Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Într-o progresie aritmetică

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

se cunosc

\displaystyle a_1=5

și

\displaystyle r=2

. Calculați suma primilor 5 termeni ai progresiei.

Vezi rezolvarea

Formula sumei primilor $\displaystyle n$ termeni ai unei progresii aritmetice este $\displaystyle S_n=\dfrac{(2a_1+(n-1)r)\cdot n}{2}$ . Pentru $\displaystyle n=5$ obținem $\displaystyle S_5=\dfrac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}$ .
$\displaystyle S_5=\frac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}$
Înlocuim $\displaystyle a_1=5$ și $\displaystyle r=2$ : $\displaystyle S_5=\dfrac{(2\cdot 5+4\cdot 2)\cdot 5}{2}$ .
$\displaystyle S_5=\frac{(2\cdot 5+4\cdot 2)\cdot 5}{2}$
Calculăm paranteza: $\displaystyle 2\cdot 5+4\cdot 2=10+8=18$ . Atunci $\displaystyle S_5=\dfrac{18\cdot 5}{2}=9\cdot 5=45$ .
$\displaystyle S_5=\frac{18\cdot 5}{2}=45$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care ecuația

\displaystyle x^2-(m+1)x+m=0

are soluții reale egale.

Vezi rezolvarea

Ecuația $\displaystyle x^2-(m+1)x+m=0$ are coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-(m+1)$ , $\displaystyle c=m$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-(m+1)$ , $\displaystyle \ c=m$
Ecuația are soluții reale egale exact când discriminantul este zero: $\displaystyle \Delta=0$ , unde $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ .
$\displaystyle \Delta=0$
Înlocuim coeficienții: $\displaystyle \Delta=(m+1)^2-4\cdot 1\cdot m$ . Dezvoltăm $\displaystyle (m+1)^2=m^2+2m+1$ , deci condiția $\displaystyle \Delta=0$ devine o ecuație în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m^2+2m+1-4m=0$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2m-4m=-2m$ , deci $\displaystyle m^2-2m+1=0$ , adică $\displaystyle (m-1)^2=0$ .
$\displaystyle (m-1)^2=0$
Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci $\displaystyle m-1=0$ . Verificare: pentru $\displaystyle m=1$ ecuația devine $\displaystyle x^2-2x+1=0$ , adică $\displaystyle (x-1)^2=0$ , cu soluția dublă $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2^{x+1}-1

cu axele

\displaystyle \text{Ox}

și respectiv

\displaystyle \text{Oy}

.

Vezi rezolvarea

Intersecția cu axa $\displaystyle Ox$ se află din condiția ca ordonata punctului să fie zero, adică $\displaystyle f(x)=0$ . Scriem ecuația: $\displaystyle 2^{x+1}-1=0$ .
$\displaystyle 2^{x+1}-1=0$
Trecem pe $\displaystyle 1$ în membrul drept și îl scriem ca putere a lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2^{x+1}=1=2^{0}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $\displaystyle x+1=0$ , de unde $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle 2^{x+1}=2^{0}\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1$
Punctul de intersecție cu $\displaystyle Ox$ are abscisa $\displaystyle -1$ și ordonata $\displaystyle 0$ , deci este $\displaystyle A(-1,0)$ .
$\displaystyle A(-1,0)$
Intersecția cu axa $\displaystyle Oy$ se află pentru abscisa $\displaystyle x=0$ , deci calculăm $\displaystyle f(0)=2^{0+1}-1=2-1$ .
$\displaystyle f(0)=2^{0+1}-1=2-1=1$
Punctul de intersecție cu $\displaystyle Oy$ are abscisa $\displaystyle 0$ și ordonata $\displaystyle f(0)=1$ , deci este $\displaystyle B(0,1)$ . Răspuns: $\displaystyle A(-1,0)$ și $\displaystyle B(0,1)$ .
$\displaystyle A(-1,0)\text{ și }B(0,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați

\displaystyle 2C_4^2-3A_4^1

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula combinărilor: $\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ . Pentru $\displaystyle n=4$ și $\displaystyle k=2$ obținem $\displaystyle C_4^2=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}$ .
$\displaystyle C_4^2=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}$
Calculăm factorialele: $\displaystyle 4!=24$ , iar $\displaystyle 2!=2$ . Atunci $\displaystyle C_4^2=\dfrac{24}{2\cdot 2}=\dfrac{24}{4}=6$ .
$\displaystyle C_4^2=6$
Scriem formula aranjamentelor: $\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ . Pentru $\displaystyle n=4$ și $\displaystyle k=1$ obținem $\displaystyle A_4^1=\dfrac{4!}{3!}=\dfrac{24}{6}=4$ .
$\displaystyle A_4^1=4$
Înlocuim valorile găsite în expresie: $\displaystyle 2C_4^2-3A_4^1=2\cdot 6-3\cdot 4=12-12=0$ .
$\displaystyle 2C_4^2-3A_4^1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră vectorii

\displaystyle \vec{v_1}=2\vec{i}+a\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v_2}=(a+3)\vec{i}+2\vec{j}

, unde

\displaystyle a\in\mathbb{R}

. Determinați numărul

\displaystyle a>0

pentru care vectorii

\displaystyle \vec{v_1}

și

\displaystyle \vec{v_2}

sunt coliniari.

Vezi rezolvarea

Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale. Vectorul $\displaystyle \vec{v_1}$ are coordonatele $\displaystyle 2$ și $\displaystyle a$ , iar $\displaystyle \vec{v_2}$ are coordonatele $\displaystyle a+3$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \vec{v_1}=(2,a)$ , $\displaystyle \ \vec{v_2}=(a+3,2)$
Scriem condiția de proporționalitate a coordonatelor: $\displaystyle \dfrac{2}{a+3}=\dfrac{a}{2}$ .
$\displaystyle \frac{2}{a+3}=\frac{a}{2}$
Înmulțim pe diagonală: $\displaystyle 2\cdot 2=a(a+3)$ , adică $\displaystyle 4=a^{2}+3a$ .
$\displaystyle 4=a^{2}+3a$
Aducem toți termenii în membrul stâng și obținem ecuația $\displaystyle a^{2}+3a-4=0$ .
$\displaystyle a^{2}+3a-4=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=9+16=25$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{-3\pm 5}{2}$ , adică $\displaystyle a=1$ sau $\displaystyle a=-4$ .
$\displaystyle a=1\text{ sau }a=-4$
Cerința impune $\displaystyle a>0$ , deci păstrăm doar rădăcina pozitivă. Pentru $\displaystyle a=1$ vectorii sunt $\displaystyle (2,1)$ și $\displaystyle (4,2)$ , proporționali, deci verificarea reușește.
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Aria triunghiului

\displaystyle MNP

este egală cu

\displaystyle 16

, iar

\displaystyle MN=NP=8

. Calculați

\displaystyle \sin N

.

Vezi rezolvarea

Unghiul $\displaystyle N$ este cuprins între laturile $\displaystyle MN$ și $\displaystyle NP$ , deci aria triunghiului se poate scrie cu formula care folosește două laturi și sinusul unghiului dintre ele: $\displaystyle \mathcal{A}_{MNP}=\dfrac{MN\cdot NP\cdot \sin N}{2}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\frac{MN\cdot NP\cdot \sin N}{2}$
Înlocuim datele din enunț: aria este $\displaystyle 16$ , iar $\displaystyle MN=NP=8$ . Obținem $\displaystyle 16=\dfrac{8\cdot 8\cdot \sin N}{2}$ .
$\displaystyle 16=\frac{8\cdot 8\cdot \sin N}{2}$
Înmulțim egalitatea cu $\displaystyle 2$ și împărțim la $\displaystyle 8\cdot 8$ , pentru a-l izola pe $\displaystyle \sin N$ .
$\displaystyle \sin N=\frac{2\cdot 16}{8\cdot 8}$
Calculăm fracția: $\displaystyle \dfrac{32}{64}=\dfrac{1}{2}$ . Deci $\displaystyle \sin N=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin N=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A_n(n-1,n+2)

,

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

.

Determinați ecuația dreptei

\displaystyle A_1A_2

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=1$ obținem $\displaystyle A_1(1-1,\,1+2)$ , adică punctul $\displaystyle A_1(0,3)$ .
$\displaystyle A_1(0,3)$
Pentru $\displaystyle n=2$ obținem $\displaystyle A_2(2-1,\,2+2)$ , adică punctul $\displaystyle A_2(1,4)$ .
$\displaystyle A_1(0,3)$ , $\displaystyle \ A_2(1,4)$
Un punct $\displaystyle M(x,y)$ se află pe dreapta $\displaystyle A_1A_2$ dacă determinantul cu liniile $\displaystyle (x,y,1)$ , $\displaystyle (0,3,1)$ , $\displaystyle (1,4,1)$ este nul.
$\displaystyle A_1A_2:\begin{vmatrix}x&y&1\\0&3&1\\1&4&1\end{vmatrix}=0$
Dezvoltăm după prima linie: $\displaystyle x\cdot(3\cdot 1-1\cdot 4)-y\cdot(0\cdot 1-1\cdot 1)+1\cdot(0\cdot 4-3\cdot 1)=0$ .
$\displaystyle -x+y-3=0$
Din $\displaystyle -x+y-3=0$ rezultă $\displaystyle y=x+3$ .
$\displaystyle A_1A_2:y=x+3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A_n(n-1,n+2)

,

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

.

Demonstrați că punctele

\displaystyle A_m, A_n, A_p

sunt coliniare, oricare ar fi

\displaystyle m,n,p\in\mathbb{N}^*

.

Vezi rezolvarea

Trei puncte sunt coliniare dacă determinantul format din coordonatele lor și o coloană de $\displaystyle 1$ este nul. Pentru $\displaystyle A_m(m-1,m+2)$ , $\displaystyle A_n(n-1,n+2)$ , $\displaystyle A_p(p-1,p+2)$ scriem determinantul $\displaystyle \Delta$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}m-1&m+2&1\\n-1&n+2&1\\p-1&p+2&1\end{vmatrix}$
Scădem linia a doua din prima ( $\displaystyle L_1-L_2$ ) și linia a treia din a doua ( $\displaystyle L_2-L_3$ ). Determinantul nu se schimbă, iar ultima coloană devine $\displaystyle 0,0,1$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}m-n&m-n&0\\n-p&n-p&0\\p-1&p+2&1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm după ultima coloană. Rămâne un determinant de ordin $\displaystyle 2$ , care are cele două coloane identice, deoarece $\displaystyle m-n=m-n$ și $\displaystyle n-p=n-p$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}m-n&m-n\\n-p&n-p\end{vmatrix}=(m-n)(n-p)-(m-n)(n-p)=0$
Deoarece $\displaystyle \Delta=0$ pentru orice $\displaystyle m,n,p\in\mathbb{N}^*$ , punctele $\displaystyle A_m,A_n,A_p$ sunt coliniare.
$\displaystyle A_m$ , $\displaystyle A_n$ , $\displaystyle A_p\text{ coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A_n(n-1,n+2)

,

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

.

Pentru fiecare

\displaystyle p\in\mathbb{N}^*

notăm

\displaystyle M_p=\{n\in\mathbb{N}^*\mid A_nA_p\leq 2\}

. Determinați elementele mulțimii

\displaystyle M_{2011}

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția din definiția mulțimii pentru $\displaystyle p=2011$ : $\displaystyle n\in M_{2011}$ dacă $\displaystyle A_nA_{2011}\leq 2$ . Punctul $\displaystyle A_{2011}$ are coordonatele $\displaystyle (2010,2013)$ .
$\displaystyle A_nA_{2011}\leq 2$ , $\displaystyle \quad A_{2011}(2010,2013)$
Aplicăm formula distanței dintre două puncte. Diferența abciselor este $\displaystyle (n-1)-2010=n-2011$ , iar diferența ordonatelor este $\displaystyle (n+2)-2013=n-2011$ .
$\displaystyle \sqrt{(n-2011)^2+(n-2011)^2}\leq 2$
Reducem suma de sub radical: $\displaystyle 2(n-2011)^2$ , deci radicalul este $\displaystyle \sqrt{2}\,|n-2011|$ . Inegalitatea devine $\displaystyle \sqrt{2}\,|n-2011|\leq 2$ .
$\displaystyle \sqrt{2}\,|n-2011|\leq 2$
Împărțim la $\displaystyle \sqrt{2}$ . Deoarece $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ , obținem că modulul lui $\displaystyle n-2011$ este cel mult $\displaystyle \sqrt{2}$ .
$\displaystyle |n-2011|\leq\sqrt{2}$
Cum $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n-2011$ este număr întreg. Deoarece $\displaystyle \sqrt{2}\approx 1{,}41$ , singurele valori întregi posibile pentru $\displaystyle n-2011$ sunt $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle n-2011\in\{-1,0,1\}$
Adăugăm 2011 la fiecare valoare și obținem $\displaystyle n\in\{2010,2011,2012\}$ . Toate sunt numere naturale nenule, deci convin.
$\displaystyle M_{2011}=\{2010,2011,2012\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+(m-3)X^2-17X+(2m+7)

, cu

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Pentru

\displaystyle m=4

determinați câtul și restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la

\displaystyle X-3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=4$ în expresia polinomului: coeficientul lui $\displaystyle X^2$ devine $\displaystyle m-3=4-3=1$ , iar termenul liber devine $\displaystyle 2m+7=2\cdot 4+7=15$ .
$\displaystyle f=X^3+X^2-17X+15$
Aplicăm schema lui Horner pentru împărțirea la $\displaystyle X-3$ , deci folosim valoarea $\displaystyle 3$ . Coeficienții lui $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle 1,\ 1,\ -17,\ 15$ . Coborâm primul coeficient: $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle c_2=1$
Următorul coeficient al câtului este $\displaystyle 3\cdot 1+1=4$ .
$\displaystyle c_1=3\cdot 1+1=4$
Apoi calculăm $\displaystyle 3\cdot 4+(-17)=-5$ . Deci câtul are coeficienții $\displaystyle 1,\ 4,\ -5$ , adică un polinom de gradul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle C=X^2+4X-5$
Restul este $\displaystyle 3\cdot(-5)+15=0$ . Restul fiind $\displaystyle 0$ , polinomul $\displaystyle f$ se împarte exact la $\displaystyle X-3$ , iar $\displaystyle f=(X-3)(X^2+4X-5)$ .
$\displaystyle R=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+(m-3)X^2-17X+(2m+7)

, cu

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Determinați

\displaystyle m\in\mathbb{R}

pentru care polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu

\displaystyle X-1

.

Vezi rezolvarea

Folosim teorema restului: restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle X-1$ este $\displaystyle f(1)$ . Deci $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-1$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(1)=0$ .
$\displaystyle f\vdots (X-1)\Leftrightarrow f(1)=0$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(1)=1^3+(m-3)\cdot 1^2-17\cdot 1+(2m+7)$ .
$\displaystyle f(1)=1+(m-3)-17+(2m+7)$
Grupăm termenii cu $\displaystyle m$ și termenii liberi: $\displaystyle m+2m=3m$ , iar $\displaystyle 1-3-17+7=-12$ .
$\displaystyle f(1)=1+m-3-17+2m+7=3m-12$
Punem condiția $\displaystyle f(1)=0$ , adică $\displaystyle 3m-12=0$ , deci $\displaystyle 3m=12$ și $\displaystyle m=4$ .
$\displaystyle 3m-12=0\Rightarrow m=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{-4}{x^2+1}, & x\leq 0\\ x-4, & x>0\end{cases}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este continuă în punctul

\displaystyle x_0=0

.

Vezi rezolvarea

Pentru continuitate în $\displaystyle x_0=0$ trebuie ca limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 0$ să fie egale. Calculăm mai întâi valoarea funcției în $\displaystyle 0$ , folosind prima ramură, deoarece $\displaystyle 0\leq 0$ : $\displaystyle f(0)=\dfrac{-4}{0^{2}+1}$ .
$\displaystyle f(0)=\dfrac{-4}{0^{2}+1}=-4$
Limita la stânga: pentru $\displaystyle x<0$ folosim $\displaystyle f(x)=\dfrac{-4}{x^{2}+1}$ . Când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , numitorul $\displaystyle x^{2}+1$ tinde la $\displaystyle 1$ , deci limita este $\displaystyle -4$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{-4}{x^{2}+1}=\dfrac{-4}{1}=-4$
Limita la dreapta: pentru $\displaystyle x>0$ folosim $\displaystyle f(x)=x-4$ . Când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , $\displaystyle x-4$ tinde la $\displaystyle -4$ . Obținem că limitele laterale și $\displaystyle f(0)$ sunt toate egale cu $\displaystyle -4$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=-4$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-4$ , $\displaystyle \ f(0)=-4$
Deoarece limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 0$ coincid, funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x_0=0$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă în punctul }x_0=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{-4}{x^2+1}, & x\leq 0\\ x-4, & x>0\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle x\to 4$ și $\displaystyle 4>0$ , pentru $\displaystyle x$ apropiat de $\displaystyle 4$ avem $\displaystyle x>0$ . Deci folosim ramura $\displaystyle f(x)=x-4$ .
$\displaystyle f(x)=x-4\text{ pentru }x\text{ în vecinătatea lui }4$
Înlocuim $\displaystyle f(x)$ în limită. La $\displaystyle x=4$ atât numărătorul $\displaystyle x-4$ , cât și numitorul $\displaystyle 16-x^2$ se anulează, deci avem cazul $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}=\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{16-x^2}$
Descompunem numitorul folosind diferența de pătrate: $\displaystyle 16-x^2=(4-x)(4+x)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x-4}{(4-x)(4+x)}$
Observăm că $\displaystyle x-4=-(4-x)$ , deci simplificăm factorul $\displaystyle 4-x$ (în limită $\displaystyle x\neq 4$ ) și rămâne $\displaystyle \dfrac{-1}{4+x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x-4}{(4-x)(4+x)}=\lim_{x\to 4}\frac{-1}{4+x}$
Trecem la limită, înlocuind $\displaystyle x=4$ în $\displaystyle \dfrac{-1}{4+x}$ , care acum este definită în $\displaystyle 4$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{-1}{4+4}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}=\frac{-1}{8}=-\frac{1}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{-4}{x^2+1}, & x\leq 0\\ x-4, & x>0\end{cases}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul

\displaystyle A(-1,-2)

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A$ are abscisa $\displaystyle -1\leq 0$ , deci în jurul lui $\displaystyle -1$ funcția este dată de $\displaystyle f(x)=\dfrac{-4}{x^{2}+1}$ . Verificăm că $\displaystyle A$ aparține graficului: $\displaystyle f(-1)=\dfrac{-4}{2}=-2$ .
$\displaystyle f(-1)=-2$
Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $\displaystyle -1$ este $\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)$ .
$\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)$
Derivăm $\displaystyle f$ pentru $\displaystyle x<0$ , folosind formula derivatei unui cât: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{0\cdot(x^{2}+1)-(-4)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ , adică $\displaystyle f'(x)=\dfrac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}$
Calculăm derivata în $\displaystyle -1$ : $\displaystyle f'(-1)=\dfrac{8\cdot(-1)}{(1+1)^{2}}=\dfrac{-8}{4}=-2$ .
$\displaystyle f'(-1)=-2$
Înlocuim în ecuația tangentei: $\displaystyle y+2=-2(x+1)$ , deci $\displaystyle y=-2x-2-2=-2x-4$ .
$\displaystyle y=-2x-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f_m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_m(x)=3m^2x^2+6mx+9

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Determinați mulțimea primitivelor funcției

\displaystyle f_0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=0$ în $\displaystyle f_m(x)=3m^2x^2+6mx+9$ . Termenii $\displaystyle 3m^2x^2$ și $\displaystyle 6mx$ devin $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle f_0(x)=9$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f_0(x)=9$
Mulțimea primitivelor lui $\displaystyle f_0$ este integrala nedefinită $\displaystyle \int f_0(x)\,dx$ , adică integrala constantei $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle \int 9\,dx$
Scoatem constanta în fața integralei: $\displaystyle \int 9\,dx=9\int 1\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ , deci obținem $\displaystyle 9x$ . Adăugăm constanta $\displaystyle C\in\mathbb{R}$ . Verificare: $\displaystyle (9x+C)'=9=f_0(x)$ .
$\displaystyle \int 9\,dx=9x+C$ , $\displaystyle \ C\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f_m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_m(x)=3m^2x^2+6mx+9

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției

\displaystyle f_1

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=0

și

\displaystyle x=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=1$ în expresia funcției și obținem $\displaystyle f_1(x)=3x^{2}+6x+9$ .
$\displaystyle f_1(x)=3x^{2}+6x+9$
Arătăm că funcția este pozitivă pe $\displaystyle [0,1]$ : pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ termenii $\displaystyle 3x^{2}$ și $\displaystyle 6x$ sunt pozitivi sau nuli, iar $\displaystyle 9>0$ , deci $\displaystyle f_1(x)>0$ . Prin urmare modulul dispare, iar aria este integrala funcției pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle A=\int_0^1\left|3x^{2}+6x+9\right|dx=\int_0^1\left(3x^{2}+6x+9\right)dx$
Aflăm o primitivă a funcției, integrând fiecare termen: primitiva lui $\displaystyle 3x^{2}$ este $\displaystyle x^{3}$ , a lui $\displaystyle 6x$ este $\displaystyle 3x^{2}$ , iar a lui $\displaystyle 9$ este $\displaystyle 9x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle A=\left(x^{3}+3x^{2}+9x\right)\Big|_0^1$
Calculăm valoarea în $\displaystyle 1$ și în $\displaystyle 0$ și facem diferența: $\displaystyle (1+3+9)-0=13$ .
$\displaystyle A=13$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f_m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_m(x)=3m^2x^2+6mx+9

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^2\frac{f_2(x)-9}{x}\cdot e^x\,dx

.

Vezi rezolvarea

Scriem funcția $\displaystyle f_2$ : înlocuim $\displaystyle m=2$ în formula funcției, deci $\displaystyle f_2(x)=3\cdot 2^{2}x^{2}+6\cdot 2\,x+9=12x^{2}+12x+9$ .
$\displaystyle f_2(x)=12x^{2}+12x+9$
Calculăm $\displaystyle f_2(x)-9=12x^{2}+12x$ , apoi împărțim la $\displaystyle x$ și simplificăm: $\displaystyle \dfrac{12x^{2}+12x}{x}=12x+12$ .
$\displaystyle \frac{f_2(x)-9}{x}=12x+12$
Integrala devine $\displaystyle \int_1^2(12x+12)e^x\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^2(12x+12)e^x\,dx$
Găsim o primitivă a funcției $\displaystyle (12x+12)e^x$ . Derivăm $\displaystyle 12xe^x$ cu regula produsului: $\displaystyle (12xe^x)'=12e^x+12xe^x=(12x+12)e^x$ . Deci $\displaystyle 12xe^x$ este o primitivă.
$\displaystyle \int_1^2(12x+12)e^x\,dx=12xe^x\Big|_1^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle 12xe^x\Big|_1^2=12\cdot 2\cdot e^{2}-12\cdot 1\cdot e=24e^{2}-12e$ .
$\displaystyle 24e^{2}-12e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani