Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_1

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle a_3=19

și

\displaystyle a_4=25

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula termenului general al unei progresii aritmetice, folosind primul termen și rația $\displaystyle r$ .
$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r$
Se observă că diferența a doi termeni consecutivi ai progresiei aritmetice este egală cu rația $\displaystyle r$ , deci $\displaystyle r$ se poate calcula din termenii $\displaystyle a_{3}$ și $\displaystyle a_{4}$ cunoscuți.
$\displaystyle r=a_4-a_3$
Se înlocuiesc valorile numerice date, $\displaystyle a_{3}=19$ și $\displaystyle a_{4}=25$ , pentru a obține rația progresiei.
$\displaystyle r=25-19=6$
Se scrie relația dintre $\displaystyle a_{3}$ și $\displaystyle a_{1}$ , folosind formula termenului general pentru $\displaystyle n=3$ , adică $\displaystyle a_{3}=a_{1}+2r$ .
$\displaystyle a_3=a_1+2r$
Se izolează $\displaystyle a_{1}$ în relația de mai sus, exprimându-l în funcție de $\displaystyle a_{3}$ și $\displaystyle r$ .
$\displaystyle a_1=a_3-2r$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle a_{3}=19$ și $\displaystyle r=6$ pentru a determina valoarea finală a lui $\displaystyle a_{1}$ .
$\displaystyle a_1=19-2\cdot 6=19-12=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+a

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle f(2)=8

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f(x)=2x+a$ și se înlocuiește $\displaystyle x$ cu valoarea $\displaystyle 2$ , conform condiției $\displaystyle f(2)=8$ .
$\displaystyle f(2)=2\cdot 2+a$
Se efectuează calculul $\displaystyle 2\cdot 2$ , obținându-se expresia simplificată a lui $\displaystyle f(2)$ .
$\displaystyle f(2)=4+a$
Se folosește condiția din enunț, $\displaystyle f(2)=8$ , și se scrie ecuația corespunzătoare în necunoscuta $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 4+a=8$
Se rezolvă ecuația obținută, izolând necunoscuta $\displaystyle a$ , și se obține valoarea căutată.
$\displaystyle 4+a=8\text{, de unde obținem }a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 5^{2-x}-\dfrac{1}{625}\cdot 25^{x}=0

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle 625=5^{4}$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{625}=5^{-4}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{625}=5^{-4}$
Scriem $\displaystyle 25=5^{2}$ , deci $\displaystyle 25^{x}=\left(5^{2}\right)^{x}=5^{2x}$ .
$\displaystyle 25^{x}=5^{2x}$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle 5^{2-x}-5^{-4}\cdot 5^{2x}=0$ . Înmulțind puterile cu aceeași bază, adunăm exponenții: $\displaystyle 5^{-4}\cdot 5^{2x}=5^{2x-4}$ . Deci $\displaystyle 5^{2-x}=5^{2x-4}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 5$ este injectivă, deci egalăm exponenții.
$\displaystyle 5^{2-x}-5^{-4}\cdot 5^{2x}=0\text{, deci }5^{2-x}=5^{2x-4}\text{, de unde }2-x=2x-4$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2-x=2x-4$ : adunăm $\displaystyle x$ și $\displaystyle 4$ în ambii membri și obținem $\displaystyle 6=3x$ , deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6\}

.

Vezi rezolvarea

O submulțime cu două elemente a lui $\displaystyle A$ este o alegere de $\displaystyle 2$ elemente distincte din cele $\displaystyle 6$ , fără a ține cont de ordine. Numărul acestor submulțimi se calculează cu formula combinărilor.
$\displaystyle C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot(6-2)!}$
Se scrie explicit numărul de elemente rămase, $\displaystyle 6-2=4$ , obținându-se forma din barem.
$\displaystyle C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}=$
Se descompune $\displaystyle 6!$ astfel încât să simplifice cu $\displaystyle 4!$ , rămânând doar produsul $\displaystyle 6\cdot5$ .
$\displaystyle \dfrac{6\cdot5\cdot4!}{2!\cdot4!}=\dfrac{6\cdot5}{2!}$
Se calculează $\displaystyle 2! = 2$ și se efectuează înmulțirea și împărțirea rămasă.
$\displaystyle \dfrac{6\cdot5}{2}=\dfrac{30}{2}=15$
Se obține rezultatul final: numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii $\displaystyle A$ .
$\displaystyle =15$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,2)

,

\displaystyle B(2,0)

și

\displaystyle C(8,2)

. Determinați lungimea segmentului

\displaystyle DE

, unde punctele

\displaystyle D

și

\displaystyle E

sunt mijloacele segmentelor

\displaystyle OA

, respectiv

\displaystyle BC

.

Vezi rezolvarea

Se identifică originea $\displaystyle O(0,0)$ și se scrie formula punctului mijlociu pentru un segment cu capetele $\displaystyle (x_1,y_1)$ și $\displaystyle (x_2,y_2)$ : $\displaystyle M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
$\displaystyle M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Se calculează coordonatele punctului $\displaystyle D$ , mijlocul segmentului $\displaystyle OA$ , folosind $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle A(2,2)$ .
$\displaystyle D\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)=D(1,1)$
Se calculează coordonatele punctului $\displaystyle E$ , mijlocul segmentului $\displaystyle BC$ , folosind $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(8,2)$ .
$\displaystyle E\left(\dfrac{2+8}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)=E(5,1)$
Se scrie formula distanței dintre două puncte $\displaystyle D(x_1,y_1)$ și $\displaystyle E(x_2,y_2)$ .
$\displaystyle DE=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Se înlocuiesc coordonatele punctelor $\displaystyle D(1,1)$ și $\displaystyle E(5,1)$ în formula distanței.
$\displaystyle DE=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}$
Se calculează valoarea finală a distanței $\displaystyle DE$ .
$\displaystyle DE=\sqrt{16}=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=6

și

\displaystyle B=\dfrac{\pi}{6}

. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

este egală cu

\displaystyle 2\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ , iar $\displaystyle AB$ este cateta alăturată unghiului $\displaystyle B$ . Scriem cosinusul unghiului $\displaystyle B$ ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză.
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Înlocuim valoarea cosinusului pentru unghiul de $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ , adică $\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , și lungimea $\displaystyle AB=6$ .
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{BC}$
Din proporție, înmulțind cruce, avem $\displaystyle BC\cdot\sqrt{3}=12$ , deci $\displaystyle BC=\dfrac{12}{\sqrt{3}}$ . Raționalizăm numitorul și obținem lungimea ipotenuzei.
$\displaystyle BC=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza $\displaystyle BC$ este diametrul cercului circumscris. Raza $\displaystyle R$ este jumătate din $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ 2-2a & 2-a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det A=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea $\displaystyle A$ și se identifică elementele acesteia: $\displaystyle a_{11}=0$ , $\displaystyle a_{12}=-1$ , $\displaystyle a_{21}=2$ , $\displaystyle a_{22}=4$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}$
Se aplică formula determinantului unei matrice de ordinul doi: pentru o matrice generală $\displaystyle (a_{11}, a_{12}; a_{21}, a_{22})$ , determinantul este $\displaystyle a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{vmatrix}=0\cdot 4-(-1)\cdot 2=$
Se efectuează calculele: produsul elementelor de pe diagonala principală este $\displaystyle 0$ , iar produsul elementelor de pe diagonala secundară este $\displaystyle -1$ înmulțit cu $\displaystyle 2$ , adică $\displaystyle -2$ , cu semn schimbat devine $\displaystyle +2$ .
$\displaystyle =0-(-2)=0+2$
Se finalizează calculul, obținând valoarea determinantului matricei $\displaystyle A$ .
$\displaystyle =0+2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ 2-2a & 2-a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle M(2)\cdot A=xM(1)

.

Vezi rezolvarea

Se determină matricea $\displaystyle M(2)$ prin substituirea lui $\displaystyle a=2$ în expresia generală a matricei $\displaystyle M(a)$ .
$\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 2-2\cdot 2 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
Se determină matricea $\displaystyle M(1)$ prin substituirea lui $\displaystyle a=1$ în expresia generală a matricei $\displaystyle M(a)$ , pentru a o folosi ulterior în comparație.
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2-2\cdot 1 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Se calculează produsul $\displaystyle M(2)\cdot A$ folosind regula de înmulțire a matricelor, element cu element.
$\displaystyle M(2)\cdot A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -2 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 0+1\cdot 2 & 2\cdot(-1)+1\cdot 4\\ -2\cdot 0+0\cdot 2 & -2\cdot(-1)+0\cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 2\end{pmatrix}$
Se scoate factor comun $\displaystyle 2$ din matricea obținută și se observă că matricea rămasă este exact $\displaystyle M(1)$ , obținându-se astfel forma cerută de barem.
$\displaystyle M(2)\cdot A=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2M(1)$
Se compară relația obținută, $\displaystyle M(2)\cdot A=2M(1)$ , cu forma dată în enunț, $\displaystyle M(2)\cdot A=xM(1)$ , obținându-se ecuația $\displaystyle 2M(1)=xM(1)$ . Cum $\displaystyle \det(M(1))=1\cdot 1-1\cdot 0=1\ne 0$ , matricea $\displaystyle M(1)$ este inversabilă, deci se poate simplifica prin $\displaystyle M(1)$ , rezultând valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2M(1)=xM(1)\text{, de unde obținem }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ 2-2a & 2-a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \left(M(a)-2I_2\right)\cdot M(a)=(a+2)I_2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit matricea $\displaystyle M(a) - 2I_2$ , scăzând din $\displaystyle M(a)$ matricea $\displaystyle 2I_2$ (adică $\displaystyle 2$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest).
$\displaystyle M(a)-2I_2=\begin{pmatrix}a-2 & 1\\ 2-2a & -a\end{pmatrix}$
Se calculează produsul $\displaystyle (M(a)-2I_2)\cdot M(a)$ , înmulțind matricele linie cu coloană, element cu element.
$\displaystyle \left(M(a)-2I_2\right)\cdot M(a)=\begin{pmatrix}(a-2)\cdot a+1\cdot(2-2a) & (a-2)\cdot 1+1\cdot(2-a)\\ (2-2a)\cdot a+(-a)\cdot(2-2a) & (2-2a)\cdot 1+(-a)\cdot(2-a)\end{pmatrix}$
Se simplifică fiecare element al matricei produs, obținându-se o matrice diagonală, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \left(M(a)-2I_2\right)\cdot M(a)=\begin{pmatrix}a^2-4a+2 & 0\\ 0 & a^2-4a+2\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a$
Se scrie explicit matricea $\displaystyle (a+2)I_2$ , cu care se va compara rezultatul obținut.
$\displaystyle (a+2)I_2=\begin{pmatrix}a+2 & 0\\ 0 & a+2\end{pmatrix}$
Se egalează cele două matrice diagonale, element cu element, deoarece egalitatea de matrice implică egalitatea elementelor corespunzătoare.
$\displaystyle \begin{pmatrix}a^2-4a+2 & 0\\ 0 & a^2-4a+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2 & 0\\ 0 & a+2\end{pmatrix}$
Din egalitatea elementelor de pe diagonală se obține ecuația $\displaystyle a^2-4a+2=a+2$ , care se aduce la forma $\displaystyle a^2-5a=0$ , adică $\displaystyle a(a-5)=0$ .
$\displaystyle a^2-4a+2=a+2\Rightarrow a^2-5a=0\Rightarrow a(a-5)=0$
Se rezolvă ecuația de gradul doi obținută, găsind cele două soluții posibile pentru $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a(a-5)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-6)(y-6)+6

.

Arătați că

\displaystyle 9\circ 8=12

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile care trebuie înlocuite: $\displaystyle x=9$ și $\displaystyle y=8$ .
$\displaystyle x\circ y=(x-6)(y-6)+6$ , $\displaystyle \text{ unde }x=9$ , $\displaystyle \ y=8$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle x=9$ și $\displaystyle y=8$ în definiția legii de compoziție.
$\displaystyle 9\circ 8=(9-6)(8-6)+6=$
Se calculează diferențele din paranteze.
$\displaystyle (9-6)=3\text{ și }(8-6)=2$
Se înmulțesc cele două valori obținute.
$\displaystyle 3\cdot 2=6$
Se adună $\displaystyle 6$ la rezultatul produsului pentru a obține valoarea finală a legii de compoziție.
$\displaystyle =6+6=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-6)(y-6)+6

.

Arătați că

\displaystyle e=7

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Reamintim definiția elementului neutru pentru o lege de compoziție: un element $\displaystyle e\in\mathbb{R}$ este element neutru dacă $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x\circ e=e\circ x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Determinăm valoarea candidată pentru $\displaystyle e$ impunând condiția $\displaystyle x\circ e=x$ și folosind definiția legii de compoziție.
$\displaystyle (x-6)(e-6)+6=x\Rightarrow (x-6)(e-6)=x-6\Rightarrow e-6=1\Rightarrow e=7$
Verificăm condiția de element neutru la dreapta, calculând $\displaystyle x\circ 7$ folosind definiția legii de compoziție.
$\displaystyle x\circ 7=(x-6)(7-6)+6=x-6+6=x\text{, pentru orice număr real }x$
Verificăm condiția de element neutru la stânga, calculând $\displaystyle 7\circ x$ folosind definiția legii de compoziție, și tragem concluzia finală.
$\displaystyle 7\circ x=(7-6)(x-6)+6=x-6+6=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=7\text{ este elementul neutru al }$ $\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-6)(y-6)+6

.

Determinați numerele reale nenule

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ \dfrac{6}{x}=6x

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție pentru perechea $\displaystyle (x, \dfrac{6}{x})$ , unde $\displaystyle x$ este un număr real nenul, înlocuind $\displaystyle y$ cu $\displaystyle \dfrac{6}{x}$ în definiția lui $\displaystyle x\circ y$ .
$\displaystyle x\circ \dfrac{6}{x}=(x-6)\left(\dfrac{6}{x}-6\right)+6$
Se aduce paranteza $\displaystyle (\dfrac{6}{x} - 6)$ la același numitor, obținând $\displaystyle \dfrac{6-6x}{x}$ , adică $\displaystyle \dfrac{6(1-x)}{x}$ , apoi se înmulțește cu $\displaystyle (x-6)$ și se adaugă $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle x\circ \dfrac{6}{x}=\dfrac{6(x-6)(1-x)}{x}+6\text{, pentru orice număr real }$ $\displaystyle \text{nenul }x$
Se pune condiția din enunț ca rezultatul legii de compoziție să fie egal cu $\displaystyle 6x$ , obținând ecuația de rezolvat.
$\displaystyle \dfrac{6(x-6)(1-x)}{x}+6=6x$
Se amplifică ecuația cu $\displaystyle x$ (posibil deoarece $\displaystyle x$ este nenul), obținând o ecuație fără fracții.
$\displaystyle 6(x-6)(1-x)+6x=6x^2$
Se dezvoltă produsul $\displaystyle (x-6)(1-x)=-x^2+7x-6$ , se înmulțește cu $\displaystyle 6$ și se aduc toți termenii într-o singură parte a egalității.
$\displaystyle -6x^2+42x-36+6x=6x^2\Leftrightarrow 12x^2-48x+36=0$
Se simplifică ecuația prin împărțire cu $\displaystyle 12$ , obținându-se forma redusă a ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle x^2-4x+3=0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea, de exemplu prin factorizare, $\displaystyle (x-1)(x-3)=0$ , obținându-se soluțiile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle (x-1)(x-3)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=3$
Se verifică faptul că ambele soluții obținute sunt nenule, deci respectă condiția inițială $\displaystyle x\neq 0$ , prin urmare ambele convin ca soluții ale ecuației date.
$\displaystyle \dfrac{6(x-6)(1-x)}{x}+6=6x\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\text{, de unde obținem }x=1\text{ sau }x=3\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cei doi factori ai produsului: $\displaystyle u(x)=x^2-5$ și $\displaystyle v(x)=\sqrt{x}$ , pentru a aplica regula de derivare a produsului $\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'$ .
$\displaystyle f(x)=u(x)\cdot v(x)\text{, unde }u(x)=x^2-5\text{, }v(x)=\sqrt{x}$
Se calculează derivatele celor doi factori: derivata lui $\displaystyle u(x)=x^2-5$ este $\displaystyle 2x$ , iar derivata lui $\displaystyle v(x)=\sqrt{x}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$\displaystyle u'(x)=2x\text{, }v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Se aplică formula derivatei produsului, $\displaystyle f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ , înlocuind expresiile obținute mai sus.
$\displaystyle f'(x)=2x\sqrt{x}+(x^2-5)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=$
Se aduc cei doi termeni la același numitor, $\displaystyle 2\sqrt{x}$ , scriind $\displaystyle 2x\sqrt{x}$ ca $\displaystyle \dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}$ , deoarece $\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x^2-5}{2\sqrt{x}}$
Se adună fracțiile cu același numitor și se reduc termenii asemenea la numărător: $\displaystyle 4x^2+x^2-5=5x^2-5$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5x^2-5}{2\sqrt{x}}$
Se factorizează numărătorul: $\displaystyle 5x^{2}-5=5(x^{2}-1)=5(x-1)(x+1)$ , obținându-se forma finală a derivatei, definită pentru $\displaystyle x$ în $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle =\dfrac{5x^2-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2}

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția ca sumă de puteri ale lui $\displaystyle x$ , pentru a putea deriva mai ușor: $\displaystyle f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}=x^2\cdot x^{1/2}-5x^{1/2}$ .
$\displaystyle f(x)=x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{1}{2}}$
Se derivează folosind regula de derivare a puterilor: $\displaystyle (x^n)'=n x^{n-1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
Se dă factor comun $\displaystyle \dfrac{5}{2}x^{-1/2}$ și se aduce la forma cu radical, obținând o diferență de pătrate la numărător.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}(x^2-1)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$
Se scrie limita cerută și se înlocuiește derivata găsită, simplificând $\displaystyle \sqrt{x}$ de la numărător cu $\displaystyle \sqrt{x}$ din numitor.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}$
Se dă factor comun $\displaystyle x^2$ atât la numărător (prin scrierea lui $\displaystyle x-1$ și $\displaystyle x+1$ în funcție de x) cât și se pregătește simplificarea, pentru a evidenția forma de tip $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ rezolvabilă prin factor comun de grad maxim.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{2x^2}$
Se simplifică $\displaystyle x^2$ de la numărător cu $\displaystyle x^2$ de la numitor.
$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{2}$
Se trece la limită: $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , iar limita se calculează direct.
$\displaystyle =\dfrac{5\cdot(1-0)\cdot(1+0)}{2}=\dfrac{5}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle f(x+2)-f(x)\leq 26

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,2]

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția sub forma unei sume de puteri ale lui x, pentru a putea deriva mai ușor.
$\displaystyle f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}=x^{2}\cdot x^{1/2}-5x^{1/2}=x^{5/2}-5x^{1/2}$
Se derivează funcția folosind regula de derivare a funcțiilor putere.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{3/2}-\dfrac{5}{2}x^{-1/2}$
Se aduce derivata la o formă cu numitor comun, dând factor comun pe $\displaystyle x^{-1/2}$ , pentru a-i studia mai ușor semnul.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{-1/2}\left(x^{2}-1\right)=\dfrac{5\left(x^{2}-1\right)}{2\sqrt{x}}$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ și se stabilește semnul derivatei pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , ținând cont că $\displaystyle x>0$ (deci $\displaystyle 2\sqrt{x}>0$ , iar semnul lui $\displaystyle f'$ este dat de semnul lui $\displaystyle x^2-1$ ). Se obține astfel monotonia funcției.
$\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=1\text{; pentru orice }x\in(0,1]$ , $\displaystyle f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]\text{ și, pentru orice }x\in[1,+\infty)$ , $\displaystyle f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)$
Se calculează valorile funcției în punctele de interes, $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=4$ , care vor servi drept margini pentru inegalitatea cerută.
$\displaystyle f(1)=(1^2-5)\sqrt{1}=-4\cdot 1=-4\text{ și }f(4)=(4^2-5)\sqrt{4}=11\cdot 2=22$
Se observă că, pentru $\displaystyle x\in(0,2]$ , valoarea $\displaystyle x+2$ parcurge intervalul $\displaystyle (2,4]$ , care este inclus în $\displaystyle [1,+\infty)$ , unde f este crescătoare; totodată $\displaystyle x\in(0,2]$ este vecin punctului de minim $\displaystyle x=1$ , astfel încât $\displaystyle f(x)$ are valoarea minimă $\displaystyle f(1)$ pe acest interval.
$\displaystyle x\in(0,2]\Rightarrow x+2\in(2,4]\subset[1,+\infty)$
Se aplică monotonia: cum $\displaystyle x=1$ este punct de minim pe $\displaystyle (0,2]$ ( $\displaystyle f$ descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ , crescătoare pe $\displaystyle [1,2]$ ), rezultă $\displaystyle f(x)\geq f(1)$ pentru orice $\displaystyle x$ din $\displaystyle (0,2]$ ; iar cum $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (2,4]$ , rezultă $\displaystyle f(x+2)\leq f(4)$ . Înlocuind valorile calculate anterior și scăzând inegalitățile, se obține inegalitatea cerută.
$\displaystyle x\in(0,2]\Rightarrow x+2\in(2,4]\text{, deci }f(x)\geq f(1)\text{ și }f(x+2)\leq f(4)\text{ și, cum }f(1)=-4\text{ și }f(4)=22\text{, obținem }f(x+2)-f(x)\leq 26\text{, pentru orice }x\in(0,2]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\left(f(x)-4\ln x\right)dx=\dfrac{7}{3}

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției și se observă că termenul $\displaystyle 4\ln x$ se reduce cu cel scăzut sub integrală, rămânând doar $\displaystyle x^2$ .
$\displaystyle f(x)-4\ln x = x^2+4\ln x-4\ln x = x^2$
Se scrie integrala definită cu expresia simplificată sub integrală și se calculează o primitivă a lui $\displaystyle x^2$ , aplicând formula de integrare a funcției putere.
$\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-4\ln x\right)dx=\int_{1}^{2}x^2dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2=$
Se aplică formula Leibniz-Newton, adică se evaluează primitiva la capătul superior și la cel inferior al intervalului de integrare.
$\displaystyle \dfrac{2^3}{3}-\dfrac{1^3}{3}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}$
Se efectuează scăderea fracțiilor cu același numitor pentru a obține rezultatul final al integralei.
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-x^2}{x}dx=2

.

Vezi rezolvarea

Se calculează expresia $\displaystyle f(x) - x^{2}$ , folosind definiția funcției date.
$\displaystyle f(x)-x^2=x^2+4\ln x-x^2=4\ln x$
Se scrie integrala cerută și se simplifică fracția de sub integrală, împărțind fiecare termen la $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-x^2}{x}dx=\int_{1}^{e}\dfrac{4\ln x}{x}dx$
Se observă că derivata funcției $\displaystyle \ln x$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ , deci fracția $\displaystyle \dfrac{4\ln x}{x}$ se poate scrie ca produsul dintre $\displaystyle \ln x$ și derivata sa, înmulțit cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \dfrac{4\ln x}{x}=4\ln x\cdot\dfrac{1}{x}=4\ln x\left(\ln x\right)'$
Se rescrie integrala folosind forma recunoscută de tip funcție compusă cu derivata ei.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{4\ln x}{x}dx=4\int_{1}^{e}\ln x\left(\ln x\right)'dx$
Se determină o primitivă a expresiei $\displaystyle \ln x (\ln x)'$ , știind că derivata funcției $\displaystyle \dfrac{(\ln^{2} x)}{2}$ este exact $\displaystyle \ln x (\ln x)'$ .
$\displaystyle \int\ln x\left(\ln x\right)'dx=\dfrac{\ln^2 x}{2}+C$
Se înmulțește primitiva găsită cu $\displaystyle 4$ și se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [1,e]$ .
$\displaystyle 4\int_{1}^{e}\ln x\left(\ln x\right)'dx=4\cdot\dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=2\ln^2 x\Big|_1^e$
Se evaluează expresia obținută la capetele intervalului, folosind $\displaystyle \ln e = 1$ și $\displaystyle \ln 1 = 0$ .
$\displaystyle =2\ln^2 e-2\ln^2 1=2\cdot1^2-2\cdot0^2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4\ln x

.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\left(f(x)f''(x)+\left(f'(x)\right)^2\right)dx=m\left(f(2)-f(1)\right)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata întâi și derivata a doua a funcției $\displaystyle f$ , necesare pentru identificarea integrandului.
$\displaystyle f'(x)=2x+\dfrac{4}{x}\text{, }f''(x)=2-\dfrac{4}{x^2}\text{, }x\in(0,+\infty)$
Se observă că suma din integrandă este exact derivata produsului $\displaystyle f(x)f'(x)$ , folosind formula de derivare a produsului.
$\displaystyle \left(f(x)f'(x)\right)'=f'(x)f'(x)+f(x)f''(x)=\left(f'(x)\right)^2+f(x)f''(x)$
Se rescrie integrala folosind identitatea de mai sus și se aplică formula Leibniz-Newton pentru a calcula integrala ca o diferență de valori ale primitivei în capetele intervalului.
$\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)f''(x)+\left(f'(x)\right)^2\right)dx=\int_{1}^{2}\left(f(x)f'(x)\right)'dx=\left(f(x)f'(x)\right)\Big|_1^2=f(2)f'(2)-f(1)f'(1)$
Se calculează valorile derivatei $\displaystyle f'(x)$ în punctele $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ , folosind expresia obținută anterior pentru $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(1)=2\cdot1+\dfrac{4}{1}=6\text{, }f'(2)=2\cdot2+\dfrac{4}{2}=6$
Se înlocuiesc valorile derivatelor în expresia obținută la pasul anterior, se factorizează și se compară cu forma cerută $\displaystyle m(f(2)-f(1))$ , determinând astfel valoarea lui $\displaystyle m$ , folosind faptul că $\displaystyle f(1)$ și $\displaystyle f(2)$ sunt distincte.
$\displaystyle f'(x)=2x+\dfrac{4}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)\text{; }f'(1)=f'(2)=6\text{, deci }6\left(f(2)-f(1)\right)=m\left(f(2)-f(1)\right)\text{ și, cum }f(1)\neq f(2)\text{, obținem }m=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani