Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 0{,}5+10\cdot(1-0{,}75)=3

.

Vezi rezolvarea

Calculăm mai întâi valoarea din paranteză, conform ordinii operațiilor: scădem $\displaystyle 0{,}75$ din $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle 1-0{,}75=0{,}25$
Înlocuim rezultatul parantezei în expresia inițială, obținând o sumă între $\displaystyle 0{,}5$ și un produs.
$\displaystyle 0{,}5+10\cdot(1-0{,}75)=0{,}5+10\cdot 0{,}25=$
Efectuăm înmulțirea dintre $\displaystyle 10$ și $\displaystyle 0{,}25$ .
$\displaystyle 10\cdot 0{,}25=2{,}5$
Adunăm $\displaystyle 0{,}5$ cu rezultatul înmulțirii, obținând valoarea finală a expresiei.
$\displaystyle =0{,}5+2{,}5=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x+1

. Arătați că

\displaystyle f(m)+g(-m)=m

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Se calculează $\displaystyle f(m)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle m$ în formula funcției $\displaystyle f(x)=2x-1$ .
$\displaystyle f(m)=2m-1$ , $\displaystyle \text{ pentru orice număr real }m$
Se calculează $\displaystyle g(-m)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -m$ în formula funcției $\displaystyle g(x)=x+1$ .
$\displaystyle g(-m)=(-m)+1=-m+1$
Se adună expresiile obținute pentru $\displaystyle f(m)$ și $\displaystyle g(-m)$ , apoi se reduc termenii asemenea pentru a obține rezultatul cerut.
$\displaystyle f(m)+g(-m)=(2m-1)+(-m+1)=2m-1-m+1=m$ , $\displaystyle \text{ pentru orice număr real }m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2+6}=\sqrt{5x}

.

Vezi rezolvarea

Se pun condițiile de existență ale radicalilor: expresia de sub primul radical trebuie să fie nenegativă, iar cea de sub al doilea radical trebuie să fie nenegativă.
$\displaystyle x^2+6\geq 0\text{ (adevărat pentru orice }x\text{)}\text{ și }5x\geq 0\Rightarrow x\geq 0$
Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat, eliminând radicalii, și se aduce ecuația la forma generală a unei ecuații de gradul al doilea.
$\displaystyle x^2+6=5x$ , $\displaystyle \text{ deci }x^2-5x+6=0$
Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
$\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$
Se determină rădăcinile ecuației de gradul al doilea folosind formula rădăcinilor.
$\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}\Rightarrow x_1=2$ , $\displaystyle \ x_2=3$
Se verifică dacă soluțiile obținute respectă condiția de existență $\displaystyle x\geq0$ și se confirmă prin înlocuire în ecuația inițială.
$\displaystyle x=2:\ \sqrt{2^2+6}=\sqrt{10}=\sqrt{5\cdot 2}\text{ (adevărat)};\ x=3:\ \sqrt{3^2+6}=\sqrt{15}=\sqrt{5\cdot 3}\text{ (adevărat)}$
Se scrie concluzia finală, precizând soluțiile care satisfac ecuația inițială.
$\displaystyle x=2\text{ sau }x=3$ , $\displaystyle \text{ care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A

, acesta să fie divizor al lui

\displaystyle 30

.

Vezi rezolvarea

Se scrie mulțimea $\displaystyle A$ și se numără elementele ei, obținând numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\Rightarrow \text{numărul cazurilor }$ $\displaystyle \text{posibile este }9$
Se determină toți divizorii naturali ai numărului $\displaystyle 30$ , pentru a vedea care dintre ei apar în mulțimea $\displaystyle A$ .
$\displaystyle \text{Divizorii lui }30\text{ sunt: }1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 10$ , $\displaystyle 15$ , $\displaystyle 30$
Se intersectează mulțimea divizorilor lui $\displaystyle 30$ cu mulțimea $\displaystyle A$ , pentru a identifica elementele care sunt atât în $\displaystyle A$ , cât și divizori ai lui $\displaystyle 30$ .
$\displaystyle \{1,2,3,5,6,10,15,30\}\cap A=\{1,2,3,5,6\}$
Se numără elementele mulțimii obținute prin intersecție, acestea reprezentând cazurile favorabile, apoi se calculează probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile.
$\displaystyle \text{În mulțimea }A\text{ sunt }5\text{ divizori ai lui }30$ , $\displaystyle \text{ deci sunt }5\text{ cazuri favorabile, de }$ $\displaystyle \text{unde obținem }p=\frac{5}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,1)

,

\displaystyle B(2,2)

și

\displaystyle C(4,0)

. Arătați că triunghiul

\displaystyle ABC

este dreptunghic în

\displaystyle B

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula generală pentru panta unei drepte determinate de două puncte.
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Se calculează panta dreptei $\displaystyle AB$ folosind coordonatele punctelor $\displaystyle A(1,1)$ și $\displaystyle B(2,2)$ .
$\displaystyle m_{AB}=\frac{2-1}{2-1}=1$
Se calculează panta dreptei $\displaystyle BC$ folosind coordonatele punctelor $\displaystyle B(2,2)$ și $\displaystyle C(4,0)$ .
$\displaystyle m_{BC}=\frac{0-2}{4-2}=\frac{-2}{2}=-1$
Se calculează produsul pantelor dreptelor $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BC$ și se compară cu $\displaystyle -1$ pentru a verifica perpendicularitatea, deci unghiul din $\displaystyle B$ este de $\displaystyle 90$ de grade, iar triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$ .
$\displaystyle m_{BC}=-1\Rightarrow m_{AB}\cdot m_{BC}=1\cdot(-1)=-1$ , $\displaystyle \text{ deci }AB\perp BC\text{, adică triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic în }B$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră

\displaystyle E(x)=3\cos^2 x-\cos\dfrac{x}{2}\cdot\sin x

, unde

\displaystyle x

este număr real. Arătați că

\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia $\displaystyle E(x)$ pentru $\displaystyle x = \dfrac{\pi}{3}$ , înlocuind $\displaystyle x$ în formula dată.
$\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\cos^2\frac{\pi}{3}-\cos\left(\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot\sin\frac{\pi}{3}=3\cos^2\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{3}$
Se identifică valorile trigonometrice cunoscute pentru unghiurile $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ și $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ .
$\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Se calculează pătratul valorii $\displaystyle \cos(\pi/3)$ , necesar pentru primul termen al expresiei.
$\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$
Se înlocuiesc valorile obținute în expresia lui $\displaystyle E(\pi/3)$ și se efectuează calculele, obținând rezultatul final.
$\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\cdot\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(6))=12

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la matricea generală $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}$ și se identifică elementele acesteia în funcție de $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}$
Se înlocuiește $\displaystyle x=6$ în fiecare element al matricei: primul element rămâne $\displaystyle 6$ , al doilea devine $\displaystyle -2\cdot 6=-12$ , al treilea rămâne $\displaystyle 1$ , iar al patrulea devine $\displaystyle 6-6=0$ .
$\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 6-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle A(6)$ și se aplică formula de calcul pentru un determinant de ordinul doi, $\displaystyle \det=ad-bc$ , unde $\displaystyle a=6,\ b=-12,\ c=1,\ d=0$ .
$\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(6))=\begin{vmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=6\cdot 0-(-12)\cdot 1=$
Se efectuează calculele: $\displaystyle 6\cdot 0=0$ și $\displaystyle -(-12)\cdot 1=12$ , apoi se adună cele două rezultate pentru a obține valoarea finală a determinantului.
$\displaystyle =0+12=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle A(4)\cdot A(4)=aA(4)

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle x=4$ în matricea $\displaystyle A(x)$ pentru a obține matricea $\displaystyle A(4)$ .
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix} 4 & -2\cdot 4 \\ 1 & 4-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
Se calculează produsul $\displaystyle A(4)\cdot A(4)$ folosind regula de înmulțire a matricelor.
$\displaystyle A(4)\cdot A(4)=\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot4+(-8)\cdot1 & 4\cdot(-8)+(-8)\cdot(-2) \\ 1\cdot4+(-2)\cdot1 & 1\cdot(-8)+(-2)\cdot(-2) \end{pmatrix}$
Se efectuează calculele numerice din fiecare element al matricei produs.
$\displaystyle A(4)\cdot A(4)=\begin{pmatrix} 16-8 & -32+16 \\ 4-2 & -8+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$
Se observă că matricea produs obținută se poate scrie ca un multiplu al matricei $\displaystyle A(4)$ , și anume $\displaystyle 2A(4)$ .
$\displaystyle A(4)\cdot A(4)=\begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}=2A(4)$
Se scrie relația dată în enunț, $\displaystyle A(4)\cdot A(4)=a\cdot A(4)$ , și se compară cu rezultatul obținut, deducând valoarea lui $\displaystyle a$ prin identificarea coeficienților (deoarece $\displaystyle A(4)$ nu este matricea nulă, putem simplifica).
$\displaystyle aA(4)=2A(4)\Rightarrow a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați perechile

\displaystyle (m,n)

de numere naturale nenule, cu

\displaystyle m<n

, pentru care

\displaystyle \det(A(m)+A(n))=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiție $\displaystyle x=m$ și $\displaystyle x=n$ : $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & -2m \\ 1 & m-6 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} n & -2n \\ 1 & n-6 \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & -2m \\ 1 & m-6 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(n)=\begin{pmatrix} n & -2n \\ 1 & n-6 \end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle m+n$ , $\displaystyle -2m-2n$ , $\displaystyle 1+1=2$ , iar $\displaystyle (m-6)+(n-6)=m+n-12$ .
$\displaystyle A(m)+A(n)=\begin{pmatrix} m+n & -2m-2n \\ 2 & m+n-12 \end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle s=m+n$ . Matricea devine $\displaystyle \begin{pmatrix} s & -2s \\ 2 & s-12 \end{pmatrix}$ , deci determinantul este $\displaystyle s(s-12)-(-2s)\cdot 2=s^{2}-12s+4s=s^{2}-8s=s(s-8)$ .
$\displaystyle \det(A(m)+A(n))=(m+n)(m+n-8)$
Din $\displaystyle (m+n)(m+n-8)=0$ rezultă $\displaystyle m+n=0$ sau $\displaystyle m+n=8$ . Cum $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}^{*}$ , avem $\displaystyle m+n\geq 2$ , deci $\displaystyle m+n=0$ nu convine și rămâne $\displaystyle m+n=8$ .
$\displaystyle m+n=8$
Din $\displaystyle n=8-m$ și condiția $\displaystyle m<n$ avem $\displaystyle m<8-m$ , adică $\displaystyle m<4$ , deci $\displaystyle m\in\{1,2,3\}$ . Obținem $\displaystyle n=7,6,5$ , deci perechile sunt $\displaystyle (1,7)$ , $\displaystyle (2,6)$ și $\displaystyle (3,5)$ .
$\displaystyle (m,n)\in\{(1,7),(2,6),(3,5)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy(x+y-xy)

.

Arătați că

\displaystyle 1*3=3

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=3$ care trebuie substituite.
$\displaystyle x*y=xy(x+y-xy)$ , $\displaystyle \text{ pentru }x=1$ , $\displaystyle \ y=3$
Se calculează produsul $\displaystyle xy$ pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle 1\cdot 3=3$
Se calculează suma $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle 1+3=4$
Se înlocuiește direct în formula legii de compoziție, scriind expresia $\displaystyle 1*3$ folosind valorile calculate mai sus.
$\displaystyle 1*3=1\cdot 3(1+3-1\cdot 3)=$
Se calculează paranteza: suma $\displaystyle x+y$ minus produsul $\displaystyle xy$ .
$\displaystyle 1+3-1\cdot 3=4-3=1$
Se înmulțește rezultatul parantezei cu produsul $\displaystyle xy$ calculat anterior, obținând valoarea finală a legii de compoziție.
$\displaystyle =3\cdot 1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy(x+y-xy)

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*2=-x^2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se înlocuiește $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 2$ , pentru a obține expresia $\displaystyle x*2$ .
$\displaystyle x*2=x\cdot 2\cdot(x+2-x\cdot 2)$
Se simplifică expresia obținută, scriind-o sub forma finală, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x*2=2x(2-x)$ , $\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x$
Se pune condiția din enunț, egalând expresia lui $\displaystyle x*2$ cu $\displaystyle -x^{2}$ .
$\displaystyle 2x(2-x)=-x^2$
Se desface paranteza din membrul stâng al ecuației.
$\displaystyle 4x-2x^2=-x^2$
Se trec toți termenii într-un singur membru, pentru a obține o ecuație egalată cu zero.
$\displaystyle 4x-2x^2+x^2=0\Leftrightarrow 4x-x^2=0$
Se dă factor comun $\displaystyle x$ și se rezolvă ecuația obținută, aflând valorile lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x(4-x)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy(x+y-xy)

.

Determinați numărul întreg nenul

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle \dfrac{1}{2m}*m=m

.

Vezi rezolvarea

Se scrie definiția legii de compoziție pentru elementele $\displaystyle a=\dfrac{1}{2m}$ și $\displaystyle b=m$ : $\displaystyle a*b=ab(a+b-ab)$ , unde $\displaystyle m$ este un număr real nenul (pentru ca $\displaystyle \dfrac{1}{2m}$ să aibă sens).
$\displaystyle \frac{1}{2m}*m=\frac{1}{2m}\cdot m\cdot\left(\frac{1}{2m}+m-\frac{1}{2m}\cdot m\right)$
Se calculează produsul $\displaystyle ab$ , adică $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2m}\right)\cdot m$ , care se simplifică la $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2m}\cdot m=\frac{1}{2}$
Se calculează suma $\displaystyle a+b=\dfrac{1}{2m}+m$ , aducând la același numitor $\displaystyle 2m$ .
$\displaystyle \frac{1}{2m}+m=\frac{1+2m^2}{2m}$
Se calculează diferența $\displaystyle a+b-ab$ , folosind rezultatele anterioare, aducând din nou la același numitor $\displaystyle 2m$ .
$\displaystyle \frac{1+2m^2}{2m}-\frac{1}{2}=\frac{1+2m^2-m}{2m}=\frac{2m^2-m+1}{2m}$
Se înmulțește $\displaystyle ab$ cu $\displaystyle (a+b-ab)$ , obținând expresia finală a legii de compoziție, valabilă pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \frac{1}{2m}*m=\frac{2m^2-m+1}{4m}$ , $\displaystyle \text{ pentru orice număr real }$ $\displaystyle \text{nenul }m$
Se pune condiția din enunț, ca $\displaystyle \dfrac{1}{2m}*m$ să fie egal cu $\displaystyle m$ , obținând ecuația fracționară corespunzătoare.
$\displaystyle \frac{2m^2-m+1}{4m}=m$
Se elimină numitorul ( $\displaystyle m$ fiind nenul) prin înmulțire cu $\displaystyle 4m$ și se aduc toți termenii într-un membru, obținând o ecuație de gradul al doilea în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle 2m^2-m+1=4m^2\Rightarrow 2m^2+m-1=0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea $\displaystyle 2m^{2}+m-1=0$ folosind formula discriminantului.
$\displaystyle \Delta=1+8=9$ , $\displaystyle \quad m=\frac{-1\pm 3}{4}$
Se obțin cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle m_1=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \quad m_2=-1$
Se aplică restricția din enunț ca $\displaystyle m$ să fie număr întreg nenul; soluția $\displaystyle m=\dfrac{1}{2}$ nu convine, rămânând soluția finală $\displaystyle m=-1$ .
$\displaystyle \frac{2m^2-m+1}{4m}=m$ , $\displaystyle \text{ deci }2m^2+m-1=0\text{ și, cum }m\text{ este număr întreg nenul, }$ $\displaystyle \text{obținem }m=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția dată, evidențiind cei doi termeni care trebuie derivați separat: primul termen este un raport de funcții, iar al doilea este un multiplu al funcției logaritm natural.
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Se derivează primul termen folosind regula câtului: $\displaystyle (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , unde $\displaystyle u = x^2-2$ (deci $\displaystyle u'=2x$ ) și $\displaystyle v = x$ (deci $\displaystyle v'=1$ ).
$\displaystyle \left(\frac{x^2-2}{x}\right)'=\frac{2x\cdot x-(x^2-2)\cdot 1}{x^2}$
Se derivează al doilea termen, folosind faptul că $\displaystyle (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , deci $\displaystyle (-3\ln x)' = -\dfrac{3}{x}$ .
$\displaystyle (-3\ln x)'=-\frac{3}{x}$
Se adună derivatele celor doi termeni pentru a obține derivata funcției f, obținându-se forma cerută de barem la primul pas de control.
$\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2-2)}{x^2}-\frac{3}{x}=$
Se simplifică numărătorul primei fracții: se efectuează înmulțirea și se reduc termenii asemenea, obținându-se $\displaystyle x^{2}+2$ la numărător, iar fracția devine $\displaystyle \dfrac{x^{2}+2}{x^{2}}$ .
$\displaystyle 2x\cdot x-(x^2-2)=2x^2-x^2+2=x^2+2\Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2}{x^2}-\frac{3}{x}$
Se aduc cele două fracții la același numitor comun $\displaystyle x^{2}$ , amplificând a doua fracție cu $\displaystyle x$ , apoi se adună numărătorii pentru a obține forma finală a derivatei.
$\displaystyle =\frac{x^2+2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{x^2-3x+2}{x^2}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ în numărătorul limitei: $\displaystyle f(x)+3\ln x=\dfrac{x^{2}-2}{x}-3\ln x+3\ln x$ . Termenii cu logaritm se reduc, deci $\displaystyle f(x)+3\ln x=\dfrac{x^{2}-2}{x}$ .
$\displaystyle f(x)+3\ln x=\dfrac{x^{2}-2}{x}$
Înlocuim în limită: $\displaystyle \dfrac{f(x)+3\ln x}{x+1}=\dfrac{\frac{x^{2}-2}{x}}{x+1}=\dfrac{x^{2}-2}{x(x+1)}$ . Cum $\displaystyle x(x+1)=x^{2}+x$ , obținem fracția $\displaystyle \dfrac{x^{2}-2}{x^{2}+x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)+3\ln x}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}+x}$
Limita are forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Scoatem factorul comun $\displaystyle x^{2}$ la numărător și la numitor: $\displaystyle x^{2}-2=x^{2}\left(1-\dfrac{2}{x^{2}}\right)$ și $\displaystyle x^{2}+x=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}+x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}\left(1-\frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}$
Simplificăm prin $\displaystyle x^{2}$ și obținem $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}}$ . Deoarece $\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , limita este $\displaystyle \dfrac{1-0}{1+0}=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}}=\dfrac{1-0}{1+0}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x

.

Demonstrați că

\displaystyle \dfrac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,2]

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția sub o formă mai convenabilă pentru derivare, separând fracția.
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x = x-\dfrac{2}{x}-3\ln x$ , $\displaystyle \quad x\in(0,+\infty)$
Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ , folosind regulile de derivare pentru sumă, câtul $\displaystyle \dfrac{2}{x}$ și logaritm.
$\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{x}$
Se aduce derivata la același numitor pentru a putea studia semnul ei mai ușor.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x^2}$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ și se studiază semnul derivatei pe intervalele determinate de rădăcini, ținând cont că $\displaystyle x^{2}>0$ pe domeniul de definiție. Se obține monotonia funcției pe $\displaystyle (0,1]$ și pe $\displaystyle [1,2]$ , de unde rezultă că $\displaystyle x=1$ este punct de maxim pe $\displaystyle (0,2]$ , deci $\displaystyle f(x)\leq f(1)$ pentru orice $\displaystyle x$ din acest interval.
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=2;\text{ pentru orice }x\in(0,1]$ , $\displaystyle \ f'(x)\ge 0\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(0,1]\text{ și pentru orice }x\in[1,2]$ , $\displaystyle \ f'(x)\le 0\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1,2]$ , $\displaystyle \text{ de unde obținem }f(x)\le f(1)$ , $\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,2]$
Se calculează valoarea maximă $\displaystyle f(1)$ , înlocuind $\displaystyle x=1$ în expresia funcției.
$\displaystyle f(1)=\dfrac{1^2-2}{1}-3\ln 1 = -1-0=-1$
Se înlocuiește $\displaystyle f(1)=-1$ în inegalitatea $\displaystyle f(x)\leq f(1)$ și se aduce inegalitatea la forma cerută, mutând termenii astfel încât să obținem forma finală cu $\displaystyle 3\ln x$ în dreapta.
$\displaystyle f(1)=-1$ , $\displaystyle \text{ deci }\frac{x^2-2}{x}-3\ln x\le -1$ , $\displaystyle \text{ de unde obținem }\frac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x$ , $\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,2]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x+1

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}\big(f(x)-x^3\big)\,dx=4

.

Vezi rezolvarea

Se scade $\displaystyle x^{3}$ din expresia funcției $\displaystyle f(x)$ pentru a simplifica integrandul: $\displaystyle f(x)-x^{3} = (x^{3}+x+1)-x^{3} = x+1$ .
$\displaystyle f(x)-x^3=x+1$
Se scrie integrala definită cu expresia simplificată și se determină o primitivă a funcției $\displaystyle x+1$ , apoi se aplică formula Leibniz-Newton, notând primitiva evaluată între limitele de integrare.
$\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-x^3)dx=\int_{0}^{2}(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^2=$
Se calculează valoarea primitivei la limita superioară $\displaystyle x=2$ și la limita inferioară $\displaystyle x=0$ , apoi se face diferența acestora.
$\displaystyle \left(\frac{2^2}{2}+2\right)-\left(\frac{0^2}{2}+0\right)=\frac{2^2}{2}+2$
Se efectuează calculele numerice pentru a obține rezultatul final al integralei.
$\displaystyle =\frac{2^2}{2}+2=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x+1

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{f(x)-x}\,dx=\dfrac{\ln 2}{3}

.

Vezi rezolvarea

Se calculează expresia de la numitorul fracției, pornind de la definiția funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(x)-x=x^3+x+1-x=x^3+1$
Se rescrie integrala dată folosind expresia obținută pentru $\displaystyle f(x)-x$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^2}{f(x)-x}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^2}{x^3+1}dx$
Se observă că derivata numitorului este proporțională cu numărătorul, deoarece derivând $\displaystyle x^{3}+1$ obținem $\displaystyle 3x^{2}$ .
$\displaystyle (x^3+1)'=3x^2\text{, deci }x^2=\frac{1}{3}(x^3+1)'$
Se scoate factorul constant $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ și se rescrie integrala sub forma raportului dintre derivata numitorului și numitor, apoi se aplică formula de integrare a acestui tip de expresie, care conduce la logaritm natural.
$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{(x^3+1)'}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\ln(x^3+1)\Big|_0^1=$
Se înlocuiesc limitele de integrare în expresia obținută pentru primitivă.
$\displaystyle \frac{1}{3}\ln(1^3+1)-\frac{1}{3}\ln(0^3+1)=\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 1$
Se folosește faptul că $\displaystyle \ln 1 = 0$ și se simplifică expresia pentru a obține rezultatul final.
$\displaystyle =\frac{\ln 2}{3}-\frac{\ln 1}{3}=\frac{\ln 2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x+1

.

Determinați

\displaystyle a\in(-\infty,0)

, știind că

\displaystyle \displaystyle\int_{a}^{0}e^{-x}\big(f'(x)-f(x)\big)dx=1-a^3e^{-a}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ : $\displaystyle f'(x) =$ derivata lui $\displaystyle x^{3}+x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=3x^2+1$
Determinăm expresia $\displaystyle f'(x)-f(x)$ , care apare sub integrală.
$\displaystyle f'(x)-f(x)=(3x^2+1)-(x^3+x+1)=-x^3+3x^2-x$
Verificăm că expresia de sub integrală este derivata produsului $\displaystyle e^{-x}f(x)$ , folosind regula de derivare a produsului.
$\displaystyle (e^{-x}f(x))'=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$
Calculăm integrala folosind formula Leibniz-Newton, aplicată primitivei $\displaystyle e^{-x}f(x)$ , pe intervalul $\displaystyle [a,0]$ , unde $\displaystyle a<0$ .
$\displaystyle \int_{a}^{0}e^{-x}(f'(x)-f(x))dx=\int_{a}^{0}(e^{-x}f(x))'dx=e^{-x}f(x)\Big|_a^0=1-e^{-a}(a^3+a+1)$ , $\displaystyle \text{ unde }a\in(-\infty,0)$
Egalăm rezultatul integralei cu expresia dată în enunț, $\displaystyle 1-a^{3}e^{-a}$ , pentru a determina valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 1-e^{-a}(a^3+a+1)=1-a^3e^{-a}$
Simplificăm ecuația, împărțind (sau eliminând) termenul $\displaystyle e^{-a}(a^3)$ , și rezolvăm ecuația liniară rezultată pentru a obține valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle e^{-a}(a^3+a+1)=a^3e^{-a}\Rightarrow a^3+a+1=a^3\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1$
Verificăm dacă valoarea obținută pentru $\displaystyle a$ respectă condiția $\displaystyle a<0$ impusă la începutul rezolvării, deci concluzia finală.
$\displaystyle 1-e^{-a}(a^3+a+1)=1-a^3e^{-a}$ , $\displaystyle \text{ de unde obținem }a=-1$ , $\displaystyle \text{ care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani