Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (0,2⋅10−1)(0,2⋅10+1)=3\displaystyle (0,2\cdot 10-1)(0,2\cdot 10+1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul din ambele paranteze: 0,2⋅10=2\displaystyle 0{,}2\cdot 10=2.
    0,2⋅10=2\displaystyle 0{,}2\cdot 10=2
  2. Înlocuim 0,2⋅10\displaystyle 0{,}2\cdot 10 cu 2\displaystyle 2 în fiecare paranteză și obținem (2−1)(2+1)\displaystyle (2-1)(2+1).
    (2−1)(2+1)\displaystyle (2-1)(2+1)
  3. Calculăm fiecare paranteză: 2−1=1\displaystyle 2-1=1, iar 2+1=3\displaystyle 2+1=3.
    1⋅3\displaystyle 1\cdot 3
  4. Înmulțim valorile obținute: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, deci egalitatea este adevărată.
    1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2\displaystyle f(x)=x^2-2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f(x)=x\displaystyle f(x)=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia lui în ecuația f(x)=x\displaystyle f(x)=x și obținem ecuația x2−2=x\displaystyle x^{2}-2=x.
    x2−2=x\displaystyle x^{2}-2=x
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng, ca să obținem o ecuație de gradul al doilea sub forma redusă, cu membrul drept 0\displaystyle 0.
    x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0
  3. Identificăm coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=−2\displaystyle c=-2 și calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9
  4. Aplicăm formula soluțiilor: x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. Rădăcina pătrată din 9\displaystyle 9 este 3\displaystyle 3, deci x=1±32\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{2}.
    x1=1−32=−1\displaystyle x_{1}=\dfrac{1-3}{2}=-1,x2=1+32=2\displaystyle \quad x_{2}=\dfrac{1+3}{2}=2
  5. Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației date. Verificare: pentru x=−1\displaystyle x=-1, f(−1)=1−2=−1\displaystyle f(-1)=1-2=-1; pentru x=2\displaystyle x=2, f(2)=4−2=2\displaystyle f(2)=4-2=2.
    x=−1 sau x=2\displaystyle x=-1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 26−x=x+14\displaystyle 2\sqrt{6-x}=\sqrt{x+14}.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalii există dacă 6−x≥0\displaystyle 6-x\ge 0 și x+14≥0\displaystyle x+14\ge 0, adică x≤6\displaystyle x\le 6 și x≥−14\displaystyle x\ge -14.
    x∈[−14, 6]\displaystyle x\in[-14,\,6]
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației 26−x=x+14\displaystyle 2\sqrt{6-x}=\sqrt{x+14}. În stânga, (26−x)2=4(6−x)\displaystyle \left(2\sqrt{6-x}\right)^{2}=4(6-x), iar în dreapta (x+14)2=x+14\displaystyle \left(\sqrt{x+14}\right)^{2}=x+14.
    4(6−x)=x+14\displaystyle 4(6-x)=x+14
  3. Desfacem parantezele: 24−4x=x+14\displaystyle 24-4x=x+14. Mutăm −4x\displaystyle -4x în dreapta și 14\displaystyle 14 în stânga: 24−14=x+4x\displaystyle 24-14=x+4x, deci 10=5x\displaystyle 10=5x.
    24−4x=x+14⇔5x=10\displaystyle 24-4x=x+14\Leftrightarrow 5x=10
  4. Împărțim ecuația 5x=10\displaystyle 5x=10 la 5\displaystyle 5 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Avem 2∈[−14,6]\displaystyle 2\in[-14,6]. Verificare: în stânga 26−2=24=4\displaystyle 2\sqrt{6-2}=2\sqrt{4}=4, iar în dreapta 2+14=16=4\displaystyle \sqrt{2+14}=\sqrt{16}=4. Egalitatea este adevărată, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 2\displaystyle 2 mai mică decât cifra unităților.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1\displaystyle 99-10+1, deci avem cazurile posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Scriem numărul sub forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor și b\displaystyle b cifra unităților. Condiția devine a=b−2\displaystyle a=b-2, adică b=a+2\displaystyle b=a+2.
    b=a+2\displaystyle b=a+2
  3. Cifra zecilor verifică 1≤a≤9\displaystyle 1\le a\le 9, iar b=a+2≤9\displaystyle b=a+2\le 9 dă a≤7\displaystyle a\le 7. Deci a∈{1,2,…,7}\displaystyle a\in\{1,2,\ldots,7\}.
    a∈{1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle a\in\{1,2,3,4,5,6,7\}
  4. Pentru fiecare a\displaystyle a obținem un singur număr: 13,24,35,46,57,68,79\displaystyle 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79. Avem deci 7\displaystyle 7 cazuri favorabile.
    13\displaystyle 13, 24\displaystyle \,24, 35\displaystyle \,35, 46\displaystyle \,46, 57\displaystyle \,57, 68\displaystyle \,68, 79  ⇒  7 cazuri favorabile\displaystyle \,79\;\Rightarrow\;7\text{ cazuri favorabile}
  5. Aplicăm formula clasică: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{7}{90}.
    p=790\displaystyle p=\frac{7}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care u⃗+v⃗=0⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=\vec{0}, unde u⃗=ai⃗+(a−1)j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j} și v⃗=2i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma vectorilor înlocuind expresiile lui u⃗\displaystyle \vec{u} și v⃗\displaystyle \vec{v}: u⃗+v⃗=ai⃗+(a−1)j⃗+2i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}+2\vec{i}+3\vec{j}.
    u⃗+v⃗=ai⃗+(a−1)j⃗+2i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}+2\vec{i}+3\vec{j}
  2. Grupăm termenii cu i⃗\displaystyle \vec{i} și pe cei cu j⃗\displaystyle \vec{j}: (a+2)i⃗+(a−1+3)j⃗\displaystyle (a+2)\vec{i}+(a-1+3)\vec{j}. Cum a−1+3=a+2\displaystyle a-1+3=a+2, obținem suma de mai jos.
    u⃗+v⃗=(a+2)i⃗+(a+2)j⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=(a+2)\vec{i}+(a+2)\vec{j}
  3. Vectorul nul are ambele coordonate egale cu zero, deci a+2=0\displaystyle a+2=0 (pentru i⃗\displaystyle \vec{i}) și a+2=0\displaystyle a+2=0 (pentru j⃗\displaystyle \vec{j}). Ambele condiții dau aceeași ecuație.
    a+2=0\displaystyle a+2=0
  4. Din a+2=0\displaystyle a+2=0 rezultă valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că tg⁡x=34\displaystyle \operatorname{tg} x=\frac{3}{4}, știind că sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici exprimăm cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x
  2. Înlocuim sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\dfrac{3}{5} și calculăm: cos⁡2x=1−925=1625\displaystyle \cos^{2}x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
    cos⁡2x=1−(35)2=1625\displaystyle \cos^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}
  3. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), cosinusul este pozitiv, deci luăm rădăcina pozitivă: cos⁡x=1625=45\displaystyle \cos x=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}.
    cos⁡x=1−(35)2=45\displaystyle \cos x=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}
  4. Scriem tangenta ca raport: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=3545\displaystyle \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}, adică înmulțim cu inversul: 35⋅54\displaystyle \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{4}.
    tg⁡x=35⋅54\displaystyle \operatorname{tg} x=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}
  5. Simplificăm cu 5\displaystyle 5 și obținem tg⁡x=34\displaystyle \operatorname{tg} x=\dfrac{3}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=35⋅54=34\displaystyle \operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+ay=12x+y+az=4−3x−y+z=1\begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real și A(a)\displaystyle A(a) matricea coeficienților sistemului.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea coeficienților sistemului pentru un a\displaystyle a oarecare: pe fiecare linie punem coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din ecuația respectivă. În prima ecuație lipsește z\displaystyle z, deci coeficientul lui z\displaystyle z este 0\displaystyle 0.
    A(a)=(1a021a−3−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&0\\2&1&a\\-3&-1&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0), apoi scriem determinantul ei.
    A(0)=(100210−3−11)⇒det⁡(A(0))=∣100210−3−11∣\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\-3&-1&1\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\2&1&0\\-3&-1&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Aici toate produsele cu un element 0\displaystyle 0 dispar, iar produsul diagonalei principale este 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    det⁡(A(0))=1⋅1⋅1+0⋅0⋅(−3)+0⋅2⋅(−1)−0⋅1⋅(−3)−1⋅0⋅(−1)−0⋅2⋅1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot(-3)+0\cdot2\cdot(-1)-0\cdot1\cdot(-3)-1\cdot0\cdot(-1)-0\cdot2\cdot1
  4. Matricea este inferior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală. Rămâne doar primul termen, care este 1\displaystyle 1, deci determinantul este 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    1+0+0−0−0−0=1\displaystyle 1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+ay=12x+y+az=4−3x−y+z=1\begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real și A(a)\displaystyle A(a) matricea coeficienților sistemului.

Pentru a=−1\displaystyle a=-1, determinați soluția sistemului de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în sistem și scriem matricea coeficienților. Prima ecuație devine x−y=1\displaystyle x-y=1, a doua 2x+y−z=4\displaystyle 2x+y-z=4, iar a treia rămâne −3x−y+z=1\displaystyle -3x-y+z=1.
    A(−1)=(1−1021−1−3−11)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&-1&0\\2&1&-1\\-3&-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(−1))=1⋅(1⋅1−(−1)(−1))−(−1)⋅(2⋅1−(−1)(−3))=0+(2−3)\displaystyle \det(A(-1))=1\cdot(1\cdot1-(-1)(-1))-(-1)\cdot(2\cdot1-(-1)(-3))=0+(2-3). Determinantul este nenul, deci sistemul este compatibil determinat.
    det⁡(A(−1))=−1≠0\displaystyle \det(A(-1))=-1\neq 0
  3. Adunăm a doua și a treia ecuație: (2x+y−z)+(−3x−y+z)=4+1\displaystyle (2x+y-z)+(-3x-y+z)=4+1. Termenii cu y\displaystyle y și cu z\displaystyle z se reduc și rămâne −x=5\displaystyle -x=5.
    x=−5\displaystyle x=-5
  4. Din prima ecuație, x−y=1\displaystyle x-y=1, deci y=x−1\displaystyle y=x-1. Înlocuim x=−5\displaystyle x=-5 și obținem y=−5−1\displaystyle y=-5-1.
    y=−6\displaystyle y=-6
  5. Înlocuim x=−5\displaystyle x=-5 și y=−6\displaystyle y=-6 în a doua ecuație: 2⋅(−5)+(−6)−z=4\displaystyle 2\cdot(-5)+(-6)-z=4, deci −16−z=4\displaystyle -16-z=4, de unde z=−20\displaystyle z=-20. Verificare în a treia ecuație: −3⋅(−5)−(−6)+(−20)=15+6−20=1\displaystyle -3\cdot(-5)-(-6)+(-20)=15+6-20=1, adevărat.
    z=−20\displaystyle z=-20
  6. Soluția unică a sistemului este x=−5\displaystyle x=-5, y=−6\displaystyle y=-6, z=−20\displaystyle z=-20.
    x=−5\displaystyle x=-5, y=−6\displaystyle \ y=-6, z=−20\displaystyle \ z=-20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+ay=12x+y+az=4−3x−y+z=1\begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real și A(a)\displaystyle A(a) matricea coeficienților sistemului.

Demonstrați că, pentru orice număr rațional p\displaystyle p, matricea A(p)\displaystyle A(p) este inversabilă pentru orice număr rațional p\displaystyle p.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea coeficienților sistemului, citind coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din fiecare ecuație. Pentru p\displaystyle p rațional punem a=p\displaystyle a=p.
    A(p)=(1p021p−3−11)\displaystyle A(p)=\begin{pmatrix}1&p&0\\2&1&p\\-3&-1&1\end{pmatrix}
  2. Matricea este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A(p))≠0\displaystyle \det(A(p))\neq 0. Dezvoltăm determinantul după prima linie; al treilea element al liniei este 0\displaystyle 0, deci rămân doar doi termeni.
    det⁡(A(p))=1⋅∣1p−11∣−p⋅∣2p−31∣\displaystyle \det(A(p))=1\cdot\begin{vmatrix}1&p\\-1&1\end{vmatrix}-p\cdot\begin{vmatrix}2&p\\-3&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei doi determinanți de ordin 2\displaystyle 2: primul este 1⋅1−p⋅(−1)=1+p\displaystyle 1\cdot 1-p\cdot(-1)=1+p, al doilea este 2⋅1−p⋅(−3)=2+3p\displaystyle 2\cdot 1-p\cdot(-3)=2+3p. Reducem termenii asemenea.
    det⁡(A(p))=(1+p)−p(2+3p)=1+p−2p−3p2=−3p2−p+1\displaystyle \det(A(p))=(1+p)-p(2+3p)=1+p-2p-3p^{2}=-3p^{2}-p+1
  4. Presupunem că det⁡(A(p))=0\displaystyle \det(A(p))=0, adică −3p2−p+1=0\displaystyle -3p^{2}-p+1=0, echivalent cu 3p2+p−1=0\displaystyle 3p^{2}+p-1=0. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅3⋅(−1)\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 3\cdot(-1).
    Δ=1+12=13\displaystyle \Delta=1+12=13
  5. Rădăcinile ecuației sunt p=−1±136\displaystyle p=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{6}. Ele sunt iraționale, pentru că 13\displaystyle 13 nu este pătrat perfect. Deci nu există p\displaystyle p rațional cu det⁡(A(p))=0\displaystyle \det(A(p))=0, adică det⁡(A(p))≠0\displaystyle \det(A(p))\neq 0, iar A(p)\displaystyle A(p) este inversabilă pentru orice p\displaystyle p rațional.
    −3p2−p+1=0⇔p=−1+136∉Q sau p=−1−136∉Q, deci det⁡(A(p))≠0\displaystyle -3p^{2}-p+1=0\Leftrightarrow p=-\frac{1+\sqrt{13}}{6}\notin\mathbb{Q}\text{ sau }p=-\frac{1-\sqrt{13}}{6}\notin\mathbb{Q}\text{, deci }\det(A(p))\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−101x−101y+10302\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10302.

Arătați că x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=xy−101x−101y+10302\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10302 și observăm că 10302=10201+101\displaystyle 10302=10201+101, unde 10201=1012\displaystyle 10201=101^{2}.
    10302=1012+101=10201+101\displaystyle 10302=101^{2}+101=10201+101
  2. Înlocuim 10302\displaystyle 10302 cu 10201+101\displaystyle 10201+101 în expresia lui x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=xy−101x−101y+10201+101\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10201+101
  3. Grupăm termenii: xy−101x=x(y−101)\displaystyle xy-101x=x(y-101), iar −101y+10201=−101(y−101)\displaystyle -101y+10201=-101(y-101), deoarece 101⋅101=10201\displaystyle 101\cdot 101=10201.
    x∗y=x(y−101)−101(y−101)+101\displaystyle x*y=x(y-101)-101(y-101)+101
  4. Dăm factor comun pe y−101\displaystyle y-101 din primii doi termeni: x(y−101)−101(y−101)=(x−101)(y−101)\displaystyle x(y-101)-101(y-101)=(x-101)(y-101).
    x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−101x−101y+10302\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10302.

Determinați numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat: x∗y=xy−101x−101y+10201+101\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10201+101, deci x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101, deoarece 1012=10201\displaystyle 101^{2}=10201 și 10302−10201=101\displaystyle 10302-10201=101.
    x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101
  2. Elementul neutru e\displaystyle e verifică x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real. Din forma factorizată obținem (x−101)(e−101)+101=x\displaystyle (x-101)(e-101)+101=x, adică (x−101)(e−101)=x−101\displaystyle (x-101)(e-101)=x-101 pentru orice x\displaystyle x. Rezultă e−101=1\displaystyle e-101=1, deci e=102\displaystyle e=102.
    e=102\displaystyle e=102
  3. Un număr x\displaystyle x este egal cu simetricul său x′\displaystyle x' dacă x∗x=e\displaystyle x*x=e, adică x∗x=102\displaystyle x*x=102.
    x=x′⇔x∗x=102\displaystyle x=x'\Leftrightarrow x*x=102
  4. Folosim forma factorizată: (x−101)2+101=102\displaystyle (x-101)^{2}+101=102, de unde (x−101)2=1\displaystyle (x-101)^{2}=1.
    (x−101)2=1\displaystyle (x-101)^{2}=1
  5. Din (x−101)2=1\displaystyle (x-101)^{2}=1 rezultă x−101=1\displaystyle x-101=1 sau x−101=−1\displaystyle x-101=-1, deci x=102\displaystyle x=102 sau x=100\displaystyle x=100. Numerele căutate sunt 100\displaystyle 100 și 102\displaystyle 102.
    x=100 sau x=102\displaystyle x=100\text{ sau }x=102
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−101x−101y+10302\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10302.

Determinați numerele întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y, cu x<y\displaystyle x<y, pentru care x∗y=202\displaystyle x*y=202.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Calculăm produsul (x−101)(y−101)=xy−101x−101y+10201\displaystyle (x-101)(y-101)=xy-101x-101y+10201. Cum 10302=10201+101\displaystyle 10302=10201+101, obținem x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101.
    x∗y=(x−101)(y−101)+101\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101
  2. Impunem condiția x∗y=202\displaystyle x*y=202 și scădem 101\displaystyle 101 din ambii membri.
    (x−101)(y−101)+101=202⇔(x−101)(y−101)=101\displaystyle (x-101)(y-101)+101=202\Leftrightarrow (x-101)(y-101)=101
  3. Numerele x−101\displaystyle x-101 și y−101\displaystyle y-101 sunt întregi și produsul lor este 101\displaystyle 101, care este număr prim. Deci divizorii lor sunt doar 1\displaystyle 1, −1\displaystyle -1, 101\displaystyle 101, −101\displaystyle -101. Din x<y\displaystyle x<y rezultă x−101<y−101\displaystyle x-101<y-101, deci rămân doar două perechi posibile: (−101,−1)\displaystyle (-101,-1) și (1,101)\displaystyle (1,101).
    (x−101, y−101)∈{(−101,−1), (1,101)}\displaystyle (x-101,\,y-101)\in\{(-101,-1),\,(1,101)\}
  4. Revenim la x\displaystyle x și y\displaystyle y. Din prima pereche: x−101=−101\displaystyle x-101=-101 și y−101=−1\displaystyle y-101=-1, deci x=0\displaystyle x=0 și y=100\displaystyle y=100. Din a doua pereche: x−101=1\displaystyle x-101=1 și y−101=101\displaystyle y-101=101, deci x=102\displaystyle x=102 și y=202\displaystyle y=202. Ambele perechi verifică x<y\displaystyle x<y și produsul 101\displaystyle 101.
    x=0 și y=100 sau x=102 și y=202\displaystyle x=0\text{ și }y=100\text{ sau }x=102\text{ și }y=202
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−5\displaystyle f(x)=e^x-x-5.

Determinați panta tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Panta tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 este egală cu valoarea derivatei în acel punct, adică m=f′(0)\displaystyle m=f'(0).
    m=f′(0)\displaystyle m=f'(0)
  2. Derivăm funcția termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (5)′=0\displaystyle (5)'=0. Obținem f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în expresia derivatei și folosim e0=1\displaystyle e^0=1: f′(0)=e0−1=1−1=0\displaystyle f'(0)=e^0-1=1-1=0. Deci panta tangentei este 0.
    m=f′(0)=e0−1=0\displaystyle m=f'(0)=e^0-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−5\displaystyle f(x)=e^x-x-5.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f. Derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata constantei 5\displaystyle 5 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata constantei −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0.
    f′′(x)=ex\displaystyle f''(x)=e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Funcția exponențială are ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci derivata a doua este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}. O funcție cu derivata a doua pozitivă pe un interval este convexă pe acel interval, deci f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′′(x)>0, pentru orice numa˘r real x, deci f este convexa˘ pe R\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }f\text{ este convexă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−5\displaystyle f(x)=e^x-x-5.

Demonstrați că ex(1−x)≤1\displaystyle e^x(1-x)\leq 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata lui −x−5\displaystyle -x-5 este −1\displaystyle -1, deci f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Din ex−1=0\displaystyle e^x-1=0 rezultă ex=1=e0\displaystyle e^x=1=e^0, deci x=0\displaystyle x=0, deoarece funcția exponențială este injectivă.
    f′(x)=0⇔x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x<0\displaystyle x<0 avem ex<1\displaystyle e^x<1, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem ex>1\displaystyle e^x>1, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [0,∞)\displaystyle [0,\infty). Prin urmare x=0\displaystyle x=0 este punct de minim.
    f descresca˘toare pe (−∞,0], cresca˘toare pe [0,∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,0]\text{, crescătoare pe }[0,\infty)
  4. Calculăm valoarea minimă: f(0)=e0−0−5=1−5=−4\displaystyle f(0)=e^0-0-5=1-5=-4. Cum 0\displaystyle 0 este punctul de minim, rezultă f(x)≥f(0)=−4\displaystyle f(x)\geq f(0)=-4 pentru orice x\displaystyle x real.
    f(x)≥−4, pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\geq -4\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  5. Inegalitatea f(x)≥−4\displaystyle f(x)\geq -4 este adevărată pentru orice x\displaystyle x real, deci și pentru −x\displaystyle -x. Scriem f(−x)=e−x+x−5\displaystyle f(-x)=e^{-x}+x-5 și obținem e−x+x−5≥−4\displaystyle e^{-x}+x-5\geq -4. Mutăm x\displaystyle x în membrul drept: e−x≥1−x\displaystyle e^{-x}\geq 1-x.
    f(−x)≥−4⇒e−x≥−x+1\displaystyle f(-x)\geq -4\Rightarrow e^{-x}\geq -x+1
  6. Înmulțim ambii membri ai inegalității e−x≥1−x\displaystyle e^{-x}\geq 1-x cu ex>0\displaystyle e^x>0, deci sensul inegalității se păstrează. Cum e−x⋅ex=1\displaystyle e^{-x}\cdot e^x=1, obținem 1≥ex(1−x)\displaystyle 1\geq e^x(1-x), adică inegalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    ex(1−x)≤1, pentru orice x∈R\displaystyle e^x(1-x)\leq 1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4}{x}.

Arătați că ∫13(f(x)−4x)dx=4\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{4}{x}\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+4}{x} în integrală.
    ∫13(x2+4x−4x)dx\displaystyle \int_1^3\left(\frac{x^{2}+4}{x}-\frac{4}{x}\right)dx
  2. Cele două fracții au același numitor, deci scădem numărătorii: x2+4−4x=x2x=x\displaystyle \dfrac{x^{2}+4-4}{x}=\dfrac{x^{2}}{x}=x, pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3].
    ∫13x dx\displaystyle \int_1^3 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫13x dx=x22∣13\displaystyle \int_1^3 x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_1^3
  4. Calculăm primitiva în 3\displaystyle 3 și în 1\displaystyle 1 și scădem: 92−12=82=4\displaystyle \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{2}=4.
    92−12=4\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4}{x}.

Calculați ∫262f(x)dx\displaystyle \int_2^6\frac{2}{f(x)}dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+4}{x} în integrand. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci 2f(x)=2⋅xx2+4\displaystyle \dfrac{2}{f(x)}=2\cdot\dfrac{x}{x^{2}+4}.
    2f(x)=2xx2+4\displaystyle \dfrac{2}{f(x)}=\dfrac{2x}{x^{2}+4}
  2. Observăm că (x2+4)′=2x\displaystyle (x^{2}+4)'=2x, deci integrandul are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u=x2+4>0\displaystyle u=x^{2}+4>0. Primitiva este ln⁡(x2+4)\displaystyle \ln(x^{2}+4), deci integrala devine evaluarea ei între limitele 2\displaystyle 2 și 6\displaystyle 6.
    ∫262f(x)dx=∫262xx2+4dx=ln⁡(x2+4)∣26\displaystyle \int_2^6\dfrac{2}{f(x)}dx=\int_2^6\dfrac{2x}{x^{2}+4}dx=\ln(x^{2}+4)\Big|_2^6
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 62+4=40\displaystyle 6^{2}+4=40 și 22+4=8\displaystyle 2^{2}+4=8, deci diferența valorilor primitivei este ln⁡40−ln⁡8\displaystyle \ln 40-\ln 8.
    ln⁡40−ln⁡8\displaystyle \ln 40-\ln 8
  4. Folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Cum 408=5\displaystyle \dfrac{40}{8}=5, obținem răspunsul final.
    ln⁡40−ln⁡8=ln⁡408=ln⁡5\displaystyle \ln 40-\ln 8=\ln\dfrac{40}{8}=\ln 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4}{x}.

Determinați numărul real nenul a\displaystyle a, știind că ∫1e(f(x)−4x)ln⁡x dx=e2+1a\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\frac{4}{x}\right)\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{a}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia din paranteză: f(x)−4x=x2+4x−4x=x2x=x\displaystyle f(x)-\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^{2}+4}{x}-\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^{2}}{x}=x.
    f(x)−4x=x\displaystyle f(x)-\frac{4}{x}=x
  2. Integrala devine ∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx. Pentru integrarea prin părți, scriem x=(x22)′\displaystyle x=\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'.
    ∫1exln⁡x dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^{2}}{2}\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți: ∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex2 dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx.
    x22ln⁡x∣1e−∫1ex2 dx\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx
  4. Evaluăm primul termen: e22ln⁡e−12ln⁡1=e22\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}\ln e-\dfrac{1}{2}\ln 1=\dfrac{e^{2}}{2}. Integrala rămasă are primitiva x24\displaystyle \dfrac{x^{2}}{4}, deci ∫1ex2 dx=x24∣1e=e2−14\displaystyle \int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}-1}{4}.
    e22−e2−14\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}-1}{4}
  5. Aducem la același numitor: 2e24−e2−14=e2+14\displaystyle \dfrac{2e^{2}}{4}-\dfrac{e^{2}-1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{4}.
    ∫1exln⁡x dx=e2+14\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\frac{e^{2}+1}{4}
  6. Egalăm cu valoarea din enunț: e2+14=e2+1a\displaystyle \dfrac{e^{2}+1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{a}. Cum e2+1≠0\displaystyle e^{2}+1\neq 0, rezultă a=4\displaystyle a=4.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.