Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Comparați numerele log⁡216\displaystyle \log_2 16 și 1253\displaystyle \sqrt[3]{125}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 16\displaystyle 16 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 16=2⋅2⋅2⋅2=24\displaystyle 16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}.
    16=24\displaystyle 16=2^{4}
  2. Aplicăm formula log⁡aan=n\displaystyle \log_a a^{n}=n: log⁡216=log⁡224=4\displaystyle \log_2 16=\log_2 2^{4}=4.
    log⁡216=log⁡224=4\displaystyle \log_2 16=\log_2 2^{4}=4
  3. Scriem 125\displaystyle 125 ca putere a lui 5\displaystyle 5: 125=5⋅5⋅5=53\displaystyle 125=5\cdot 5\cdot 5=5^{3}.
    125=53\displaystyle 125=5^{3}
  4. Radicalul de ordin 3\displaystyle 3 simplifică puterea a treia: 1253=533=5\displaystyle \sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^{3}}=5.
    1253=533=5\displaystyle \sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^{3}}=5
  5. Comparăm valorile obținute: 4<5\displaystyle 4<5, deci primul număr este mai mic decât al doilea.
    log⁡216=4<5=1253, deci log⁡216<1253\displaystyle \log_2 16=4<5=\sqrt[3]{125}\text{, deci }\log_2 16<\sqrt[3]{125}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+(a+2)x+2a+1\displaystyle f(x)=x^2+(a+2)x+2a+1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care graficul funcției f\displaystyle f este tangent axei Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este de gradul al doilea, cu coeficienții 1\displaystyle 1, a+2\displaystyle a+2 și 2a+1\displaystyle 2a+1. Graficul este tangent axei Ox\displaystyle Ox exact când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală, adică atunci când Δ=0\displaystyle \Delta=0.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
  2. Scriem discriminantul cu formula Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac, înlocuind coeficienții: Δ=(a+2)2−4⋅1⋅(2a+1)\displaystyle \Delta=(a+2)^{2}-4\cdot 1\cdot(2a+1).
    Δ=(a+2)2−4(2a+1)\displaystyle \Delta=(a+2)^{2}-4(2a+1)
  3. Dezvoltăm: (a+2)2=a2+4a+4\displaystyle (a+2)^{2}=a^{2}+4a+4 și 4(2a+1)=8a+4\displaystyle 4(2a+1)=8a+4. Atunci Δ=a2+4a+4−8a−4\displaystyle \Delta=a^{2}+4a+4-8a-4, deci după reducerea termenilor asemenea obținem Δ=a2−4a\displaystyle \Delta=a^{2}-4a.
    Δ=a2−4a\displaystyle \Delta=a^{2}-4a
  4. Punem condiția Δ=0\displaystyle \Delta=0, adică a2−4a=0\displaystyle a^{2}-4a=0. Scoatem factor comun: a(a−4)=0\displaystyle a(a-4)=0.
    a(a−4)=0\displaystyle a(a-4)=0
  5. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci a=0\displaystyle a=0 sau a−4=0\displaystyle a-4=0. Pentru ambele valori graficul funcției f\displaystyle f este tangent axei Ox\displaystyle Ox.
    a=0 sau a=4\displaystyle a=0\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2−x−2=53x−5\displaystyle 5^{x^2-x-2}=5^{3x-5}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 5\displaystyle 5, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x2−x−2=3x−5\displaystyle x^{2}-x-2=3x-5
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2−x−3x=x2−4x\displaystyle x^{2}-x-3x=x^{2}-4x, iar −2+5=3\displaystyle -2+5=3.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Calculăm discriminantul: Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  4. Aplicăm formula rădăcinilor: x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}. Obținem x=1\displaystyle x=1 sau x=3\displaystyle x=3. Ambele valori sunt reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Demonstrați că numerele C41\displaystyle C_4^1, A42\displaystyle A_4^2 și A52\displaystyle A_5^2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm C41\displaystyle C_4^1 cu formula Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, deci C41=4!1!⋅3!\displaystyle C_4^1=\dfrac{4!}{1!\cdot 3!}.
    C41=4!1!⋅3!=4\displaystyle C_4^1=\dfrac{4!}{1!\cdot 3!}=4
  2. Calculăm A42\displaystyle A_4^2 cu formula Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}, deci A42=4!2!=4⋅3\displaystyle A_4^2=\dfrac{4!}{2!}=4\cdot 3.
