Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că, dacă z1=1−2i\displaystyle z_1 = 1-2i și z2=1+12i\displaystyle z_2 = 1+\frac{1}{2}i, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1, atunci z1+z2=z1z2\displaystyle z_1+z_2=z_1z_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma z1+z2\displaystyle z_1+z_2: adunăm separat părțile reale și părțile imaginare. Avem z1+z2=1−2i+1+12i\displaystyle z_1+z_2=1-2i+1+\dfrac{1}{2}i.
    z1+z2=1−2i+1+12i\displaystyle z_1+z_2=1-2i+1+\frac{1}{2}i
  2. Partea reală este 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Partea imaginară are coeficientul −2+12=−32\displaystyle -2+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}. Deci suma este 2−32i\displaystyle 2-\dfrac{3}{2}i.
    z1+z2=2−32i\displaystyle z_1+z_2=2-\frac{3}{2}i
  3. Calculăm produsul z1z2\displaystyle z_1z_2: distribuim fiecare termen din prima paranteză la fiecare termen din a doua.
    z1z2=(1−2i)(1+12i)=1+12i−2i−i2\displaystyle z_1z_2=(1-2i)\left(1+\frac{1}{2}i\right)=1+\frac{1}{2}i-2i-i^2
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci −i2=1\displaystyle -i^2=1. Reducem termenii asemenea: 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 12i−2i=−32i\displaystyle \dfrac{1}{2}i-2i=-\dfrac{3}{2}i.
    z1z2=1+1+12i−2i=2−32i\displaystyle z_1z_2=1+1+\frac{1}{2}i-2i=2-\frac{3}{2}i
  5. Am obținut z1+z2=2−32i\displaystyle z_1+z_2=2-\dfrac{3}{2}i și z1z2=2−32i\displaystyle z_1z_2=2-\dfrac{3}{2}i, deci cele două numere sunt egale.
    z1z2=2−32i, deci z1+z2=z1z2\displaystyle z_1z_2=2-\frac{3}{2}i\text{, deci }z_1+z_2=z_1z_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+m\displaystyle f(x)=2x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, astfel încât (f∘f)(x)=2f(x−1)\displaystyle (f\circ f)(x)=2f(x-1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm compunerea f∘f\displaystyle f\circ f: înlocuim pe f(x)\displaystyle f(x) în f\displaystyle f. Avem (f∘f)(x)=f(f(x))=2f(x)+m=2(2x+m)+m\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=2f(x)+m=2(2x+m)+m.
    (f∘f)(x)=2(2x+m)+m\displaystyle (f\circ f)(x)=2(2x+m)+m
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 4x+2m+m=4x+3m\displaystyle 4x+2m+m=4x+3m.
    (f∘f)(x)=4x+3m\displaystyle (f\circ f)(x)=4x+3m
  3. Calculăm f(x−1)\displaystyle f(x-1): în formula lui f\displaystyle f înlocuim x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1, deci f(x−1)=2(x−1)+m\displaystyle f(x-1)=2(x-1)+m. Apoi înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 2f(x−1)=2(2(x−1)+m)=4x−4+2m\displaystyle 2f(x-1)=2\left(2(x-1)+m\right)=4x-4+2m.
    2f(x−1)=4x−4+2m\displaystyle 2f(x-1)=4x-4+2m
  4. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x real. Scriem egalitatea celor două expresii: 4x+3m=4x−4+2m\displaystyle 4x+3m=4x-4+2m. Termenii cu x\displaystyle x sunt identici (4x\displaystyle 4x), deci rămâne egalitatea termenilor liberi: 3m=−4+2m\displaystyle 3m=-4+2m.
    3m=−4+2m\displaystyle 3m=-4+2m
  5. Trecem 2m\displaystyle 2m în partea stângă: 3m−2m=−4\displaystyle 3m-2m=-4, deci m=−4\displaystyle m=-4. Pentru această valoare egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real.
    m=−4\displaystyle m=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1⋅2x=50⋅7x−1\displaystyle 5^{x+1}\cdot 2^x=50\cdot 7^{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 5x+1=5⋅5x\displaystyle 5^{x+1}=5\cdot 5^{x}, iar 7x−1\displaystyle 7^{x-1} rămâne neschimbat. Scriem ecuația astfel.
    5⋅5x⋅2x=50⋅7x−1\displaystyle 5\cdot 5^{x}\cdot 2^{x}=50\cdot 7^{x-1}
  2. Împărțim ambii membri la 5\displaystyle 5, ca să scăpăm de factorul 5\displaystyle 5 din stânga. În dreapta, 50:5=10\displaystyle 50:5=10.
    5x⋅2x=10⋅7x−1\displaystyle 5^{x}\cdot 2^{x}=10\cdot 7^{x-1}
  3. Grupăm puterile din stânga care au același exponent: 5x⋅2x=(5⋅2)x=10x\displaystyle 5^{x}\cdot 2^{x}=(5\cdot 2)^{x}=10^{x}. Apoi 10x=10⋅10x−1\displaystyle 10^{x}=10\cdot 10^{x-1}, deci ecuația devine 10⋅10x−1=10⋅7x−1\displaystyle 10\cdot 10^{x-1}=10\cdot 7^{x-1}.
    10⋅10x−1=10⋅7x−1\displaystyle 10\cdot 10^{x-1}=10\cdot 7^{x-1}
  4. Împărțim la 10\displaystyle 10 și obținem o ecuație în care ambii membri au același exponent, x−1\displaystyle x-1.
    10x−1=7x−1\displaystyle 10^{x-1}=7^{x-1}
  5. Împărțim ambii membri la 7x−1≠0\displaystyle 7^{x-1}\neq 0 și obținem (107)x−1=1\displaystyle \left(\dfrac{10}{7}\right)^{x-1}=1. Cum baza 107\displaystyle \dfrac{10}{7} este diferită de 1\displaystyle 1, puterea este 1\displaystyle 1 doar dacă exponentul este 0\displaystyle 0.
    x−1=0\displaystyle x-1=0
  6. Din x−1=0\displaystyle x-1=0 rezultă x=1\displaystyle x=1. Este soluția unică a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul funcțiilor f:{0,2,4}→{3,5,7,9}\displaystyle f:\{0,2,4\}\to\{3,5,7,9\} cu proprietatea f(2)≤8\displaystyle f(2)\le 8.
Vezi rezolvarea
  1. O funcție definită pe mulțimea {0,2,4}\displaystyle \{0,2,4\} este determinată de valorile f(0)\displaystyle f(0), f(2)\displaystyle f(2), f(4)\displaystyle f(4), fiecare aflată în mulțimea {3,5,7,9}\displaystyle \{3,5,7,9\}. Valorile se aleg independent una de alta, cu condiția f(2)≤8\displaystyle f(2)\le 8.
    f(0)\displaystyle f(0), f(2)\displaystyle \ f(2), f(4)∈{3,5,7,9}\displaystyle \ f(4)\in\{3,5,7,9\}, f(2)≤8\displaystyle \ f(2)\le 8
  2. Pentru f(2)\displaystyle f(2) sunt permise doar valorile din {3,5,7,9}\displaystyle \{3,5,7,9\} care sunt ≤8\displaystyle \le 8, adică 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 și 7\displaystyle 7. Valoarea 9\displaystyle 9 este exclusă. Deci f(2)\displaystyle f(2) se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri.
    f(2)∈{3,5,7}⇒3 moduri\displaystyle f(2)\in\{3,5,7\}\Rightarrow 3\text{ moduri}
  3. Pentru f(0)\displaystyle f(0) și f(4)\displaystyle f(4) nu există nicio restricție, deci fiecare se poate alege în câte 4\displaystyle 4 moduri, adică oricare dintre elementele 3,5,7,9\displaystyle 3,5,7,9.
    f(2) ıˆn 3 moduri; f(0)\displaystyle f(2)\text{ în }3\text{ moduri; }f(0),f(4) ıˆn caˆte 4 moduri\displaystyle f(4)\text{ în câte }4\text{ moduri}
  4. Alegerile sunt independente, deci aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri pentru f(0)\displaystyle f(0), f(2)\displaystyle f(2) și f(4)\displaystyle f(4). Obținem 4⋅3⋅4=48\displaystyle 4\cdot 3\cdot 4=48 de funcții.
    3⋅4⋅4=48\displaystyle 3\cdot 4\cdot 4=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy, se consideră punctele A(−2,4)\displaystyle A(-2,4), B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C\displaystyle C astfel încât AC=BC\displaystyle AC=BC. Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d, care trece prin punctul C\displaystyle C și este perpendiculară pe dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, deci mAB=0−42−(−2)\displaystyle m_{AB}=\dfrac{0-4}{2-(-2)}.
    mAB=−44=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-4}{4}=-1
  2. Dreapta d\displaystyle d este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci md⋅mAB=−1\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=-1. Cum mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1, obținem md=1\displaystyle m_d=1.
    md⋅mAB=−1⇒md=1\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=-1\Rightarrow m_d=1
  3. Deoarece AC=BC\displaystyle AC=BC, punctul C\displaystyle C se află pe mediatoarea segmentului AB\displaystyle AB. Dreapta d\displaystyle d trece prin C\displaystyle C și este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci d\displaystyle d este mediatoarea lui AB\displaystyle AB și trece prin mijlocul M\displaystyle M al lui AB\displaystyle AB.
    d=mediatoarea lui AB⇒M∈d\displaystyle d=\text{mediatoarea lui }AB\Rightarrow M\in d
  4. Calculăm mijlocul M\displaystyle M al lui AB\displaystyle AB: xM=−2+22\displaystyle x_M=\dfrac{-2+2}{2} și yM=4+02\displaystyle y_M=\dfrac{4+0}{2}.
    M(0,2)\displaystyle M(0,2)
  5. Scriem ecuația dreptei cu panta md=1\displaystyle m_d=1 care trece prin M(0,2)\displaystyle M(0,2): y−yM=md(x−xM)\displaystyle y-y_M=m_d(x-x_M), adică y−2=1⋅(x−0)\displaystyle y-2=1\cdot(x-0), de unde y=x+2\displaystyle y=x+2.
    d: y=x+2\displaystyle d:\ y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care sin⁡(2x+π3)cos⁡x=cos⁡(2x+π3)sin⁡x+1\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\cos x=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sin x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Mutăm termenul cos⁡(2x+π3)sin⁡x\displaystyle \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sin x în membrul stâng: ecuația devine o diferență de produse egală cu 1.
    sin⁡(2x+π3)cos⁡x−cos⁡(2x+π3)sin⁡x=1\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\cos x-\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sin x=1
  2. Recunoaștem formula sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, cu a=2x+π3\displaystyle a=2x+\frac{\pi}{3} și b=x\displaystyle b=x. Rezultă sin⁡(a−b)=1\displaystyle \sin(a-b)=1.
    sin⁡(2x+π3−x)=1\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}-x\right)=1
  3. Reducem termenii asemenea din argument: 2x−x=x\displaystyle 2x-x=x.
    sin⁡(x+π3)=1\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1
  4. Sinusul este 1\displaystyle 1 doar pentru unghiuri de forma π2+2kπ\displaystyle \frac{\pi}{2}+2k\pi. Dacă x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), atunci x+π3∈(π3,5π6)\displaystyle x+\frac{\pi}{3}\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right), deci singura valoare posibilă este π2\displaystyle \frac{\pi}{2}.
    x+π3=π2\displaystyle x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}
  5. Rezolvăm ecuația: x=π2−π3=π6\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}, valoare care aparține intervalului (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right).
    x=π6\displaystyle x=\frac{\pi}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(4x009x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4^x & 0\\ 0 & 9^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real și B=(−1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(x))=62x\displaystyle \det(A(x))=6^{2x}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(x)\displaystyle A(x) este diagonală. Scriem determinantul ei ca diferență dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=∣4x009x∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}4^x & 0\\ 0 & 9^x\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=∣4x009x∣=4x⋅9x−0⋅0\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}4^x & 0\\ 0 & 9^x\end{vmatrix}=4^x\cdot 9^x-0\cdot 0
  2. Produsul de pe diagonala secundară este 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, deci determinantul este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡(A(x))=4x⋅9x\displaystyle \det(A(x))=4^x\cdot 9^x
  3. Scriem bazele ca puteri: 4=22\displaystyle 4=2^2 și 9=32\displaystyle 9=3^2. Atunci 4x=(22)x=22x\displaystyle 4^x=(2^2)^x=2^{2x} și 9x=(32)x=32x\displaystyle 9^x=(3^2)^x=3^{2x}.
    4x⋅9x=22x⋅32x\displaystyle 4^x\cdot 9^x=2^{2x}\cdot 3^{2x}
  4. Cele două puteri au același exponent, 2x\displaystyle 2x, deci folosim regula an⋅bn=(a⋅b)n\displaystyle a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n. Obținem 22x⋅32x=(2⋅3)2x=62x\displaystyle 2^{2x}\cdot 3^{2x}=(2\cdot 3)^{2x}=6^{2x}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    22x⋅32x=62x, deci det⁡(A(x))=62x\displaystyle 2^{2x}\cdot 3^{2x}=6^{2x}\text{, deci }\det(A(x))=6^{2x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(4x009x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4^x & 0\\ 0 & 9^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real și B=(−1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅B=B⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot B=B\cdot A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅B\displaystyle A(x)\cdot B, înmulțind linie cu coloană: prima linie a lui A(x)\displaystyle A(x) este (4x, 0)\displaystyle (4^x,\ 0), iar a doua este (0, 9x)\displaystyle (0,\ 9^x).
    A(x)⋅B=(4x⋅(−1)+0⋅04x⋅1+0⋅10⋅(−1)+9x⋅00⋅1+9x⋅1)=(−4x4x09x)\displaystyle A(x)\cdot B=\begin{pmatrix}4^x\cdot(-1)+0\cdot 0 & 4^x\cdot 1+0\cdot 1\\ 0\cdot(-1)+9^x\cdot 0 & 0\cdot 1+9^x\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4^x & 4^x\\ 0 & 9^x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A(x)\displaystyle B\cdot A(x), înmulțind linie cu coloană: coloanele lui A(x)\displaystyle A(x) sunt (4x, 0)\displaystyle (4^x,\ 0) și (0, 9x)\displaystyle (0,\ 9^x).
    B⋅A(x)=(−1⋅4x+1⋅0−1⋅0+1⋅9x0⋅4x+1⋅00⋅0+1⋅9x)=(−4x9x09x)\displaystyle B\cdot A(x)=\begin{pmatrix}-1\cdot 4^x+1\cdot 0 & -1\cdot 0+1\cdot 9^x\\ 0\cdot 4^x+1\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot 9^x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4^x & 9^x\\ 0 & 9^x\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele de pe pozițiile (1,1)\displaystyle (1,1), (2,1)\displaystyle (2,1) și (2,2)\displaystyle (2,2) coincid pentru orice x\displaystyle x, deci singura condiție vine de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2).
    4x=9x\displaystyle 4^x=9^x
  4. Împărțim ecuația la 9x>0\displaystyle 9^x>0 și obținem o putere cu baza 49\displaystyle \dfrac{4}{9}. Această putere este egală cu 1\displaystyle 1 doar pentru exponent zero, deoarece baza este diferită de 1\displaystyle 1.
    (49)x=1 ⇒ x=0\displaystyle \left(\dfrac{4}{9}\right)^x=1\ \Rightarrow\ x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(4x009x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4^x & 0\\ 0 & 9^x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real și B=(−1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Demonstrați că orice matrice X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că X⋅X=A(1)\displaystyle X\cdot X=A(1) are toate elementele numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(1)\displaystyle A(1): pentru x=1\displaystyle x=1 obținem matricea diagonală cu elementele 4\displaystyle 4 și 9\displaystyle 9.
    A(1)=(4009)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix}
  2. Fie X\displaystyle X o matrice cu elemente reale a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d, astfel încât X⋅X=A(1)\displaystyle X\cdot X=A(1). Scriem matricea X\displaystyle X.
    X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c\displaystyle c,d∈R\displaystyle d\in\mathbb{R}
  3. Folosim asociativitatea înmulțirii matricelor: X⋅A(1)=X⋅(X⋅X)=(X⋅X)⋅X=A(1)⋅X\displaystyle X\cdot A(1)=X\cdot(X\cdot X)=(X\cdot X)\cdot X=A(1)\cdot X. Deci X\displaystyle X comută cu A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)⋅X=X⋅X⋅X=X⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot X=X\cdot X\cdot X=X\cdot A(1)
  4. Calculăm cele două produse: A(1)⋅X\displaystyle A(1)\cdot X înmulțește prima linie a lui X\displaystyle X cu 4\displaystyle 4 și a doua linie cu 9\displaystyle 9, iar X⋅A(1)\displaystyle X\cdot A(1) înmulțește prima coloană cu 4\displaystyle 4 și a doua coloană cu 9\displaystyle 9.
    (4a4b9c9d)=(4a9b4c9d)\displaystyle \begin{pmatrix}4a & 4b\\ 9c & 9d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a & 9b\\ 4c & 9d\end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele corespunzătoare: 4b=9b\displaystyle 4b=9b implică 5b=0\displaystyle 5b=0, iar 9c=4c\displaystyle 9c=4c implică 5c=0\displaystyle 5c=0. Deci b=0\displaystyle b=0 și c=0\displaystyle c=0, adică X\displaystyle X este diagonală.
    b=0 și c=0\displaystyle b=0\text{ și }c=0
  6. Cu b=c=0\displaystyle b=c=0, calculăm X⋅X\displaystyle X\cdot X și îl egalăm cu A(1)\displaystyle A(1).
    (a200d2)=(4009)\displaystyle \begin{pmatrix}a^2 & 0\\ 0 & d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix}
  7. Rezultă a2=4\displaystyle a^2=4 și d2=9\displaystyle d^2=9, deci a∈{−2,2}\displaystyle a\in\{-2,2\}, iar d∈{−3,3}\displaystyle d\in\{-3,3\}. Toate elementele lui X\displaystyle X (adică a\displaystyle a, d\displaystyle d, 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0) sunt numere întregi, ceea ce trebuia demonstrat.
    a∈{−2,2} și d∈{−3,3}\displaystyle a\in\{-2,2\}\text{ și }d\in\{-3,3\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x2+xy+2y2\displaystyle x\circ y=2x^2+xy+2y^2.

Arătați că 2∘1=12\displaystyle 2\circ 1=12.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=2x2+xy+2y2\displaystyle x\circ y=2x^2+xy+2y^2. Pentru 2∘1\displaystyle 2\circ 1 luăm x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1.
    x=2\displaystyle x=2, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Înlocuim în formulă: 2∘1=2⋅22+2⋅1+2⋅12\displaystyle 2\circ 1=2\cdot 2^2+2\cdot 1+2\cdot 1^2.
    2∘1=2⋅22+2⋅1+2⋅12\displaystyle 2\circ 1=2\cdot 2^2+2\cdot 1+2\cdot 1^2
  3. Calculăm puterile: 22=4\displaystyle 2^2=4 și 12=1\displaystyle 1^2=1. Apoi efectuăm înmulțirile: 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2.
    2∘1=8+2+2\displaystyle 2\circ 1=8+2+2
  4. Adunăm termenii: 8+2+2=12\displaystyle 8+2+2=12. Deci 2∘1=12\displaystyle 2\circ 1=12, ceea ce trebuia arătat.
    2∘1=8+2+2=12\displaystyle 2\circ 1=8+2+2=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x2+xy+2y2\displaystyle x\circ y=2x^2+xy+2y^2.

Se consideră numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c astfel încât 2a+2b+c≠0\displaystyle 2a+2b+c\neq 0. Știind că c∘a=c∘b\displaystyle c\circ a=c\circ b, demonstrați că a=b\displaystyle a=b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem egalitatea c∘a=c∘b\displaystyle c\circ a=c\circ b folosind definiția legii: c∘a=2c2+ca+2a2\displaystyle c\circ a=2c^2+ca+2a^2 și c∘b=2c2+cb+2b2\displaystyle c\circ b=2c^2+cb+2b^2.
    2c2+ca+2a2=2c2+cb+2b2\displaystyle 2c^2+ca+2a^2=2c^2+cb+2b^2
  2. Trecem toți termenii într-o parte și reducem termenii 2c2\displaystyle 2c^2, care se anulează. Grupăm termenii cu c\displaystyle c și termenii cu pătrate.
    c(a−b)+2(a2−b2)=0\displaystyle c(a-b)+2(a^2-b^2)=0
  3. Descompunem diferența de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b) și dăm factor comun pe a−b\displaystyle a-b.
    c(a−b)+2(a−b)(a+b)=0⇔(a−b)(c+2a+2b)=0\displaystyle c(a-b)+2(a-b)(a+b)=0\Leftrightarrow (a-b)(c+2a+2b)=0
  4. Un produs este nul doar dacă unul dintre factori este nul. Din ipoteză, 2a+2b+c≠0\displaystyle 2a+2b+c\neq 0, deci al doilea factor este nenul și putem simplifica prin el, obținând a−b=0\displaystyle a-b=0.
    2a+2b+c≠0⇒a−b=0\displaystyle 2a+2b+c\neq 0\Rightarrow a-b=0
  5. Din a−b=0\displaystyle a-b=0 rezultă a=b\displaystyle a=b, ceea ce trebuia demonstrat.
    a=b\displaystyle a=b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x2+xy+2y2\displaystyle x\circ y=2x^2+xy+2y^2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘(x+1)=5x3+2\displaystyle x\circ(x+1)=5x^3+2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în legea de compoziție pe y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1: x∘(x+1)=2x2+x(x+1)+2(x+1)2\displaystyle x\circ(x+1)=2x^2+x(x+1)+2(x+1)^2.
    x∘(x+1)=2x2+x(x+1)+2(x+1)2\displaystyle x\circ(x+1)=2x^2+x(x+1)+2(x+1)^2
  2. Dezvoltăm parantezele: x(x+1)=x2+x\displaystyle x(x+1)=x^2+x și 2(x+1)2=2x2+4x+2\displaystyle 2(x+1)^2=2x^2+4x+2. Adunăm termenii asemenea.
    x∘(x+1)=2x2+x2+x+2x2+4x+2=5x2+5x+2\displaystyle x\circ(x+1)=2x^2+x^2+x+2x^2+4x+2=5x^2+5x+2
  3. Scriem ecuația x∘(x+1)=5x3+2\displaystyle x\circ(x+1)=5x^3+2, adică 5x2+5x+2=5x3+2\displaystyle 5x^2+5x+2=5x^3+2, și mutăm toți termenii în aceeași parte: 5x3−5x2−5x=0\displaystyle 5x^3-5x^2-5x=0.
    5x3−5x2−5x=0\displaystyle 5x^3-5x^2-5x=0
  4. Dăm factor comun pe 5x\displaystyle 5x și obținem forma factorizată.
    5x(x2−x−1)=0\displaystyle 5x(x^2-x-1)=0
  5. Un produs este nul dacă un factor este nul: fie x=0\displaystyle x=0, fie x2−x−1=0\displaystyle x^2-x-1=0.
    x=0 sau x2−x−1=0\displaystyle x=0\text{ sau }x^2-x-1=0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea x2−x−1=0\displaystyle x^2-x-1=0: discriminantul este Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−1)=5\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5.
    Δ=5\displaystyle \Delta=5
  7. Rădăcinile sunt x=1±52\displaystyle x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}. Împreună cu x=0\displaystyle x=0, obținem toate soluțiile.
    x=1−52\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, x=0 sau x=1+52\displaystyle \ x=0\text{ sau }x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x+a(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln x+a(x+1), unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f′(x)=ln⁡x+1+a\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=xln⁡x+a(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln x+a(x+1) este o sumă. Derivata sumei este suma derivatelor, iar constanta a\displaystyle a iese în fața derivatei: f′(x)=(xln⁡x)′+a(x+1)′\displaystyle f'(x)=(x\ln x)'+a(x+1)'.
    f′(x)=(xln⁡x)′+a(x+1)′\displaystyle f'(x)=(x\ln x)'+a(x+1)'
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v' pentru u=x\displaystyle u=x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x.
    f′(x)=x′⋅ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′+a(x+1)′\displaystyle f'(x)=x'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'+a(x+1)'
  3. Folosim derivatele cunoscute: x′=1\displaystyle x'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1.
    x′=1\displaystyle x'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \ (\ln x)'=\frac{1}{x}, (x+1)′=1\displaystyle \ (x+1)'=1
  4. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x+a⋅1\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}+a\cdot 1.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x+a⋅1\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}+a\cdot 1
  5. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci f′(x)=ln⁡x+1+a\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) și orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, adică egalitatea cerută.
    f′(x)=ln⁡x+x⋅1x+a=ln⁡x+1+a\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}+a=\ln x+1+a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x+a(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln x+a(x+1), unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în expresia funcției și obținem f(x)=xln⁡x+x+1\displaystyle f(x)=x\ln x+x+1, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=xln⁡x+x+1\displaystyle f(x)=x\ln x+x+1
  2. Derivăm funcția cu regula produsului: derivata lui xln⁡x\displaystyle x\ln x este ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle \ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1, iar derivata lui x+1\displaystyle x+1 este 1\displaystyle 1.
    f′(x)=ln⁡x+1+1=ln⁡x+2\displaystyle f'(x)=\ln x+1+1=\ln x+2
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: ln⁡x+2=0\displaystyle \ln x+2=0, deci ln⁡x=−2\displaystyle \ln x=-2, adică x=1e2\displaystyle x=\dfrac{1}{e^{2}}. Acest punct se află în domeniul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=ln⁡x+2\displaystyle f'(x)=\ln x+2, f′(x)=0⇔x=1e2\displaystyle \ f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{2}}
  4. Studiem semnul derivatei. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, deci pentru x<1e2\displaystyle x<\dfrac{1}{e^{2}} avem ln⁡x<−2\displaystyle \ln x<-2 și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, iar pentru x>1e2\displaystyle x>\dfrac{1}{e^{2}} avem ln⁡x>−2\displaystyle \ln x>-2 și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)<0 pe (0,1e2)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }\left(0,\frac{1}{e^{2}}\right), f′(x)>0 pe (1e2,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }\left(\frac{1}{e^{2}},+\infty\right)
  5. Concluzie: funcția este descrescătoare pe (0,1e2]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{e^{2}}\right] și crescătoare pe [1e2,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{e^{2}},+\infty\right).
    f descresca˘toare pe (0,1e2] și cresca˘toare pe [1e2,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\left(0,\frac{1}{e^{2}}\right]\text{ și crescătoare pe }\left[\frac{1}{e^{2}},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x+a(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln x+a(x+1), unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, vom studia semnul derivatei a doua pe domeniul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm mai întâi derivata întâi, folosind regula de derivare a produsului pentru xln⁡x\displaystyle x\ln x și faptul că derivata lui a(x+1)\displaystyle a(x+1) este a\displaystyle a.
    f′(x)=(x)′ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′+a=ln⁡x+x⋅1x+a\displaystyle f'(x)=(x)'\ln x+x\cdot(\ln x)'+a=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}+a
  2. Simplificăm expresia derivatei întâi: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1.
    f′(x)=ln⁡x+1+a\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Derivăm încă o dată. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, iar 1\displaystyle 1 și a\displaystyle a sunt constante, deci derivatele lor sunt 0\displaystyle 0.
    f′′(x)=(ln⁡x+1+a)′=1x\displaystyle f''(x)=(\ln x+1+a)'=\dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), numărul 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este strict pozitiv, iar rezultatul nu depinde de a\displaystyle a. Deci derivata a doua este strict pozitivă pe tot domeniul, pentru orice număr real a\displaystyle a, și de aici funcția f\displaystyle f este convexă.
    f′′(x)=1x>0, deci f este convexa˘ pe (0,+∞), pentru orice a∈R\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x}>0\text{, deci }f\text{ este convexă pe }(0,+\infty)\text{, pentru orice }a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ex\displaystyle f(x)=2x+e^x.

Arătați că ∫−10f(x) dx=−1e\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=-\frac{1}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+ex\displaystyle f(x)=2x+e^x sub integrală și folosim liniaritatea: ∫−10f(x) dx=∫−102x dx+∫−10ex dx\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0} 2x\,dx+\int_{-1}^{0} e^x\,dx.
    ∫−10(2x+ex) dx=∫−102x dx+∫−10ex dx\displaystyle \int_{-1}^{0}(2x+e^x)\,dx=\int_{-1}^{0}2x\,dx+\int_{-1}^{0}e^x\,dx
  2. O primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2, iar o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x. Deci F(x)=x2+ex\displaystyle F(x)=x^2+e^x este primitivă a lui f\displaystyle f, iar formula Leibniz-Newton dă ∫−10(2x+ex) dx=(x2+ex)∣−10\displaystyle \int_{-1}^{0}(2x+e^x)\,dx=\left(x^2+e^x\right)\Big|_{-1}^{0}.
    ∫−10(2x+ex) dx=(x2+ex)∣−10\displaystyle \int_{-1}^{0}(2x+e^x)\,dx=\left(x^2+e^x\right)\Big|_{-1}^{0}
  3. Calculăm F(0)=02+e0=0+1=1\displaystyle F(0)=0^2+e^0=0+1=1 și F(−1)=(−1)2+e−1=1+1e\displaystyle F(-1)=(-1)^2+e^{-1}=1+\dfrac{1}{e}. Integrala este F(0)−F(−1)\displaystyle F(0)-F(-1).
    F(0)−F(−1)=0+e0−1−e−1=1−1−1e\displaystyle F(0)-F(-1)=0+e^0-1-e^{-1}=1-1-\frac{1}{e}
  4. Deoarece 1−1=0\displaystyle 1-1=0, rămâne −e−1=−1e\displaystyle -e^{-1}=-\dfrac{1}{e}, deci ∫−10f(x) dx=−1e\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=-\dfrac{1}{e}.
    ∫−10f(x) dx=−1e\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)\,dx=-\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ex\displaystyle f(x)=2x+e^x.

Calculați ∫01xf(x2) dx\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x^2)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în expresia funcției f(x)=2x+ex\displaystyle f(x)=2x+e^{x} și obținem f(x2)=2x2+ex2\displaystyle f(x^{2})=2x^{2}+e^{x^{2}}.
    f(x2)=2x2+ex2\displaystyle f(x^{2})=2x^{2}+e^{x^{2}}
  2. Înmulțim cu x\displaystyle x: xf(x2)=2x3+xex2\displaystyle x f(x^{2})=2x^{3}+xe^{x^{2}}, deci integrala devine ∫01(2x3+xex2)dx\displaystyle \int_{0}^{1}\left(2x^{3}+xe^{x^{2}}\right)dx.
    ∫01(2x3+xex2)dx\displaystyle \int_{0}^{1}\left(2x^{3}+xe^{x^{2}}\right)dx
  3. Desparțim integrala în două. Deoarece (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, avem x=12(x2)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^{2})'. Obținem ∫012x3 dx+12∫01(x2)′ex2 dx\displaystyle \int_{0}^{1}2x^{3}\,dx+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^{2})'e^{x^{2}}\,dx.
    ∫012x3 dx+12∫01(x2)′ex2 dx\displaystyle \int_{0}^{1}2x^{3}\,dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^{2})'e^{x^{2}}\,dx
  4. O primitivă a lui 2x3\displaystyle 2x^{3} este x42\displaystyle \dfrac{x^{4}}{2}, iar o primitivă a lui (x2)′ex2\displaystyle (x^{2})'e^{x^{2}} este ex2\displaystyle e^{x^{2}}. Rezultă x42∣01+12ex2∣01\displaystyle \dfrac{x^{4}}{2}\Big|_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\Big|_{0}^{1}.
    x42∣01+ex22∣01\displaystyle \frac{x^{4}}{2}\Big|_{0}^{1}+\frac{e^{x^{2}}}{2}\Big|_{0}^{1}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 142−042=12\displaystyle \dfrac{1^{4}}{2}-\dfrac{0^{4}}{2}=\dfrac{1}{2} și e12−e02=e2−12\displaystyle \dfrac{e^{1}}{2}-\dfrac{e^{0}}{2}=\dfrac{e}{2}-\dfrac{1}{2}. Suma este 12+e2−12=e2\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{e}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{e}{2}.
    12+e12−e02=e2\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{e^{1}}{2}-\frac{e^{0}}{2}=\frac{e}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ex\displaystyle f(x)=2x+e^x.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫02xn(f(x)−2x)dx\displaystyle I_n=\int_0^2 x^n\left(f(x)-2x\right)dx. Demonstrați că In+1+(n+1)In=2n+1e2\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^2, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)−2x=ex\displaystyle f(x)-2x=e^{x}, deci In=∫02xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^2 x^{n}e^{x}\,dx. Analog, scriem și In+1\displaystyle I_{n+1}.
    In+1=∫02xn+1ex dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^2 x^{n+1}e^{x}\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1} și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, deci du=(n+1)xndx\displaystyle du=(n+1)x^{n}dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1}, v=ex\displaystyle \ v=e^{x}, du=(n+1)xndx\displaystyle \ du=(n+1)x^{n}dx
  3. Aplicând formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du, obținem scrierea de mai jos.
    In+1=xn+1ex∣02−(n+1)∫02xnex dx\displaystyle I_{n+1}=x^{n+1}e^{x}\Big|_0^2-(n+1)\int_0^2 x^{n}e^{x}\,dx
  4. Termenul integrat este 2n+1e2−0n+1e0=2n+1e2\displaystyle 2^{n+1}e^{2}-0^{n+1}e^{0}=2^{n+1}e^{2}, deoarece n+1≥2\displaystyle n+1\geq 2. Integrala rămasă este ∫02xnex dx=In\displaystyle \int_0^2 x^{n}e^{x}\,dx=I_n.
    In+1=2n+1e2−(n+1)In\displaystyle I_{n+1}=2^{n+1}e^{2}-(n+1)I_n
  5. Mutând (n+1)In\displaystyle (n+1)I_n în membrul stâng, obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    In+1+(n+1)In=2n+1e2\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.