Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}

, știind că primul termen este

\displaystyle b_1=2

și rația este

\displaystyle q=3

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu rația $\displaystyle q$ . Calculăm al doilea termen: $\displaystyle b_2=b_1\cdot q=2\cdot 3$ .
$\displaystyle b_2=2\cdot 3=6$
Calculăm al treilea termen: $\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}=2\cdot 3^{2}=2\cdot 9$ . Același rezultat se obține și din $\displaystyle b_2\cdot q=6\cdot 3$ .
$\displaystyle b_2=6$ , $\displaystyle \ b_3=18$
Adunăm primii trei termeni: $\displaystyle b_1+b_2+b_3=2+6+18=8+18$ . Suma este $\displaystyle 26$ .
$\displaystyle b_1+b_2+b_3=2+6+18=26$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x+2

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=2x-4

. Calculați suma dintre abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

Vezi rezolvarea

Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=g(x)$ . Egalăm cele două expresii: $\displaystyle x^{2}-3x+2=2x-4$ .
$\displaystyle x^{2}-3x+2=2x-4$
Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: $\displaystyle -3x-2x=-5x$ , iar $\displaystyle 2+4=6$ . Obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-5x+6=0$ .
$\displaystyle x^{2}-5x+6=0$
Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$ , deci ecuația are două rădăcini reale distincte, adică graficele se intersectează în două puncte.
$\displaystyle \Delta=1>0$
Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}=5$ . Verificare: rădăcinile sunt $\displaystyle x_1=2$ și $\displaystyle x_2=3$ , iar $\displaystyle 2+3=5$ .
$\displaystyle x_1+x_2=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2\sqrt{x}=3-x

.

Vezi rezolvarea

Radicalul cere $\displaystyle x\ge 0$ . Partea stângă este nenegativă, deci trebuie ca $\displaystyle 3-x\ge 0$ , adică $\displaystyle x\le 3$ . Obținem $\displaystyle x\in[0,3]$ .
$\displaystyle x\in[0,3]$
Ridicăm ecuația la pătrat: $\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)^{2}=(3-x)^{2}$ . Obținem $\displaystyle 4x=9-6x+x^{2}$ .
$\displaystyle 4x=9-6x+x^{2}$
Mutăm toți termenii în membrul drept: $\displaystyle 0=x^{2}-6x-4x+9$ . Reducem termenii asemenea și obținem ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}-10x+9=0$
Calculăm $\displaystyle \Delta=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$ . Atunci $\displaystyle x=\dfrac{10\pm 8}{2}$ , deci $\displaystyle x=1$ sau $\displaystyle x=9$ .
$\displaystyle x_{1}=1$ , $\displaystyle \ x_{2}=9$
Verificăm în ecuația inițială, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle 2\sqrt{1}=2$ și $\displaystyle 3-1=2$ , deci convine. Pentru $\displaystyle x=9$ : $\displaystyle 2\sqrt{9}=6$ și $\displaystyle 3-9=-6$ , deci nu convine (și $\displaystyle 9\notin[0,3]$ ).
$\displaystyle x=1\text{, care convine, }x=9\text{, care nu convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{50}\}

, acesta să

\displaystyle \text{nu}

fie număr natural.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle A$ are un element pentru fiecare număr de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 50$ , deci are $\displaystyle 50$ de elemente.
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=50$
Aflăm care dintre numerele din $\displaystyle A$ sunt naturale: $\displaystyle \sqrt{n}$ este natural exact când $\displaystyle n$ este pătrat perfect. Pătratele perfecte de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 50$ sunt $\displaystyle 1,4,9,16,25,36$ și $\displaystyle 49$ .
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 9$ , $\displaystyle 16$ , $\displaystyle 25$ , $\displaystyle 36$ , $\displaystyle 49\text{, adică }7\text{ pătrate perfecte}$
Deci în $\displaystyle A$ sunt $\displaystyle 7$ numere naturale: $\displaystyle \sqrt{1}=1$ , $\displaystyle \sqrt{4}=2$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle \sqrt{49}=7$ . Numărul cazurilor favorabile (numere care nu sunt naturale) se obține scăzând din $\displaystyle 50$ aceste $\displaystyle 7$ numere.
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=50-7=43$
Aplicăm formula probabilității clasice: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{43}{50}$ .
$\displaystyle p=\frac{43}{50}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,3)

,

\displaystyle B(-2,1)

și

\displaystyle C(-2,5)

. Determinați ecuația medianei din

\displaystyle A

a triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Mediana din $\displaystyle A$ unește vârful $\displaystyle A$ cu mijlocul $\displaystyle M$ al laturii $\displaystyle BC$ . Folosim formula mijlocului: $\displaystyle M\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$ .
$\displaystyle M\left(\dfrac{-2+(-2)}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)$
Calculăm: $\displaystyle \dfrac{-2-2}{2}=-2$ și $\displaystyle \dfrac{1+5}{2}=3$ . Deci mijlocul laturii $\displaystyle BC$ este $\displaystyle M(-2,3)$ .
$\displaystyle M(-2,3)$
Punctele $\displaystyle A(2,3)$ și $\displaystyle M(-2,3)$ au aceeași ordonată, deci dreapta $\displaystyle AM$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ . Verificăm și cu panta: $\displaystyle m_{AM}=\dfrac{3-3}{-2-2}=0$ .
$\displaystyle m_{AM}=\dfrac{3-3}{-2-2}=0$
Ecuația dreptei prin $\displaystyle A(2,3)$ cu panta $\displaystyle 0$ este $\displaystyle y-3=0\cdot(x-2)$ , deci ecuația medianei din $\displaystyle A$ este $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle y=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in(0,\pi)

, știind că

\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2-4\cos x(\sin x-\cos x)=4

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm pătratul din primul termen folosind formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu $\displaystyle a=2\sin x$ și $\displaystyle b=\cos x$ .
$\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2=4\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x$
Efectuăm înmulțirea din al doilea termen: $\displaystyle 4\cos x$ înmulțit cu $\displaystyle (\sin x-\cos x)$ .
$\displaystyle 4\cos x(\sin x-\cos x)=4\sin x\cos x-4\cos^2 x$
Scădem cele două expresii. Atenție la semnul minus: el schimbă semnele ambilor termeni din a doua expresie. Termenii $\displaystyle 4\sin x\cos x$ se reduc, iar ecuația devine o expresie cu pătrate.
$\displaystyle 4\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x-4\cos x\sin x+4\cos^2 x=4\Leftrightarrow 4(\sin^2 x+\cos^2 x)+\cos^2 x=4$
Folosim identitatea fundamentală $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ , deci ecuația devine $\displaystyle 4\cdot 1+\cos^2 x=4$ .
$\displaystyle 4+\cos^2 x=4$
Scădem 4 din ambii membri și obținem $\displaystyle \cos^2 x=0$ , deci $\displaystyle \cos x=0$ .
$\displaystyle \cos^2 x=0\Rightarrow \cos x=0$
În intervalul $\displaystyle (0,\pi)$ , cosinusul se anulează doar în $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ . Acesta este răspunsul final.
$\displaystyle \cos^2 x=0\text{, de unde obținem }x=\frac{\pi}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(x))=x^2+9