    A42=4!2!=4⋅3=12\displaystyle A_4^2=\dfrac{4!}{2!}=4\cdot 3=12
  3. Calculăm A52=5!3!=5⋅4\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}=5\cdot 4. Astfel, cele trei numere sunt 4\displaystyle 4, 12\displaystyle 12 și 20\displaystyle 20.
    C41=4\displaystyle C_4^1=4, A42=12 și A52=20\displaystyle \ A_4^2=12\text{ și }A_5^2=20
  4. Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a celor doi vecini. Verificăm: 4+202=242=12\displaystyle \dfrac{4+20}{2}=\dfrac{24}{2}=12, adică 12=4+202\displaystyle 12=\dfrac{4+20}{2}. Cum egalitatea are loc, numerele C41\displaystyle C_4^1, A42\displaystyle A_4^2, A52\displaystyle A_5^2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, de rație 8\displaystyle 8.
    12=4+202\displaystyle 12=\dfrac{4+20}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,1)\displaystyle A(-1,1), B(1,a)\displaystyle B(1,a) și C(4,2a+1)\displaystyle C(4,2a+1), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare când dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula m=yB−yAxB−xA\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
    mAB=a−11−(−1)=a−12\displaystyle m_{AB}=\frac{a-1}{1-(-1)}=\frac{a-1}{2}
  2. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC. Numărătorul este 2a+1−a=a+1\displaystyle 2a+1-a=a+1, iar numitorul este 4−1=3\displaystyle 4-1=3.
    mBC=2a+1−a4−1=a+13\displaystyle m_{BC}=\frac{2a+1-a}{4-1}=\frac{a+1}{3}
  3. Punem condiția de coliniaritate: mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}.
    a−12=a+13\displaystyle \frac{a-1}{2}=\frac{a+1}{3}
  4. Înmulțim în cruce: 3(a−1)=2(a+1)\displaystyle 3(a-1)=2(a+1), adică 3a−3=2a+2\displaystyle 3a-3=2a+2. Trecem termenii cu a\displaystyle a în stânga și numerele în dreapta și obținem a=5\displaystyle a=5.
    3a−3=2a+2⇒a=5\displaystyle 3a-3=2a+2\Rightarrow a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați raza cercului circumscris triunghiului MNP\displaystyle MNP, știind că MN=16\displaystyle MN=16 și m(∠P)=30∘\displaystyle m(\angle P)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul MNP\displaystyle MNP: raportul dintre latura MN\displaystyle MN și sinusul unghiului opus P\displaystyle P este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică MNsin⁡P=2R\displaystyle \dfrac{MN}{\sin P}=2R.
    MNsin⁡P=2R\displaystyle \dfrac{MN}{\sin P}=2R
  2. Calculăm sinusul unghiului P\displaystyle P, care măsoară 30∘\displaystyle 30^\circ: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡P=sin⁡30∘=12\displaystyle \sin P=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}
  3. Înlocuim MN=16\displaystyle MN=16 și sin⁡P=12\displaystyle \sin P=\dfrac{1}{2} în relația din teorema sinusurilor: 2R=1612=16⋅2\displaystyle 2R=\dfrac{16}{\frac{1}{2}}=16\cdot 2.
    2R=1612=32\displaystyle 2R=\dfrac{16}{\dfrac{1}{2}}=32
  4. Din 2R=32\displaystyle 2R=32 rezultă R=16\displaystyle R=16.
    R=16\displaystyle R=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−11−1−aa−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -1\\ 1 & -1 & -a\\ a & -1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay−z=ax−y−az=−1ax−y+z=−1\displaystyle \begin{cases}x+ay-z=a\\ x-y-az=-1\\ ax-y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−4\displaystyle \det(A(1))=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Obținem matricea A(1)\displaystyle A(1), iar determinantul ei este cel de mai jos.
    det⁡(A(1))=∣11−11−1−11−11∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1 și (−1)⋅1⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot(-1).
    −1+(−1)+1=−1\displaystyle -1+(-1)+1=-1
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: (−1)⋅(−1)⋅1\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-1) și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1. Ele se scad din primul total.
