Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a2\displaystyle a_2 al unei progresii aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} în care a1+2a2+a3=4\displaystyle a_1+2a_2+a_3=4.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, cu rația r\displaystyle r, avem a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r și a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r. Adunând, obținem a1+a3=2a2\displaystyle a_1+a_3=2a_2.
    a1+a3=2a2\displaystyle a_1+a_3=2a_2
  2. În expresia a1+2a2+a3\displaystyle a_1+2a_2+a_3 grupăm a1+a3\displaystyle a_1+a_3 și îl înlocuim cu 2a2\displaystyle 2a_2. Obținem a1+2a2+a3=2a2+2a2=4a2\displaystyle a_1+2a_2+a_3=2a_2+2a_2=4a_2.
    a1+2a2+a3=4a2\displaystyle a_1+2a_2+a_3=4a_2
  3. Din ipoteză, a1+2a2+a3=4\displaystyle a_1+2a_2+a_3=4, deci 4a2=4\displaystyle 4a_2=4. Împărțind la 4\displaystyle 4, obținem a2=1\displaystyle a_2=1.
    a2=1\displaystyle a_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+6\displaystyle f(x)=x^2+x+6. Arătați că numărul f(3)⋅f(13)\displaystyle f(3)\cdot f\left(\frac{1}{3}\right) este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(3)\displaystyle f(3): înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în f(x)=x2+x+6\displaystyle f(x)=x^{2}+x+6.
    f(3)=32+3+6=9+3+6=18\displaystyle f(3)=3^{2}+3+6=9+3+6=18
  2. Calculăm f(13)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{3}\right): înlocuim x\displaystyle x cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3} și aducem termenii la numitorul comun 9\displaystyle 9.
    f(13)=19+13+6=19+39+549=589\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+6=\frac{1}{9}+\frac{3}{9}+\frac{54}{9}=\frac{58}{9}
  3. Înmulțim cele două valori și simplificăm fracția cu 9\displaystyle 9.
    f(3)⋅f(13)=18⋅589=2⋅58=116\displaystyle f(3)\cdot f\left(\frac{1}{3}\right)=18\cdot\frac{58}{9}=2\cdot 58=116
  4. Produsul este 116\displaystyle 116, deci este număr natural.
    f(3)⋅f(13)=116, care este numa˘r natural\displaystyle f(3)\cdot f\left(\frac{1}{3}\right)=116\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(4−x)=3−log⁡5(24−x)\displaystyle \log_5(4-x)=3-\log_5(24-x).
Vezi rezolvarea
  1. Impunem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 4−x>0\displaystyle 4-x>0 obținem x<4\displaystyle x<4, iar din 24−x>0\displaystyle 24-x>0 obținem x<24\displaystyle x<24. Deci domeniul este x<4\displaystyle x<4.
    x∈(−∞,4)\displaystyle x\in(-\infty,4)
  2. Mutăm logaritmul din membrul drept în stânga, ca să avem suma logaritmilor egală cu 3\displaystyle 3.
    log⁡5(4−x)+log⁡5(24−x)=3\displaystyle \log_5(4-x)+\log_5(24-x)=3
  3. Aplicăm formula sumei de logaritmi, log⁡5a+log⁡5b=log⁡5(ab)\displaystyle \log_5 a+\log_5 b=\log_5(ab), apoi folosim definiția logaritmului: dacă log⁡5A=3\displaystyle \log_5 A=3, atunci A=53=125\displaystyle A=5^{3}=125.
    log⁡5((4−x)(24−x))=3⇒(4−x)(24−x)=125\displaystyle \log_5((4-x)(24-x))=3\Rightarrow(4-x)(24-x)=125
  4. Desfacem parantezele: (4−x)(24−x)=96−4x−24x+x2=x2−28x+96\displaystyle (4-x)(24-x)=96-4x-24x+x^{2}=x^{2}-28x+96. Egalăm cu 125\displaystyle 125 și aducem totul în membrul stâng.
    x2−28x+96=125⇒x2−28x−29=0\displaystyle x^2-28x+96=125\Rightarrow x^2-28x-29=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=784+116=900\displaystyle \Delta=784+116=900, deci Δ=30\displaystyle \sqrt{\Delta}=30, iar x=28±302\displaystyle x=\dfrac{28\pm 30}{2}. Obținem x=29\displaystyle x=29 sau x=−1\displaystyle x=-1.
    x1=−1, x2=29\displaystyle x_1=-1\text{, }x_2=29
  6. Verificăm domeniul x<4\displaystyle x<4. Valoarea x=−1\displaystyle x=-1 îl respectă, deci convine. Valoarea x=29\displaystyle x=29 nu îl respectă (4−29<0\displaystyle 4-29<0), deci nu convine. Singura soluție este x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1, care convine, sau x=29, care nu convine\displaystyle x=-1\text{, care convine, sau }x=29\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi care are exact 45\displaystyle 45 submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii. Numărul submulțimilor cu două elemente este Cn2\displaystyle C_n^2, adică n(n−1)2\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}, cu n≥2\displaystyle n\geq 2.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}
  2. Egalăm cu 45\displaystyle 45 și înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2: n(n−1)=90\displaystyle n(n-1)=90.
    n(n−1)2=45⇒n(n−1)=90\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90
  3. Desfacem parantezele și mutăm totul în membrul stâng: n2−n−90=0\displaystyle n^{2}-n-90=0.
    n2−n−90=0\displaystyle n^{2}-n-90=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=1+360=361\displaystyle \Delta=1+360=361, deci Δ=19\displaystyle \sqrt{\Delta}=19. Soluțiile sunt n=1±192\displaystyle n=\dfrac{1\pm 19}{2}.
    n=1±192⇒n=10 sau n=−9\displaystyle n=\frac{1\pm 19}{2}\Rightarrow n=10\text{ sau }n=-9
  5. Numărul de elemente este natural, deci n=−9\displaystyle n=-9 nu convine. Rămâne n=10\displaystyle n=10. Verificare: 10⋅92=45\displaystyle \dfrac{10\cdot 9}{2}=45.
    n=10\displaystyle n=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii u⃗=ai⃗+3j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+3\vec{j} și v⃗=i⃗−j⃗\displaystyle \vec{v}=\vec{i}-\vec{j}. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că vectorii u⃗−v⃗\displaystyle \vec{u}-\vec{v} și 3v⃗\displaystyle 3\vec{v} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm u⃗−v⃗\displaystyle \vec{u}-\vec{v}, scăzând componentele corespunzătoare: pe i⃗\displaystyle \vec{i} avem a−1\displaystyle a-1, iar pe j⃗\displaystyle \vec{j} avem 3−(−1)=4\displaystyle 3-(-1)=4.
    u⃗−v⃗=(a−1)i⃗+4j⃗\displaystyle \vec{u}-\vec{v}=(a-1)\vec{i}+4\vec{j}
  2. Calculăm 3v⃗\displaystyle 3\vec{v}, înmulțind fiecare componentă a lui v⃗\displaystyle \vec{v} cu 3\displaystyle 3.
    3v⃗=3i⃗−3j⃗\displaystyle 3\vec{v}=3\vec{i}-3\vec{j}
  3. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem proporția dintre coordonatele pe i⃗\displaystyle \vec{i} și cele pe j⃗\displaystyle \vec{j}: a−13=4−3\displaystyle \dfrac{a-1}{3}=\dfrac{4}{-3}.
    a−13=4−3=−43\displaystyle \frac{a-1}{3}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}
  4. Înmulțim ambii membri cu 3\displaystyle 3 și obținem a−1=−4\displaystyle a-1=-4, deci a=−3\displaystyle a=-3.
    a−1=−4, de unde a=−3\displaystyle a-1=-4\text{, de unde }a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Un triunghi dreptunghic are catetele de lungime 6\displaystyle 6, respectiv 8\displaystyle 8. Determinați raza cercului înscris în acest triunghi.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm ipotenuza a\displaystyle a cu teorema lui Pitagora: a2=62+82=36+64=100\displaystyle a^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100, deci a=10\displaystyle a=10.
    a=100=10\displaystyle a=\sqrt{100}=10
  2. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: S=6⋅82=24\displaystyle S=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24.
    ipotenuza 10\displaystyle \text{ipotenuza }10, S=6⋅82=24\displaystyle \ S=\frac{6\cdot 8}{2}=24
  3. Semiperimetrul este p=6+8+102=242=12\displaystyle p=\dfrac{6+8+10}{2}=\dfrac{24}{2}=12.
    p=6+8+102=12\displaystyle p=\frac{6+8+10}{2}=12
  4. Raza cercului înscris este r=Sp=2412=2\displaystyle r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2.
    r=Sp=2412=2\displaystyle r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(5−a10−2−4−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}5-a&10\\-2&-4-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(510−2−4)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}5&10\\-2&-4\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣510−2−4∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}5&10\\-2&-4\end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=5⋅(−4)−10⋅(−2)\displaystyle \det(A(0))=5\cdot(-4)-10\cdot(-2)
  4. Calculăm produsele: 5⋅(−4)=−20\displaystyle 5\cdot(-4)=-20 și 10⋅(−2)=−20\displaystyle 10\cdot(-2)=-20, deci −20−(−20)=−20+20=0\displaystyle -20-(-20)=-20+20=0.
    det⁡(A(0))=−20+20=0\displaystyle \det(A(0))=-20+20=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(5−a10−2−4−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}5-a&10\\-2&-4-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A(a)⋅A(a)=A(0)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) ca produs de două matrice identice de ordin 2. Fiecare element se obține înmulțind o linie din prima matrice cu o coloană din a doua.
    A(a)⋅A(a)=(5−a10−2−4−a)⋅(5−a10−2−4−a)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}5-a&10\\-2&-4-a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5-a&10\\-2&-4-a\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie: linia 1 înmulțită cu coloana 1, apoi linia 1 înmulțită cu coloana 2. Avem (5−a)2+10⋅(−2)=25−10a+a2−20\displaystyle (5-a)^2+10\cdot(-2)=25-10a+a^2-20 și (5−a)⋅10+10⋅(−4−a)=50−10a−40−10a\displaystyle (5-a)\cdot 10+10\cdot(-4-a)=50-10a-40-10a.
    (5−a)2+10⋅(−2)=a2−10a+510(5−a)+10(−4−a)=10−20a\displaystyle \begin{aligned}&(5-a)^2+10\cdot(-2)=a^2-10a+5\\&10(5-a)+10(-4-a)=10-20a\end{aligned}
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie: linia 2 înmulțită cu coloana 1, apoi linia 2 înmulțită cu coloana 2. Avem −2(5−a)+(−4−a)(−2)=−10+2a+8+2a\displaystyle -2(5-a)+(-4-a)(-2)=-10+2a+8+2a și −2⋅10+(−4−a)2=−20+16+8a+a2\displaystyle -2\cdot 10+(-4-a)^2=-20+16+8a+a^2.
    −2(5−a)−2(−4−a)=4a−2−20+(4+a)2=a2+8a−4\displaystyle \begin{aligned}&-2(5-a)-2(-4-a)=4a-2\\&-20+(4+a)^2=a^2+8a-4\end{aligned}
  4. Adunăm cele patru elemente calculate într-o singură matrice A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a).
    A(a)⋅A(a)=(5−10a+a210−20a−2+4a−4+8a+a2)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}5-10a+a^2&10-20a\\-2+4a&-4+8a+a^2\end{pmatrix}
  5. Calculăm A(0)=(510−2−4)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}5&10\\-2&-4\end{pmatrix}, înlocuind a=0\displaystyle a=0, și egalăm matricele element cu element.
    {a2−10a+5=510−20a=104a−2=−2a2+8a−4=−4\displaystyle \begin{cases}a^2-10a+5=5\\10-20a=10\\4a-2=-2\\a^2+8a-4=-4\end{cases}
  6. Simplificăm fiecare ecuație: a2−10a=0\displaystyle a^2-10a=0, −20a=0\displaystyle -20a=0, 4a=0\displaystyle 4a=0, a2+8a=0\displaystyle a^2+8a=0. Din −20a=0\displaystyle -20a=0 obținem a=0\displaystyle a=0, iar a=0\displaystyle a=0 verifică și celelalte ecuații, deoarece a(a−10)=0\displaystyle a(a-10)=0 și a(a+8)=0\displaystyle a(a+8)=0. Deci singura valoare posibilă este a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(5−a10−2−4−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}5-a&10\\-2&-4-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea A(−1)⋅X=A(0)\displaystyle A(-1)\cdot X=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 și apoi a=0\displaystyle a=0 în A(a)\displaystyle A(a), ca să aflăm A(−1)\displaystyle A(-1) și A(0)\displaystyle A(0).
    A(−1)=(610−2−3) și A(0)=(510−2−4)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}6&10\\-2&-3\end{pmatrix}\text{ și }A(0)=\begin{pmatrix}5&10\\-2&-4\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A(−1))\displaystyle \det(A(-1)) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Fiind nenul, matricea A(−1)\displaystyle A(-1) este inversabilă.
    det⁡(A(−1))=6⋅(−3)−10⋅(−2)=−18+20=2≠0\displaystyle \det(A(-1))=6\cdot(-3)-10\cdot(-2)=-18+20=2\neq 0
  3. Aflăm inversa: schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară și împărțim totul la det⁡(A(−1))=2\displaystyle \det(A(-1))=2.
    (A(−1))−1=12(−3−1026)=(−32−513)\displaystyle (A(-1))^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&-10\\2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}&-5\\1&3\end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea A(−1)⋅X=A(0)\displaystyle A(-1)\cdot X=A(0) la stânga cu (A(−1))−1\displaystyle (A(-1))^{-1}. Deoarece (A(−1))−1⋅A(−1)=I2\displaystyle (A(-1))^{-1}\cdot A(-1)=I_2, obținem X=(A(−1))−1⋅A(0)\displaystyle X=(A(-1))^{-1}\cdot A(0).
    X=(A(−1))−1⋅A(0)=(−32−513)⋅(510−2−4)\displaystyle X=(A(-1))^{-1}\cdot A(0)=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}&-5\\1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&10\\-2&-4\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, element cu element: linie înmulțită cu coloană.
    X=(−32⋅5+(−5)(−2)−32⋅10+(−5)(−4)1⋅5+3⋅(−2)1⋅10+3⋅(−4))=(−152+10−15+205−610−12)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\cdot 5+(-5)(-2)&-\frac{3}{2}\cdot 10+(-5)(-4)\\1\cdot 5+3\cdot(-2)&1\cdot 10+3\cdot(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{15}{2}+10&-15+20\\5-6&10-12\end{pmatrix}
  6. Reducem calculele și obținem matricea X\displaystyle X, care este răspunsul final.
    X=(525−1−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}&5\\-1&-2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1.

Arătați că 5∗8=0\displaystyle 5*8=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y avem x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1.
    x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1
  2. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 și y=8\displaystyle y=8 în definiție.
    5∗8=3⋅5−2⋅8+1\displaystyle 5*8=3\cdot5-2\cdot8+1
  3. Calculăm produsele: 3⋅5=15\displaystyle 3\cdot5=15, iar 2⋅8=16\displaystyle 2\cdot8=16. Apoi efectuăm adunarea și scăderea: 15−16+1=0\displaystyle 15-16+1=0, deci 5∗8=0\displaystyle 5*8=0, ceea ce trebuia arătat.
    15−16+1=0\displaystyle 15-16+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2020x∗2020x=2\displaystyle 2020^x*2020^x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm t=2020x\displaystyle t=2020^{x}, cu t>0\displaystyle t>0. Atunci ecuația din enunț devine t∗t=2\displaystyle t*t=2.
    t∗t=2\displaystyle t*t=2,t=2020x>0\displaystyle \quad t=2020^{x}>0
  2. Aplicăm definiția legii x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1 pentru x=t\displaystyle x=t și y=t\displaystyle y=t: t∗t=3t−2t+1\displaystyle t*t=3t-2t+1.
    t∗t=3t−2t+1\displaystyle t*t=3t-2t+1
  3. Revenim la t=2020x\displaystyle t=2020^{x} și egalăm cu 2: 3⋅2020x−2⋅2020x+1=2\displaystyle 3\cdot2020^{x}-2\cdot2020^{x}+1=2.
    3⋅2020x−2⋅2020x+1=2\displaystyle 3\cdot2020^{x}-2\cdot2020^{x}+1=2
  4. Reducem termenii asemenea: 3⋅2020x−2⋅2020x=2020x\displaystyle 3\cdot2020^{x}-2\cdot2020^{x}=2020^{x}, deci 2020x+1=2\displaystyle 2020^{x}+1=2. De aici 2020x=1\displaystyle 2020^{x}=1.
    2020x=1\displaystyle 2020^{x}=1
  5. Scriem 1=20200\displaystyle 1=2020^{0}, deci 2020x=20200\displaystyle 2020^{x}=2020^{0}. Funcția exponențială cu baza 2020>1\displaystyle 2020>1 este injectivă, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x−2y+1\displaystyle x*y=3x-2y+1.

Demonstrați că există o infinitate de perechi (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care m∗n=0\displaystyle m*n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: m∗n=3m−2n+1\displaystyle m*n=3m-2n+1. Condiția m∗n=0\displaystyle m*n=0 devine 3m−2n+1=0\displaystyle 3m-2n+1=0.
    3m−2n+1=0\displaystyle 3m-2n+1=0
  2. Din ecuație obținem 2n=3m+1\displaystyle 2n=3m+1, deci n=3m+12\displaystyle n=\dfrac{3m+1}{2}. Ca n\displaystyle n să fie întreg, 3m+1\displaystyle 3m+1 trebuie să fie par, deci m\displaystyle m trebuie să fie impar.
    n=3m+12, cu m impar\displaystyle n=\dfrac{3m+1}{2}\text{, cu }m\text{ impar}
  3. Scriem m=2k−1\displaystyle m=2k-1, cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}. Atunci n=3(2k−1)+12=6k−22=3k−1\displaystyle n=\dfrac{3(2k-1)+1}{2}=\dfrac{6k-2}{2}=3k-1, tot număr întreg. Alegem deci perechile (m,n)=(2k−1,3k−1)\displaystyle (m,n)=(2k-1,3k-1) și calculăm m∗n=(2k−1)∗(3k−1)\displaystyle m*n=(2k-1)*(3k-1).
    m=2k−1\displaystyle m=2k-1, n=3k−1\displaystyle \ n=3k-1, k∈Z, deci m∗n=(2k−1)∗(3k−1)\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}\text{, deci }m*n=(2k-1)*(3k-1)
  4. Înlocuim în definiție: (2k−1)∗(3k−1)=3(2k−1)−2(3k−1)+1=6k−3−6k+2+1=0\displaystyle (2k-1)*(3k-1)=3(2k-1)-2(3k-1)+1=6k-3-6k+2+1=0. Pentru fiecare k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z} obținem o pereche întreagă (m,n)\displaystyle (m,n), iar perechile sunt distincte pentru valori diferite ale lui k\displaystyle k (deoarece m=2k−1\displaystyle m=2k-1 diferă). Așadar există o infinitate de perechi (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care m∗n=0\displaystyle m*n=0.
    3(2k−1)−2(3k−1)+1=6k−3−6k+2+1=0, deci exista˘ o \displaystyle 3(2k-1)-2(3k-1)+1=6k-3-6k+2+1=0\text{, deci există o }infinitate de perechi (m,n) de numere ıˆntregi pentru \displaystyle \text{infinitate de perechi }(m,n)\text{ de numere întregi pentru }care m∗n=0\displaystyle \text{care }m*n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+x2+1)\displaystyle f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).

Arătați că f′(x)=1x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este o compusă: ln⁡u\displaystyle \ln u, unde u(x)=x+x2+1\displaystyle u(x)=x+\sqrt{x^2+1}. Deoarece x2+1>∣x∣\displaystyle \sqrt{x^2+1}>|x|, avem u(x)>0\displaystyle u(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Aplicăm formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.
    f′(x)=u′(x)u(x)=(x+x2+1)′x+x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}
  2. Calculăm (x2+1)′=(x2+1)′2x2+1=2x2x2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{\left(x^2+1\right)'}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}, adică xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
    (x2+1)′=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
  3. Derivata sumei este suma derivatelor, iar (x)′=1\displaystyle (x)'=1. Obținem u′(x)=1+xx2+1\displaystyle u'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} și înlocuim în formula de la primul pas.
    f′(x)=1x+x2+1⋅(1+xx2+1)\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)
  4. Aducem la același numitor în paranteză: 1+xx2+1=x2+1+xx2+1\displaystyle 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}.
    f′(x)=1x+x2+1⋅x2+1+xx2+1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}
  5. Numărătorul x2+1+x\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x este egal cu x+x2+1\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}, nenul, deci se simplifică cu numitorul primei fracții. Rămâne f′(x)=1x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, ceea ce trebuia arătat.
    1x+x2+1⋅x2+1+xx2+1=1x2+1, x∈R\displaystyle \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+x2+1)\displaystyle f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).

Demonstrați că, pentru orice număr real nenul a\displaystyle a, tangentele la graficul funcției f\displaystyle f în punctele A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) și B(−a,f(−a))\displaystyle B(-a,f(-a)) sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Două tangente sunt paralele dacă au aceeași pantă. Panta tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a este f′(a)\displaystyle f'(a), iar în punctul de abscisă −a\displaystyle -a este f′(−a)\displaystyle f'(-a). Trebuie să arătăm că f′(a)=f′(−a)\displaystyle f'(a)=f'(-a).
    f′(a)=f′(−a)\displaystyle f'(a)=f'(-a)
  2. Derivăm funcția compusă: (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, unde u=x+x2+1\displaystyle u=x+\sqrt{x^2+1}.
    f′(x)=(x+x2+1)′x+x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}
  3. Calculăm u′\displaystyle u'. Avem (x2+1)′=2x2x2+1=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}, deci u′=1+xx2+1\displaystyle u'=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
    u′=1+xx2+1=x2+1+xx2+1\displaystyle u'=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}
  4. Înlocuim în f′(x)\displaystyle f'(x) și simplificăm cu x+x2+1\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}, care este strict pozitiv deoarece x2+1>∣x∣\displaystyle \sqrt{x^2+1}>|x|. Obținem f′(x)=1x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, deci pentru x=a\displaystyle x=a avem f′(a)=1a2+1\displaystyle f'(a)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}.
    f′(a)=1a2+1\displaystyle f'(a)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}
  5. Înlocuim x=−a\displaystyle x=-a în f′(x)=1x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}. Cum (−a)2=a2\displaystyle (-a)^2=a^2, obținem f′(−a)=1a2+1=f′(a)\displaystyle f'(-a)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}=f'(a). Pantele tangentelor în A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt egale, deci tangentele sunt paralele.
    f′(−a)=1a2+1 și f′(−a)=f′(a), deci tangentele sunt \displaystyle f'(-a)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\text{ și }f'(-a)=f'(a)\text{, deci tangentele sunt }paralele\displaystyle \text{paralele}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+x2+1)\displaystyle f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).

Calculați lim⁡x→+∞f(x)−f(−x)ln⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-f(-x)}{\ln x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)−f(−x)\displaystyle f(x)-f(-x) folosind definiția funcției: f(−x)\displaystyle f(-x) se obține înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x.
    f(x)−f(−x)=ln⁡(x+x2+1)−ln⁡(−x+x2+1)\displaystyle f(x)-f(-x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\ln\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)
  2. Folosim diferența de logaritmi: ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Obținem un raport de forma x2+1+xx2+1−x\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}.
    f(x)−f(−x)=ln⁡x2+1+xx2+1−x\displaystyle f(x)-f(-x)=\ln\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}
  3. Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu x2+1+x\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x. Numitorul devine (x2+1)−x2=1\displaystyle (x^2+1)-x^2=1, deci raportul este pătratul lui x2+1+x\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x.
    x2+1+xx2+1−x=(x2+1+x)2\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}=\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)^2
  4. Scoatem exponentul 2\displaystyle 2 în fața logaritmului și recunoaștem f(x)\displaystyle f(x). Deci numărătorul este 2f(x)\displaystyle 2f(x).
    f(x)−f(−x)=2ln⁡(x2+1+x)=2f(x)\displaystyle f(x)-f(-x)=2\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=2f(x)
  5. Limita devine 2lim⁡x→+∞f(x)ln⁡x\displaystyle 2\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{\ln x}. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, f(x)→+∞\displaystyle f(x)\to+\infty și ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, deci avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} și putem aplica regula lui L'Hospital.
    lim⁡x→+∞f(x)−f(−x)ln⁡x=2lim⁡x→+∞f(x)ln⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-f(-x)}{\ln x}=2\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\ln x}
  6. Derivăm f\displaystyle f: derivata logaritmului este derivata argumentului împărțită la argument. Derivata argumentului este 1+xx2+1=x2+1+xx2+1\displaystyle 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}, iar acest factor se simplifică cu argumentul x+x2+1\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}.
    f′(x)=1+xx2+1x+x2+1=1x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
  7. Aplicăm L'Hospital: împărțim f′(x)\displaystyle f'(x) la derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x, care este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Rămâne limita lui xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}, care este 1\displaystyle 1, deoarece xx2+1=11+1x2→1\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to 1.
    2lim⁡x→+∞f′(x)(ln⁡x)′=2lim⁡x→+∞xx2+1=2⋅1=2\displaystyle 2\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{(\ln x)'}=2\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=2\cdot 1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x+2\ln(2x+1).

Arătați că ∫01(f(x)−2ln⁡(2x+1))dx=12\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2\ln(2x+1)\right)dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț avem f(x)=x+2ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x+2\ln(2x+1), deci înlocuim această expresie în integrand: f(x)−2ln⁡(2x+1)=x+2ln⁡(2x+1)−2ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)-2\ln(2x+1)=x+2\ln(2x+1)-2\ln(2x+1).
    ∫01(x+2ln⁡(2x+1)−2ln⁡(2x+1))dx\displaystyle \int_0^1\left(x+2\ln(2x+1)-2\ln(2x+1)\right)dx
  2. Termenii 2ln⁡(2x+1)\displaystyle 2\ln(2x+1) și −2ln⁡(2x+1)\displaystyle -2\ln(2x+1) se reduc, deci integrandul devine doar x\displaystyle x.
    ∫01(x+2ln⁡(2x+1)−2ln⁡(2x+1))dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\left(x+2\ln(2x+1)-2\ln(2x+1)\right)dx=\int_0^1 x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 122−022=12−0\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-0.
    x22∣01=12−0=12\displaystyle \frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x+2\ln(2x+1).

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei și descompunem integrala în suma a două integrale: ∫01f(x) dx=∫01x dx+2∫01ln⁡(2x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx+2\int_0^1\ln(2x+1)\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫01x dx+2∫01ln⁡(2x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx+2\int_0^1\ln(2x+1)\,dx
  2. Calculăm prima integrală: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci ∫01x dx=x22∣01=12\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}.
    ∫01x dx=x22∣01=12\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}
  3. Pentru a doua integrală observăm că (2x+1)′=2\displaystyle (2x+1)'=2, deci 2∫01ln⁡(2x+1) dx=∫01(2x+1)′ln⁡(2x+1) dx\displaystyle 2\int_0^1\ln(2x+1)\,dx=\int_0^1(2x+1)'\ln(2x+1)\,dx. Astfel, integrala inițială devine suma dintre x22∣01\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\Big|_0^1 și această integrală.
    ∫01f(x) dx=x22∣01+∫01(2x+1)′ln⁡(2x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1+\int_0^1(2x+1)'\ln(2x+1)\,dx
  4. Aplicăm formula de integrare prin părți ∫abv′u dx=vu∣ab−∫abvu′ dx\displaystyle \int_a^b v'u\,dx=vu\Big|_a^b-\int_a^b vu'\,dx, cu u=ln⁡(2x+1)\displaystyle u=\ln(2x+1) și v=2x+1\displaystyle v=2x+1. Avem u′=22x+1\displaystyle u'=\dfrac{2}{2x+1}, deci v u′=2\displaystyle v\,u'=2.
    ∫01(2x+1)′ln⁡(2x+1) dx=(2x+1)ln⁡(2x+1)∣01−∫012 dx\displaystyle \int_0^1(2x+1)'\ln(2x+1)\,dx=(2x+1)\ln(2x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 2\,dx
  5. Calculăm: (2x+1)ln⁡(2x+1)∣01=3ln⁡3−1⋅ln⁡1=3ln⁡3\displaystyle (2x+1)\ln(2x+1)\Big|_0^1=3\ln 3-1\cdot\ln 1=3\ln 3, iar ∫012 dx=2x∣01=2\displaystyle \int_0^1 2\,dx=2x\Big|_0^1=2.
    (2x+1)ln⁡(2x+1)∣01=3ln⁡3\displaystyle (2x+1)\ln(2x+1)\Big|_0^1=3\ln 3,∫012 dx=2\displaystyle \quad \int_0^1 2\,dx=2
  6. Adunăm rezultatele: 12+3ln⁡3−2=3ln⁡3−32\displaystyle \dfrac{1}{2}+3\ln 3-2=3\ln 3-\dfrac{3}{2}.
    ∫01f(x) dx=12+3ln⁡3−2=3ln⁡3−32\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{2}+3\ln 3-2=3\ln 3-\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x+2\ln(2x+1).

Dacă F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f, arătați că F(π)≤F(165)\displaystyle F(\pi)\le F\left(\frac{16}{5}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Dacă F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f, atunci derivata lui F\displaystyle F este chiar f\displaystyle f, pe întreg intervalul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    F′(x)=f(x)=x+2ln⁡(2x+1)\displaystyle F'(x)=f(x)=x+2\ln(2x+1), x∈[0,+∞)\displaystyle \ x\in[0,+\infty)
  2. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem x≥0\displaystyle x\ge 0. De asemenea 2x+1≥1\displaystyle 2x+1\ge 1, deci ln⁡(2x+1)≥ln⁡1=0\displaystyle \ln(2x+1)\ge \ln 1=0.
    x≥0 și ln⁡(2x+1)≥0\displaystyle x\ge0\text{ și }\ln(2x+1)\ge0
  3. Adunăm cele două cantități nenegative: f(x)=x+2ln⁡(2x+1)≥0\displaystyle f(x)=x+2\ln(2x+1)\ge 0. Rezultă F′(x)≥0\displaystyle F'(x)\ge 0 pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci F\displaystyle F este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    F′(x)=f(x)≥0, pentru orice x∈[0,+∞), deci F este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle F'(x)=f(x)\ge0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
  4. Comparăm punctele: π≈3,14\displaystyle \pi\approx 3{,}14, iar 165=3,2\displaystyle \dfrac{16}{5}=3{,}2. Ambele aparțin lui [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) și π<165\displaystyle \pi<\dfrac{16}{5}.
    π<3,2=165\displaystyle \pi<3{,}2=\frac{16}{5}
  5. Deoarece F\displaystyle F este crescătoare și π<165\displaystyle \pi<\dfrac{16}{5}, obținem F(π)≤F(165)\displaystyle F(\pi)\le F\left(\dfrac{16}{5}\right), ceea ce trebuia demonstrat.
    F(π)≤F(165)\displaystyle F(\pi)\le F\left(\frac{16}{5}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.