Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, pentru care numerele a−1\displaystyle a-1, 3\displaystyle 3 și a+7\displaystyle a+7 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea progresiei geometrice: pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalți doi termeni. Termenul din mijloc este 3\displaystyle 3, deci 32=(a−1)(a+7)\displaystyle 3^{2}=(a-1)(a+7).
    32=(a−1)(a+7)\displaystyle 3^{2}=(a-1)(a+7)
  2. Efectuăm înmulțirea: (a−1)(a+7)=a2+7a−a−7=a2+6a−7\displaystyle (a-1)(a+7)=a^{2}+7a-a-7=a^{2}+6a-7. Egalăm cu 9\displaystyle 9 și aducem totul în membrul stâng, obținând ecuația de gradul al doilea.
    9=a2+6a−7⇔a2+6a−16=0\displaystyle 9=a^{2}+6a-7\Leftrightarrow a^{2}+6a-16=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=62−4⋅(−16)=36+64=100\displaystyle \Delta=6^{2}-4\cdot(-16)=36+64=100, deci Δ=10\displaystyle \sqrt{\Delta}=10. Rădăcinile sunt a1,2=−6±102\displaystyle a_{1,2}=\dfrac{-6\pm 10}{2}, adică a1=−8\displaystyle a_{1}=-8 și a2=2\displaystyle a_{2}=2.
    {−8, 2}\displaystyle \{-8,\,2\}
  4. Condiția din enunț cere a>1\displaystyle a>1, deci rădăcina −8\displaystyle -8 nu convine. Rămâne a=2\displaystyle a=2. Verificare: numerele sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, 9\displaystyle 9, o progresie geometrică cu rația 3\displaystyle 3.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați suma absciselor punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6\displaystyle f(x)=x^2-6 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=−x−3\displaystyle g(x)=-x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația: x2−6=−x−3\displaystyle x^{2}-6=-x-3.
    x2−6=−x−3\displaystyle x^{2}-6=-x-3
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2−6+x+3=0\displaystyle x^{2}-6+x+3=0, deci după reducerea termenilor asemenea obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2+x−3=0\displaystyle x^{2}+x-3=0
  3. Verificăm că ecuația are două soluții reale distincte: Δ=12−4⋅1⋅(−3)=13>0\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=13>0. Deci există două puncte de intersecție.
    Δ=13>0\displaystyle \Delta=13>0
  4. Suma absciselor este suma rădăcinilor ecuației x2+x−3=0\displaystyle x^{2}+x-3=0. Din relațiile lui Viète, x1+x2=−ba=−11=−1\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1.
    x1+x2=−1\displaystyle x_1+x_2=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2−3x−8=0\displaystyle 3^{x+2}-3^x-8=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+2=3x⋅32=9⋅3x\displaystyle 3^{x+2}=3^x\cdot 3^2=9\cdot 3^x. Ecuația devine 9⋅3x−3x−8=0\displaystyle 9\cdot 3^x-3^x-8=0.
    9⋅3x−3x−8=0\displaystyle 9\cdot 3^x-3^x-8=0
  2. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3^x și mutăm termenul liber în membrul drept. Obținem 3x(32−1)=8\displaystyle 3^x(3^2-1)=8, adică 3x⋅8=8\displaystyle 3^x\cdot 8=8.
    3x(32−1)=8⇔8⋅3x=8\displaystyle 3^x(3^2-1)=8\Leftrightarrow 8\cdot 3^x=8
  3. Împărțim ambii membri la 8\displaystyle 8 și obținem 3x=1\displaystyle 3^x=1.
    3x=1\displaystyle 3^x=1
  4. Scriem 1=30\displaystyle 1=3^0, deci 3x=30\displaystyle 3^x=3^0. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice inegalitatea Cn2≤3Cn1\displaystyle C_n^2\le 3C_n^1.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 8 elemente, deci sunt 8\displaystyle 8 numere care pot fi alese.
    8\displaystyle 8
  2. Scriem combinările cu formule: Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2} și Cn1=n\displaystyle C_n^1=n.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, Cn1=n\displaystyle \ C_n^1=n
  3. Înlocuim în inegalitate: n(n−1)2≤3n\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}\le 3n. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n(n−1)≤6n\displaystyle n(n-1)\le 6n, adică n(n−1)−6n≤0\displaystyle n(n-1)-6n\le 0, deci n(n−7)≤0\displaystyle n(n-7)\le 0.
    n(n−1)2≤3n⇔n(n−7)≤0\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}\le 3n\Leftrightarrow n(n-7)\le 0
  4. Cum n>0\displaystyle n>0, inegalitatea n(n−7)≤0\displaystyle n(n-7)\le 0 este echivalentă cu n≤7\displaystyle n\le 7. Din mulțimea A\displaystyle A rămân valorile de la 2\displaystyle 2 la 7\displaystyle 7, deci sunt 6\displaystyle 6 cazuri favorabile.
    n∈{2,3,4,5,6,7}\displaystyle n\in\{2,3,4,5,6,7\}, 6\displaystyle \ 6
  5. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=68\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{6}{8}, iar după simplificare prin 2\displaystyle 2 obținem 34\displaystyle \dfrac{3}{4}.
    p=68=34\displaystyle p=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numerele reale m\displaystyle m, m≠2\displaystyle m\ne 2, pentru care vectorii u⃗=4i⃗+mj⃗\displaystyle \vec{u}=4\vec{i}+m\vec{j} și v⃗=(m−2)i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=(m-2)\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Coordonatele lui u⃗\displaystyle \vec{u} sunt 4\displaystyle 4 și m\displaystyle m, iar ale lui v⃗\displaystyle \vec{v} sunt m−2\displaystyle m-2 și 2\displaystyle 2. Cum m≠2\displaystyle m\ne 2, putem scrie raportul coordonatelor.
    4m−2=m2\displaystyle \dfrac{4}{m-2}=\dfrac{m}{2}
  2. Înmulțim pe diagonală (produsul mezilor egal cu produsul extremilor): 4⋅2=m(m−2)\displaystyle 4\cdot 2=m(m-2). Apoi aducem toți termenii într-o parte și obținem ecuația de gradul al doilea.
    4m−2=m2⇒8=m2−2m⇒m2−2m−8=0\displaystyle \dfrac{4}{m-2}=\dfrac{m}{2}\Rightarrow 8=m^2-2m\Rightarrow m^2-2m-8=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației m2−2m−8=0\displaystyle m^2-2m-8=0, unde a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−8\displaystyle c=-8.
    Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=4+32=36\displaystyle \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36
  4. Aflăm rădăcinile ecuației cu formula m=−b±Δ2a\displaystyle m=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. Ambele diferă de 2\displaystyle 2, deci convin.
    m=2±62⇒m=−2 sau m=4, care convin\displaystyle m=\dfrac{2\pm 6}{2}\Rightarrow m=-2\text{ sau }m=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=5\displaystyle AB=5, AC=4\displaystyle AC=4 și m(∠A)=60∘\displaystyle m(\angle A)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Perimetrul este suma celor trei laturi. Latura BC\displaystyle BC nu este dată, deci o calculăm cu teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC, cunoscând două laturi și unghiul dintre ele.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Folosim valoarea cosinusului pentru unghiul de 60∘\displaystyle 60^\circ.
    cos⁡A=cos⁡60∘=12\displaystyle \cos A=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  3. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5, AC=4\displaystyle AC=4 și cos⁡A=12\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{2} în formulă și calculăm.
    BC2=25+16−2⋅5⋅4⋅12=41−20=21\displaystyle BC^{2}=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot\frac{1}{2}=41-20=21
  4. Cum BC\displaystyle BC este o lungime, deci pozitivă, luăm rădăcina pătrată pozitivă.
    BC=21\displaystyle BC=\sqrt{21}
  5. Adunăm cele trei laturi: AB+AC=5+4=9\displaystyle AB+AC=5+4=9, la care adăugăm BC\displaystyle BC. Obținem perimetrul triunghiului.
    PΔABC=AB+BC+AC=9+21\displaystyle P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC=9+\sqrt{21}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {(m2−1)x+my+4z=1x+y+z=0mx+3y+z=−1\displaystyle \begin{cases}(m^2-1)x+my+4z=1\\ x+y+z=0\\ mx+3y+z=-1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care tripletul (−1,0,1)\displaystyle (-1,0,1) este soluție a sistemului de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1, y=0\displaystyle y=0, z=1\displaystyle z=1 în prima ecuație (m2−1)x+my+4z=1\displaystyle (m^2-1)x+my+4z=1 și obținem −(m2−1)+m⋅0+4=1\displaystyle -(m^2-1)+m\cdot 0+4=1.
    −(m2−1)+4=1\displaystyle -(m^2-1)+4=1
  2. Desfacem parantezele: −m2+1+4=1\displaystyle -m^2+1+4=1, deci −m2=−4\displaystyle -m^2=-4, adică m2=4\displaystyle m^2=4.
    m2=4\displaystyle m^2=4
  3. În a doua ecuație x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0 obținem −1+0+1=0\displaystyle -1+0+1=0, relație adevărată pentru orice m\displaystyle m.
    −1+1=0\displaystyle -1+1=0
  4. În a treia ecuație mx+3y+z=−1\displaystyle mx+3y+z=-1 obținem −m+0+1=−1\displaystyle -m+0+1=-1, deci −m=−2\displaystyle -m=-2, adică m=2\displaystyle m=2.
    m=2\displaystyle m=2
  5. Din prima ecuație avem m2=4\displaystyle m^2=4, deci m=2 sau m=−2\displaystyle m=2\text{ sau }m=-2, iar din a treia ecuație avem m=2\displaystyle m=2. Valoarea comună este m=2\displaystyle m=2.
    {m2=4m=2\displaystyle \begin{cases}m^2=4\\ m=2\end{cases}
  6. Tripletul (−1,0,1)\displaystyle (-1,0,1) este soluție a sistemului doar pentru m=2\displaystyle m=2.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {(m2−1)x+my+4z=1x+y+z=0mx+3y+z=−1\displaystyle \begin{cases}(m^2-1)x+my+4z=1\\ x+y+z=0\\ mx+3y+z=-1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui m\displaystyle m pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Un sistem liniar de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z.
    A=(m2−1m4111m31)\displaystyle A=\begin{pmatrix}m^2-1&m&4\\ 1&1&1\\ m&3&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul dezvoltându-l după prima linie, cu minorii de ordin 2 corespunzători.
    det⁡A=(m2−1)∣1131∣−m∣11m1∣+4∣11m3∣\displaystyle \det A=(m^2-1)\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}-m\begin{vmatrix}1&1\\m&1\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}1&1\\m&3\end{vmatrix}
  3. Calculăm minorii: primul este 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, al doilea este 1−m\displaystyle 1-m, al treilea este 3−m\displaystyle 3-m. Apoi înlocuim și desfacem parantezele.
    det⁡A=−2(m2−1)−m(1−m)+4(3−m)=−2m2+2−m+m2+12−4m\displaystyle \det A=-2(m^2-1)-m(1-m)+4(3-m)=-2m^2+2-m+m^2+12-4m
  4. Reducem termenii asemenea și descompunem trinomul în factori, căutând rădăcinile −7\displaystyle -7 și 2\displaystyle 2 (suma lor este −5\displaystyle -5, produsul este −14\displaystyle -14).
    det⁡A=−m2−5m+14=−(m+7)(m−2)\displaystyle \det A=-m^2-5m+14=-(m+7)(m-2)
  5. Sistemul are soluție unică exact când det⁡A≠0\displaystyle \det A\ne 0, adică m≠−7\displaystyle m\ne -7 și m≠2\displaystyle m\ne 2. Deci mulțimea cerută este:
    m∈R∖{−7,2}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-7,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {(m2−1)x+my+4z=1x+y+z=0mx+3y+z=−1\displaystyle \begin{cases}(m^2-1)x+my+4z=1\\ x+y+z=0\\ mx+3y+z=-1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele m∈Z∖{−7,2}\displaystyle m\in\mathbb{Z}\setminus\{-7,2\}, pentru care sistemul de ecuații admite soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0), cu x0,y0,z0∈Z\displaystyle x_0,y_0,z_0\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Din a doua ecuație x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0 exprimăm z=−x−y\displaystyle z=-x-y.
    z=−x−y\displaystyle z=-x-y
  2. Din a treia ecuație, mx+3y−x−y=−1\displaystyle mx+3y-x-y=-1, deci (m−1)x+2y=−1\displaystyle (m-1)x+2y=-1. Din prima ecuație, (m2−1)x+my−4x−4y=1\displaystyle (m^2-1)x+my-4x-4y=1, deci (m2−5)x+(m−4)y=1\displaystyle (m^2-5)x+(m-4)y=1.
    {(m−1)x+2y=−1(m2−5)x+(m−4)y=1\displaystyle \begin{cases}(m-1)x+2y=-1\\ (m^2-5)x+(m-4)y=1\end{cases}
  3. Din prima ecuație y=−1−(m−1)x2\displaystyle y=\dfrac{-1-(m-1)x}{2}. Înlocuim în a doua ecuație, înmulțită cu 2: 2(m2−5)x−(m−4)−(m−4)(m−1)x=2\displaystyle 2(m^2-5)x-(m-4)-(m-4)(m-1)x=2. Cum (m−4)(m−1)=m2−5m+4\displaystyle (m-4)(m-1)=m^2-5m+4, coeficientul lui x\displaystyle x este m2+5m−14=(m+7)(m−2)\displaystyle m^2+5m-14=(m+7)(m-2). Rămâne (m+7)(m−2)x=m−2\displaystyle (m+7)(m-2)x=m-2.
    (m+7)(m−2)x=m−2\displaystyle (m+7)(m-2)x=m-2
  4. Cum m≠−7\displaystyle m\neq -7 și m≠2\displaystyle m\neq 2, simplificăm cu m−2\displaystyle m-2 și obținem x=1m+7\displaystyle x=\dfrac{1}{m+7}. Atunci y=−1−m−1m+72=−m+3m+7\displaystyle y=\dfrac{-1-\frac{m-1}{m+7}}{2}=-\dfrac{m+3}{m+7} și z=−x−y=m+2m+7\displaystyle z=-x-y=\dfrac{m+2}{m+7}.
    (1m+7,−m+3m+7,m+2m+7)\displaystyle \left(\frac{1}{m+7},-\frac{m+3}{m+7},\frac{m+2}{m+7}\right)
  5. Pentru ca x=1m+7\displaystyle x=\dfrac{1}{m+7} să fie întreg, m+7\displaystyle m+7 trebuie să fie divizor întreg al lui 1\displaystyle 1, deci m+7=1\displaystyle m+7=1 sau m+7=−1\displaystyle m+7=-1.
    m+7∈{−1,1}⇒m∈{−8,−6}\displaystyle m+7\in\{-1,1\}\Rightarrow m\in\{-8,-6\}
  6. Numitorul m+7\displaystyle m+7 este ±1\displaystyle \pm 1, deci și y0\displaystyle y_0, z0\displaystyle z_0 sunt întregi. Pentru m=−6\displaystyle m=-6 soluția este (1,3,−4)\displaystyle (1,3,-4), iar pentru m=−8\displaystyle m=-8 soluția este (−1,−5,6)\displaystyle (-1,-5,6). Ambele valori sunt diferite de −7\displaystyle -7 și de 2\displaystyle 2.
    m=−8 sau m=−6\displaystyle m=-8\text{ sau }m=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+11xy\displaystyle x\circ y=x+y+11xy.

Demonstrați că x∘y=11(x+111)(y+111)−111\displaystyle x\circ y=11\left(x+\frac{1}{11}\right)\left(y+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=x+y+11xy\displaystyle x\circ y=x+y+11xy și adăugăm și scădem 111\displaystyle \dfrac{1}{11}, ca să putem forma factorul y+111\displaystyle y+\dfrac{1}{11}.
    x∘y=11xy+x+y+111−111\displaystyle x\circ y=11xy+x+y+\frac{1}{11}-\frac{1}{11}
  2. Grupăm termenii 11xy\displaystyle 11xy și x\displaystyle x și dăm factor comun x\displaystyle x, iar y+111\displaystyle y+\dfrac{1}{11} rămâne ca al doilea grup. Obținem 11x(y+111)=11xy+x\displaystyle 11x\left(y+\dfrac{1}{11}\right)=11xy+x, deci expresia coincide cu cea de la pasul precedent.
    x∘y=11x(y+111)+(y+111)−111\displaystyle x\circ y=11x\left(y+\frac{1}{11}\right)+\left(y+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}
  3. Dăm factor comun y+111\displaystyle y+\dfrac{1}{11} între primii doi termeni.
    x∘y=(y+111)(11x+1)−111\displaystyle x\circ y=\left(y+\frac{1}{11}\right)(11x+1)-\frac{1}{11}
  4. Scoatem factorul 11\displaystyle 11 din paranteza 11x+1\displaystyle 11x+1, deoarece 11x+1=11(x+111)\displaystyle 11x+1=11\left(x+\dfrac{1}{11}\right). Obținem forma cerută, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=11(x+111)(y+111)−111\displaystyle x\circ y=11\left(x+\frac{1}{11}\right)\left(y+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+11xy\displaystyle x\circ y=x+y+11xy.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∘x=811\displaystyle x\circ x=\frac{8}{11}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția legii: x∘x=x+x+11x⋅x\displaystyle x\circ x=x+x+11x\cdot x.
    x∘x=11x2+2x\displaystyle x\circ x=11x^{2}+2x
  2. Ecuația x∘x=811\displaystyle x\circ x=\dfrac{8}{11} devine 11x2+2x=811\displaystyle 11x^{2}+2x=\dfrac{8}{11}.
    11x2+2x=811\displaystyle 11x^{2}+2x=\frac{8}{11}
  3. Scoatem factor comun 11\displaystyle 11: 11x2+2x=11(x2+211x)\displaystyle 11x^{2}+2x=11\left(x^{2}+\dfrac{2}{11}x\right). Completăm pătratul: 11(x+111)2=11x2+2x+111\displaystyle 11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}=11x^{2}+2x+\dfrac{1}{11}, deci 11x2+2x=11(x+111)2−111\displaystyle 11x^{2}+2x=11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}-\dfrac{1}{11}.
    11x2+2x=11(x+111)2−111\displaystyle 11x^{2}+2x=11\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}-\frac{1}{11}
  4. Ecuația devine 11(x+111)2−111=811\displaystyle 11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{8}{11}. Adunăm 111\displaystyle \dfrac{1}{11} în ambii membri: 11(x+111)2=911\displaystyle 11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}=\dfrac{9}{11}. Împărțind la 11\displaystyle 11 obținem (x+111)2=9121\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}=\dfrac{9}{121}.
    11(x+111)2−111=811⇔(x+111)2=9121\displaystyle 11\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}-\frac{1}{11}=\frac{8}{11}\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{9}{121}
  5. Din (x+111)2=9121\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{11}\right)^{2}=\dfrac{9}{121} rezultă x+111=311\displaystyle x+\dfrac{1}{11}=\dfrac{3}{11} sau x+111=−311\displaystyle x+\dfrac{1}{11}=-\dfrac{3}{11}.
    x+111=311 sau x+111=−311\displaystyle x+\frac{1}{11}=\frac{3}{11}\text{ sau }x+\frac{1}{11}=-\frac{3}{11}
  6. Din primul caz, x=311−111=211\displaystyle x=\dfrac{3}{11}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{2}{11}. Din al doilea caz, x=−311−111=−411\displaystyle x=-\dfrac{3}{11}-\dfrac{1}{11}=-\dfrac{4}{11}.
    x=−411 sau x=211\displaystyle x=-\frac{4}{11}\text{ sau }x=\frac{2}{11}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+11xy\displaystyle x\circ y=x+y+11xy.

Calculați partea întreagă a numărului a=(1−111)∘(1−211)∘(1−311)∘(1−411)\displaystyle a=\left(1-\frac{1}{11}\right)\circ\left(1-\frac{2}{11}\right)\circ\left(1-\frac{3}{11}\right)\circ\left(1-\frac{4}{11}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă canonică. Avem x∘y=11xy+x+y\displaystyle x\circ y=11xy+x+y și 11(x+111)(y+111)=11xy+x+y+111\displaystyle 11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)\left(y+\dfrac{1}{11}\right)=11xy+x+y+\dfrac{1}{11}, deci x∘y=11(x+111)(y+111)−111\displaystyle x\circ y=11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)\left(y+\dfrac{1}{11}\right)-\dfrac{1}{11}.
    x∘y=11(x+111)(y+111)−111\displaystyle x\circ y=11\left(x+\frac{1}{11}\right)\left(y+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}
  2. Din forma canonică rezultă (x∘y)+111=11(x+111)(y+111)\displaystyle (x\circ y)+\dfrac{1}{11}=11\left(x+\dfrac{1}{11}\right)\left(y+\dfrac{1}{11}\right). Aplicând de trei ori această relație, pentru patru numere obținem x1∘x2∘x3∘x4=113(x1+111)(x2+111)(x3+111)(x4+111)−111\displaystyle x_1\circ x_2\circ x_3\circ x_4=11^{3}\left(x_1+\dfrac{1}{11}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{11}\right)\left(x_3+\dfrac{1}{11}\right)\left(x_4+\dfrac{1}{11}\right)-\dfrac{1}{11}.
    x1∘x2∘x3∘x4=113∏k=14(xk+111)−111\displaystyle x_1\circ x_2\circ x_3\circ x_4=11^{3}\prod_{k=1}^{4}\left(x_k+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}
  3. Aplicăm formula pentru xk=1−k11\displaystyle x_k=1-\dfrac{k}{11}, cu k=1,2,3,4\displaystyle k=1,2,3,4: a=113⋅(1−111+111)(1−211+111)(1−311+111)(1−411+111)−111\displaystyle a=11^{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}\right)\left(1-\dfrac{2}{11}+\dfrac{1}{11}\right)\left(1-\dfrac{3}{11}+\dfrac{1}{11}\right)\left(1-\dfrac{4}{11}+\dfrac{1}{11}\right)-\dfrac{1}{11}.
    a=113⋅(1−111+111)⋅(1−211+111)⋅(1−311+111)⋅(1−411+111)−111\displaystyle a=11^3\cdot\left(1-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{11}+\frac{1}{11}\right)\cdot\left(1-\frac{3}{11}+\frac{1}{11}\right)\cdot\left(1-\frac{4}{11}+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{11}
  4. Simplificăm factorii: 1\displaystyle 1, 1011\displaystyle \dfrac{10}{11}, 911\displaystyle \dfrac{9}{11}, 811\displaystyle \dfrac{8}{11}. Atunci a=113⋅1⋅1011⋅911⋅811−111\displaystyle a=11^{3}\cdot 1\cdot\dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{9}{11}\cdot\dfrac{8}{11}-\dfrac{1}{11}. Numitorul 113\displaystyle 11^{3} se simplifică cu 113\displaystyle 11^{3}, iar 10⋅9⋅8=720\displaystyle 10\cdot 9\cdot 8=720.
    a=113⋅1⋅1011⋅911⋅811−111=720−111\displaystyle a=11^3\cdot 1\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{8}{11}-\frac{1}{11}=720-\frac{1}{11}
  5. Deoarece 0<111<1\displaystyle 0<\dfrac{1}{11}<1, avem 719<720−111<720\displaystyle 719<720-\dfrac{1}{11}<720. Deci partea întreagă a lui a\displaystyle a este 719\displaystyle 719.
    719<720−111<720, deci [a]=719\displaystyle 719<720-\frac{1}{11}<720\text{, deci }[a]=719
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=23xx−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x. Arătați că f′(x)=x−1\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}-1, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem radicalul ca putere: x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, deci xx=x1+12=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.
    f(x)=23x32−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x
  2. Derivăm funcția, termen cu termen, pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=(23x32−x)′\displaystyle f'(x)=\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x\right)'.
    f′(x)=(23x32−x)′=23(x32)′−(x)′\displaystyle f'(x)=\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x\right)'=\frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'-(x)'
  3. Aplicăm formula (xa)′=a xa−1\displaystyle (x^{a})'=a\,x^{a-1} pentru a=32\displaystyle a=\frac{3}{2}, deci (x32)′=32x32−1=32x12\displaystyle \left(x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}. Apoi (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    (x32)′=32x12\displaystyle \left(x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}
  4. Înlocuim: f′(x)=23⋅32x12−1\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1. Cum 23⋅32=1\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1 și x12=x\displaystyle x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}, obținem f′(x)=x−1\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}-1, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=23⋅32x12−1=x−1\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1=\sqrt{x}-1, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=23xx−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(1,−13)\displaystyle A\left(1,-\frac{1}{3}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Scriem xx=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}, deci f(x)=23x32−x\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x.
    f(x)=23x32−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x
  3. Derivăm: f′(x)=23⋅32x12−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1, adică f′(x)=x−1\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}-1.
    f′(x)=x−1\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}-1
  4. Calculăm f′(1)=1−1=0\displaystyle f'(1)=\sqrt{1}-1=0.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0
  5. Calculăm f(1)=23⋅1⋅1−1=23−1=−13\displaystyle f(1)=\dfrac{2}{3}\cdot 1\cdot\sqrt{1}-1=\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}, deci punctul A\displaystyle A aparține graficului.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, f(1)=−13\displaystyle \ f(1)=-\frac{1}{3}
  6. Înlocuim în formulă: y−(−13)=0⋅(x−1)\displaystyle y-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=0\cdot(x-1), adică y+13=0\displaystyle y+\dfrac{1}{3}=0. Tangenta este dreapta orizontală y=−13\displaystyle y=-\dfrac{1}{3}.
    y=−13\displaystyle y=-\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=23xx−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x.

Demonstrați că x(2x−3)≥−1\displaystyle x\left(2\sqrt{x}-3\right)\ge -1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu exponenți: xx=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}. Deci f(x)=23x32−x\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x.
    f(x)=23x32−x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x
  2. Derivăm funcția pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui x32\displaystyle x^{\frac{3}{2}} este 32x\displaystyle \dfrac{3}{2}\sqrt{x}, deci f′(x)=23⋅32x−1=x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-1=\sqrt{x}-1.
    f′(x)=x−1\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}-1
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: x−1=0\displaystyle \sqrt{x}-1=0, deci x=1\displaystyle x=1. Prin urmare f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0
  4. Studiem semnul derivei. Pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem x≤1\displaystyle \sqrt{x}\le 1, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1]. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x≥1\displaystyle \sqrt{x}\ge 1, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, x∈(0,1]⇒f descresca˘toare;f′(x)≥0\displaystyle \ x\in(0,1]\Rightarrow f\text{ descrescătoare};\quad f'(x)\ge 0, x∈[1,+∞)⇒f cresca˘toare\displaystyle \ x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare}
  5. Din monotonie, x=1\displaystyle x=1 este punct de minim pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Calculăm f(1)=23−1=−13\displaystyle f(1)=\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}.
    f(x)≥f(1)=−13\displaystyle f(x)\ge f(1)=-\frac{1}{3}
  6. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x): 23xx−x≥−13\displaystyle \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-x\ge-\dfrac{1}{3}. Înmulțim cu 3\displaystyle 3: 2xx−3x≥−1\displaystyle 2x\sqrt{x}-3x\ge -1. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    23xx−x≥−13⇒x(2x−3)≥−1\displaystyle \frac{2}{3}x\sqrt{x}-x\ge-\frac{1}{3}\Rightarrow x\left(2\sqrt{x}-3\right)\ge-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră funcția fn:(−1,+∞)→R\displaystyle f_n:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnxn+1\displaystyle f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}.

Determinați primitiva G:(−1,+∞)→R\displaystyle G:(-1,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției g:(−1,+∞)→R\displaystyle g:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=(x3+1)f3(x)\displaystyle g(x)=(x^3+1)f_3(x), știind că G(0)=2020\displaystyle G(0)=2020.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=3\displaystyle n=3 avem f3(x)=x3x3+1\displaystyle f_3(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{3}+1}, definită pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    f3(x)=x3x3+1\displaystyle f_3(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{3}+1}
  2. Avem g(x)=(x3+1)⋅x3x3+1\displaystyle g(x)=(x^{3}+1)\cdot\dfrac{x^{3}}{x^{3}+1}. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x3+1>0\displaystyle x^{3}+1>0, deci putem simplifica factorul x3+1\displaystyle x^{3}+1.
    g(x)=x3\displaystyle g(x)=x^{3}
  3. Primitivele lui g\displaystyle g sunt G(x)=∫x3 dx\displaystyle G(x)=\int x^{3}\,dx, adică se folosește formula ∫xn dx=xn+1n+1+c\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c cu n=3\displaystyle n=3.
    G(x)=x44+c\displaystyle G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  4. Din G(0)=2020\displaystyle G(0)=2020 obținem 044+c=2020\displaystyle \dfrac{0^{4}}{4}+c=2020, deci c=2020\displaystyle c=2020.
    c=2020\displaystyle c=2020
  5. Înlocuind c=2020\displaystyle c=2020 în G(x)=x44+c\displaystyle G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+c, primitiva cerută este:
    G(x)=x44+2020\displaystyle G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră funcția fn:(−1,+∞)→R\displaystyle f_n:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnxn+1\displaystyle f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}.

Calculați ∫01f1(x) dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem f1(x)=xx+1\displaystyle f_1(x)=\dfrac{x}{x+1}, deci integrala cerută este ∫01xx+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{x+1}\,dx.
    ∫01f1(x) dx=∫01xx+1 dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx=\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx
  2. Scriem numărătorul ca x=(x+1)−1\displaystyle x=(x+1)-1, deci xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{(x+1)-1}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}.
    xx+1=1−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(1−1x+1)dx=(x−ln⁡(x+1))∣01\displaystyle \int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=1\displaystyle x=1 obținem 1−ln⁡2\displaystyle 1-\ln 2, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0−ln⁡1=0\displaystyle 0-\ln 1=0. Scădem cele două valori.
    (1−ln⁡2)−(0−ln⁡1)=1−ln⁡2\displaystyle \left(1-\ln 2\right)-\left(0-\ln 1\right)=1-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră funcția fn:(−1,+∞)→R\displaystyle f_n:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnxn+1\displaystyle f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}.

Demonstrați că ∫01fn(x) dx≤1n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\le\frac{1}{n+1}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0, deci numitorul xn+1≥1\displaystyle x^{n}+1\ge 1 (și, în particular, este nenul).
    xn+1≥1\displaystyle x^{n}+1\ge 1, x∈[0,1]\displaystyle \ x\in[0,1]
  2. Deoarece xn+1≥1\displaystyle x^{n}+1\ge 1 și xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0, fracția este cel mult egală cu numărătorul: xnxn+1≤xn\displaystyle \dfrac{x^{n}}{x^{n}+1}\le x^{n}. Deci fn(x)≤xn\displaystyle f_n(x)\le x^{n} pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    fn(x)=xnxn+1≤xn\displaystyle f_n(x)=\dfrac{x^{n}}{x^{n}+1}\le x^{n}, x∈[0,1]\displaystyle \ x\in[0,1]
  3. Integrăm inegalitatea fn(x)≤xn\displaystyle f_n(x)\le x^{n} pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Integrala păstrează sensul inegalității: ∫01fn(x) dx≤∫01xn dx\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\le\int_0^1 x^{n}\,dx.
    ∫01fn(x) dx≤∫01xn dx\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\le\int_0^1 x^{n}\,dx
  4. Calculăm ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1−0=1n+1\displaystyle \int_0^1 x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}-0=\dfrac{1}{n+1}. Deci ∫01fn(x) dx≤1n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\le\dfrac{1}{n+1}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    ∫01fn(x) dx≤∫01xn dx=1n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\le\int_0^1 x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.