Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 16: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați partea întreagă a numărului

\displaystyle 2+3\sqrt{5}

.

Vezi rezolvarea

Numărul $\displaystyle 2$ este întreg, deci îl putem scoate în afara părții întregi: $\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+\left[3\sqrt{5}\right]$ .
$\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+\left[3\sqrt{5}\right]$
Introducem factorul $\displaystyle 3$ sub radical: $\displaystyle 3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$ . Deci $\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+\left[\sqrt{45}\right]$ .
$\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+\left[\sqrt{45}\right]$
Încadrăm $\displaystyle 45$ între două pătrate perfecte consecutive: $\displaystyle 36<45<49$ .
$\displaystyle 36<45<49$
Extragem radicalul din fiecare membru, deoarece funcția radical este crescătoare: $\displaystyle 6<\sqrt{45}<7$ , adică $\displaystyle 6<3\sqrt{5}<7$ . Deci $\displaystyle \left[\sqrt{45}\right]=6$ .
$\displaystyle 6<3\sqrt{5}<7\Rightarrow \left[\sqrt{45}\right]=6$
Înlocuim în $\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+\left[\sqrt{45}\right]$ și obținem $\displaystyle 2+6=8$ .
$\displaystyle \left[2+3\sqrt{5}\right]=2+6=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-4x+5

,

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=2-x

și

\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle h(x)=2+x

. Arătați că

\displaystyle (f\circ g)(x)=(f\circ h)(x)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem compunerea $\displaystyle f\circ g$ : în $\displaystyle f(x)=x^2-4x+5$ înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle g(x)=2-x$ .
$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(2-x)^2-4(2-x)+5$
Dezvoltăm: $\displaystyle (2-x)^2=4-4x+x^2$ , iar $\displaystyle -4(2-x)=-8+4x$ .
$\displaystyle 4-4x+x^2-8+4x+5$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -4x+4x=0$ , iar $\displaystyle 4-8+5=1$ .
$\displaystyle (f\circ g)(x)=x^2+1$
Scriem compunerea $\displaystyle f\circ h$ : în $\displaystyle f(x)=x^2-4x+5$ înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle h(x)=2+x$ .
$\displaystyle (f\circ h)(x)=f(h(x))=(2+x)^2-4(2+x)+5$
Dezvoltăm: $\displaystyle (2+x)^2=4+4x+x^2$ , iar $\displaystyle -4(2+x)=-8-4x$ .
$\displaystyle 4+4x+x^2-8-4x+5$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 4x-4x=0$ , iar $\displaystyle 4-8+5=1$ . Obținem aceeași expresie ca la $\displaystyle f\circ g$ , deci cele două compuneri sunt egale pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle (f\circ h)(x)=x^2+1\text{, deci }(f\circ g)(x)=(f\circ h)(x)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Radicalii există dacă $\displaystyle x+3\ge 0$ și $\displaystyle 3-x\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge -3$ și $\displaystyle x\le 3$ . Deci $\displaystyle x\in[-3,3]$ .
$\displaystyle x\in[-3,3]$
Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm ecuația la pătrat: $\displaystyle \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=12$ .
$\displaystyle x+3+2\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{3-x}+3-x=12$
Reducem termenii: $\displaystyle x-x=0$ și $\displaystyle 3+3=6$ , deci $\displaystyle 6+2\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{3-x}=12$ . Rezultă $\displaystyle 2\sqrt{(x+3)(3-x)}=6$ , adică $\displaystyle \sqrt{(x+3)(3-x)}=3$ .
$\displaystyle \sqrt{(x+3)(3-x)}=3$
Avem $\displaystyle (x+3)(3-x)=9-x^{2}$ , deci $\displaystyle \sqrt{9-x^{2}}=3$ . Ridicând la pătrat obținem $\displaystyle 9-x^{2}=9$ .
$\displaystyle 9-x^{2}=9$
Din $\displaystyle 9-x^{2}=9$ rezultă $\displaystyle x^{2}=0$ , deci $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle x=0$
Verificăm: $\displaystyle 0\in[-3,3]$ și $\displaystyle \sqrt{0+3}+\sqrt{3-0}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ . Deci soluția convine.
$\displaystyle x=0\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,30\}

. Determinați numărul de elemente ale mulțimii

\displaystyle A

care sunt divizibile cu

\displaystyle 2

sau cu

\displaystyle 3

.

Vezi rezolvarea

Numărăm elementele mulțimii $\displaystyle A$ divizibile cu $\displaystyle 2$ : sunt numerele $\displaystyle 2, 4, \ldots, 30$ , adică $\displaystyle \left[\dfrac{30}{2}\right]$ .
$\displaystyle 15\text{ numere divizibile cu }2$
Numărăm elementele mulțimii $\displaystyle A$ divizibile cu $\displaystyle 3$ : sunt numerele $\displaystyle 3, 6, \ldots, 30$ , adică $\displaystyle \left[\dfrac{30}{3}\right]$ .
$\displaystyle 10\text{ numere divizibile cu }3$
Numerele divizibile și cu $\displaystyle 2$ , și cu $\displaystyle 3$ sunt divizibile cu $\displaystyle 6$ , deci le numărăm: $\displaystyle 6, 12, 18, 24, 30$ . Ele au fost numărate de două ori, o dată la multiplii lui $\displaystyle 2$ și o dată la multiplii lui $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \left[\dfrac{30}{6}\right]=5$
Aplicăm principiul includerii și excluderii: adunăm numerele divizibile cu $\displaystyle 2$ și cele divizibile cu $\displaystyle 3$ , apoi scădem numerele divizibile cu $\displaystyle 6$ , numărate de două ori: $\displaystyle 15+10-5$ .
$\displaystyle 15+10-5=20$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, punctul

\displaystyle G

, centrul său de greutate și punctele

\displaystyle M

și

\displaystyle N

astfel încât

\displaystyle \overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}

și

\displaystyle \overrightarrow{CN}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}

. Arătați că punctele

\displaystyle M

,

\displaystyle N

și

\displaystyle G

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle D$ mijlocul laturii $\displaystyle BC$ . Centrul de greutate se află pe mediana $\displaystyle AD$ , la două treimi de vârf, deci $\displaystyle \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ . Cum $\displaystyle D$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ , avem $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$
Din $\displaystyle \overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}$ rezultă $\displaystyle \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}$ . Cum $\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ , obținem $\displaystyle \overrightarrow{MA}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{MA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$
Scriem $\displaystyle \overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AG}$ și înlocuim: $\displaystyle \overrightarrow{MG}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ . Coeficientul lui $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ este $\displaystyle -\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{12}$ , iar al lui $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{MG}=\frac{1}{12}\left(-5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}\right)$
Din $\displaystyle \overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CA}$ avem $\displaystyle \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CA}$ . Cum $\displaystyle \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ , obținem $\displaystyle \overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
Scriem $\displaystyle \overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}$ , unde $\displaystyle \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}$ . Obținem $\displaystyle \overrightarrow{GN}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}$ . Coeficientul lui $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{15}$ , iar al lui $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{15}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{GN}=\frac{1}{15}\left(-5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}\right)$
Comparăm cele două expresii: ambele conțin vectorul $\displaystyle -5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{1}{12}$ , rezultă $\displaystyle \overrightarrow{GN}=\dfrac{12}{15}\overrightarrow{MG}$ . Vectorii $\displaystyle \overrightarrow{MG}$ și $\displaystyle \overrightarrow{GN}$ sunt coliniari și au punctul comun $\displaystyle G$ , deci punctele $\displaystyle M$ , $\displaystyle G$ , $\displaystyle N$ sunt coliniare.
$\displaystyle \overrightarrow{GN}=\frac{12}{15}\overrightarrow{MG}\Rightarrow M$ , $\displaystyle \ G$ , $\displaystyle \ N\text{ sunt coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că, dacă triunghiul

\displaystyle ABC

este înscris într-un cerc de rază

\displaystyle \frac{1}{2}

, atunci

\displaystyle \cos^2 A=1-BC^2

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre latura $\displaystyle BC$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle A$ este egal cu diametrul cercului circumscris, adică $\displaystyle 2R$ .
$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R$
Triunghiul este înscris într-un cerc de rază $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle R=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle 2R=1$ . Înlocuim în relația de mai sus și obținem că $\displaystyle BC=\sin A$ .
$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2\cdot\frac{1}{2}=1\Rightarrow BC=\sin A$
Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei, $\displaystyle \sin^2 A+\cos^2 A=1$ , din care scoatem $\displaystyle \cos^2 A$ .
$\displaystyle \cos^2 A=1-\sin^2 A$
Înlocuim $\displaystyle \sin A$ cu $\displaystyle BC$ , conform relației $\displaystyle BC=\sin A$ , și obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle \cos^2 A=1-\sin^2 A=1-BC^2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(a))=4

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ . Pentru o matrice de ordinul doi avem $\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r$ , adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{vmatrix}$
Pe diagonala principală sunt elementele $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 2$ , iar pe diagonala secundară sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle a$ . Obținem $\displaystyle 2\cdot 2-0\cdot a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=2\cdot 2-0\cdot a$
Avem $\displaystyle 2\cdot 2=4$ , iar $\displaystyle 0\cdot a=0$ pentru orice număr real $\displaystyle a$ . Deci determinantul nu depinde de $\displaystyle a$ și este egal cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle =4-0=4\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(a)\cdot A(b)=2A(a+b)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ b & 2\end{pmatrix}$ , apoi formăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(b)$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ b & 2\end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Pe prima linie: $\displaystyle 2\cdot 2+0\cdot b=4$ și $\displaystyle 2\cdot 0+0\cdot 2=0$ . Pe a doua linie: $\displaystyle a\cdot 2+2\cdot b=2a+2b$ și $\displaystyle a\cdot 0+2\cdot 2=4$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 2a+2b & 4\end{pmatrix}$
Dăm factor comun $\displaystyle 2$ în matricea obținută: $\displaystyle 4=2\cdot 2$ , iar $\displaystyle 2a+2b=2(a+b)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}4 & 0\\ 2a+2b & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2 & 0\\ a+b & 2\end{pmatrix}$
Matricea rămasă este chiar $\displaystyle A(a+b)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a+b & 2\end{pmatrix}$ , deci produsul este $\displaystyle 2A(a+b)$ , pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=2A(a+b)\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

și numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot\ldots\cdot A(5)=2^n A(x)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ a & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ b & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 2a+2b & 4\end{pmatrix}$ . Scoatem factorul $\displaystyle 2$ în fața matricei și obținem o relație care reduce produsul.
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=2\begin{pmatrix}2 & 0\\ a+b & 2\end{pmatrix}=2A(a+b)$
Aplicăm relația primilor doi factori: $\displaystyle A(1)\cdot A(2)=2A(1+2)=2A(3)$ . Produsul devine $\displaystyle 2A(3)\cdot A(3)\cdot A(4)\cdot A(5)$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot A(4)\cdot A(5)=2A(3)\cdot A(3)\cdot A(4)\cdot A(5)$
Repetăm reducerea: la fiecare aplicare a relației dispare o matrice și apare un factor $\displaystyle 2$ , iar parametrii se adună. Pentru cele $\displaystyle 5$ matrice avem $\displaystyle 4$ aplicări, deci factorul $\displaystyle 2^4$ . Suma parametrilor este $\displaystyle 1+2+3+4+5=15$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot\ldots\cdot A(5)=2^4A(1+2+3+4+5)=2^4A(15)$
Egalitatea din enunț devine $\displaystyle 2^4A(15)=2^nA(x)$ , adică, scriind matricele explicit:
$\displaystyle 2^4\begin{pmatrix}2 & 0\\ 15 & 2\end{pmatrix}=2^n\begin{pmatrix}2 & 0\\ x & 2\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare. Din elementul de pe diagonală: $\displaystyle 2^4\cdot 2=2^n\cdot 2$ , deci $\displaystyle n=4$ . Din elementul din stânga jos: $\displaystyle 2^4\cdot 15=2^4\cdot x$ , deci $\displaystyle x=15$ .
$\displaystyle n=4\text{ și }x=15$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+y-7

.

Arătați că

\displaystyle 5\circ 2=0

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x\circ y=x+y-7$ . Luăm $\displaystyle x=5$ și $\displaystyle y=2$ și înlocuim în definiție.
$\displaystyle 5\circ 2=5+2-7$
Calculăm suma $\displaystyle 5+2=7$ .
$\displaystyle 5+2-7=7-7$
Calculăm $\displaystyle 7-7=0$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 5\circ 2=7-7=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+y-7

.

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=7+\log_7 x

. Arătați că

\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy)

, pentru orice

\displaystyle x,y\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii de compoziție $\displaystyle x\circ y=x+y-7$ pentru numerele $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle f(y)$ : $\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(x)+f(y)-7$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(x)+f(y)-7$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=7+\log_7 x$ și $\displaystyle f(y)=7+\log_7 y$ , care au sens pentru $\displaystyle x,y\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=7+\log_7 x+7+\log_7 y-7$
Reducem termenii constanți: $\displaystyle 7+7-7=7$ , deci rămâne o sumă de forma $\displaystyle 7+\log_7 x+\log_7 y$ .
$\displaystyle f(x)\circ f(y)=7+\log_7 x+\log_7 y$
Folosim proprietatea $\displaystyle \log_7 x+\log_7 y=\log_7(xy)$ , valabilă pentru $\displaystyle x,y>0$ . Obținem $\displaystyle 7+\log_7(xy)$ , care este $\displaystyle f(xy)$ , deci egalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle x,y\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle 7+\log_7 x+\log_7 y=7+\log_7(xy)=f(xy)\text{, pentru orice }x$ , $\displaystyle y\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+y-7

.

Demonstrați că

\displaystyle a^2\circ b^2\neq 0

, pentru orice numere întregi

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția legii: $\displaystyle a^2\circ b^2=a^2+b^2-7$ .
$\displaystyle a^2\circ b^2=a^2+b^2-7$
Egalăm cu $\displaystyle 0$ : $\displaystyle a^2+b^2-7=0$ , adică $\displaystyle a^2+b^2=7$ . Deci este suficient să arătăm că $\displaystyle a^2+b^2\neq 7$ pentru orice $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ .
$\displaystyle a^2\circ b^2=0\Leftrightarrow a^2+b^2=7$
Cazul 1: $\displaystyle |a|\geq 3$ sau $\displaystyle |b|\geq 3$ . Dacă, de exemplu, $\displaystyle |a|\geq 3$ , atunci $\displaystyle a^2\geq 9$ , iar $\displaystyle b^2\geq 0$ , deci $\displaystyle a^2+b^2\geq 9>7$ . La fel dacă $\displaystyle |b|\geq 3$ .
$\displaystyle |a|\geq 3\text{ sau }|b|\geq 3\Rightarrow a^2+b^2\geq 9\text{, deci }a^2\circ b^2\neq 0$
Cazul 2: $\displaystyle |a|\leq 2$ și $\displaystyle |b|\leq 2$ . Cum $\displaystyle a,b$ sunt întregi, $\displaystyle a^2\in\{0,1,4\}$ și $\displaystyle b^2\in\{0,1,4\}$ .
$\displaystyle a^2$ , $\displaystyle b^2\in\{0,1,4\}$
Sumele posibile sunt $\displaystyle 0+0=0$ , $\displaystyle 0+1=1$ , $\displaystyle 0+4=4$ , $\displaystyle 1+1=2$ , $\displaystyle 1+4=5$ , $\displaystyle 4+4=8$ . Niciuna nu este $\displaystyle 7$ , deci $\displaystyle a^2+b^2\neq 7$ și $\displaystyle a^2\circ b^2\neq 0$ pentru orice numere întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle a^2+b^2\in\{0,1,2,4,5,8\}\Rightarrow a^2+b^2\neq 7\text{, deci }a^2\circ b^2\neq 0\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{întregi }a\text{ și }b$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)$ este un produs de forma $\displaystyle u\cdot v$ , cu $\displaystyle u(x)=e^{2x}$ și $\displaystyle v(x)=x-5$ . Folosim formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=\left(e^{2x}\right)'(x-5)+e^{2x}(x-5)'$
Derivata lui $\displaystyle e^{2x}$ se obține prin derivarea funcției compuse: $\displaystyle \left(e^{2x}\right)'=e^{2x}\cdot(2x)'=e^{2x}\cdot 2$ . Derivata lui $\displaystyle x-5$ este $\displaystyle (x-5)'=1$ .
$\displaystyle \left(e^{2x}\right)'=e^{2x}\cdot 2$ , $\displaystyle \quad (x-5)'=1$
Înlocuim în formula produsului:
$\displaystyle f'(x)=e^{2x}\cdot 2\cdot(x-5)+e^{2x}\cdot 1$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{2x}$ și calculăm $\displaystyle 2(x-5)=2x-10$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{2x}\left(2x-10+1\right)$
Reducem termenii: $\displaystyle -10+1=-9$ . Am obținut egalitatea cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}

.

Vezi rezolvarea

Derivăm produsul $\displaystyle e^{2x}(x-5)$ după formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'$ , unde $\displaystyle (e^{2x})'=2e^{2x}$ și $\displaystyle (x-5)'=1$ .
$\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x-5)+e^{2x}\cdot 1$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{2x}$ și reducem termenii: $\displaystyle 2(x-5)+1=2x-9$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$
Formăm raportul $\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ și simplificăm cu $\displaystyle e^{2x}\neq 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}(2x-9)}{e^{2x}(x-5)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-9}{x-5}$
Limita are forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Dăm factor comun $\displaystyle x$ la numărător și la numitor.
$\displaystyle \frac{2x-9}{x-5}=\frac{x\left(2-\frac{9}{x}\right)}{x\left(1-\frac{5}{x}\right)}=\frac{2-\frac{9}{x}}{1-\frac{5}{x}}$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle \dfrac{9}{x}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{5}{x}\to 0$ , deci limita este $\displaystyle \dfrac{2-0}{1-0}=2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)

.

Arătați că

\displaystyle e^{2x}\leq\frac{e^9}{2(5-x)}

, pentru orice

\displaystyle x\in(-\infty,5)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ folosind formula derivatei unui produs. Derivata lui $\displaystyle e^{2x}$ este $\displaystyle 2e^{2x}$ . După scoaterea factorului comun $\displaystyle e^{2x}$ , obținem $\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$ .
$\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x-5)+e^{2x}=e^{2x}(2x-9)$
Studiem semnul derivatei. Deoarece $\displaystyle e^{2x}>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este dat de semnul lui $\displaystyle 2x-9$ . Acesta se anulează pentru $\displaystyle x=\dfrac{9}{2}$ . Deci $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{9}{2}\right]$ și crescătoare pe $\displaystyle \left[\dfrac{9}{2},+\infty\right)$ .
$\displaystyle x\in\left(-\infty,\frac{9}{2}\right]\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{ și }x\in\left[\frac{9}{2},+\infty\right)\Rightarrow f'(x)\geq 0$
Rezultă că $\displaystyle x=\dfrac{9}{2}$ este punct de minim global. Calculăm valoarea minimă: $\displaystyle f\left(\dfrac{9}{2}\right)=e^{9}\left(\dfrac{9}{2}-5\right)=e^{9}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ . Deci $\displaystyle f(x)\geq-\dfrac{e^9}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f(x)\geq f\left(\frac{9}{2}\right)=-\frac{e^9}{2}$
Scriem inegalitatea pe definiția lui $\displaystyle f$ : $\displaystyle e^{2x}(x-5)\geq-\dfrac{e^9}{2}$ . Pentru $\displaystyle x\in(-\infty,5)$ avem $\displaystyle x-5<0$ , deci împărțim la un număr negativ și sensul inegalității se schimbă.
$\displaystyle e^{2x}(x-5)\geq-\frac{e^9}{2}\text{ și }x-5<0$
Împărțim inegalitatea la $\displaystyle x-5$ , care este negativ, și inversăm sensul. Obținem $\displaystyle e^{2x}\leq-\dfrac{e^9}{2(x-5)}$ . Cum $\displaystyle -(x-5)=5-x$ , rezultă $\displaystyle e^{2x}\leq\dfrac{e^9}{2(5-x)}$ , pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,5)$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle e^{2x}\leq-\frac{e^9}{2(x-5)}=\frac{e^9}{2(5-x)}\text{, pentru orice }x\in(-\infty,5)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}\,dx=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ în integrala dată.
$\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}\,dx=\int_0^2\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\sqrt{x^2+1}\,dx$
Radicalul $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}$ de la numitor se simplifică cu cel din factorul al doilea, deoarece $\displaystyle x^{2}+1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Rămâne de integrat funcția $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \int_0^2\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\sqrt{x^2+1}\,dx=\int_0^2 x\,dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle 2$ minus valoarea ei în $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}$
Calculăm: $\displaystyle \dfrac{4}{2}-0=2$ , deci egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle \frac{4}{2}-0=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx=\sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln\frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ în expresia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}$
Aducem radicalul la același numitor: $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}+1}=\sqrt{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ , deoarece $\displaystyle x>0$ pe $\displaystyle [1,2]$ . Simplificăm fracția.
$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Scriem integrandul simplificat și separăm integrala în două integrale.
$\displaystyle \int_1^2\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)dx=\int_1^2\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx+\int_1^2\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
Pentru prima integrală observăm că $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . Pentru a doua folosim faptul că $\displaystyle \left(\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
$\displaystyle \int_1^2\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx=\sqrt{x^{2}+1}\Big|_1^2$ , $\displaystyle \quad \int_1^2\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\Big|_1^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: înlocuim limitele $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 1$ . Obținem $\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}$ pentru prima integrală, iar pentru a doua $\displaystyle \ln(2+\sqrt{5})-\ln(1+\sqrt{2})$ , adică logaritmul câtului.
$\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln\frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Determinați

\displaystyle a\in(1,+\infty)

astfel încât

\displaystyle \int_0^x f(e^t)\,dt=\ln\left(e^x+\sqrt{e^{2x}+1}\right)+\ln(a-1)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrandul: înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle e^t$ în $\displaystyle f$ . Din $\displaystyle (e^t)^2$ obținem $\displaystyle e^{2t}$ .
$\displaystyle f(e^t)=\dfrac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+1}}$
Facem schimbarea de variabilă $\displaystyle u=e^t$ . Atunci $\displaystyle du=e^t\,dt$ . Pentru $\displaystyle t=0$ obținem $\displaystyle u=1$ , iar pentru $\displaystyle t=x$ obținem $\displaystyle u=e^x$ .
$\displaystyle \int_0^x\dfrac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+1}}\,dt=\int_1^{e^x}\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,du$
O primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ este $\displaystyle \ln\left(u+\sqrt{u^2+1}\right)$ . Verificăm prin derivare: $\displaystyle \dfrac{1+\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}}{u+\sqrt{u^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ .
$\displaystyle \int\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,du=\ln\left(u+\sqrt{u^2+1}\right)+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton între limitele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle e^x$ . Pentru $\displaystyle u=1$ obținem $\displaystyle \ln\left(1+\sqrt{2}\right)$ .
$\displaystyle \int_0^x f(e^t)\,dt=\ln\left(e^x+\sqrt{e^{2x}+1}\right)-\ln\left(1+\sqrt{2}\right)$
Egalăm cu expresia din enunț. Termenul cu $\displaystyle e^x$ apare în ambele părți, deci egalitatea are loc pentru orice $\displaystyle x$ real exact când termenii constanți sunt egali.
$\displaystyle -\ln\left(1+\sqrt{2}\right)=\ln(a-1)$
Folosim că $\displaystyle -\ln b=\ln\dfrac{1}{b}$ , deci $\displaystyle a-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ . Raționalizăm: $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ . Rezultă $\displaystyle a=\sqrt{2}$ , care este mai mare decât $\displaystyle 1$ , deci convine.
$\displaystyle a-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\Rightarrow a=\sqrt{2}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 16: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani