Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle b_8

al progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle b_5=3

și

\displaystyle b_6=6

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi este rația $\displaystyle q$ . Calculăm $\displaystyle q=\dfrac{b_6}{b_5}$ , cu $\displaystyle b_5=3$ și $\displaystyle b_6=6$ .
$\displaystyle q=\dfrac{b_6}{b_5}=\dfrac{6}{3}=2$
De la $\displaystyle b_6$ la $\displaystyle b_8$ sunt doi pași în progresie, deci $\displaystyle b_7=b_6q$ și $\displaystyle b_8=b_7q=b_6q^{2}$ .
$\displaystyle b_8=b_6q^{2}$
Înlocuim $\displaystyle b_6=6$ și $\displaystyle q=2$ și calculăm: $\displaystyle b_8=6\cdot 2^{2}=6\cdot 4$ .
$\displaystyle b_8=6\cdot 4=24$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-x-3

. Arătați că

\displaystyle (f\circ f)(\sqrt{3})=\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Compunerea se scrie $\displaystyle (f\circ f)(\sqrt{3})=f\left(f(\sqrt{3})\right)$ , deci calculăm mai întâi $\displaystyle f(\sqrt{3})$ .
$\displaystyle (f\circ f)(\sqrt{3})=f\left(f(\sqrt{3})\right)$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \sqrt{3}$ în $\displaystyle f(x)=x^2-x-3$ și folosim $\displaystyle (\sqrt{3})^2=3$ . Obținem $\displaystyle f(\sqrt{3})=3-\sqrt{3}-3=-\sqrt{3}$ .
$\displaystyle f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^2-\sqrt{3}-3=3-\sqrt{3}-3=-\sqrt{3}$
Rămâne de calculat $\displaystyle f(-\sqrt{3})$ . Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -\sqrt{3}$ ; pătratul este $\displaystyle (-\sqrt{3})^2=3$ , iar $\displaystyle -(-\sqrt{3})=+\sqrt{3}$ .
$\displaystyle f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3=3+\sqrt{3}-3$
Reducem termenii $\displaystyle 3$ și $\displaystyle -3$ și obținem $\displaystyle (f\circ f)(\sqrt{3})=\sqrt{3}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle (f\circ f)(\sqrt{3})=f(-\sqrt{3})=3+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2\lg x=\lg(5x+6)

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle 5x+6>0$ . Pentru $\displaystyle x>0$ a doua condiție se verifică automat, deci condiția rămâne $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle x>0$
Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: $\displaystyle 2\lg x=\lg x^{2}$ , pentru $\displaystyle x>0$ . Ecuația devine $\displaystyle \lg x^{2}=\lg(5x+6)$ .
$\displaystyle \lg x^{2}=\lg(5x+6)$
Funcția logaritm este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle x^{2}=5x+6$ . Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}-5x-6=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=7$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle x_{1}=\dfrac{5-7}{2}=-1$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{5+7}{2}=6$ .
$\displaystyle x_{1}=-1$ , $\displaystyle \ x_{2}=6$
Verificăm condiția $\displaystyle x>0$ . Valoarea $\displaystyle x=-1$ este negativă, deci nu convine, pentru că $\displaystyle \lg(-1)$ nu există. Valoarea $\displaystyle x=6$ este pozitivă și convine. Verificare: $\displaystyle 2\lg 6=\lg 36=\lg(5\cdot6+6)$ . Soluția ecuației este $\displaystyle x=6$ .
$\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=6\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra sutelor egală cu cifra unităților.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numerele naturale de trei cifre sunt cele de la $\displaystyle 100$ la $\displaystyle 999$ . Numărul lor este $\displaystyle 999-100+1=900$ (cifra sutelor are $\displaystyle 9$ variante, cifra zecilor $\displaystyle 10$ , cifra unităților $\displaystyle 10$ ).
$\displaystyle 999-100+1=900$
Numerele favorabile au forma $\displaystyle \overline{aba}$ , adică cifra sutelor este egală cu cifra unităților. Cifra $\displaystyle a$ poate fi aleasă în $\displaystyle 9$ moduri (de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 9$ ), iar cifra unităților este deja determinată. Cifra zecilor $\displaystyle b$ poate fi aleasă în $\displaystyle 10$ moduri (de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 9$ ).
$\displaystyle 9\cdot 10$
Numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 9\cdot 10=90$ .
$\displaystyle 9\cdot 10=90$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{90}{900}$ , iar după simplificarea prin $\displaystyle 90$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{90}{900}=\dfrac{1}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,3)

,

\displaystyle B(-1,-2)

și

\displaystyle C(a,-2)

, unde

\displaystyle a

este număr real nenul,

\displaystyle a\neq -1

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care ortocentrul triunghiului

\displaystyle ABC

este

\displaystyle O

.

Vezi rezolvarea

Punctele $\displaystyle B(-1,-2)$ și $\displaystyle C(a,-2)$ au aceeași ordonată, deci $\displaystyle BC$ este orizontală. Înălțimea din $\displaystyle A$ este perpendiculară pe $\displaystyle BC$ , deci este dreapta $\displaystyle x=0$ , adică axa $\displaystyle Oy$ . Ea trece prin $\displaystyle O$ , deci $\displaystyle O$ se află pe înălțimea din $\displaystyle A$ , oricare ar fi $\displaystyle a$ .
$\displaystyle AO\perp BC$
Pentru ca $\displaystyle O$ să fie ortocentru, trebuie să se afle și pe o a doua înălțime. Alegem înălțimea din $\displaystyle C$ : trebuie ca dreapta $\displaystyle OC$ să fie perpendiculară pe $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle OC\perp AB$
Calculăm panta dreptei $\displaystyle AB$ cu formula $\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-2-3}{-1-0}=5$
Calculăm panta dreptei $\displaystyle OC$ , unde $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle C(a,-2)$ . Ea există deoarece $\displaystyle a\neq 0$ .
$\displaystyle m_{OC}=\dfrac{-2-0}{a-0}=-\dfrac{2}{a}$
Două drepte neverticale sunt perpendiculare când produsul pantelor lor este $\displaystyle -1$ . Scriem condiția și o rezolvăm. Valoarea obținută este nenulă și diferită de $\displaystyle -1$ , deci convine.
$\displaystyle -\dfrac{2}{a}\cdot 5=-1\Rightarrow \dfrac{10}{a}=1\text{, deci }a=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

În triunghiul

\displaystyle ABC

,

\displaystyle AB=6

,

\displaystyle AC=3\sqrt{6}

și

\displaystyle B=\frac{\pi}{3}

. Determinați măsura unghiului

\displaystyle C

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre latura $\displaystyle AB$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle C$ este egal cu raportul dintre latura $\displaystyle AC$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle B$ .
$\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$
Înlocuim datele: $\displaystyle AB=6$ , $\displaystyle AC=3\sqrt{6}$ și $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Exprimăm $\displaystyle \sin C$ .
$\displaystyle \sin C=\frac{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{6}}$
Simplificăm: la numărător $\displaystyle 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ . Apoi simplificăm cu $\displaystyle 3$ și raționalizăm: $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin C=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ecuația $\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ are în intervalul $\displaystyle (0,\pi)$ soluțiile $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \dfrac{3\pi}{4}$ . Unghiul $\displaystyle B$ este $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ , deci suma $\displaystyle B+C$ trebuie să fie mai mică decât $\displaystyle \pi$ . Pentru $\displaystyle C=\dfrac{3\pi}{4}$ am avea $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{12}>\pi$ , deci această valoare nu convine.
$\displaystyle C=\frac{3\pi}{4}\text{ nu convine, deoarece }\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}=\frac{13\pi}{12}>\pi$
Rămâne singura valoare posibilă, $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ . Verificare: $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{12}<\pi$ .
$\displaystyle C=\frac{\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det\left(A(\sqrt{2})\right)=3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=\sqrt{2}$ în matricea $\displaystyle A(a)$ și obținem matricea $\displaystyle A(\sqrt{2})$ .
$\displaystyle A(\sqrt{2})=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & 1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(\sqrt{2})$ ca determinant de ordinul doi.
$\displaystyle \det\left(A(\sqrt{2})\right)=\begin{vmatrix}1 & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & 1\end{vmatrix}$
Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det\left(A(\sqrt{2})\right)=1\cdot 1-\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2})$
Calculăm: $\displaystyle \sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2})=-2$ , deci scăderea devine adunare. Rezultă că determinantul este $\displaystyle 3$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 1\cdot 1-\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2})=1+2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că matricea

\displaystyle A(a)

este inversabilă, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Amintim criteriul: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci calculăm $\displaystyle \det A(a)$ .
$\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\iff \det A(a)\neq 0$
Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det A(a)=1\cdot 1-a\cdot(-a)$ .
$\displaystyle \det A(a)=1\cdot 1-a\cdot(-a)=1+a^{2}$
Pentru orice număr real $\displaystyle a$ avem $\displaystyle a^{2}\geq 0$ , deci $\displaystyle 1+a^{2}\geq 1>0$ .
$\displaystyle 1+a^{2}\geq 1>0$
Determinantul $\displaystyle 1+a^{2}$ este strict pozitiv, deci nenul, pentru orice $\displaystyle a$ real. Rezultă că $\displaystyle A(a)$ este inversabilă pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 1+a^{2}>0\Rightarrow \det A(a)\neq 0\text{, deci }A(a)\text{ este inversabilă pentru }$ $\displaystyle \text{orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul întreg

\displaystyle k

pentru care

\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)=kA(1)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în $\displaystyle A(a)$ și obținem matricea $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(1)\cdot A(1)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot(-1)=0$ , $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2$ , $\displaystyle -1\cdot 1+1\cdot(-1)=-2$ , $\displaystyle -1\cdot 1+1\cdot 1=0$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
Avem $\displaystyle A(1)^4=\left(A(1)\cdot A(1)\right)\cdot\left(A(1)\cdot A(1)\right)$ . Înmulțim matricea $\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ cu ea însăși: $\displaystyle 0\cdot 0+2\cdot(-2)=-4$ , elementele de pe diagonala secundară sunt $\displaystyle 0$ , iar ultimul element este $\displaystyle -2\cdot 2+0=-4$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}-4 & 0\\ 0 & -4\end{pmatrix}=-4I_2$
Avem $\displaystyle A(1)^5=A(1)^4\cdot A(1)=-4I_2\cdot A(1)$ . Cum $\displaystyle I_2$ este element neutru la înmulțire, obținem $\displaystyle -4A(1)$ . Comparând cu $\displaystyle kA(1)$ , rezultă $\displaystyle k=-4$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)\cdot A(1)=-4I_2\cdot A(1)=-4A(1)\text{, deci }k=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2

.

Arătați că numărul

\displaystyle \frac{1}{3}\circ\frac{1}{3}

este întreg.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{1}{3}$ și $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$ în formula $\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\circ\frac{1}{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{1}{3}+2$
Calculăm fiecare termen: $\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$ , iar $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}+2$
Reducem fracțiile cu același numitor: $\displaystyle \dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}=-1$ , apoi adunăm $\displaystyle 2$ . Rezultatul este $\displaystyle 1$ , număr întreg.
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}+2=-1+2=1\text{, care este număr întreg}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2

.

Arătați că

\displaystyle x\circ x\geq\frac{2}{3}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=x$ în $\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2$ și obținem $\displaystyle x\circ x=3x\cdot x-2x-2x+2$ .
$\displaystyle x\circ x=3x^{2}-4x+2$
Inegalitatea de demonstrat este $\displaystyle 3x^{2}-4x+2\geq\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle 3x^{2}-4x+2\geq\dfrac{2}{3}$
Trecem $\displaystyle \dfrac{2}{3}$ în membrul stâng, iar $\displaystyle 2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$ , deci inegalitatea este echivalentă cu $\displaystyle 3x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}\geq 0$ .
$\displaystyle 3x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}\geq 0$
Pentru trinomul cu $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=-4$ , $\displaystyle c=\dfrac{4}{3}$ avem $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=16-4\cdot 3\cdot\dfrac{4}{3}=16-16$ .
$\displaystyle \Delta=0$
Cum $\displaystyle a=3>0$ și $\displaystyle \Delta=0$ , trinomul este nenegativ pentru orice $\displaystyle x$ real; de fapt $\displaystyle 3x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\geq 0$ . Deci $\displaystyle x\circ x\geq\dfrac{2}{3}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 3x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\geq 0\Rightarrow x\circ x\geq\dfrac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ x\circ x=e

, unde

\displaystyle e

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Căutăm elementul neutru $\displaystyle e$ , adică numărul pentru care $\displaystyle x\circ e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Din $\displaystyle 3xe-2x-2e+2=x$ obținem $\displaystyle (3e-3)x=2e-2$ , adică $\displaystyle 3(e-1)x=2(e-1)$ , deci $\displaystyle e=1$ .
$\displaystyle e=1$
Verificăm: $\displaystyle x\circ 1=3x-2x-2+2=x$ , iar legea este comutativă, deci și $\displaystyle 1\circ x=x$ . Așadar elementul neutru este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x\circ 1=1\circ x=x\text{, deci }e=1$
Scriem legea sub forma $\displaystyle x\circ y=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}$ . Într-adevăr, dezvoltând obținem $\displaystyle 3xy-2x-2y+\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}=3xy-2x-2y+2$ .
$\displaystyle x\circ y=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}$
Calculăm $\displaystyle x\circ x=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\dfrac{2}{3}$ . Apoi $\displaystyle x\circ x\circ x=3\left(x\circ x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}=3\cdot 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}$ , deci se obține $\displaystyle 3^{2}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{3}+\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle x\circ x\circ x=3^{2}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{3}+\dfrac{2}{3}$
Egalăm cu $\displaystyle e=1$ : $\displaystyle 9\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{3}+\dfrac{2}{3}=1$ , deci $\displaystyle 9\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{1}{3}$ , adică $\displaystyle \left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{1}{27}$ . Rezultă $\displaystyle x-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ , deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle 3^2\left(x-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{2}{3}=1\Leftrightarrow x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\text{, de unde obținem }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile, iar $\displaystyle x^2+1\neq 0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=e^x$ și $\displaystyle v=x^2+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^x)'(x^2+1)-e^x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$
Avem $\displaystyle (e^x)'=e^x$ și $\displaystyle (x^2+1)'=2x$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(x^2+1)-2xe^x}{(x^2+1)^2}$
La numărător dăm factor comun $\displaystyle e^x$ : $\displaystyle e^x(x^2+1)-2xe^x=e^x(x^2+1-2x)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$
Recunoaștem pătratul perfect $\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2$ . Obținem formula cerută, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}

.

Arătați că graficul funcției

\displaystyle f

nu admite asimptotă spre

\displaystyle +\infty

.

Vezi rezolvarea

Verificăm mai întâi asimptota orizontală: limita lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle +\infty$ . Numărătorul $\displaystyle e^x$ crește mai repede decât numitorul $\displaystyle x^2+1$ , deci limita este infinită și nu există asimptotă orizontală. Rămâne de studiat asimptota oblică.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty$
Asimptota oblică $\displaystyle y=mx+n$ spre $\displaystyle +\infty$ există doar dacă $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ este un număr real. Scriem raportul: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^x}{x(x^2+1)}$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x^3+x}$
Limita are forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci aplicăm regula lui L'Hospital. Derivăm numărătorul și numitorul: $\displaystyle (x^3+x)'=3x^2+1$ . Forma rămâne $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci aplicăm regula din nou: $\displaystyle (3x^2+1)'=6x$ . Mai aplicăm o dată regula: $\displaystyle (6x)'=6$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{3x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6}$
Deoarece $\displaystyle e^x\to+\infty$ , limita $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ este $\displaystyle +\infty$ , deci nu este finită. Prin urmare nu există asimptotă oblică, iar cum nu există nici asimptotă orizontală, graficul lui $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\text{, deci graficul lui }f\text{ nu admite asimptotă spre }+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}

.

Demonstrați că

\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)<f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției folosind formula de derivare a câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}(x^{2}+1)-2xe^{x}}{(x^{2}+1)^{2}}$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ la numărător: $\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Deoarece $\displaystyle e^{x}>0$ și $\displaystyle (x^{2}+1)^{2}>0$ , derivata se anulează doar când $\displaystyle (x-1)^{2}=0$ , adică $\displaystyle x=1$ . Pentru $\displaystyle x\neq 1$ avem $\displaystyle f'(x)>0$ , adică pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , iar $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ , deci $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{, }f'(x)>0\text{ pentru }x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)\text{, }f\text{ strict crescătoare pe }\mathbb{R}$
Comparăm argumentele: $\displaystyle \sqrt{5}>0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{3}<\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ .
$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}<\frac{\sqrt{5}}{2}$
Deoarece $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ și $\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{3}<\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ , obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}<\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)<f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^4 f^4(x)\,dx=21

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f^4(x)$ . Avem $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ , deci $\displaystyle f^4(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{4}=\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)^{2}=x^{2}$ , pentru $\displaystyle x\ge 0$ .
$\displaystyle f^4(x)=x^{2}$
Înlocuim în integrală: $\displaystyle \int_1^4 f^4(x)\,dx=\int_1^4 x^2\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , deci integrala se scrie ca mai jos.
$\displaystyle \int_1^4 f^4(x)\,dx=\int_1^4 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_1^4$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \dfrac{4^3}{3}-\dfrac{1^3}{3}=\dfrac{64-1}{3}=\dfrac{63}{3}=21$ . Deci integrala este egală cu 21, ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{4^3-1^3}{3}=\frac{63}{3}=21$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 f(e^x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ , avem $\displaystyle f(e^x)=\sqrt{e^x}$ , iar integrala devine $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{e^x}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(e^x)\,dx=\int_0^1\sqrt{e^x}\,dx$
Folosim $\displaystyle \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ , deci $\displaystyle \sqrt{e^x}=\left(e^x\right)^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{x}{2}}$ .
$\displaystyle \int_0^1\sqrt{e^x}\,dx=\int_0^1 e^{\frac{x}{2}}\,dx$
Deoarece $\displaystyle \left(e^{\frac{x}{2}}\right)'=\dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$ , o primitivă a lui $\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$ este $\displaystyle 2e^{\frac{x}{2}}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle \int_0^1 e^{\frac{x}{2}}\,dx=\left.2e^{\frac{x}{2}}\right|_0^1$
Calculăm $\displaystyle 2e^{\frac{1}{2}}-2e^{0}$ . Cum $\displaystyle e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ și $\displaystyle e^0=1$ , obținem rezultatul final.
$\displaystyle 2e^{\frac{1}{2}}-2e^0=2\sqrt{e}-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^4 e^{f(x)}\,dx=2e^2

.

Vezi rezolvarea

Cum $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ , integrala devine $\displaystyle \int_1^4 e^{\sqrt{x}}\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^4 e^{f(x)}\,dx=\int_1^4 e^{\sqrt{x}}\,dx$
Alegem $\displaystyle t=\sqrt{x}$ . Atunci $\displaystyle x=t^{2}$ , deci $\displaystyle dx=2t\,dt$ . Acest lucru este echivalent cu a scrie $\displaystyle 1=2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , unde $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=(\sqrt{x})'$ .
$\displaystyle t=\sqrt{x}$ , $\displaystyle \quad dx=2t\,dt$
Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle t=1$ , iar pentru $\displaystyle x=4$ avem $\displaystyle t=2$ .
$\displaystyle x=1\Rightarrow t=1$ , $\displaystyle \quad x=4\Rightarrow t=2$
Înlocuind, obținem $\displaystyle \int_1^4 e^{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^2 e^{t}\cdot 2t\,dt=2\int_1^2 te^{t}\,dt$ .
$\displaystyle \int_1^4 e^{\sqrt{x}}\,dx=2\int_1^2 te^t\,dt$
Observăm că $\displaystyle \left((t-1)e^{t}\right)'=e^{t}+(t-1)e^{t}=te^{t}$ . Deci $\displaystyle (t-1)e^{t}$ este o primitivă a lui $\displaystyle te^{t}$ .
$\displaystyle \int te^t\,dt=(t-1)e^t+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle 2(t-1)e^{t}\Big|_1^2=2\left((2-1)e^{2}-(1-1)e^{1}\right)=2e^{2}$ .
$\displaystyle 2(t-1)e^t\Big|_1^2=2e^2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani