorului. Numitorul este pozitiv pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , deci nu avem nevoie de modul. Scriem integrala cu această primitivă.
$\displaystyle \int_0^2\frac{2x+4}{x^2+4x+3}\,dx=\ln(x^2+4x+3)\Big|_0^2$
Calculăm valoarea numitorului la capetele intervalului. La $\displaystyle x=2$ avem $\displaystyle 2^{2}+4\cdot 2+3=15$ , iar la $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle 0+0+3=3$ .
$\displaystyle \ln 15-\ln 3$
Folosim formula diferenței de logaritmi: $\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}$ . Rezultă $\displaystyle \ln 15-\ln 3=\ln\dfrac{15}{3}=\ln 5$ .
$\displaystyle \ln 15-\ln 3=\ln 5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x+3}

.

Demonstrați că orice primitivă

\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

a funcției

\displaystyle f

este concavă.

Vezi rezolvarea

Orice primitivă $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ verifică $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ . Atunci $\displaystyle F''(x)=f'(x)$ , iar concavitatea se stabilește din semnul lui $\displaystyle f'$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=\dfrac{2x+4}{x^{2}+4x+3}$ , $\displaystyle \quad F''(x)=f'(x)$
Derivăm $\displaystyle f$ cu formula câtului $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u=2x+4$ și $\displaystyle v=x^{2}+4x+3$ , deci $\displaystyle u'=2$ și $\displaystyle v'=2x+4$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^{2}+4x+3)-(2x+4)(2x+4)}{(x^{2}+4x+3)^{2}}$
Calculăm numărătorul: $\displaystyle 2(x^{2}+4x+3)=2x^{2}+8x+6$ și $\displaystyle (2x+4)^{2}=4x^{2}+16x+16$ . Diferența este $\displaystyle -2x^{2}-8x-10=-2(x^{2}+4x+5)$ .
$\displaystyle F''(x)=\dfrac{-2(x^{2}+4x+5)}{(x^{2}+4x+3)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)$
Studiem semnul lui $\displaystyle x^{2}+4x+5$ . Îl scriem ca pătrat perfect plus constantă: $\displaystyle x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1\geq 1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1>0$
Pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ avem $\displaystyle x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)>0$ , deci numitorul $\displaystyle (x^{2}+4x+3)^{2}$ este strict pozitiv. Numărătorul $\displaystyle -2(x^{2}+4x+5)$ este strict negativ. Rezultă $\displaystyle F''(x)<0$ pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , deci $\displaystyle F$ este concavă.
$\displaystyle F''(x)<0$ , $\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)\ \Rightarrow\ F\text{ este concavă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani