Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul b7\displaystyle b_7 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b5=3\displaystyle b_5=3 și b6=6\displaystyle b_6=6.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este produsul vecinilor săi. Pentru termenii b5\displaystyle b_5, b6\displaystyle b_6, b7\displaystyle b_7 avem relația b62=b5⋅b7\displaystyle b_6^{2}=b_5\cdot b_7.
    b62=b5⋅b7\displaystyle b_6^{2}=b_5\cdot b_7
  2. Înlocuim b5=3\displaystyle b_5=3 și b6=6\displaystyle b_6=6 în relație: 62=36\displaystyle 6^{2}=36, deci obținem 36=3b7\displaystyle 36=3b_7.
    36=3b7\displaystyle 36=3b_7
  3. Împărțim egalitatea la 3\displaystyle 3 și obținem b7=363=12\displaystyle b_7=\dfrac{36}{3}=12. Verificare: rația este q=63=2\displaystyle q=\dfrac{6}{3}=2, iar 6⋅2=12\displaystyle 6\cdot 2=12.
    b7=12\displaystyle b_7=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−20\displaystyle f(x)=x^2-20. Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că f(a)=a\displaystyle f(a)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției: f(a)=a2−20\displaystyle f(a)=a^{2}-20.
    f(a)=a2−20\displaystyle f(a)=a^{2}-20
  2. Punem condiția f(a)=a\displaystyle f(a)=a, deci a2−20=a\displaystyle a^{2}-20=a. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea a2−a−20=0\displaystyle a^{2}-a-20=0.
    a2−20=a⇔a2−a−20=0\displaystyle a^{2}-20=a\Leftrightarrow a^{2}-a-20=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu coeficienții 1\displaystyle 1, −1\displaystyle -1 și −20\displaystyle -20: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−20)=1+80=81\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-20)=1+80=81.
    Δ=81\displaystyle \Delta=81
  4. Aplicăm formula soluțiilor: a=1±812=1±92\displaystyle a=\dfrac{1\pm\sqrt{81}}{2}=\dfrac{1\pm 9}{2}. Obținem a=1−92=−4\displaystyle a=\dfrac{1-9}{2}=-4 și a=1+92=5\displaystyle a=\dfrac{1+9}{2}=5.
    a=−4 sau a=5\displaystyle a=-4\text{ sau }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x=153x\displaystyle 5^x=\frac{1}{5^{3x}}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept cu aceeași bază 5\displaystyle 5, folosind regula 1an=a−n\displaystyle \dfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}. Ecuația devine 5x=5−3x\displaystyle 5^{x}=5^{-3x}.
    5x=5−3x\displaystyle 5^{x}=5^{-3x}
  2. Funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, deci două puteri ale lui 5\displaystyle 5 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Egalăm exponenții: x=−3x\displaystyle x=-3x.
    x=−3x\displaystyle x=-3x
  3. Mutăm termenul din dreapta în stânga: x+3x=0\displaystyle x+3x=0, adică 4x=0\displaystyle 4x=0.
    5x=5−3x⇔x=−3x⇔4x=0\displaystyle 5^{x}=5^{-3x}\Leftrightarrow x=-3x\Leftrightarrow 4x=0
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem soluția ecuației: x=0\displaystyle x=0. Verificare: pentru x=0\displaystyle x=0 ambii membri sunt egali cu 1\displaystyle 1.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul este impar, deci ultima cifră (cifra unităților) trebuie să fie impară. Cifrele impare din mulțimea {1,2,3,4,5,6}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\} sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5, deci cifra unităților se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri.
    3\displaystyle 3
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra unităților, deja aleasă. Din cele 6\displaystyle 6 cifre rămân 6−1=5\displaystyle 6-1=5 posibilități pentru cifra zecilor, iar niciuna dintre ele nu este 0\displaystyle 0, deci numărul are cu adevărat două cifre.
    5\displaystyle 5
  3. Aplicăm regula produsului: numărul de posibilități pentru zeci se înmulțește cu numărul de posibilități pentru unități. Se obțin 5⋅3=15\displaystyle 5\cdot 3=15 numere.
    15\displaystyle 15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,0)\displaystyle A(-1,0), B(0,1)\displaystyle B(0,1) și C(1,0)\displaystyle C(1,0). Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimile segmentelor care unesc originea O(0,0)\displaystyle O(0,0) cu punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C: AO=(−1)2+02=1\displaystyle AO=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=1, BO=02+12=1\displaystyle BO=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1, CO=12+02=1\displaystyle CO=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
    AO=BO=CO=1\displaystyle AO=BO=CO=1
  2. Punctele A\displaystyle A și C\displaystyle C se află pe axa Ox\displaystyle Ox, iar mijlocul lui AC\displaystyle AC este (−1+12,0+02)=(0,0)=O\displaystyle \left(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{0+0}{2}\right)=(0,0)=O, deci O∈AC\displaystyle O\in AC. Astfel mediana BO\displaystyle BO este egală cu jumătate din AC\displaystyle AC.
    AO=BO=CO și O∈AC\displaystyle AO=BO=CO\text{ și }O\in AC
  3. Mediana BO\displaystyle BO este egală cu jumătate din AC\displaystyle AC, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B. Verificăm: BA→=(−1,−1)\displaystyle \overrightarrow{BA}=(-1,-1), BC→=(1,−1)\displaystyle \overrightarrow{BC}=(1,-1), iar BA→⋅BC→=(−1)⋅1+(−1)⋅(−1)=0\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)\cdot 1+(-1)\cdot(-1)=0.
    ∠ABC=90∘\displaystyle \angle ABC=90^{\circ}
  4. Într-un triunghi dreptunghic ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept, deoarece catetele BA\displaystyle BA și BC\displaystyle BC sunt înălțimi și se intersectează în B\displaystyle B. Deci ortocentrul este B(0,1)\displaystyle B(0,1), adică x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle y=1.
    x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle \ y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡2x\displaystyle \cos 2x, știind că tg⁡x=3\displaystyle \operatorname{tg} x=\sqrt{3} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Reținem că tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) funcția tangentă este strict crescătoare, deci ia valoarea 3\displaystyle \sqrt{3} o singură dată.
    tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}
  2. Din tg⁡x=3\displaystyle \operatorname{tg} x=\sqrt{3} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) rezultă unghiul x\displaystyle x.
    x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}
  3. Calculăm dublul unghiului: 2x=2⋅π3\displaystyle 2x=2\cdot\dfrac{\pi}{3}.
    2x=2π3\displaystyle 2x=\dfrac{2\pi}{3}
  4. Scriem 2π3=π−π3\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3} și folosim formula cos⁡(π−a)=−cos⁡a\displaystyle \cos(\pi-a)=-\cos a. Cum cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}, obținem răspunsul final.
    cos⁡2x=cos⁡2π3=−cos⁡π3=−12\displaystyle \cos 2x=\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}, B=(0011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=0\displaystyle \det(M(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB și obținem M(1)=A+B\displaystyle M(1)=A+B.
    M(1)=A+B\displaystyle M(1)=A+B
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: pe prima linie 1+0\displaystyle 1+0 și 1+0\displaystyle 1+0, pe a doua linie 0+1\displaystyle 0+1 și 0+1\displaystyle 0+1.
    M(1)=(1100)+(0011)=(1111)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  3. Scriem determinantul de ordin doi al matricei M(1)\displaystyle M(1), ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(1))=∣1111∣=1⋅1−1⋅1\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot 1
  4. Calculăm: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, deci determinantul este 1−1=0\displaystyle 1-1=0, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(M(1))=1−1=0\displaystyle \det(M(1))=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}, B=(0011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real. Demonstrați că M(x)M(y)=M(y)M(x)\displaystyle M(x)M(y)=M(y)M(x) dacă și numai dacă x=y\displaystyle x=y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsele dintre matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B. Înmulțim linie cu coloană și obținem: A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A, A⋅B=A\displaystyle A\cdot B=A, B⋅A=B\displaystyle B\cdot A=B, B⋅B=B\displaystyle B\cdot B=B.
    A2=A\displaystyle A^{2}=A, AB=A\displaystyle \ AB=A, BA=B\displaystyle \ BA=B, B2=B\displaystyle \ B^{2}=B
  2. Dezvoltăm cele două produse folosind distributivitatea înmulțirii matricelor față de adunare și faptul că numerele reale ies în fața matricelor. Atenție: AB\displaystyle AB și BA\displaystyle BA nu sunt neapărat egale, deci ordinea factorilor se păstrează.
    M(x)M(y)=AA+yAB+xBA+xyBB\displaystyle M(x)M(y)=AA+yAB+xBA+xyBB,M(y)M(x)=AA+xAB+yBA+yxBB\displaystyle \quad M(y)M(x)=AA+xAB+yBA+yxBB
  3. Înlocuim relațiile din primul pas în cele două produse. Apoi scriem egalitatea celor două produse și reducem termenii comuni, adică A\displaystyle A și xyB\displaystyle xyB.
    A+yA+xB+xyB=A+xA+yB+xyB ⇔ yA+xB=xA+yB\displaystyle A+yA+xB+xyB=A+xA+yB+xyB\ \Leftrightarrow\ yA+xB=xA+yB
  4. Mutăm termenii cu A\displaystyle A în stânga și termenii cu B\displaystyle B în dreapta, apoi dăm factor comun diferența y−x\displaystyle y-x.
    yA−xA=yB−xB ⇔ (y−x)A=(y−x)B\displaystyle yA-xA=yB-xB\ \Leftrightarrow\ (y-x)A=(y-x)B
  5. Dacă x≠y\displaystyle x\neq y, putem împărți cu x−y\displaystyle x-y și ar rezulta A=B\displaystyle A=B. Dar A≠B\displaystyle A\neq B, deoarece elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1\displaystyle 1 în A\displaystyle A și 0\displaystyle 0 în B\displaystyle B. Deci egalitatea are loc doar pentru x=y\displaystyle x=y. Reciproc, dacă x=y\displaystyle x=y, cele două produse coincid evident. Așadar produsele comută dacă și numai dacă x=y\displaystyle x=y.
    M(x)M(y)=M(y)M(x) ⇔ x=y\displaystyle M(x)M(y)=M(y)M(x)\ \Leftrightarrow\ x=y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}, B=(0011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile de numere întregi (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care M(m2+1)M(n2)=M(n2)M(m2+1)\displaystyle M(m^2+1)M(n^2)=M(n^2)M(m^2+1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x)\displaystyle M(x) explicit: M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB are prima linie (1, 1)\displaystyle (1,\ 1) și a doua linie (x, x)\displaystyle (x,\ x).
    M(x)=(11xx)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&1\\x&x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(x)M(y)\displaystyle M(x)M(y) prin înmulțirea liniilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Ambele coloane ale lui M(y)\displaystyle M(y) sunt (1, y)\displaystyle (1,\ y), deci toate elementele de pe aceeași linie sunt egale.
    M(x)M(y)=(1+y1+yx(1+y)x(1+y))\displaystyle M(x)M(y)=\begin{pmatrix}1+y&1+y\\x(1+y)&x(1+y)\end{pmatrix}
  3. Schimbând rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y, obținem M(y)M(x)\displaystyle M(y)M(x). Egalitatea celor două produse cere, de pe prima linie, 1+y=1+x\displaystyle 1+y=1+x, deci x=y\displaystyle x=y. Pe a doua linie se obține x(1+y)=y(1+x)\displaystyle x(1+y)=y(1+x), adică x=y\displaystyle x=y, deci condiția este aceeași. Așadar matricele M(x)\displaystyle M(x) și M(y)\displaystyle M(y) comută exact când x=y\displaystyle x=y.
    M(x)M(y)=M(y)M(x)⇔x=y\displaystyle M(x)M(y)=M(y)M(x)\Leftrightarrow x=y
  4. Aplicăm acest rezultat pentru x=m2+1\displaystyle x=m^2+1 și y=n2\displaystyle y=n^2. Egalitatea din enunț revine la m2+1=n2\displaystyle m^2+1=n^2. Mutăm m2\displaystyle m^2 în membrul drept: n2−m2=1\displaystyle n^2-m^2=1, iar diferența de pătrate se descompune în produs.
    m2+1=n2⇔(n−m)(n+m)=1\displaystyle m^{2}+1=n^{2}\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1
  5. Numerele m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, deci n−m\displaystyle n-m și n+m\displaystyle n+m sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Singurii divizori întregi ai lui 1\displaystyle 1 sunt 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, deci cele două numere sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1.
    {n−m=1n+m=1 sau {n−m=−1n+m=−1\displaystyle \begin{cases}n-m=1\\n+m=1\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}n-m=-1\\n+m=-1\end{cases}
  6. În primul sistem, adunând ecuațiile obținem 2n=2\displaystyle 2n=2, deci n=1\displaystyle n=1, iar scăzându-le obținem m=0\displaystyle m=0. În al doilea sistem obținem n=−1\displaystyle n=-1 și m=0\displaystyle m=0. Perechile căutate sunt (0,−1)\displaystyle (0,-1) și (0,1)\displaystyle (0,1).
    (m,n)=(0,−1) sau (m,n)=(0,1)\displaystyle (m,n)=(0,-1)\text{ sau }(m,n)=(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+7xy\displaystyle x\circ y=x+y+7xy.

Arătați că x∘y=7(x+17)(y+17)−17\displaystyle x\circ y=7\left(x+\frac{1}{7}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)-\frac{1}{7}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=x+y+7xy\displaystyle x\circ y=x+y+7xy. Vrem să obținem o expresie care să se factorizeze, așa că adunăm și scădem 17\displaystyle \dfrac{1}{7}.
    x∘y=7xy+x+y+17−17\displaystyle x\circ y=7xy+x+y+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}
  2. Grupăm primii doi termeni, 7xy\displaystyle 7xy și x\displaystyle x, și dăm factor comun pe x\displaystyle x: obținem 7x(y+17)\displaystyle 7x\left(y+\dfrac{1}{7}\right). Într-adevăr, 7x⋅17=x\displaystyle 7x\cdot\dfrac{1}{7}=x. Ceilalți doi termeni, y+17\displaystyle y+\dfrac{1}{7}, rămân neschimbați.
    x∘y=7x(y+17)+(y+17)−17\displaystyle x\circ y=7x\left(y+\dfrac{1}{7}\right)+\left(y+\dfrac{1}{7}\right)-\dfrac{1}{7}
  3. Acum y+17\displaystyle y+\dfrac{1}{7} este factor comun pentru primii doi termeni. Îl scoatem în față și obținem (7x+1)(y+17)\displaystyle (7x+1)\left(y+\dfrac{1}{7}\right). Cum 7x+1=7(x+17)\displaystyle 7x+1=7\left(x+\dfrac{1}{7}\right), ajungem la forma cerută.
    x∘y=7(x+17)(y+17)−17\displaystyle x\circ y=7\left(x+\dfrac{1}{7}\right)\left(y+\dfrac{1}{7}\right)-\dfrac{1}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+7xy\displaystyle x\circ y=x+y+7xy.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∘x=5\displaystyle x\circ x=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția legii: x∘x=x+x+7x⋅x\displaystyle x\circ x=x+x+7x\cdot x, deci ecuația devine 7x2+2x=5\displaystyle 7x^{2}+2x=5.
    7x2+2x=5\displaystyle 7x^{2}+2x=5
  2. Dăm factor comun 7\displaystyle 7: 7x2+2x=7(x2+27x)\displaystyle 7x^{2}+2x=7\left(x^{2}+\dfrac{2}{7}x\right). Completăm pătratul: x2+27x=(x+17)2−149\displaystyle x^{2}+\dfrac{2}{7}x=\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\dfrac{1}{49}. Rezultă 7x2+2x=7(x+17)2−17\displaystyle 7x^{2}+2x=7\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\dfrac{1}{7}.
    7(x+17)2−17=5\displaystyle 7\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}-\frac{1}{7}=5
  3. Adunăm 17\displaystyle \dfrac{1}{7} în ambii membri: 7(x+17)2=5+17=367\displaystyle 7\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^{2}=5+\dfrac{1}{7}=\dfrac{36}{7}. Împărțim la 7\displaystyle 7: (x+17)2=3649\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{7}\right)^{2}=\dfrac{36}{49}.
    (x+17)2=3649\displaystyle \left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{36}{49}
  4. Cum 3649=67\displaystyle \sqrt{\dfrac{36}{49}}=\dfrac{6}{7}, avem două cazuri: x+17=−67\displaystyle x+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{6}{7} sau x+17=67\displaystyle x+\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}.
    x+17=−67 sau x+17=67\displaystyle x+\frac{1}{7}=-\frac{6}{7}\text{ sau }x+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}
  5. Din primul caz: x=−67−17=−1\displaystyle x=-\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}=-1. Din al doilea caz: x=67−17=57\displaystyle x=\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{5}{7}. Ambele valori sunt reale, deci convin.
    x=−1 sau x=57\displaystyle x=-1\text{ sau }x=\frac{5}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+7xy\displaystyle x\circ y=x+y+7xy.

Dați exemplu de numere distincte a,b∈Q∖Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} pentru care numărul a∘b\displaystyle a\circ b este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem forma legii de la punctul a): x∘y=7(x+17)(y+17)−17\displaystyle x\circ y=7\left(x+\dfrac{1}{7}\right)\left(y+\dfrac{1}{7}\right)-\dfrac{1}{7}. O verificăm prin desfacerea parantezelor: 7(xy+x7+y7+149)−17=7xy+x+y+17−17=x+y+7xy\displaystyle 7\left(xy+\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{1}{49}\right)-\dfrac{1}{7}=7xy+x+y+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}=x+y+7xy.
    x∘y=7(x+17)(y+17)−17\displaystyle x\circ y=7\left(x+\dfrac{1}{7}\right)\left(y+\dfrac{1}{7}\right)-\dfrac{1}{7}
  2. Căutăm numere raționale neîntregi pentru care expresia de mai sus să fie număr natural. Alegem a=17\displaystyle a=\dfrac{1}{7} și b=37\displaystyle b=\dfrac{3}{7}. Sunt distincte, raționale și nu sunt întregi, deci a,b∈Q∖Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}.
    a=17 și b=37\displaystyle a=\dfrac{1}{7}\text{ și }b=\dfrac{3}{7}
  3. Calculăm a+17=27\displaystyle a+\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{7} și b+17=47\displaystyle b+\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{7}.
    a+17=27\displaystyle a+\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{7},b+17=47\displaystyle \quad b+\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{7}
  4. Înlocuim în forma legii: a∘b=7⋅27⋅47−17=87−17=1\displaystyle a\circ b=7\cdot\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{4}{7}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{8}{7}-\dfrac{1}{7}=1, care este număr natural. Deci exemplul convine.
    a∘b=7⋅27⋅47−17=1∈N\displaystyle a\circ b=7\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{4}{7}-\frac{1}{7}=1\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Arătați că f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm separat cei doi termeni ai funcției. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Pentru al doilea termen, fracția 2(x−1)x\displaystyle \dfrac{2(x-1)}{x}, folosim formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=2(x−1)\displaystyle u=2(x-1) și v=x\displaystyle v=x.
    (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x},u′=2\displaystyle \quad u'=2,v′=1\displaystyle \quad v'=1
  2. Aplicăm formula câtului pentru al doilea termen: u′v−uv′=2⋅x−2(x−1)⋅1\displaystyle u'v-uv'=2\cdot x-2(x-1)\cdot 1, iar numitorul este x2\displaystyle x^{2}.
    (2(x−1)x)′=2x−2(x−1)x2\displaystyle \left(\dfrac{2(x-1)}{x}\right)'=\dfrac{2x-2(x-1)}{x^{2}}
  3. Cum între cei doi termeni ai lui f\displaystyle f este semnul minus, derivata lui f\displaystyle f este derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x minus derivata fracției.
    f′(x)=1x−2x−2(x−1)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x-2(x-1)}{x^{2}}
  4. Reducem numărătorul fracției: 2x−2(x−1)=2x−2x+2=2\displaystyle 2x-2(x-1)=2x-2x+2=2.
    f′(x)=1x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}
  5. Aducem la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}, amplificând prima fracție cu x\displaystyle x. Numărătorul devine x−2x+2x−2=x−2\displaystyle x-2x+2x-2=x-2, deci obținem egalitatea cerută pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x−2x+2x−2x2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2x+2x-2}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=−x\displaystyle y=-x.
Vezi rezolvarea
  1. Separăm fracția din expresia funcției, ca să derivăm mai ușor: 2(x−1)x=2−2x\displaystyle \dfrac{2(x-1)}{x}=2-\dfrac{2}{x}, deci f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\dfrac{2}{x}.
    f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\dfrac{2}{x}
  2. Derivăm funcția: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, derivata constantei este 0\displaystyle 0, iar (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}. Aducem la același numitor: f′(x)=1x−2x2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}.
    f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}}
  3. Dreapta y=−x\displaystyle y=-x are panta −1\displaystyle -1. Tangenta în punctul de abscisă a\displaystyle a este paralelă cu ea când are aceeași pantă, iar panta tangentei este f′(a)\displaystyle f'(a). Deci f′(a)=−1\displaystyle f'(a)=-1.
    f′(a)=−1\displaystyle f'(a)=-1
  4. Înlocuim derivata calculată și obținem ecuația a−2a2=−1\displaystyle \dfrac{a-2}{a^{2}}=-1, cu a>0\displaystyle a>0. Înmulțim cu a2\displaystyle a^{2}, care este nenul: a−2=−a2\displaystyle a-2=-a^{2}. Mutăm toți termenii în stânga.
    a−2a2=−1⇔a2+a−2=0\displaystyle \dfrac{a-2}{a^{2}}=-1\Leftrightarrow a^{2}+a-2=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci a=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}, adică a=−2\displaystyle a=-2 sau a=1\displaystyle a=1. Domeniul funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci a=−2\displaystyle a=-2 nu convine, iar a=1\displaystyle a=1 convine. Abscisa căutată este 1\displaystyle 1.
    a=−2, care nu convine sau a=1, care convine; abscisa \displaystyle a=-2\text{, care nu convine sau }a=1\text{, care convine; abscisa }este 1\displaystyle \text{este }1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Demonstrați că f(π2)<0\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția într-o formă mai comodă pentru derivare: 2(x−1)x=2−2x\displaystyle \dfrac{2(x-1)}{x}=2-\dfrac{2}{x}, deci funcția devine o sumă de termeni simpli.
    f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\dfrac{2}{x}
  2. Derivăm funcția: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0, (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}. Apoi aducem la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=1x−2x2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}
  3. Studiem semnul derivatei pe (0,2)\displaystyle (0,2): numitorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, iar numărătorul x−2\displaystyle x-2 este negativ pentru x<2\displaystyle x<2. Deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și funcția este strict descrescătoare pe (0,2)\displaystyle (0,2).
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, ∀x∈(0,2)⇒f este strict \displaystyle \ \forall x\in(0,2)\Rightarrow f\text{ este strict }descresca˘toare pe (0,2)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(0,2)
  4. Calculăm valoarea funcției în 1\displaystyle 1: ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, iar 2(1−1)1=0\displaystyle \dfrac{2(1-1)}{1}=0.
    f(1)=ln⁡1−2⋅01=0\displaystyle f(1)=\ln 1-\dfrac{2\cdot 0}{1}=0
  5. Arătăm că π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} se află în intervalul (1,2)\displaystyle (1,2): din 2<π<4\displaystyle 2<\pi<4 rezultă 1<π2<2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}<2. Deci 1\displaystyle 1 și π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} sunt amândouă în (0,2)\displaystyle (0,2), unde f\displaystyle f este descrescătoare.
    0<1<π2<2\displaystyle 0<1<\dfrac{\pi}{2}<2
  6. Cum f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,2)\displaystyle (0,2) și 1<π2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}, avem f(π2)<f(1)\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<f(1). Din f(1)=0\displaystyle f(1)=0 obținem inegalitatea cerută.
    f(π2)<f(1)=0⇒f(π2)<0\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<f(1)=0\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Arătați că ∫1ef′(x) dx=1\displaystyle \int_1^e f'(x)\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula Leibniz-Newton: pentru f\displaystyle f derivabilă cu derivata continuă pe [1,e]\displaystyle [1,e] avem ∫1ef′(x) dx=f(x)∣1e\displaystyle \int_1^e f'(x)\,dx=f(x)\Big|_1^e. Funcția f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), iar f′(x)=1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x} este continuă pe [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1ef′(x) dx=f(x)∣1e\displaystyle \int_1^e f'(x)\,dx=f(x)\Big|_1^e
  2. Înlocuim f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x și obținem expresia care trebuie evaluată între limitele 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e.
    ∫1ef′(x) dx=f(x)∣1e=ln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e f'(x)\,dx=f(x)\Big|_1^e=\ln x\Big|_1^e
  3. Evaluăm în capete: ln⁡x∣1e=ln⁡e−ln⁡1\displaystyle \ln x\Big|_1^e=\ln e-\ln 1. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Calculați ∫1ef2(x)x dx\displaystyle \int_1^e\frac{f^2(x)}{x}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x, avem f2(x)=ln⁡2x\displaystyle f^2(x)=\ln^2 x, deci integrala devine ∫1eln⁡2xx dx\displaystyle \int_1^e\dfrac{\ln^2 x}{x}\,dx.
    ∫1e1xln⁡2x dx\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\ln^2 x\,dx
  2. Observăm că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci integrandul are forma u2⋅u′\displaystyle u^2\cdot u' cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x. O primitivă este ln⁡3x3\displaystyle \dfrac{\ln^3 x}{3}. Verificare: (ln⁡3x3)′=3ln⁡2x3⋅1x=ln⁡2xx\displaystyle \left(\dfrac{\ln^3 x}{3}\right)'=\dfrac{3\ln^2 x}{3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln^2 x}{x}.
    ∫ln⁡2xx dx=ln⁡3x3+C\displaystyle \int\frac{\ln^2 x}{x}\,dx=\frac{\ln^3 x}{3}+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1eln⁡2xx dx=ln⁡3x3∣1e=ln⁡3e3−ln⁡313\displaystyle \int_1^e\dfrac{\ln^2 x}{x}\,dx=\dfrac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e=\dfrac{\ln^3 e}{3}-\dfrac{\ln^3 1}{3}.
    ∫1ef2(x)x dx=ln⁡3x3∣1e=ln⁡3e3−ln⁡313\displaystyle \int_1^e\frac{f^2(x)}{x}\,dx=\frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}
  4. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Obținem 13−0=13\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}.
    13\displaystyle \frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Determinați numărul real p\displaystyle p, p>1\displaystyle p>1, știind că ∫1pxf(x) dx=p22ln⁡p−34\displaystyle \int_1^p x f(x)\,dx=\frac{p^2}{2}\ln p-\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x în integrală și obținem ∫1pxln⁡x dx\displaystyle \int_1^p x\ln x\,dx.
    ∫1pxf(x) dx=∫1pxln⁡x dx\displaystyle \int_1^p x f(x)\,dx=\int_1^p x\ln x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=x dx⇒du=1x dx\displaystyle \ dv=x\,dx\Rightarrow du=\frac{1}{x}\,dx, v=x22\displaystyle \ v=\frac{x^{2}}{2}
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți pe intervalul [1,p]\displaystyle [1,p].
    ∫1pxln⁡x dx=x22ln⁡x∣1p−∫1px22⋅1x dx\displaystyle \int_1^p x\ln x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^p-\int_1^p\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  4. Termenul de la limite este p22ln⁡p−12ln⁡1=p22ln⁡p\displaystyle \dfrac{p^{2}}{2}\ln p-\dfrac{1}{2}\ln 1=\dfrac{p^{2}}{2}\ln p, pentru că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Integrala rămasă se simplifică: ∫1px2 dx=x24∣1p=p24−14\displaystyle \int_1^p\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^p=\dfrac{p^{2}}{4}-\dfrac{1}{4}.
    p22ln⁡p−(p24−14)\displaystyle \frac{p^{2}}{2}\ln p-\left(\frac{p^{2}}{4}-\frac{1}{4}\right)
  5. Deschidem parantezele și obținem valoarea integralei în funcție de p\displaystyle p.
    ∫1pxf(x) dx=p22ln⁡p−p24+14\displaystyle \int_1^p x f(x)\,dx=\frac{p^{2}}{2}\ln p-\frac{p^{2}}{4}+\frac{1}{4}
  6. Egalăm rezultatul cu expresia din enunț: p22ln⁡p−p24+14=p22ln⁡p−34\displaystyle \dfrac{p^{2}}{2}\ln p-\dfrac{p^{2}}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{p^{2}}{2}\ln p-\dfrac{3}{4}. Termenul cu ln⁡p\displaystyle \ln p se reduce.
    −p24+14=−34\displaystyle -\frac{p^{2}}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}
  7. Rezolvăm ecuația: p24=14+34=1\displaystyle \dfrac{p^{2}}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1, deci p2=4\displaystyle p^{2}=4, adică p=2\displaystyle p=2 sau p=−2\displaystyle p=-2. Cum p>1\displaystyle p>1, rămâne p=2\displaystyle p=2.
    p2=4⇒p=2, deoarece p>1\displaystyle p^{2}=4\Rightarrow p=2\text{, deoarece }p>1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.