    1+1+1=3\displaystyle 1+1+1=3
  4. Scădem al doilea total din primul: −1−3=−4\displaystyle -1-3=-4. Așadar det⁡(A(1))=−4\displaystyle \det(A(1))=-4, adică exact ce trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=−1+1+(−1)−1−1−1=−4\displaystyle \det(A(1))=-1+1+(-1)-1-1-1=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−11−1−aa−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -1\\ 1 & -1 & -a\\ a & -1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay−z=ax−y−az=−1ax−y+z=−1\displaystyle \begin{cases}x+ay-z=a\\ x-y-az=-1\\ ax-y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Calculăm deci det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)), dezvoltându-l după prima linie.
    det⁡(A(a))=∣1a−11−1−aa−11∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1 & a & -1\\ 1 & -1 & -a\\ a & -1 & 1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie, cu minorii de ordin 2 și semnele alternate +,−,+\displaystyle +,-,+.
    det⁡(A(a))=1⋅∣−1−a−11∣−a⋅∣1−aa1∣+(−1)⋅∣1−1a−1∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}-1 & -a\\ -1 & 1\end{vmatrix}-a\cdot\begin{vmatrix}1 & -a\\ a & 1\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & -1\\ a & -1\end{vmatrix}
  3. Calculăm fiecare minor: primul este −1−a\displaystyle -1-a, al doilea este 1+a2\displaystyle 1+a^{2}, iar al treilea este −1+a\displaystyle -1+a.
    det⁡(A(a))=(−1−a)−a(1+a2)−(−1+a)\displaystyle \det(A(a))=(-1-a)-a(1+a^{2})-(-1+a)
  4. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: −1−a−a−a3+1−a\displaystyle -1-a-a-a^{3}+1-a. Constantele se anulează, iar termenii în a\displaystyle a dau −3a\displaystyle -3a.
    det⁡(A(a))=−a3−3a=−a(a2+3), pentru orice a∈R\displaystyle \det(A(a))=-a^{3}-3a=-a(a^{2}+3)\text{, pentru orice }a\in\mathbb{R}
  5. Matricea este inversabilă când det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0. Factorul a2+3\displaystyle a^{2}+3 este strict pozitiv pentru orice a\displaystyle a real, deci determinantul se anulează doar când a=0\displaystyle a=0.
    −a(a2+3)=0  ⟺  a=0\displaystyle -a(a^{2}+3)=0\iff a=0
  6. Determinantul este nenul pentru toate valorile reale ale lui a\displaystyle a, în afară de 0\displaystyle 0. Mulțimea căutată este mulțimea numerelor reale nenule.
    det⁡(A(a))≠0, deci a∈R∗\displaystyle \det(A(a))\neq 0\text{, deci }a\in\mathbb{R}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−11−1−aa−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -1\\ 1 & -1 & -a\\ a & -1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay−z=ax−y−az=−1ax−y+z=−1\displaystyle \begin{cases}x+ay-z=a\\ x-y-az=-1\\ ax-y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) pentru care x0=y0=z0\displaystyle x_0=y_0=z_0.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin reducere la absurd că sistemul are o soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) cu x0=y0=z0\displaystyle x_0=y_0=z_0. Înlocuim y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 cu x0\displaystyle x_0 în fiecare ecuație.
    {x0+ax0−x0=ax0−x0−ax0=−1ax0−x0+x0=−1\displaystyle \begin{cases}x_0+ax_0-x_0=a\\ x_0-x_0-ax_0=-1\\ ax_0-x_0+x_0=-1\end{cases}
  2. În prima ecuație, x0\displaystyle x_0 se reduce cu −x0\displaystyle -x_0, deci rămâne ax0=a\displaystyle ax_0=a.
    ax0=a\displaystyle ax_0=a
  3. În a doua ecuație, x0−x0=0\displaystyle x_0-x_0=0, deci rămâne −ax0=−1\displaystyle -ax_0=-1, adică ax0=1\displaystyle ax_0=1.
    ax0=1\displaystyle ax_0=1
  4. În a treia ecuație, −x0+x0=0\displaystyle -x_0+x_0=0, deci rămâne ax0=−1\displaystyle ax_0=-1.
    ax0=−1\displaystyle ax_0=-1
  5. Din a doua și a treia ecuație, același produs ax0\displaystyle ax_0 ar trebui să fie și 1\displaystyle 1, și −1\displaystyle -1. Aceasta este imposibil, deci presupunerea este falsă și sistemul nu are nicio soluție cu x0=y0=z0\displaystyle x_0=y_0=z_0.
    ax0=1 și ax0=−1, ceea ce este imposibil\displaystyle ax_0=1\text{ și }ax_0=-1\text{, ceea ce este imposibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+83\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+8}.

Arătați că 2020∗(−2020)=2\displaystyle 2020*(-2020)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x3+y3+83\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+8} pentru x=2020\displaystyle x=2020 și y=−2020\displaystyle y=-2020.
    2020∗(−2020)=20203+(−2020)3+83\displaystyle 2020*(-2020)=\sqrt[3]{2020^3+(-2020)^3+8}
  2. Deoarece (−2020)3=−20203\displaystyle (-2020)^3=-2020^3, termenii 20203\displaystyle 2020^3 și −20203\displaystyle -2020^3 sunt opuși și se reduc, deci sub radical rămâne doar 8\displaystyle 8.
    20203+(−2020)3+83=20203−20203+83=83\displaystyle \sqrt[3]{2020^3+(-2020)^3+8}=\sqrt[3]{2020^3-2020^3+8}=\sqrt[3]{8}
  3. Deoarece 23=8\displaystyle 2^3=8, avem 83=2\displaystyle \sqrt[3]{8}=2. Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
    83=2, deci 2020∗(−2020)=2\displaystyle \sqrt[3]{8}=2\text{, deci }2020*(-2020)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+83\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+8}.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Folosind definiția legii, obținem x3+e3+83=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+e^3+8}=x.
    x3+e3+83=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+e^3+8}=x
  2. Ridicăm egalitatea la puterea a treia; este o echivalență, deoarece funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este bijectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Obținem x3+e3+8=x3\displaystyle x^3+e^3+8=x^3, deci e3+8=0\displaystyle e^3+8=0.
    x3+e3+8=x3⇔e3=−8\displaystyle x^3+e^3+8=x^3\Leftrightarrow e^3=-8
  3. Din e3=−8\displaystyle e^3=-8 rezultă e=−2\displaystyle e=-2. Acesta este singurul candidat pentru elementul neutru.
    e=−2\displaystyle e=-2
  4. Verificăm la stânga: (−2)∗x=(−2)3+x3+83=x33=x\displaystyle (-2)*x=\sqrt[3]{(-2)^3+x^3+8}=\sqrt[3]{x^3}=x. Legea este comutativă, deoarece expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci avem și x∗(−2)=x\displaystyle x*(-2)=x.
    (−2)∗x=−8+x3+83=x33=x\displaystyle (-2)*x=\sqrt[3]{-8+x^3+8}=\sqrt[3]{x^3}=x
  5. Deoarece (−2)∗x=x∗(−2)=x\displaystyle (-2)*x=x*(-2)=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, elementul neutru al legii este e=−2\displaystyle e=-2.
    e=−2\displaystyle e=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+83\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+8}.

Știind că (R,∗)\displaystyle (\mathbb{R},*) este grup, demonstrați că funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+8\displaystyle f(x)=x^3+8 este morfism de la grupul (R,∗)\displaystyle (\mathbb{R},*) la grupul (R,+)\displaystyle (\mathbb{R},+).
Vezi rezolvarea
  1. Precizăm ce avem de arătat: funcția f\displaystyle f este morfism de la (R,∗)\displaystyle (\mathbb{R},*) la (R,+)\displaystyle (\mathbb{R},+) dacă f(x∗y)=f(x)+f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)+f(y) pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la membrul stâng și înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu definiția lui.
    f(x∗y)=(x∗y)3+8=(x3+y3+83)3+8\displaystyle f(x*y)=(x*y)^3+8=\left(\sqrt[3]{x^3+y^3+8}\right)^3+8
  2. Ridicarea la puterea a treia anulează radicalul de ordin 3\displaystyle 3 (e definit pentru orice număr real), deci rămâne expresia de sub radical, la care adunăm 8\displaystyle 8.
    f(x∗y)=x3+y3+8+8\displaystyle f(x*y)=x^3+y^3+8+8
  3. Grupăm termenii astfel încât să apară f(x)=x3+8\displaystyle f(x)=x^3+8 și f(y)=y3+8\displaystyle f(y)=y^3+8. Cum egalitatea are loc pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, f\displaystyle f este morfism.
    f(x∗y)=(x3+8)+(y3+8)=f(x)+f(y), pentru orice x\displaystyle f(x*y)=(x^3+8)+(y^3+8)=f(x)+f(y)\text{, pentru orice }x,y∈R, deci f este morfism\displaystyle y\in\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ este morfism}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+2+1x+4\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}.

Arătați că lim⁡x→+∞(xf(x))=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x+2+1x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+4} și îl înmulțim cu x\displaystyle x, distribuind x\displaystyle x la fiecare fracție.
    xf(x)=xx+2+xx+4\displaystyle xf(x)=\frac{x}{x+2}+\frac{x}{x+4}
  2. Scriem limita pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Fiecare fracție are la limită forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci o transformăm.
    lim⁡x→+∞(xf(x))=lim⁡x→+∞(xx+2+xx+4)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x+2}+\frac{x}{x+4}\right)
  3. Împărțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții la x\displaystyle x (pentru x>0\displaystyle x>0): xx+2=11+2x\displaystyle \dfrac{x}{x+2}=\dfrac{1}{1+\frac{2}{x}} și xx+4=11+4x\displaystyle \dfrac{x}{x+4}=\dfrac{1}{1+\frac{4}{x}}.
    lim⁡x→+∞(11+2x+11+4x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{1+\frac{2}{x}}+\frac{1}{1+\frac{4}{x}}\right)
  4. Cum 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0 și 4x→0\displaystyle \dfrac{4}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fiecare fracție tinde la 11+0=1\displaystyle \dfrac{1}{1+0}=1.
    11+0+11+0=1+1=2\displaystyle \frac{1}{1+0}+\frac{1}{1+0}=1+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+2+1x+4\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este descrescătoare, studiem semnul derivatei f′\displaystyle f'. Funcția este derivabilă pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty), deoarece x+2>0\displaystyle x+2>0 și x+4>0\displaystyle x+4>0 pentru x>−2\displaystyle x>-2.
    x+2>0\displaystyle x+2>0, x+4>0\displaystyle \ x+4>0, ∀x∈(−2,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(-2,+\infty)
  2. Folosim formula (1x+a)′=−1(x+a)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+a}\right)'=-\dfrac{1}{(x+a)^{2}}, adică ((x+a)−1)′=−(x+a)−2\displaystyle \left((x+a)^{-1}\right)'=-(x+a)^{-2}, pentru a=2\displaystyle a=2 și a=4\displaystyle a=4.
    (1x+2)′=−1(x+2)2\displaystyle \left(\frac{1}{x+2}\right)'=-\frac{1}{(x+2)^{2}}, (1x+4)′=−1(x+4)2\displaystyle \ \left(\frac{1}{x+4}\right)'=-\frac{1}{(x+4)^{2}}
  3. Derivata sumei este suma derivatelor, deci pentru x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty) obținem f′(x)\displaystyle f'(x) ca mai jos.
    f′(x)=−1(x+2)2−1(x+4)2\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^{2}}-\frac{1}{(x+4)^{2}}, x∈(−2,+∞)\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)
  4. Pentru x>−2\displaystyle x>-2 avem (x+2)2>0\displaystyle (x+2)^{2}>0 și (x+4)2>0\displaystyle (x+4)^{2}>0, deci 1(x+2)2>0\displaystyle \dfrac{1}{(x+2)^{2}}>0 și 1(x+4)2>0\displaystyle \dfrac{1}{(x+4)^{2}}>0. Prin urmare ambii termeni din f′(x)\displaystyle f'(x), care au semnul minus în față, sunt strict negativi.
    −1(x+2)2<0 și −1(x+4)2<0\displaystyle -\frac{1}{(x+2)^{2}}<0\text{ și }-\frac{1}{(x+4)^{2}}<0
  5. Suma a două numere strict negative este strict negativă, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty). Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(−2,+∞), deci f este descresca˘toare pe (−2,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(-2,+\infty)\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+2+1x+4\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}.

Determinați x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty) pentru care f(x)∈Z\displaystyle f(x)\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−1)=1−1+2+1−1+4\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{-1+2}+\dfrac{1}{-1+4}.
    f(−1)=1+13=43\displaystyle f(-1)=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}
  2. Derivata este f′(x)=−1(x+2)2−1(x+4)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}-\dfrac{1}{(x+4)^{2}}, care este negativă pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty), deci f\displaystyle f este strict descrescătoare.
    f′(x)=−1(x+2)2−1(x+4)2<0\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}-\dfrac{1}{(x+4)^{2}}<0
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} cât și 1x+4\displaystyle \dfrac{1}{x+4} tind la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  4. Cum f\displaystyle f este strict descrescătoare, f(−1)=43\displaystyle f(-1)=\dfrac{4}{3} și limita la +∞\displaystyle +\infty este 0\displaystyle 0, rezultă că valorile lui f\displaystyle f pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) formează intervalul (0,43]\displaystyle \left(0,\dfrac{4}{3}\right].
    f(x)∈(0,43]\displaystyle f(x)\in\left(0,\dfrac{4}{3}\right]
  5. În intervalul (0,43]\displaystyle \left(0,\dfrac{4}{3}\right] singurul număr întreg este 1\displaystyle 1, deci rezolvăm f(x)=1\displaystyle f(x)=1.
    1x+2+1x+4=1\displaystyle \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+4}=1
  6. Aducem la același numitor: 2x+6(x+2)(x+4)=1\displaystyle \dfrac{2x+6}{(x+2)(x+4)}=1, deci 2x+6=x2+6x+8\displaystyle 2x+6=x^{2}+6x+8.
    x2+4x+2=0\displaystyle x^{2}+4x+2=0
  7. Discriminantul este Δ=16−8=8\displaystyle \Delta=16-8=8, deci x=−2±2\displaystyle x=-2\pm\sqrt{2}. Convine doar x=−2+2≈−0,59∈[−1,+∞)\displaystyle x=-2+\sqrt{2}\approx-0{,}59\in[-1,+\infty), iar −2−2<−2\displaystyle -2-\sqrt{2}<-2 nu convine.
    x=−2+2\displaystyle x=-2+\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Arătați că ∫02x+1f(x) dx=e2−1\displaystyle \int_0^2\frac{x+1}{f(x)}\,dx=e^2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}} în integrand: x+1f(x)=x+1x+1ex\displaystyle \dfrac{x+1}{f(x)}=\dfrac{x+1}{\dfrac{x+1}{e^{x}}}.
    x+1f(x)=x+1x+1ex\displaystyle \dfrac{x+1}{f(x)}=\dfrac{x+1}{\dfrac{x+1}{e^{x}}}
  2. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: (x+1)⋅exx+1\displaystyle (x+1)\cdot\dfrac{e^{x}}{x+1}. Factorul x+1\displaystyle x+1 se simplifică, fiind nenul pe [0,2]\displaystyle [0,2] (avem x+1≥1\displaystyle x+1\geq 1), deci integrandul devine ex\displaystyle e^{x}.
    x+1f(x)=(x+1)⋅exx+1=ex\displaystyle \dfrac{x+1}{f(x)}=(x+1)\cdot\dfrac{e^{x}}{x+1}=e^{x}
  3. Integrala devine ∫02ex dx\displaystyle \int_0^2 e^{x}\,dx. O primitivă a lui ex\displaystyle e^{x} este chiar ex\displaystyle e^{x}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02x+1f(x) dx=∫02ex dx=ex∣02\displaystyle \int_0^2\dfrac{x+1}{f(x)}\,dx=\int_0^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_0^2
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei în capete, ținând cont că e0=1\displaystyle e^{0}=1: e2−e0=e2−1\displaystyle e^{2}-e^{0}=e^{2}-1. Am obținut exact valoarea cerută.
    e2−e0=e2−1\displaystyle e^{2}-e^{0}=e^{2}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Calculați ∫01e3xf2(x) dx\displaystyle \int_0^1e^{3x}f^2(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f2(x)=(x+1)2e2x\displaystyle f^2(x)=\dfrac{(x+1)^2}{e^{2x}}. Înmulțim cu e3x\displaystyle e^{3x} și folosim e3xe2x=ex\displaystyle \dfrac{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{x}, deci integrandul devine mai simplu.
    e3xf2(x)=e3x(x+1)2e2x=(x+1)2ex\displaystyle e^{3x}f^2(x)=\dfrac{e^{3x}(x+1)^2}{e^{2x}}=(x+1)^2e^{x}
  2. Integrala devine ∫01(x+1)2ex dx\displaystyle \int_0^1(x+1)^2e^x\,dx. Verificăm că (x2+1)ex\displaystyle (x^2+1)e^x este o primitivă, derivând produsul: ((x2+1)ex)′=2xex+(x2+1)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex\displaystyle \left((x^2+1)e^x\right)'=2xe^x+(x^2+1)e^x=(x^2+2x+1)e^x=(x+1)^2e^x.
    ((x2+1)ex)′=(x+1)2ex\displaystyle \left((x^2+1)e^x\right)'=(x+1)^2e^x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva (x2+1)ex\displaystyle (x^2+1)e^x, între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01e3xf2(x) dx=∫01(x+1)2ex dx=(x2+1)ex∣01\displaystyle \int_0^1e^{3x}f^2(x)\,dx=\int_0^1(x+1)^2e^x\,dx=(x^2+1)e^x\Big|_0^1
  4. Înlocuim limitele: la x=1\displaystyle x=1 obținem (12+1)e=2e\displaystyle (1^2+1)e=2e, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem (02+1)e0=1\displaystyle (0^2+1)e^0=1.
    (12+1)e1−(02+1)e0=2e−1\displaystyle (1^2+1)e^1-(0^2+1)e^0=2e-1
  5. Valoarea integralei este 2e−1\displaystyle 2e-1.
    2e−1\displaystyle 2e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Se consideră numerele reale pozitive a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c. Demonstrați că, dacă 1−∫0af(x)x+1dx\displaystyle 1-\int_0^a\frac{f(x)}{x+1}dx, 1−∫0bf(x)x+1dx\displaystyle 1-\int_0^b\frac{f(x)}{x+1}dx și 1−∫0cf(x)x+1dx\displaystyle 1-\int_0^c\frac{f(x)}{x+1}dx sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm raportul: f(x)x+1=x+1ex⋅(x+1)=1ex=e−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+1}=\dfrac{x+1}{e^{x}\cdot (x+1)}=\dfrac{1}{e^{x}}=e^{-x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)x+1=e−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+1}=e^{-x}
  2. Calculăm ∫0ae−xdx=(−e−x)∣0a=−e−a+e0=1−e−a\displaystyle \displaystyle\int_0^a e^{-x}dx=\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^a=-e^{-a}+e^{0}=1-e^{-a}.
    ∫0ae−xdx=1−e−a\displaystyle \int_0^a e^{-x}dx=1-e^{-a}
  3. Atunci 1−∫0af(x)x+1dx=1−(1−e−a)=e−a\displaystyle 1-\displaystyle\int_0^a\dfrac{f(x)}{x+1}dx=1-(1-e^{-a})=e^{-a}. Analog obținem e−b\displaystyle e^{-b} și e−c\displaystyle e^{-c} pentru b\displaystyle b, respectiv c\displaystyle c.
    e−a\displaystyle e^{-a}, e−b\displaystyle \ e^{-b}, e−c\displaystyle \ e^{-c}
  4. Numerele e−a\displaystyle e^{-a}, e−b\displaystyle e^{-b}, e−c\displaystyle e^{-c} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, deci (e−b)2=e−a⋅e−c\displaystyle \left(e^{-b}\right)^2=e^{-a}\cdot e^{-c}.
    (e−b)2=e−a⋅e−c\displaystyle \left(e^{-b}\right)^2=e^{-a}\cdot e^{-c}
  5. Avem e−2b=e−a−c\displaystyle e^{-2b}=e^{-a-c}. Funcția exponențială este injectivă, deci −2b=−a−c\displaystyle -2b=-a-c, adică 2b=a+c\displaystyle 2b=a+c. Așadar a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
    e−2b=e−a−c⇒2b=a+c\displaystyle e^{-2b}=e^{-a-c}\Rightarrow 2b=a+c
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.