Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați al patrulea termen al progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle b_2=6

și

\displaystyle b_3=3

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este egal cu produsul termenilor vecini. Pentru termenii $\displaystyle b_2$ , $\displaystyle b_3$ , $\displaystyle b_4$ avem $\displaystyle b_3^{2}=b_2\cdot b_4$ .
$\displaystyle b_3^{2}=b_2\cdot b_4$
Înlocuim $\displaystyle b_2=6$ și $\displaystyle b_3=3$ în relație și obținem $\displaystyle 3^{2}=6\cdot b_4$ .
$\displaystyle 3^{2}=6\cdot b_4$
Calculăm $\displaystyle 3^{2}=9$ , deci $\displaystyle 9=6b_4$ . Împărțim la 6 și simplificăm fracția prin 3: $\displaystyle b_4=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle b_4=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+3x-4

. Determinați numerele reale

\displaystyle a

, pentru care

\displaystyle f(-a)+f(a)=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(-a)$ înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -a$ în $\displaystyle f(x)=x^2+3x-4$ : $\displaystyle f(-a)=(-a)^2+3(-a)-4$ .
$\displaystyle f(-a)=a^{2}-3a-4$
Scriem $\displaystyle f(a)$ înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(a)=a^{2}+3a-4$
Adunăm cele două expresii și le egalăm cu $\displaystyle 0$ : $\displaystyle (-a)^2+3(-a)-4+a^2+3a-4=0$ . Termenii $\displaystyle -3a$ și $\displaystyle 3a$ se reduc, deci obținem $\displaystyle 2a^2-8=0$ , adică $\displaystyle a^2=4$ .
$\displaystyle (-a)^{2}+3(-a)-4+a^{2}+3a-4=0\Leftrightarrow 2a^{2}-8=0\Leftrightarrow a^{2}=4$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle a^2=4$ : numerele al căror pătrat este $\displaystyle 4$ sunt $\displaystyle -2$ și $\displaystyle 2$ . Deci $\displaystyle a=-2$ sau $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=-2\text{ sau }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x+1}=16\cdot 4^{-x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem numerele $\displaystyle 16$ și $\displaystyle 4$ ca puteri ale lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 16=2^{4}$ , iar $\displaystyle 4=2^{2}$ .
$\displaystyle 16=2^{4}$ , $\displaystyle \quad 4=2^{2}$
Folosim regula puterii unei puteri: $\displaystyle 4^{-x}=\left(2^{2}\right)^{-x}=2^{-2x}$ .
$\displaystyle 4^{-x}=2^{-2x}$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle 2^{x+1}=2^{4}\cdot 2^{-2x}$ . Înmulțim puterile cu aceeași bază, adunând exponenții: $\displaystyle 2^{x+1}=2^{4-2x}$ .
$\displaystyle 2^{x+1}=2^{4-2x}$
Funcția $\displaystyle x\mapsto 2^{x}$ este injectivă, deci putem egala exponenții: $\displaystyle x+1=4-2x$ .
$\displaystyle x+1=4-2x$
Rezolvăm ecuația de gradul întâi: $\displaystyle x+2x=4-1$ , deci $\displaystyle 3x=3$ , de unde $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu dublul cifrei zecilor.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt cele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ . Numărul lor este $\displaystyle 99-10+1$ , adică numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 90$
Notăm numărul cu $\displaystyle \overline{ab}$ , unde $\displaystyle a$ este cifra zecilor și $\displaystyle b$ cifra unităților. Condiția cerută este $\displaystyle b=2a$ . Cum $\displaystyle b$ este cifră, $\displaystyle b\le 9$ , deci $\displaystyle 2a\le 9$ , adică $\displaystyle a\le 4$ . Cum $\displaystyle a\ne 0$ , $\displaystyle a$ poate fi $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ sau $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle a\in\{1,2,3,4\}$
Pentru fiecare valoare a lui $\displaystyle a$ obținem $\displaystyle b=2a$ , deci numerele favorabile sunt $\displaystyle 12$ , $\displaystyle 24$ , $\displaystyle 36$ și $\displaystyle 48$ . Avem $\displaystyle 4$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 12$ , $\displaystyle \ 24$ , $\displaystyle \ 36$ , $\displaystyle \ 48\text{, deci }4\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,5)

,

\displaystyle B(4,-3)

și

\displaystyle C(a,a+3)

, unde

\displaystyle a

este un număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care dreapta

\displaystyle OC

trece prin mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Mijlocul $\displaystyle M$ al segmentului $\displaystyle AB$ are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: $\displaystyle x_M=\dfrac{2+4}{2}=3$ , $\displaystyle y_M=\dfrac{5+(-3)}{2}=1$ .
$\displaystyle M(3,1)$
Dreapta $\displaystyle OM$ trece prin origine și prin $\displaystyle M(3,1)$ , deci are panta $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ și ecuația $\displaystyle y=\dfrac{x}{3}$ , adică $\displaystyle x-3y=0$ .
$\displaystyle x-3y=0$
Dreapta $\displaystyle OC$ trece prin mijlocul lui $\displaystyle AB$ dacă punctul $\displaystyle C$ se află pe dreapta $\displaystyle OM$ . Înlocuim coordonatele lui $\displaystyle C(a,a+3)$ în ecuația dreptei, cu $\displaystyle x=a$ și $\displaystyle y=a+3$ .
$\displaystyle a-3(a+3)=0$
Desfacem parantezele: $\displaystyle a-3a-9=0$ , deci $\displaystyle -2a-9=0$ , de unde $\displaystyle a=-\dfrac{9}{2}$ .
$\displaystyle a-3(a+3)=0$ , $\displaystyle \ a=-\frac{9}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2x

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm formula de reducere pentru sinus: $\displaystyle \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$ .
$\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$
Aplicăm formula de reducere pentru cosinus: $\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x$ . Astfel avem ambele reduceri necesare.
$\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$ , $\displaystyle \ \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x$
Înlocuim aceste valori în membrul stâng al egalității: $\displaystyle \sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos^2 x-(-\sin x)^2$ .
$\displaystyle \cos^2 x-(-\sin x)^2$
Pătratul lui $\displaystyle -\sin x$ este $\displaystyle \sin^2 x$ , deoarece semnul minus dispare la ridicarea la pătrat. Deci expresia devine $\displaystyle \cos^2 x-\sin^2 x$ .
$\displaystyle \cos^2 x-\sin^2 x$
Recunoaștem formula cosinusului dublului unghiului: $\displaystyle \cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$ . Egalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \cos^2x-(-\sin x)^2=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}1&a\\b&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(B(1,2))=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=2$ în matricea $\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}1&a\\b&1\end{pmatrix}$ și obținem matricea $\displaystyle B(1,2)$ .
$\displaystyle B(1,2)=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle B(1,2)$ ca determinant de ordinul doi.
$\displaystyle \det(B(1,2))=\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}$
Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot 2$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 1\cdot 2=2$ , deci determinantul este $\displaystyle 1-2=-1$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot 2=1-2=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}1&a\\b&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(A\cdot B(a,b))=0

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot B(a,b)$ și aplicăm regula linie pe coloană: fiecare element se obține înmulțind o linie din $\displaystyle A$ cu o coloană din $\displaystyle B(a,b)$ .
$\displaystyle A\cdot B(a,b)=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&a\\b&1\end{pmatrix}$
Calculăm pe rând elementele produsului. Prima linie: $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot b=1+b$ și $\displaystyle 1\cdot a+1\cdot 1=a+1$ . A doua linie: $\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot b=2+2b$ și $\displaystyle 2\cdot a+2\cdot 1=2a+2$ .
$\displaystyle A\cdot B(a,b)=\begin{pmatrix}1+b&a+1\\2+2b&2a+2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(A\cdot B(a,b))=(1+b)(2a+2)-(a+1)(2+2b)$ .
$\displaystyle \det(A\cdot B(a,b))=(1+b)(2a+2)-(a+1)(2+2b)$
Dăm factor comun: $\displaystyle 2a+2=2(a+1)$ și $\displaystyle 2+2b=2(b+1)$ . Cele două produse devin egale, deci diferența este zero pentru orice $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ reale.
$\displaystyle \det(A\cdot B(a,b))=2(a+1)(b+1)-2(a+1)(b+1)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}1&a\\b&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale. Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

pentru care

\displaystyle A\cdot B(a,b)=B(a,b)\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle B(a,b)\cdot A$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle B$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ . Prima linie: $\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot 2=1+2a$ pe ambele coloane. A doua linie: $\displaystyle b\cdot 1+1\cdot 2=b+2$ pe ambele coloane.
$\displaystyle B(a,b)\cdot A=\begin{pmatrix}1+2a&1+2a\\b+2&b+2\end{pmatrix}$
Calculăm și produsul $\displaystyle A\cdot B(a,b)$ . Prima linie: $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot b=1+b$ și $\displaystyle 1\cdot a+1\cdot 1=a+1$ . A doua linie: $\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot b=2+2b$ și $\displaystyle 2\cdot a+2\cdot 1=2a+2$ .
$\displaystyle A\cdot B(a,b)=\begin{pmatrix}1+b&a+1\\2+2b&2a+2\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem un sistem de patru ecuații: $\displaystyle 1+b=1+2a$ , $\displaystyle a+1=1+2a$ , $\displaystyle 2+2b=b+2$ , $\displaystyle 2a+2=b+2$ .
$\displaystyle \begin{cases}1+b=1+2a\\a+1=1+2a\\2+2b=b+2\\2a+2=b+2\end{cases}$
Din a doua ecuație, $\displaystyle a+1=1+2a$ , rezultă $\displaystyle a=0$ , iar din a treia, $\displaystyle 2+2b=b+2$ , rezultă $\displaystyle b=0$ . Verificăm: prima și a patra ecuație devin $\displaystyle b=2a$ , adevărat pentru $\displaystyle a=0$ și $\displaystyle b=0$ . Deci cele două produse sunt egale doar pentru $\displaystyle a=0$ și $\displaystyle b=0$ .
$\displaystyle a=0\text{ și }b=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=|x-y|+1

.

Arătați că

\displaystyle 3\circ 5=3

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția legii: $\displaystyle x\circ y=|x-y|+1$ . Numerele $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 5$ aparțin lui $\displaystyle M=[1,+\infty)$ , deci putem face compunerea.
$\displaystyle x\circ y=|x-y|+1$
Înlocuim $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle y=5$ : diferența din modul este $\displaystyle 3-5=-2$ .
$\displaystyle 3\circ 5=|3-5|+1=|-2|+1$
Deoarece $\displaystyle |-2|=2$ , obținem $\displaystyle 2+1=3$ , deci $\displaystyle 3\circ 5=3$ .
$\displaystyle |-2|+1=2+1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=|x-y|+1

.

Calculați

\displaystyle a-b

, știind că

\displaystyle a=(2\circ 3)\circ 4

și

\displaystyle b=2\circ(3\circ 4)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm compunerea din paranteza lui $\displaystyle a$ : $\displaystyle 2\circ 3=|2-3|+1=1+1=2$ .
$\displaystyle 2\circ 3=2$
Înlocuim în $\displaystyle a$ și calculăm: $\displaystyle a=2\circ 4=|2-4|+1=2+1=3$ .
$\displaystyle a=(2\circ 3)\circ 4=2\circ 4=3$
Calculăm compunerea din paranteza lui $\displaystyle b$ : $\displaystyle 3\circ 4=|3-4|+1=1+1=2$ .
$\displaystyle 3\circ 4=2$
Înlocuim în $\displaystyle b$ : $\displaystyle b=2\circ 2=|2-2|+1=0+1=1$ .
$\displaystyle b=2\circ(3\circ 4)=2\circ 2=1$
Calculăm diferența: $\displaystyle a-b=3-1=2$ .
$\displaystyle a-b=3-1=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=|x-y|+1

.

Arătați că există o infinitate de perechi

\displaystyle (m,n)

de numere naturale nenule pentru care

\displaystyle m\circ n=m

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția din enunț folosind definiția legii: $\displaystyle m\circ n=|m-n|+1$ , deci trebuie să avem $\displaystyle |m-n|+1=m$ .
$\displaystyle |m-n|+1=m$
Căutăm o valoare a lui $\displaystyle n$ care să funcționeze pentru orice $\displaystyle m$ . Alegem $\displaystyle n=1$ și luăm $\displaystyle m$ un număr natural nenul oarecare. Atunci $\displaystyle m\circ 1=|m-1|+1$ .
$\displaystyle m\circ 1=|m-1|+1$
Cum $\displaystyle m$ este natural nenul, avem $\displaystyle m\ge 1$ , deci $\displaystyle m-1\ge 0$ și modulul se scoate direct: $\displaystyle |m-1|=m-1$ . Rezultă $\displaystyle m\circ 1=m-1+1$ .
$\displaystyle m\circ 1=|m-1|+1=m-1+1$
Reducem termenii: $\displaystyle m-1+1=m$ . Așadar $\displaystyle m\circ 1=m$ pentru orice $\displaystyle m$ natural nenul, deci toate perechile $\displaystyle (m,1)$ cu $\displaystyle m$ natural nenul verifică egalitatea. Acestea sunt în număr infinit, deoarece există o infinitate de numere naturale nenule.
$\displaystyle m\circ 1=m$ , $\displaystyle \ \forall m\in\mathbb{N}^{*}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x-1}{x+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{2}{x^2-1}

,

\displaystyle x\in(1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x>1$ , fracția $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}$ este pozitivă, deci logaritmul este bine definit. Folosim proprietatea logaritmului unui raport și scriem $\displaystyle f(x)$ ca diferență de logaritmi.
$\displaystyle f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1)$
Derivăm fiecare termen, folosind formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ . Pentru $\displaystyle u=x-1$ și $\displaystyle u=x+1$ avem $\displaystyle u'=1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$
Aducem fracțiile la același numitor, $\displaystyle (x-1)(x+1)$ . Numărătorul devine $\displaystyle x+1-(x-1)=2$ , iar numitorul, după formula diferenței de pătrate, este $\displaystyle x^{2}-1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^{2}-1}$ , $\displaystyle \ x\in(1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x-1}{x+1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)

.

Vezi rezolvarea

Scriem limita cerută, înlocuind $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x-1}{x+1}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x-1}{x+1}$
Pentru $\displaystyle x$ mare, atât $\displaystyle x-1$ , cât și $\displaystyle x+1$ tind la $\displaystyle +\infty$ , deci fracția are nedeterminare de tipul $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . O eliminăm împărțind numărătorul și numitorul la $\displaystyle x$ (avem $\displaystyle x>1$ , deci $\displaystyle x>0$ ).
$\displaystyle \frac{x-1}{x+1}=\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$
Înlocuim fracția în limită: limita devine $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$
Funcția $\displaystyle \ln$ este continuă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci putem trece la limită în argument. Cum $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , argumentul tinde la $\displaystyle \dfrac{1-0}{1+0}=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1$
Rezultă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln\dfrac{1-0}{1+0}=\ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln\frac{1-0}{1+0}=\ln 1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x-1}{x+1}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

nu este surjectivă.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ avem $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}>0$ , deci putem scrie $\displaystyle f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1)$ .
$\displaystyle f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1)$
Derivăm: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^{2}-1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}$
Pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ avem $\displaystyle x^{2}-1>0$ , deci $\displaystyle f'(x)>0$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$ .
$\displaystyle x^{2}-1>0\Rightarrow f'(x)>0$
Calculăm limita la infinit: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{x+1}=1$ , deci $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
Deoarece $\displaystyle f$ este strict crescătoare și tinde la $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , avem $\displaystyle f(x)\leq 0$ pentru orice $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ . Atunci $\displaystyle 1\in\mathbb{R}$ nu este valoare a lui $\displaystyle f$ , deci $\displaystyle f$ nu este surjectivă.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\Rightarrow f(x)\leq 0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ nu este surjectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 2f(x)\,dx=3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x+1$ sub integrală și înmulțim cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2f(x)=2(x+1)=2x+2$ .
$\displaystyle \int_0^1 2f(x)\,dx=\int_0^1(2x+2)\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle x^{2}$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 2x$ . Deci $\displaystyle \int_0^1(2x+2)\,dx=\left(x^{2}+2x\right)\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \int_0^1(2x+2)\,dx=\left(x^{2}+2x\right)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: în $\displaystyle x=1$ primitiva are valoarea $\displaystyle 1^{2}+2\cdot 1=1+2=3$ , iar în $\displaystyle x=0$ are valoarea $\displaystyle 0$ . Rezultă $\displaystyle 3-0=3$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \left(1^{2}+2\cdot 1\right)-\left(0^{2}+2\cdot 0\right)=1+2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Cum $\displaystyle f(x)=x+1$ , integrala devine $\displaystyle \int_0^1 e^x(x+1)\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 e^x(x+1)\,dx$
Folosim integrarea prin părți, $\displaystyle \int_a^b u'v\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b uv'\,dx$ . Scriem $\displaystyle e^x=(e^x)'$ și alegem $\displaystyle u=e^x$ , $\displaystyle v=x+1$ , deci $\displaystyle v'=1$ .
$\displaystyle \int_0^1 (e^x)'(x+1)\,dx$
Aplicăm formula: $\displaystyle \int_0^1 (e^x)'(x+1)\,dx=(x+1)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\cdot 1\,dx$ .
$\displaystyle (x+1)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx$
Calculăm $\displaystyle (x+1)e^x\Big|_0^1=(1+1)e^1-(0+1)e^0=2e-1$ .
$\displaystyle 2e-1$
Calculăm $\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e-1$ .
$\displaystyle e-1$
Scădem: $\displaystyle 2e-1-(e-1)=2e-1-e+1=e$ .
$\displaystyle 2e-1-(e-1)=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

.

Demonstrați că

\displaystyle \int_0^e f(e^x)\,dx\leq\int_0^e e^{f(x)}\,dx

.

Vezi rezolvarea

Scriem explicit cei doi integranzi. Din $\displaystyle f(x)=x+1$ obținem $\displaystyle f(e^{x})=e^{x}+1$ , iar $\displaystyle e^{f(x)}=e^{x+1}$ .
$\displaystyle f(e^{x})=e^{x}+1$ , $\displaystyle \quad e^{f(x)}=e^{x+1}$
Facem diferența integranzilor. Folosim $\displaystyle e^{x+1}=e^{x}\cdot e$ și dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ între termenii care îl conțin.
$\displaystyle f(e^{x})-e^{f(x)}=e^{x}+1-e^{x+1}=1-e^{x}(e-1)$ , $\displaystyle \ \text{ pentru orice }x\in[0,e]$
Studiem semnul diferenței. Avem $\displaystyle e>2$ , deci $\displaystyle e-1>1$ . Pentru $\displaystyle x\geq 0$ , funcția exponențială este crescătoare, deci $\displaystyle e^{x}\geq e^{0}=1$ .
$\displaystyle e-1>1\text{ și }e^{x}\geq 1$
Ambii factori sunt pozitivi și mai mari sau egali cu 1, deci produsul lor $\displaystyle e^{x}(e-1)$ este mai mare decât $\displaystyle 1$ . Rezultă că diferența $\displaystyle 1-e^{x}(e-1)$ este negativă.
$\displaystyle e^{x}(e-1)\geq e-1>1\Rightarrow 1-e^{x}(e-1)\leq 0$
Deci $\displaystyle f(e^{x})\leq e^{f(x)}$ pentru orice $\displaystyle x\in[0,e]$ . Integrăm această inegalitate pe intervalul $\displaystyle [0,e]$ , folosind monotonia integralei, și obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle \int_0^e f(e^{x})\,dx\leq\int_0^e e^{f(x)}\,dx$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani