Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numerele log⁡23\displaystyle \log_2 3, log⁡26\displaystyle \log_2 6 și log⁡212\displaystyle \log_2 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim criteriul: numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă a+c=2b\displaystyle a+c=2b. Aici a=log⁡23\displaystyle a=\log_2 3, b=log⁡26\displaystyle b=\log_2 6, c=log⁡212\displaystyle c=\log_2 12. Trebuie deci să arătăm că log⁡23+log⁡212=2log⁡26\displaystyle \log_2 3+\log_2 12=2\log_2 6.
    log⁡23+log⁡212=2log⁡26\displaystyle \log_2 3+\log_2 12=2\log_2 6
  2. Aplicăm formula log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (xy). Obținem log⁡23+log⁡212=log⁡2(3⋅12)=log⁡236\displaystyle \log_2 3+\log_2 12=\log_2 (3\cdot 12)=\log_2 36.
    log⁡23+log⁡212=log⁡236\displaystyle \log_2 3+\log_2 12=\log_2 36
  3. Observăm că 36=62\displaystyle 36=6^{2}, deci suma extremelor devine log⁡262\displaystyle \log_2 6^{2}.
    log⁡23+log⁡212=log⁡236=log⁡262\displaystyle \log_2 3+\log_2 12=\log_2 36=\log_2 6^{2}
  4. Folosim formula log⁡axn=nlog⁡ax\displaystyle \log_a x^{n}=n\log_a x. Obținem log⁡262=2log⁡26\displaystyle \log_2 6^{2}=2\log_2 6, deci suma extremelor este dublul termenului din mijloc. Prin urmare, numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
    log⁡23+log⁡212=2log⁡26, deci numerele sunt \displaystyle \log_2 3+\log_2 12=2\log_2 6\text{, deci numerele sunt }termeni consecutivi ai \displaystyle \text{termeni consecutivi ai }unei progresii aritmetice\displaystyle \text{unei progresii aritmetice}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1\displaystyle f(x)=x^2-x+1. Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care f(x)=x\displaystyle f(x)=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția din enunț: f(x)=x\displaystyle f(x)=x, adică x2−x+1=x\displaystyle x^{2}-x+1=x.
    x2−x+1=x\displaystyle x^{2}-x+1=x
  2. Mutăm x\displaystyle x din membrul drept în membrul stâng, scăzând x\displaystyle x din ambii membri, și reducem termenii asemenea: −x−x=−2x\displaystyle -x-x=-2x.
    x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0
  3. Recunoaștem în membrul stâng pătratul perfect al diferenței x−1\displaystyle x-1, deoarece x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
    (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0
  4. Un pătrat este zero doar dacă baza este zero, deci x−1=0\displaystyle x-1=0. Ecuația are o singură soluție, x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∣2x−1∣=2x+1\displaystyle |2x-1|=2x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Modulul este nenegativ, deci ecuația are soluții doar dacă 2x+1≥0\displaystyle 2x+1\ge 0, adică x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}. Reținem această condiție pentru verificarea soluțiilor.
    x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}
  2. Din definiția modulului, ∣a∣=b\displaystyle |a|=b înseamnă a=b\displaystyle a=b sau a=−b\displaystyle a=-b. Aplicăm pentru a=2x−1\displaystyle a=2x-1 și b=2x+1\displaystyle b=2x+1.
    2x−1=2x+1 sau 2x−1=−2x−1\displaystyle 2x-1=2x+1\text{ sau }2x-1=-2x-1
  3. Primul caz: 2x−1=2x+1\displaystyle 2x-1=2x+1 conduce, după reducerea lui 2x\displaystyle 2x, la −1=1\displaystyle -1=1, fals. Deci acest caz nu are soluții.
    −1=1 (fals)\displaystyle -1=1\text{ (fals)}
  4. Al doilea caz: 2x−1=−2x−1\displaystyle 2x-1=-2x-1. Adunăm 2x\displaystyle 2x și 1\displaystyle 1 în ambii membri: 4x=0\displaystyle 4x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    4x=0⇒x=0\displaystyle 4x=0\Rightarrow x=0
  5. Verificăm: x=0\displaystyle x=0 respectă condiția x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}. Înlocuind, ∣2⋅0−1∣=1\displaystyle |2\cdot 0-1|=1 și 2⋅0+1=1\displaystyle 2\cdot 0+1=1, deci egalitatea este adevărată. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90 de numere.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Cifra zecilor este pară și nenulă (prima cifră a unui număr de două cifre nu poate fi 0\displaystyle 0), deci poate fi 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4, 6\displaystyle 6 sau 8\displaystyle 8: sunt 4\displaystyle 4 posibilități.
    {2,4,6,8}⇒4 posibilita˘ți\displaystyle \{2,4,6,8\}\Rightarrow 4\text{ posibilități}
  3. Cifra unităților este impară, deci poate fi 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5, 7\displaystyle 7 sau 9\displaystyle 9: sunt 5\displaystyle 5 posibilități.
    {1,3,5,7,9}⇒5 posibilita˘ți\displaystyle \{1,3,5,7,9\}\Rightarrow 5\text{ posibilități}
  4. Cele două alegeri sunt independente, deci numărul cazurilor favorabile se obține prin înmulțire: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20.
    4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=2090=29\displaystyle p=\dfrac{20}{90}=\dfrac{2}{9}.
    p=2090=29\displaystyle p=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care vectorii u⃗=ai⃗+j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+\vec{j} și v⃗=8i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=8\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele celor doi vectori: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (a,1)\displaystyle (a,1), iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (8,2)\displaystyle (8,2).
    u⃗(a,1)\displaystyle \vec{u}(a,1), v⃗(8,2)\displaystyle \ \vec{v}(8,2)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale, deci a8=12\displaystyle \dfrac{a}{8}=\dfrac{1}{2}.
    a8=12\displaystyle \frac{a}{8}=\frac{1}{2}
  3. Înmulțim egalitatea cu 8\displaystyle 8: a=8⋅12=4\displaystyle a=\dfrac{8\cdot 1}{2}=4. Deci vectorii sunt coliniari pentru a=4\displaystyle a=4.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, BC=12\displaystyle BC=12 și B=π6\displaystyle B=\frac{\pi}{6}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 183\displaystyle 18\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Scriem cosinusul unghiului B\displaystyle B ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}
  2. Înlocuim valoarea cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și lungimea BC=12\displaystyle BC=12.
    32=AB12\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{12}
  3. Aflăm AB\displaystyle AB înmulțind ambii membri cu 12\displaystyle 12: AB=12⋅32\displaystyle AB=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    AB=63\displaystyle AB=6\sqrt{3}
  4. Aria unui triunghi este semiprodusul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Folosim laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC, care formează unghiul B\displaystyle B, iar sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
    AΔABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B=12⋅63⋅12⋅12\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 12\cdot\frac{1}{2}
  5. Efectuăm calculul: 6⋅12=72\displaystyle 6\cdot 12=72, iar 724=18\displaystyle \dfrac{72}{4}=18. Obținem aria cerută.
    AΔABC=183\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=18\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a−14a−41−a3−2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1 & 4a-4\\ 1-a & 3-2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în fiecare element al matricei: 2a−1=2⋅2−1=3\displaystyle 2a-1=2\cdot 2-1=3, 4a−4=4⋅2−4=4\displaystyle 4a-4=4\cdot 2-4=4, 1−a=1−2=−1\displaystyle 1-a=1-2=-1, 3−2a=3−4=−1\displaystyle 3-2a=3-4=-1.
    A(2)=(34−1−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A(2))=∣34−1−1∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}3 & 4\\ -1 & -1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(2))=3⋅(−1)−(−1)⋅4\displaystyle \det(A(2))=3\cdot(-1)-(-1)\cdot 4
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot(-1)=-3 și (−1)⋅4=−4\displaystyle (-1)\cdot 4=-4, deci −3−(−4)=−3+4=1\displaystyle -3-(-4)=-3+4=1.
    det⁡(A(2))=−3+4=1\displaystyle \det(A(2))=-3+4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a−14a−41−a3−2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1 & 4a-4\\ 1-a & 3-2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b−1)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b-1), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) cu regula linie ori coloană. Calculăm pe rând cele patru elemente ale produsului.
    A(a)⋅A(b)=(2a−14a−41−a3−2a)(2b−14b−41−b3−2b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}2a-1 & 4a-4\\ 1-a & 3-2a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2b-1 & 4b-4\\ 1-b & 3-2b\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (2a−1)(2b−1)+(4a−4)(1−b)\displaystyle (2a-1)(2b-1)+(4a-4)(1-b). Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    4ab−2a−2b+1+4a−4ab−4+4b=2a+2b−3\displaystyle 4ab-2a-2b+1+4a-4ab-4+4b=2a+2b-3
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este (2a−1)(4b−4)+(4a−4)(3−2b)\displaystyle (2a-1)(4b-4)+(4a-4)(3-2b). Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    8ab−8a−4b+4+12a−8ab−12+8b=4a+4b−8\displaystyle 8ab-8a-4b+4+12a-8ab-12+8b=4a+4b-8
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este (1−a)(2b−1)+(3−2a)(1−b)\displaystyle (1-a)(2b-1)+(3-2a)(1-b). Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    2b−1−2ab+a+3−3b−2a+2ab=−a−b+2\displaystyle 2b-1-2ab+a+3-3b-2a+2ab=-a-b+2
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este (1−a)(4b−4)+(3−2a)(3−2b)\displaystyle (1-a)(4b-4)+(3-2a)(3-2b). Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    4b−4−4ab+4a+9−6b−6a+4ab=−2a−2b+5\displaystyle 4b-4-4ab+4a+9-6b-6a+4ab=-2a-2b+5
  6. Punem cele patru elemente calculate într-o singură matrice, care este produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)⋅A(b)=(2a+2b−34a+4b−8−a−b+2−2a−2b+5)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}2a+2b-3 & 4a+4b-8\\ -a-b+2 & -2a-2b+5\end{pmatrix}
  7. Scriem A(a+b−1)\displaystyle A(a+b-1) înlocuind a\displaystyle a cu a+b−1\displaystyle a+b-1 în definiția matricei. Efectuăm calculele și vedem că fiecare element coincide cu cel din produs: 2(a+b−1)−1=2a+2b−3\displaystyle 2(a+b-1)-1=2a+2b-3, 4(a+b−1)−4=4a+4b−8\displaystyle 4(a+b-1)-4=4a+4b-8, 1−(a+b−1)=−a−b+2\displaystyle 1-(a+b-1)=-a-b+2, 3−2(a+b−1)=−2a−2b+5\displaystyle 3-2(a+b-1)=-2a-2b+5. Deci A(a)⋅A(b)=A(a+b−1)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b-1) pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    (2(a+b−1)−14(a+b−1)−41−(a+b−1)3−2(a+b−1))=A(a+b−1)\displaystyle \begin{pmatrix}2(a+b-1)-1 & 4(a+b-1)-4\\ 1-(a+b-1) & 3-2(a+b-1)\end{pmatrix}=A(a+b-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a−14a−41−a3−2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1 & 4a-4\\ 1-a & 3-2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că A(1)⋅A(2)⋅A(22)⋅A(23)⋅A(24)=A(32)⋅A(−n)\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot A(2^2)\cdot A(2^3)\cdot A(2^4)=A(32)\cdot A(-n).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b). Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (2a−1)(2b−1)+(4a−4)(1−b)=2a+2b−3=2(a+b−1)−1\displaystyle (2a-1)(2b-1)+(4a-4)(1-b)=2a+2b-3=2(a+b-1)-1, iar elementul de pe linia 1, coloana 2 este (2a−1)(4b−4)+(4a−4)(3−2b)=4a+4b−8=4(a+b−1)−4\displaystyle (2a-1)(4b-4)+(4a-4)(3-2b)=4a+4b-8=4(a+b-1)-4. La fel se obțin celelalte elemente. Rezultă că A(a)A(b)=A(a+b−1)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b-1).
    A(a)⋅A(b)=A(a+b−1)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b-1)
  2. Aplicând relația de mai multe ori, produsul a cinci matrice are forma A(a1)⋯A(a5)=A(a1+a2+a3+a4+a5−4)\displaystyle A(a_1)\cdots A(a_5)=A(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5-4), pentru că la fiecare înmulțire se scade câte 1\displaystyle 1, deci în total de 4\displaystyle 4 ori.
    A(a1)⋯A(a5)=A(a1+⋯+a5−4)\displaystyle A(a_1)\cdots A(a_5)=A(a_1+\dots+a_5-4)
  3. Calculăm membrul stâng: suma argumentelor 1,2,22,23,24\displaystyle 1,2,2^2,2^3,2^4 este 1+2+4+8+16=31\displaystyle 1+2+4+8+16=31, iar 31−4=27\displaystyle 31-4=27.
    A(1)A(2)A(22)A(23)A(24)=A(1+2+22+23+24−4)=A(27)\displaystyle A(1)A(2)A(2^2)A(2^3)A(2^4)=A(1+2+2^2+2^3+2^4-4)=A(27)
  4. Calculăm membrul drept cu aceeași relație: A(32)A(−n)=A(32+(−n)−1)=A(31−n)\displaystyle A(32)A(-n)=A(32+(-n)-1)=A(31-n).
    A(32)A(−n)=A(31−n)\displaystyle A(32)A(-n)=A(31-n)
  5. Egalitatea din enunț devine A(27)=A(31−n)\displaystyle A(27)=A(31-n). Elementul de pe linia 1, coloana 1 al lui A(a)\displaystyle A(a) este 2a−1\displaystyle 2a-1, deci matricele sunt egale doar dacă argumentele sunt egale. Rezultă 27=31−n\displaystyle 27=31-n, deci n=4\displaystyle n=4, care este număr natural.
    27=31−n⇒n=4\displaystyle 27=31-n\Rightarrow n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2.

Arătați că 1∘2=1\displaystyle 1\circ 2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2. Pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 obținem expresia de mai jos.
    1∘2=3⋅12−5⋅1⋅2+2⋅22\displaystyle 1\circ 2=3\cdot 1^2-5\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2^2
  2. Calculăm fiecare termen: 3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^2=3, 5⋅1⋅2=10\displaystyle 5\cdot 1\cdot 2=10, 2⋅22=2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 2^2=2\cdot 4=8.
    3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^2=3,5⋅1⋅2=10\displaystyle \quad 5\cdot 1\cdot 2=10,2⋅22=8\displaystyle \quad 2\cdot 2^2=8
  3. Adunăm termenii: 3−10+8=1\displaystyle 3-10+8=1. Deci 1∘2=1\displaystyle 1\circ 2=1.
    3−10+8=1\displaystyle 3-10+8=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2.

Demonstrați că x∘x=0\displaystyle x\circ x=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2, pentru un număr real x\displaystyle x oarecare.
    x∘x=3x2−5x⋅x+2x2\displaystyle x\circ x=3x^2-5x\cdot x+2x^2
  2. Calculăm x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^2, deci toți termenii conțin x2\displaystyle x^2.
    x∘x=3x2−5x2+2x2\displaystyle x\circ x=3x^2-5x^2+2x^2
  3. Reducem primii doi termeni: 3x2−5x2=(3−5)x2=−2x2\displaystyle 3x^2-5x^2=(3-5)x^2=-2x^2.
    3x2−5x2=−2x2\displaystyle 3x^2-5x^2=-2x^2
  4. Adunăm și ultimul termen: −2x2+2x2=0\displaystyle -2x^2+2x^2=0, pentru orice x\displaystyle x real. Deci x∘x=0\displaystyle x\circ x=0.
    −2x2+2x2=0, deci x∘x=0, ∀x∈R\displaystyle -2x^2+2x^2=0\text{, deci }x\circ x=0\text{, }\forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 2x∘3x=0\displaystyle 2^x\circ 3^x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∘y=3x2−5xy+2y2\displaystyle x\circ y=3x^2-5xy+2y^2 pe x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2^x și pe y\displaystyle y cu 3x\displaystyle 3^x, apoi punem condiția 2x∘3x=0\displaystyle 2^x\circ 3^x=0.
    3⋅22x−5⋅2x⋅3x+2⋅32x=0\displaystyle 3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x\cdot 3^x+2\cdot 3^{2x}=0
  2. Observăm că 3⋅22x−3⋅2x⋅3x=3⋅2x(2x−3x)\displaystyle 3\cdot 2^{2x}-3\cdot 2^x\cdot 3^x=3\cdot 2^x(2^x-3^x) și −2⋅2x⋅3x+2⋅32x=−2⋅3x(2x−3x)\displaystyle -2\cdot 2^x\cdot 3^x+2\cdot 3^{2x}=-2\cdot 3^x(2^x-3^x). Scriem −5⋅2x⋅3x=−3⋅2x⋅3x−2⋅2x⋅3x\displaystyle -5\cdot 2^x\cdot 3^x=-3\cdot 2^x\cdot 3^x-2\cdot 2^x\cdot 3^x și grupăm termenii.
    3⋅2x(2x−3x)−2⋅3x(2x−3x)=0\displaystyle 3\cdot 2^x(2^x-3^x)-2\cdot 3^x(2^x-3^x)=0
  3. Scoatem factorul comun 2x−3x\displaystyle 2^x-3^x și obținem un produs egal cu zero.
    (2x−3x)(3⋅2x−2⋅3x)=0\displaystyle (2^x-3^x)(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Din 2x−3x=0\displaystyle 2^x-3^x=0 obținem 2x=3x\displaystyle 2^x=3^x. Împărțind la 3x>0\displaystyle 3^x>0 avem (23)x=1\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  5. Din 3⋅2x−2⋅3x=0\displaystyle 3\cdot 2^x-2\cdot 3^x=0 obținem 3⋅2x=2⋅3x\displaystyle 3\cdot 2^x=2\cdot 3^x. Împărțind la 6\displaystyle 6 avem 2x−1=3x−1\displaystyle 2^{x-1}=3^{x-1}, adică (23)x−1=1\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x-1}=1, deci x−1=0\displaystyle x-1=0.
    x=1\displaystyle x=1
  6. Concluzie: numerele reale căutate sunt cele pentru care 2x=3x\displaystyle 2^x=3^x sau 3x−1=2x−1\displaystyle 3^{x-1}=2^{x-1}, deci soluțiile sunt x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x.

Arătați că f′(x)=x+1x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f conține un radical compus. Folosim regula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+2x+2\displaystyle u=x^{2}+2x+2, și derivăm separat termenul −x\displaystyle -x.
    f′(x)=(x2+2x+2)′−(x)′\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x^{2}+2x+2}\right)'-(x)'
  2. Aplicăm regula pentru u=x2+2x+2\displaystyle u=x^{2}+2x+2 și folosim (x)′=1\displaystyle (x)'=1. Obținem derivata cu numărătorul u′\displaystyle u' încă nescris.
    f′(x)=(x2+2x+2)′2x2+2x+2−x′\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+2x+2)'}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}-x'
  3. Calculăm derivata expresiei de sub radical: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2 și (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    (x2+2x+2)′=2x+2=2(x+1)\displaystyle (x^{2}+2x+2)'=2x+2=2(x+1)
  4. Înlocuim (x2+2x+2)′=2(x+1)\displaystyle (x^{2}+2x+2)'=2(x+1) în fracție și folosim x′=1\displaystyle x'=1.
    f′(x)=2(x+1)2x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}-1
  5. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem expresia cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Numitorul este nenul, deoarece x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0.
    f′(x)=x+1x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=−1\displaystyle x=-1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă a\displaystyle a este y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a). Aici a=−1\displaystyle a=-1, deci avem nevoie de f(−1)\displaystyle f(-1) și de f′(−1)\displaystyle f'(-1).
    y−f(−1)=f′(−1)(x−(−1))\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)\left(x-(-1)\right)
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1): sub radical obținem (−1)2+2⋅(−1)+2=1\displaystyle (-1)^2+2\cdot(-1)+2=1, iar 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1. Apoi scădem pe −1\displaystyle -1, deci adunăm 1\displaystyle 1.
    f(−1)=1−2+2+1=1+1=2\displaystyle f(-1)=\sqrt{1-2+2}+1=1+1=2
  3. Derivăm funcția. Derivata lui u\displaystyle \sqrt{u} este u′2u\displaystyle \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+2x+2\displaystyle u=x^2+2x+2, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    f′(x)=2x+22x2+2x+2−1=x+1x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}-1=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1
  4. Calculăm f′(−1)\displaystyle f'(-1): numărătorul x+1\displaystyle x+1 devine 0\displaystyle 0, iar numitorul este 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1. Rămâne doar termenul −1\displaystyle -1.
    f′(−1)=01−1=−1\displaystyle f'(-1)=\dfrac{0}{1}-1=-1
  5. Înlocuim f(−1)=2\displaystyle f(-1)=2 și f′(−1)=−1\displaystyle f'(-1)=-1 în formula tangentei și desfacem parantezele.
    y−2=−1⋅(x+1)=−x−1\displaystyle y-2=-1\cdot(x+1)=-x-1
  6. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem ecuația tangentei.
    y=−x+1\displaystyle y=-x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x.

Demonstrați că (x2+1)2+2(x2+1)+2−4x2+4x+2≤(x−1)2\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^2+2(x^2+1)+2}-\sqrt{4x^2+4x+2}\le (x-1)^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2} este 2x+22x2+2x+2=x+1x2+2x+2\displaystyle \dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    f′(x)=x+1x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1
  2. Studiem semnul derivatei. Avem x2+2x+2=(x+1)2+1>(x+1)2\displaystyle x^2+2x+2=(x+1)^2+1>(x+1)^2, deci x2+2x+2>∣x+1∣≥x+1\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}>|x+1|\ge x+1. Numitorul este pozitiv, deci x+1x2+2x+2<1\displaystyle \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}<1 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Rezultă că f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Deoarece derivata este negativă pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f descresca˘toare pe R\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\mathbb{R}
  4. Comparăm argumentele x2+1\displaystyle x^2+1 și 2x\displaystyle 2x. Diferența lor este x2+1−2x=(x−1)2≥0\displaystyle x^2+1-2x=(x-1)^2\ge 0, deci x2+1≥2x\displaystyle x^2+1\ge 2x pentru orice x\displaystyle x real.
    x2+1≥2x\displaystyle x^2+1\ge 2x
  5. Funcția f\displaystyle f este descrescătoare și x2+1≥2x\displaystyle x^2+1\ge 2x, deci valoarea lui f\displaystyle f în punctul mai mare este mai mică.
    f(x2+1)≤f(2x)\displaystyle f(x^2+1)\le f(2x)
  6. Scriem explicit valorile funcției: f(x2+1)=(x2+1)2+2(x2+1)+2−(x2+1)\displaystyle f(x^2+1)=\sqrt{(x^2+1)^2+2(x^2+1)+2}-(x^2+1) și f(2x)=4x2+4x+2−2x\displaystyle f(2x)=\sqrt{4x^2+4x+2}-2x, deoarece (2x)2+2⋅2x+2=4x2+4x+2\displaystyle (2x)^2+2\cdot 2x+2=4x^2+4x+2. Inegalitatea f(x2+1)≤f(2x)\displaystyle f(x^2+1)\le f(2x) devine astfel.
    (x2+1)2+2(x2+1)+2−(x2+1)≤4x2+4x+2−2x\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^2+2(x^2+1)+2}-(x^2+1)\le \sqrt{4x^2+4x+2}-2x
  7. Trecem 4x2+4x+2\displaystyle \sqrt{4x^2+4x+2} în stânga și x2+1\displaystyle x^2+1 în dreapta. În dreapta rămâne x2+1−2x=(x−1)2\displaystyle x^2+1-2x=(x-1)^2. Astfel inegalitatea cerută este demonstrată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    (x2+1)2+2(x2+1)+2−4x2+4x+2≤(x−1)2\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^2+2(x^2+1)+2}-\sqrt{4x^2+4x+2}\le (x-1)^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}.

Arătați că ∫01(4−f2(x))dx=π\displaystyle \int_0^1\left(4-f^2(x)\right)dx=\pi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul funcției: f2(x)=4x2(x2+1)2\displaystyle f^2(x)=\dfrac{4x^2}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}, iar pătratul radicalului este chiar expresia de sub radical.
    f2(x)=4x2x2+1\displaystyle f^2(x)=\frac{4x^{2}}{x^{2}+1}
  2. Înlocuim în integrand și aducem la numitor comun: 4−4x2x2+1=4(x2+1)−4x2x2+1=4x2+1\displaystyle 4-\dfrac{4x^2}{x^2+1}=\dfrac{4(x^2+1)-4x^2}{x^2+1}=\dfrac{4}{x^2+1}.
    4−f2(x)=4x2+1\displaystyle 4-f^{2}(x)=\frac{4}{x^{2}+1}
  3. Scoatem constanta 4\displaystyle 4 în fața integralei și folosim faptul că o primitivă a funcției 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^2+1} este arctg x\displaystyle \mathrm{arctg}\,x.
    ∫01(4−f2(x))dx=4∫011x2+1dx=4 arctg x∣01\displaystyle \int_0^1\left(4-f^{2}(x)\right)dx=4\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}dx=4\,\mathrm{arctg}\,x\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim arctg 1=π4\displaystyle \mathrm{arctg}\,1=\dfrac{\pi}{4} și arctg 0=0\displaystyle \mathrm{arctg}\,0=0.
    4(arctg 1−arctg 0)=4⋅π4=π\displaystyle 4\left(\mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0\right)=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 are aria egală cu 2(2−1)\displaystyle 2(\sqrt{2}-1).
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de grafic, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0, x=1\displaystyle x=1 este A=∫01∣f(x)∣dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|dx. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0 și x2+1>0\displaystyle \sqrt{x^2+1}>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 și modulul se elimină.
    A=∫01∣f(x)∣ dx=∫012xx2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx
  2. Observăm că derivata expresiei de sub radical x2+1\displaystyle x^2+1 este (x2+1)′=2x\displaystyle (x^2+1)'=2x, adică exact numărătorul. Rescriem integrala astfel încât numărătorul să fie derivata expresiei de sub radical.
    A=∫01(x2+1)′x2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1\frac{(x^2+1)'}{\sqrt{x^2+1}}\,dx
  3. Folosim faptul că (2x2+1)′=2⋅(x2+1)′2x2+1=(x2+1)′x2+1\displaystyle \left(2\sqrt{x^2+1}\right)'=2\cdot\dfrac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{(x^2+1)'}{\sqrt{x^2+1}}. Deci 2x2+1\displaystyle 2\sqrt{x^2+1} este o primitivă a integrandului.
    A=2x2+1∣01\displaystyle \mathcal{A}=2\sqrt{x^2+1}\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: înlocuim x=1\displaystyle x=1 și scădem valoarea pentru x=0\displaystyle x=0. Obținem 22−21=22−2\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{1}=2\sqrt{2}-2, adică 2(2−1)\displaystyle 2(\sqrt{2}-1), ceea ce trebuia demonstrat.
    A=22−21=2(2−1)\displaystyle \mathcal{A}=2\sqrt{2}-2\sqrt{1}=2(\sqrt{2}-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}.

Arătați că ∫12f(x2)xdx=ln⁡(34−17+42−4)\displaystyle \int_1^2\frac{f(x^2)}{x}dx=\ln\left(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x2)\displaystyle f(x^{2}) înlocuind pe x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în expresia funcției f\displaystyle f: la numărător apare 2x2\displaystyle 2x^{2}, iar sub radical (x2)2+1=x4+1\displaystyle (x^{2})^{2}+1=x^{4}+1.
    f(x2)=2x2x4+1\displaystyle f(x^{2})=\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{4}+1}}
  2. Împărțim la x\displaystyle x (x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2], deci x≠0\displaystyle x\neq 0) și simplificăm prin x\displaystyle x. Obținem integrala de mai jos.
    ∫12f(x2)xdx=∫122x2xx4+1dx=∫122xx4+1dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x^{2})}{x}dx=\int_1^2\frac{2x^{2}}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx=\int_1^2\frac{2x}{\sqrt{x^{4}+1}}dx
  3. Observăm că 2x=(x2)′\displaystyle 2x=(x^{2})' și că x4=(x2)2\displaystyle x^{4}=(x^{2})^{2}. Astfel integrandul are forma u′u2+1\displaystyle \dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}, cu u=x2\displaystyle u=x^{2}.
    ∫12(x2)′(x2)2+1dx\displaystyle \int_1^2\frac{(x^{2})'}{\sqrt{(x^{2})^{2}+1}}dx
  4. O primitivă a lui u′u2+1\displaystyle \dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}} este ln⁡(u+u2+1)\displaystyle \ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right). Pentru u=x2\displaystyle u=x^{2} aplicăm formula Leibniz-Newton pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    ln⁡(x2+x4+1)∣12\displaystyle \ln\left(x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}\right)\Big|_1^2
  5. Calculăm valorile: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 4+17\displaystyle 4+\sqrt{17}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 1+2\displaystyle 1+\sqrt{2}. Diferența logaritmilor este logaritmul raportului.
    ln⁡(4+17)−ln⁡(1+2)=ln⁡4+171+2\displaystyle \ln\left(4+\sqrt{17}\right)-\ln\left(1+\sqrt{2}\right)=\ln\frac{4+\sqrt{17}}{1+\sqrt{2}}
  6. Raționalizăm fracția, amplificând cu conjugatul 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1. Numitorul devine (2+1)(2−1)=2−1=1\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.
    4+171+2=(4+17)(2−1)\displaystyle \frac{4+\sqrt{17}}{1+\sqrt{2}}=\left(4+\sqrt{17}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)
  7. Desfacem parantezele: 42−4+34−17\displaystyle 4\sqrt{2}-4+\sqrt{34}-\sqrt{17}. Deci integrala este egală cu valoarea cerută, ceea ce trebuia demonstrat.
    ∫12f(x2)xdx=ln⁡(34−17+42−4)\displaystyle \int_1^2\frac{f(x^{2})}{x}dx=\ln\left(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.