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Amintim formula determinantului de ordin 2: $\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a d-b c$
Identificăm elementele matricei $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle a=x$ , $\displaystyle b=3$ , $\displaystyle c=-3$ , $\displaystyle d=x$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{vmatrix}=x\cdot x-(-3)\cdot 3$
Calculăm produsele: $\displaystyle x\cdot x=x^2$ , iar $\displaystyle (-3)\cdot 3=-9$ . Scăderea numărului $\displaystyle -9$ înseamnă adunarea lui $\displaystyle 9$ . Relația are loc pentru orice $\displaystyle x$ real, deoarece nu am făcut nicio ipoteză asupra lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x^2-(-9)=x^2+9\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(2020-x)+A(2020+x)=2A(2020)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2020-x$ în $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}$ . Elementele de pe diagonala principală devin $\displaystyle 2020-x$ , iar celelalte rămân $\displaystyle 3$ și $\displaystyle -3$ .
$\displaystyle A(2020-x)=\begin{pmatrix} 2020-x & 3 \\ -3 & 2020-x \end{pmatrix}$
La fel, înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2020+x$ și obținem matricea $\displaystyle A(2020+x)$ .
$\displaystyle A(2020+x)=\begin{pmatrix} 2020+x & 3 \\ -3 & 2020+x \end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element. Pe diagonală: $\displaystyle (2020-x)+(2020+x)=4040$ . Sus în dreapta: $\displaystyle 3+3=6$ . Jos în stânga: $\displaystyle -3+(-3)=-6$ .
$\displaystyle A(2020-x)+A(2020+x)=\begin{pmatrix} 2020-x & 3 \\ -3 & 2020-x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2020+x & 3 \\ -3 & 2020+x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4040 & 6 \\ -6 & 4040 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(2020)$ : avem $\displaystyle A(2020)=\begin{pmatrix} 2020 & 3 \\ -3 & 2020 \end{pmatrix}$ , iar înmulțind fiecare element cu $\displaystyle 2$ obținem aceeași matrice ca la suma de mai sus. Deci egalitatea are loc pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2\begin{pmatrix} 2020 & 3 \\ -3 & 2020 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4040 & 6 \\ -6 & 4040 \end{pmatrix}=2A(2020)\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Determinați numărul natural

\displaystyle n

, pentru care

\displaystyle A(n)A(2-n)=2A(-6)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle n$ , cu $\displaystyle 2-n$ și cu $\displaystyle -6$ în $\displaystyle A(x)$ și scriem egalitatea cerută cu matricele explicite.
$\displaystyle \begin{pmatrix} n & 3 \\ -3 & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-n & 3 \\ -3 & 2-n \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}$
Elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului este $\displaystyle n(2-n)+3\cdot(-3)$ .
$\displaystyle n(2-n)-9=-n^{2}+2n-9$
Calculăm restul elementelor: $\displaystyle 3n+3(2-n)=6$ , $\displaystyle -3(2-n)-3n=-6$ , iar elementul de pe linia 2, coloana 2 este $\displaystyle -9+n(2-n)=-n^{2}+2n-9$ .
$\displaystyle A(n)A(2-n)=\begin{pmatrix} -n^2+2n-9 & 6 \\ -6 & -n^2+2n-9 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(-6)$ înmulțind fiecare element cu $\displaystyle 2$ și scriem egalitatea cerută.
$\displaystyle \begin{pmatrix} -n^2+2n-9 & 6 \\ -6 & -n^2+2n-9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 & 6 \\ -6 & -12 \end{pmatrix}$
Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele $\displaystyle 6$ și $\displaystyle -6$ coincid deja, deci rămâne ecuația de pe diagonală.
$\displaystyle -n^{2}+2n-9=-12$
Mutăm toți termenii în aceeași parte și înmulțim cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle n^{2}-2n-3=0$
Discriminantul este $\displaystyle \Delta=4+12=16$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{2\pm 4}{2}$ , adică $\displaystyle n=-1$ sau $\displaystyle n=3$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural, convine doar soluția $\displaystyle n=3$ .
$\displaystyle n=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}

.

Arătați că

\displaystyle N=\sqrt{33}*\sqrt{31}

este un număr natural.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}$ pentru $\displaystyle x=\sqrt{33}$ și $\displaystyle y=\sqrt{31}$ . Obținem $\displaystyle N=\sqrt{\left(\sqrt{33}\right)^2+\left(\sqrt{31}\right)^2}$ .
$\displaystyle N=\sqrt{\left(\sqrt{33}\right)^2+\left(\sqrt{31}\right)^2}$
Pătratul unui radical dintr-un număr pozitiv este chiar numărul: $\displaystyle \left(\sqrt{33}\right)^2=33$ și $\displaystyle \left(\sqrt{31}\right)^2=31$ . Sub radical rămâne suma $\displaystyle 33+31$ .
$\displaystyle N=\sqrt{33+31}$
Calculăm suma de sub radical: $\displaystyle 33+31=64$ . Cum $\displaystyle 8^2=64$ , avem $\displaystyle \sqrt{64}=8$ , deci $\displaystyle N=8$ , care este număr natural.
$\displaystyle N=\sqrt{64}=8\in\mathbb{N}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}

.

Determinați numărul

\displaystyle x\in M

pentru care

\displaystyle (x*x*x)^2=300

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle x*x$ folosind definiția legii: $\displaystyle x*x=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}$ . Cum $\displaystyle x\in M$ , adică $\displaystyle x\ge 0$ , avem $\displaystyle \sqrt{x^2}=x$ .
$\displaystyle x*x=x\sqrt{2}$
Calculăm $\displaystyle x*x*x=(x*x)*x$ . Folosim rezultatul anterior: $\displaystyle (x*x)*x=\sqrt{\left(x\sqrt{2}\right)^2+x^2}=\sqrt{2x^2+x^2}=\sqrt{3x^2}$ . Cum $\displaystyle x\ge 0$ , obținem $\displaystyle x\sqrt{3}$ .
$\displaystyle x*x=x\sqrt{2}$ , $\displaystyle \ x*x*x=x\sqrt{3}\text{, unde }x\in M$
Înlocuim în ecuația dată: $\displaystyle (x*x*x)^2=\left(x\sqrt{3}\right)^2=3x^2$ , deci ecuația devine $\displaystyle 3x^2=300$ .
$\displaystyle 3x^2=300$
Împărțim la 3 și obținem $\displaystyle x^2=100$ , deci $\displaystyle x=10$ sau $\displaystyle x=-10$ . Cum $\displaystyle x\in M$ , adică $\displaystyle x\ge 0$ , păstrăm doar soluția pozitivă.
$\displaystyle (x\sqrt{3})^2=300\Leftrightarrow x^2=100\text{ și, cum }x\in M\text{, obținem }x=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}

.

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-\infty,0]\to[0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{-2020x}

. Arătați că

\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y)

, pentru orice

\displaystyle x,y\in(-\infty,0]

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle f(x+y)$ . Pentru $\displaystyle x,y\in(-\infty,0]$ , suma $\displaystyle x+y$ este tot în $\displaystyle (-\infty,0]$ , deci $\displaystyle f(x+y)$ este definită. Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+y$ în formula funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(x+y)=\sqrt{-2020(x+y)}$
Distribuim factorul $\displaystyle -2020$ în paranteză, ca să apară separat termenul cu $\displaystyle x$ și termenul cu $\displaystyle y$ sub radical.
$\displaystyle f(x+y)=\sqrt{-2020x+(-2020y)}$
Din definiția funcției, $\displaystyle (f(x))^2=-2020x$ și $\displaystyle (f(y))^2=-2020y$ . Aceste egalități au sens deoarece $\displaystyle -2020x\ge 0$ și $\displaystyle -2020y\ge 0$ .
$\displaystyle (f(x))^2=-2020x$ , $\displaystyle \quad (f(y))^2=-2020y$
Înlocuim cele două expresii de sub radical cu $\displaystyle (f(x))^2$ și $\displaystyle (f(y))^2$ .
$\displaystyle f(x+y)=\sqrt{(f(x))^2+(f(y))^2}$
Expresia obținută este exact definiția legii $\displaystyle *$ aplicată numerelor $\displaystyle f(x),f(y)\in M$ , adică $\displaystyle a*b=\sqrt{a^2+b^2}$ . Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle x,y\in(-\infty,0]$ .
$\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y)\text{, pentru orice }x$ , $\displaystyle y\in(-\infty,0]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , iar numitorul nu se anulează, deoarece $\displaystyle x^{2}+5\geq 5$ . Aplicăm formula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x-2$ și $\displaystyle v=x^{2}+5$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-2)'(x^{2}+5)-(x-2)(x^{2}+5)'}{(x^{2}+5)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x-2)'=1$ și $\displaystyle (x^{2}+5)'=2x$ . Le înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+5)-(x-2)\cdot 2x}{(x^{2}+5)^{2}}$
Desfacem parantezele la numărător: $\displaystyle (x^{2}+5)-(2x^{2}-4x)=x^{2}+5-2x^{2}+4x$ .
$\displaystyle x^{2}+5-2x^{2}+4x$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-2x^{2}=-x^{2}$ . Numărătorul devine $\displaystyle 5+4x-x^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5+4x-x^{2}}{(x^{2}+5)^{2}}$
Factorizăm numărătorul prin grupare: $\displaystyle 5+4x-x^{2}=(5-x)+x(5-x)=(5-x)(x+1)$ . Verificare: $\displaystyle (5-x)(x+1)=5x+5-x^{2}-x=5+4x-x^{2}$ . Rezultă formula cerută, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \dfrac{5+4x-x^{2}}{(x^{2}+5)^{2}}=\dfrac{(5-x)(x+1)}{(x^{2}+5)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ există dacă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ este un număr real, iar ecuația ei este $\displaystyle y=b$ . Scriem limita: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-2}{x^{2}+5}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x^{2}+5}$
Dăm factor comun $\displaystyle x$ la numărător și $\displaystyle x^{2}$ la numitor: $\displaystyle x-2=x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)$ și $\displaystyle x^{2}+5=x^{2}\left(1+\dfrac{5}{x^{2}}\right)$ . Simplificăm cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \frac{x-2}{x^{2}+5}=\frac{1-\frac{2}{x}}{x\left(1+\frac{5}{x^{2}}\right)}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , avem $\displaystyle \dfrac{2}{x}\to0$ și $\displaystyle \dfrac{5}{x^{2}}\to0$ . Numărătorul tinde la $\displaystyle 1$ , iar numitorul $\displaystyle x\left(1+\dfrac{5}{x^{2}}\right)$ tinde la $\displaystyle +\infty$ . Deci limita este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{+\infty}=0$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}

.

Demonstrați că

\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{10}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-2)'(x^{2}+5)-(x-2)(x^{2}+5)'}{(x^{2}+5)^{2}}$ . Numitorul $\displaystyle x^{2}+5$ este strict pozitiv, deci $\displaystyle f$ este derivabilă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+5-2x(x-2)}{(x^{2}+5)^{2}}=\dfrac{-x^{2}+4x+5}{(x^{2}+5)^{2}}$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Numitorul nu se anulează, deci egalăm numărătorul cu zero: $\displaystyle -x^{2}+4x+5=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-4x-5=0$ . Descompunem: $\displaystyle (x+1)(x-5)=0$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=5$
Studiem semnul derivatei. Numitorul este pozitiv, deci semnul lui $\displaystyle f'$ este semnul numărătorului $\displaystyle -(x+1)(x-5)$ . Pentru $\displaystyle x<-1$ sau $\displaystyle x>5$ avem $\displaystyle f'(x)<0$ , iar pentru $\displaystyle x\in(-1,5)$ avem $\displaystyle f'(x)>0$ . Deducem monotonia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-1]$ , $\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[-1,5]$ , $\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[5,+\infty)$
Calculăm valorile funcției în punctele în care se schimbă monotonia: $\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1-2}{1+5}=\dfrac{-3}{6}$ și $\displaystyle f(5)=\dfrac{5-2}{25+5}=\dfrac{3}{30}$ .
$\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ f(5)=\dfrac{1}{10}$
Calculăm limitele la infinit. Numărătorul are gradul 1, iar numitorul gradul 2, deci $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-2}{x^{2}+5}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x^{2}}}=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
Comparăm valorile pe fiecare interval de monotonie. Pe $\displaystyle (-\infty,-1]$ funcția scade de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle f(x)\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)$ . Pe $\displaystyle [-1,5]$ crește de la $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ la $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ . Pe $\displaystyle [5,+\infty)$ scade de la $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ la $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle f(x)\in\left(0,\dfrac{1}{10}\right]$ . Cea mai mică valoare este $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ , iar cea mai mare este $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ , deci inegalitatea are loc pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle -\dfrac{1}{2}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{10}$ , $\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}

și

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}

. Arătați că funcția

\displaystyle F

este o primitivă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ , verificăm că $\displaystyle F$ este derivabilă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ și că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ . Scriem $\displaystyle F'$ ca derivată a unui raport, cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle v=x^{3}$ .
$\displaystyle F'(x)=\left(\frac{\ln x}{x^{3}}\right)'=\frac{(\ln x)'\cdot x^{3}-\ln x\cdot (x^{3})'}{(x^{3})^{2}}$
Folosim $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}$ și le înlocuim în formulă.
$\displaystyle F'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^{3}-\ln x\cdot 3x^{2}}{x^{6}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot x^{3}=x^{2}$ . Apoi dăm factor comun $\displaystyle x^{2}$ la numărător.
$\displaystyle F'(x)=\frac{x^{2}-3x^{2}\ln x}{x^{6}}=\frac{x^{2}(1-3\ln x)}{x^{6}}$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle x^{2}$ , care este nenul pentru $\displaystyle x>0$ . Obținem exact expresia lui $\displaystyle f(x)$ , pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ . Deci $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F'(x)=\frac{1-3\ln x}{x^{4}}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }$ $\displaystyle \text{funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}

și

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Verificăm că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Derivăm $\displaystyle F$ cu formula de derivare a câtului: $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , iar $\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}$ . După simplificare obținem exact $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^{3}-3x^{2}\ln x}{x^{6}}=\dfrac{x^{2}-3x^{2}\ln x}{x^{6}}=\dfrac{1-3\ln x}{x^{4}}=f(x)$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala lui $\displaystyle f$ de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle e$ este diferența valorilor primitivei $\displaystyle F$ în capetele intervalului.
$\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=F(x)\Big|_1^e=\dfrac{\ln x}{x^{3}}\Big|_1^e$
Înlocuim limitele de integrare: scădem valoarea lui $\displaystyle F$ în $\displaystyle 1$ din valoarea lui $\displaystyle F$ în $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \dfrac{\ln e}{e^{3}}-\dfrac{\ln 1}{1^{3}}$
Folosim faptul că $\displaystyle \ln e=1$ , iar $\displaystyle \ln 1=0$ . Al doilea termen dispare, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{1}{e^{3}}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{e^{3}}-0=\dfrac{1}{e^{3}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}

și

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}

.

Arătați că

\displaystyle \int_e^{e^2}x^2F(x)\,dx=\frac{3}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle F(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3}}$ în integrand și simplificăm puterile lui $\displaystyle x$ : $\displaystyle x^{2}\cdot\dfrac{\ln x}{x^{3}}=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$\displaystyle x^{2}F(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
Integrala devine $\displaystyle \int_e^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$ .
$\displaystyle \int_e^{e^2}x^{2}F(x)\,dx=\int_e^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$
Observăm că $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , deci $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}=\ln x\cdot(\ln x)'$ . O primitivă este $\displaystyle \dfrac{\ln^{2} x}{2}$ ; verificare: $\displaystyle \left(\dfrac{\ln^{2} x}{2}\right)'=\ln x\cdot\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x}\,dx=\dfrac{\ln^{2} x}{2}+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva găsită, între limitele $\displaystyle e$ și $\displaystyle e^{2}$ .
$\displaystyle \int_e^{e^2}x^{2}F(x)\,dx=\dfrac{\ln^{2} x}{2}\Big|_e^{e^2}$
Calculăm valorile: $\displaystyle \ln e^{2}=2$ și $\displaystyle \ln e=1$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{\ln^{2} e^{2}-\ln^{2} e}{2}=\dfrac{2^{2}-1^{2}}{2}=\dfrac{4-1}{2}=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle \dfrac{\ln^{2} e^{2}-\ln^{2} e}{2}=\dfrac{2^{2}-1^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani