Bac matematică M4 pedagogic 2020, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu S3\displaystyle S_3 suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice. Pentru o progresie aritmetică, suma primilor n\displaystyle n termeni este Sn=(a1+an)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem formula cu primul și al treilea termen.
    S3=(a1+a3)⋅32\displaystyle S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}
  2. Înlocuim datele din enunț: a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8. Suma celor doi termeni este 2+8=10\displaystyle 2+8=10, deci obținem 10\displaystyle 10 înmulțit cu 3\displaystyle 3, împărțit la 2\displaystyle 2.
    S3=(2+8)⋅32=10⋅32=302\displaystyle S_3=\frac{(2+8)\cdot 3}{2}=\frac{10\cdot 3}{2}=\frac{30}{2}
  3. Efectuăm împărțirea: 302=15\displaystyle \dfrac{30}{2}=15. Verificare: rația este r=3\displaystyle r=3, deci a2=5\displaystyle a_2=5, iar 2+5+8=15\displaystyle 2+5+8=15. Suma primilor trei termeni este 15\displaystyle 15.
    S3=15\displaystyle S_3=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+5\displaystyle f(x)=x+5. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)=f(1)+f(−1)\displaystyle f(m)=f(1)+f(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției f(x)=x+5\displaystyle f(x)=x+5.
    f(1)=1+5=6\displaystyle f(1)=1+5=6
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în formula funcției.
    f(−1)=−1+5=4\displaystyle f(-1)=-1+5=4
  3. Avem f(m)=m+5\displaystyle f(m)=m+5, deci egalitatea f(m)=f(1)+f(−1)\displaystyle f(m)=f(1)+f(-1) devine o ecuație în m\displaystyle m.
    m+5=(1+5)+(−1+5)\displaystyle m+5=(1+5)+(-1+5)
  4. Înlocuim f(1)=6\displaystyle f(1)=6 și f(−1)=4\displaystyle f(-1)=4, deci membrul drept este 6+4=10\displaystyle 6+4=10.
    m+5=10\displaystyle m+5=10
  5. Scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri: m=10−5\displaystyle m=10-5. Deci numărul căutat este:
    m=5\displaystyle m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+4)=3\displaystyle \log_2\left(x^2+4\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Cum x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0, avem x2+4≥4>0\displaystyle x^{2}+4\geq 4>0, deci condiția este îndeplinită pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡2a=3\displaystyle \log_2 a=3 exact când a=23\displaystyle a=2^{3}. Deci x2+4=23=8\displaystyle x^{2}+4=2^{3}=8.
    x2+4=23=8\displaystyle x^{2}+4=2^{3}=8
  3. Scădem 8 din ambii membri și obținem ecuația de gradul II incompletă x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0.
    x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−4=(x−2)(x+2)=0\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci x−2=0\displaystyle x-2=0 sau x+2=0\displaystyle x+2=0.
    (x−2)(x+2)=0⇒x=2 sau x=−2\displaystyle (x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=2\text{ sau }x=-2
  5. Ambele valori convin, deoarece condiția de existență este îndeplinită pentru orice număr real. Verificare: pentru x=±2\displaystyle x=\pm 2 avem x2+4=8\displaystyle x^{2}+4=8, iar log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3. Soluțiile sunt −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2.
    x=−2 sau x=2, care convin\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 2000\displaystyle 2000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial de 2000\displaystyle 2000 de lei: 10%⋅2000=10100⋅2000\displaystyle 10\%\cdot 2000=\dfrac{10}{100}\cdot 2000, adică 200\displaystyle 200 de lei.
    10%⋅2000=200 de lei\displaystyle 10\%\cdot 2000=200\text{ de lei}
  2. După prima scumpire, adunăm creșterea la prețul inițial: 2000+10%⋅2000=2000+200\displaystyle 2000+10\%\cdot 2000=2000+200.
    2000+10%⋅2000=2200 de lei\displaystyle 2000+10\%\cdot 2000=2200\text{ de lei}
  3. A doua scumpire se aplică prețului curent de 2200\displaystyle 2200 de lei, nu celui inițial. Avem 10%⋅2200=10100⋅2200\displaystyle 10\%\cdot 2200=\dfrac{10}{100}\cdot 2200, adică 220\displaystyle 220 de lei.
    10%⋅2200=220 de lei\displaystyle 10\%\cdot 2200=220\text{ de lei}
  4. Adunăm creșterea la prețul curent: 2200+10%⋅2200=2200+220\displaystyle 2200+10\%\cdot 2200=2200+220. Prețul final este 2420\displaystyle 2420 de lei.
    2200+10%⋅2200=2420 de lei\displaystyle 2200+10\%\cdot 2200=2420\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(−1,1)\displaystyle B(-1,1), C(−1,−1)\displaystyle C(-1,-1) și D(1,−1)\displaystyle D(1,-1). Calculați perimetrul patrulaterului ABCD\displaystyle ABCD.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(−1,1)\displaystyle B(-1,1) avem AB=(−1−1)2+(1−1)2=4+0=2\displaystyle AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{4+0}=2. Pentru B(−1,1)\displaystyle B(-1,1) și C(−1,−1)\displaystyle C(-1,-1) avem BC=(−1+1)2+(−1−1)2=0+4=2\displaystyle BC=\sqrt{(-1+1)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt{0+4}=2.
    AB=2\displaystyle AB=2,BC=2\displaystyle \quad BC=2
  3. Pentru C(−1,−1)\displaystyle C(-1,-1) și D(1,−1)\displaystyle D(1,-1) avem CD=(1+1)2+(−1+1)2=4=2\displaystyle CD=\sqrt{(1+1)^{2}+(-1+1)^{2}}=\sqrt{4}=2. Pentru D(1,−1)\displaystyle D(1,-1) și A(1,1)\displaystyle A(1,1) avem DA=(1−1)2+(1+1)2=4=2\displaystyle DA=\sqrt{(1-1)^{2}+(1+1)^{2}}=\sqrt{4}=2.
    AB=BC=CD=DA=2\displaystyle AB=BC=CD=DA=2
  4. Perimetrul este suma laturilor: PABCD=AB+BC+CD+DA=4⋅2=8\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=4\cdot 2=8.
    PABCD=4⋅2=8\displaystyle P_{ABCD}=4\cdot 2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că m(∢B)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ și BC=42\displaystyle BC=4\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A și m(∢B)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ, deci m(∢C)=90∘−45∘=45∘\displaystyle m(\sphericalangle C)=90^\circ-45^\circ=45^\circ. Prin urmare triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC egale.
    AB=AC\displaystyle AB=AC
  2. Notăm lungimea comună a catetelor cu x\displaystyle x și scriem teorema lui Pitagora în triunghiul ABC\displaystyle ABC: x2+x2=BC2=(42)2=32\displaystyle x^{2}+x^{2}=BC^{2}=\left(4\sqrt{2}\right)^{2}=32.
    2x2=32\displaystyle 2x^{2}=32
  3. Din 2x2=32\displaystyle 2x^{2}=32 rezultă x2=16\displaystyle x^{2}=16, deci x=4\displaystyle x=4, fiindcă x\displaystyle x este o lungime pozitivă. Așadar AB=AC=4\displaystyle AB=AC=4.
    AB=AC=4\displaystyle AB=AC=4
  4. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=4⋅42=8\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{4\cdot 4}{2}=8.
    AΔABC=AB⋅AC2=4⋅42=8\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36.

Arătați că 0∗4=4\displaystyle 0\ast 4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36 pentru x=0\displaystyle x=0 și y=4\displaystyle y=4, adică înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4.
    0∗4=2⋅0⋅4−8(0+4)+36\displaystyle 0\ast 4=2\cdot 0\cdot 4-8(0+4)+36
  2. Calculăm fiecare termen separat: 2⋅0⋅4=0\displaystyle 2\cdot 0\cdot 4=0, iar 8(0+4)=8⋅4=32\displaystyle 8(0+4)=8\cdot 4=32.
    0∗4=0−32+36\displaystyle 0\ast 4=0-32+36
  3. Efectuăm scăderea și adunarea: 0−32+36=4\displaystyle 0-32+36=4, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    0∗4=4\displaystyle 0\ast 4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36.

Demonstrați că x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii și desfacem parantezele: termenul 8(x+y)\displaystyle 8(x+y) devine 8x+8y\displaystyle 8x+8y. Scriem constanta 36\displaystyle 36 ca 32+4\displaystyle 32+4, pentru a obține apoi termenul +4\displaystyle +4 din forma cerută.
    x∗y=2xy−8x−8y+32+4\displaystyle x\ast y=2xy-8x-8y+32+4
  2. Grupăm termenii 2xy−8x\displaystyle 2xy-8x și dăm factor comun 2x\displaystyle 2x. Grupăm apoi termenii −8y+32\displaystyle -8y+32 și dăm factor comun −8\displaystyle -8.
    2xy−8x=2x(y−4)\displaystyle 2xy-8x=2x(y-4),−8y+32=−8(y−4)\displaystyle \quad -8y+32=-8(y-4)
  3. Înlocuim în expresie. Acum apare factorul comun y−4\displaystyle y-4 în primii doi termeni.
    x∗y=2x(y−4)−8(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2x(y-4)-8(y-4)+4
  4. Dăm factor comun y−4\displaystyle y-4: (2x−8)(y−4)\displaystyle (2x-8)(y-4), apoi scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din 2x−8\displaystyle 2x-8. Obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(2x−8)(y−4)+4=2(x−4)(y−4)+4, pentru orice numere \displaystyle x\ast y=(2x-8)(y-4)+4=2(x-4)(y-4)+4\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36.

Verificați dacă e=92\displaystyle e=\frac{9}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle \ast”.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Observăm că 2(x−4)(y−4)=2xy−8x−8y+32\displaystyle 2(x-4)(y-4)=2xy-8x-8y+32, deci x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4
  2. Pentru elementul neutru trebuie să avem x∗e=e∗x=x\displaystyle x\ast e=e\ast x=x pentru orice x\displaystyle x real. Calculăm mai întâi x∗92\displaystyle x\ast\frac{9}{2}, înlocuind y\displaystyle y cu 92\displaystyle \frac{9}{2} în forma factorizată. Deoarece 92−4=12\displaystyle \frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}, avem 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}=1, deci obținem x−4+4=x\displaystyle x-4+4=x.
    x∗92=2(x−4)(92−4)+4=x−4+4=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\ast\frac{9}{2}=2(x-4)\left(\frac{9}{2}-4\right)+4=x-4+4=x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Calculăm acum 92∗x\displaystyle \frac{9}{2}\ast x, înlocuind x\displaystyle x cu 92\displaystyle \frac{9}{2} în forma factorizată. Se obține din nou x−4+4=x\displaystyle x-4+4=x, pentru orice x\displaystyle x real. Cum x∗92=92∗x=x\displaystyle x\ast\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\ast x=x pentru orice x\displaystyle x real, numărul 92\displaystyle \frac{9}{2} este elementul neutru al legii.
    92∗x=2(92−4)(x−4)+4=x−4+4=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=92 este elementul neutru al \displaystyle \frac{9}{2}\ast x=2\left(\frac{9}{2}-4\right)(x-4)+4=x-4+4=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=\frac{9}{2}\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\ast\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x−1)∗(x+1)=10\displaystyle (x-1)\ast(x+1)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma 2(x−4)(y−4)+4\displaystyle 2(x-4)(y-4)+4. Verificăm: dezvoltând 2(x−4)(y−4)\displaystyle 2(x-4)(y-4) se obține 2xy−8x−8y+32\displaystyle 2xy-8x-8y+32, la care adăugăm 4\displaystyle 4 și obținem 2xy−8(x+y)+36\displaystyle 2xy-8(x+y)+36.
    x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1 și y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1 în forma obținută și egalăm cu 10\displaystyle 10.
    2(x−1−4)(x+1−4)+4=10\displaystyle 2(x-1-4)(x+1-4)+4=10
  3. Simplificăm parantezele: x−1−4=x−5\displaystyle x-1-4=x-5 și x+1−4=x−3\displaystyle x+1-4=x-3. Ecuația devine 2(x−5)(x−3)+4=10\displaystyle 2(x-5)(x-3)+4=10, deci 2(x−5)(x−3)=6\displaystyle 2(x-5)(x-3)=6, adică (x−5)(x−3)=3\displaystyle (x-5)(x-3)=3.
    (x−5)(x−3)=3\displaystyle (x-5)(x-3)=3
  4. Dezvoltăm produsul: x2−8x+15=3\displaystyle x^{2}-8x+15=3, deci x2−8x+12=0\displaystyle x^{2}-8x+12=0.
    x2−8x+12=0\displaystyle x^{2}-8x+12=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este Δ=64−48=16\displaystyle \Delta=64-48=16, deci x=8±42\displaystyle x=\dfrac{8\pm 4}{2}. Se obțin x=2\displaystyle x=2 sau x=6\displaystyle x=6.
    x=2 sau x=6\displaystyle x=2\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 3x2∗3x2∗3x2=0\displaystyle 3^{x^2}\ast 3^{x^2}\ast 3^{x^2}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4. Verificare: 2(xy−4x−4y+16)+4=2xy−8(x+y)+36\displaystyle 2(xy-4x-4y+16)+4=2xy-8(x+y)+36.
    x∗y=2(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\ast y=2(x-4)(y-4)+4
  2. Notăm a=3x2\displaystyle a=3^{x^{2}}, cu a>0\displaystyle a>0, și calculăm a∗a\displaystyle a\ast a cu forma factorizată.
    3x2∗3x2=2(3x2−4)2+4\displaystyle 3^{x^{2}}\ast 3^{x^{2}}=2\left(3^{x^{2}}-4\right)^{2}+4
  3. Compunem încă o dată cu a\displaystyle a (legea este asociativă): (a∗a)∗a=2((a∗a)−4)(a−4)+4\displaystyle (a\ast a)\ast a=2\left((a\ast a)-4\right)(a-4)+4. Cum (a∗a)−4=2(a−4)2\displaystyle (a\ast a)-4=2(a-4)^{2}, obținem 4(a−4)3+4\displaystyle 4(a-4)^{3}+4.
    3x2∗3x2∗3x2=4(3x2−4)3+4\displaystyle 3^{x^{2}}\ast 3^{x^{2}}\ast 3^{x^{2}}=4\left(3^{x^{2}}-4\right)^{3}+4
  4. Punem condiția că expresia este egală cu 0\displaystyle 0 și izolăm cubul: 4(a−4)3+4=0\displaystyle 4(a-4)^{3}+4=0, deci (a−4)3=−1\displaystyle (a-4)^{3}=-1.
    (3x2−4)3=−1\displaystyle \left(3^{x^{2}}-4\right)^{3}=-1
  5. Cubul unui număr real este −1\displaystyle -1 doar dacă numărul este −1\displaystyle -1, deci a−4=−1\displaystyle a-4=-1 și a=3\displaystyle a=3.
    3x2=3\displaystyle 3^{x^{2}}=3
  6. Din 3x2=31\displaystyle 3^{x^{2}}=3^{1} rezultă x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−8(x+y)+36\displaystyle x\ast y=2xy-8(x+y)+36. Dați exemplu de numere raționale p\displaystyle p și q\displaystyle q, care nu sunt întregi, pentru care numărul p∗q\displaystyle p\ast q este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm 2(p−4)(q−4)=2pq−8p−8q+32\displaystyle 2(p-4)(q-4)=2pq-8p-8q+32 și comparăm cu p∗q=2pq−8(p+q)+36\displaystyle p\ast q=2pq-8(p+q)+36. Rezultă că p∗q=2(p−4)(q−4)+4\displaystyle p\ast q=2(p-4)(q-4)+4.
    p∗q=2(p−4)(q−4)+4\displaystyle p\ast q=2(p-4)(q-4)+4
  2. Cum 4∈Z\displaystyle 4\in\mathbb{Z}, avem p∗q∈Z⇔2(p−4)(q−4)∈Z\displaystyle p\ast q\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 2(p-4)(q-4)\in\mathbb{Z}. Alegem numere raționale neîntregi, de exemplu p−4=32\displaystyle p-4=\dfrac{3}{2} și q−4=23\displaystyle q-4=\dfrac{2}{3}. Atunci 2⋅32⋅23=2\displaystyle 2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=2 este întreg.
    p∗q∈Z⇔2(p−4)(q−4)∈Z; de exemplu, p−4=32, q−4=23\displaystyle p\ast q\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 2(p-4)(q-4)\in\mathbb{Z}\text{; de exemplu, }p-4=\frac{3}{2}\text{, }q-4=\frac{2}{3}
  3. Obținem p=32+4=112\displaystyle p=\dfrac{3}{2}+4=\dfrac{11}{2} și q=23+4=143\displaystyle q=\dfrac{2}{3}+4=\dfrac{14}{3}. Ambele sunt raționale și nu sunt întregi.
    p=112, q=143\displaystyle p=\frac{11}{2}\text{, }q=\frac{14}{3}
  4. Verificăm: p∗q=2⋅32⋅23+4=2+4=6\displaystyle p\ast q=2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}+4=2+4=6, care este număr întreg.
    p=112∈Q∖Z, q=143∈Q∖Z și p∗q=6, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle p=\frac{11}{2}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}\text{, }q=\frac{14}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}\text{ și }p\ast q=6\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(3))=2\displaystyle \det(A(3))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 3\displaystyle 3 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(3)\displaystyle A(3).
    A(3)=(3222)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2\displaystyle 2 și aplicăm formula ad−bc\displaystyle ad-bc: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(3))=∣3222∣=3⋅2−2⋅2\displaystyle \det(A(3))=\begin{vmatrix}3&2\\2&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-2\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirile: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, iar 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4. Apoi scădem și obținem 2\displaystyle 2, adică exact ceea ce trebuia arătat.
    6−4=2\displaystyle 6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că A(2)⋅B(2)=2(A(2)+B(2))\displaystyle A(2)\cdot B(2)=2\left(A(2)+B(2)\right).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în A(a)\displaystyle A(a) și b=2\displaystyle b=2 în B(b)\displaystyle B(b). Obținem două matrice cu toate elementele egale cu 2\displaystyle 2.
    A(2)=B(2)=(2222)\displaystyle A(2)=B(2)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(2)⋅B(2)\displaystyle A(2)\cdot B(2), înmulțind linie cu coloană. Fiecare element este 2⋅2+2⋅2=8\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2=8.
    A(2)⋅B(2)=(2222)⋅(2222)=(8888)\displaystyle A(2)\cdot B(2)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&8\\8&8\end{pmatrix}
  3. Calculăm suma A(2)+B(2)\displaystyle A(2)+B(2), adunând element cu element: 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    A(2)+B(2)=(4444)\displaystyle A(2)+B(2)=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}
  4. Înmulțim suma cu 2\displaystyle 2, adică fiecare element al matricei se înmulțește cu 2\displaystyle 2. Obținem aceeași matrice ca la produs, deci egalitatea este adevărată.
    2(A(2)+B(2))=2⋅(4444)=(8888), deci A(2)⋅B(2)=2(A(2)+B(2))\displaystyle 2\left(A(2)+B(2)\right)=2\cdot\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&8\\8&8\end{pmatrix}\text{, deci }A(2)\cdot B(2)=2\left(A(2)+B(2)\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1222)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 1⋅2−2⋅2=2−4\displaystyle 1\cdot 2-2\cdot 2=2-4. Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(A(1))=∣1222∣=1⋅2−2⋅2=−2\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-2\cdot 2=-2
  3. Scriem transpusa matricei A(1)\displaystyle A(1), schimbând liniile cu coloanele. Matricea este simetrică, deci transpusa coincide cu A(1)\displaystyle A(1).
    tA(1)=(1222)\displaystyle {}^tA(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}
  4. Calculăm matricea adjunctă, înlocuind fiecare element al transpusei cu complementul său algebric: 2\displaystyle 2, −2\displaystyle -2, −2\displaystyle -2, 1\displaystyle 1.
    A∗=(2−2−21)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&1\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula A−1=1det⁡A⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot A^{*}, adică înmulțim adjuncta cu −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}. Obținem inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
    A−1(1)=−12(2−2−21)=(−111−12)\displaystyle A^{-1}(1)=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că det⁡(A(a)+B(b))=det⁡(A(a))+det⁡(B(b))\displaystyle \det(A(a)+B(b))=\det(A(a))+\det(B(b)) dacă și numai dacă a=b\displaystyle a=b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma matricelor A(a)+B(b)\displaystyle A(a)+B(b), adunând elementele de pe aceleași poziții.
    A(a)+B(b)=(a+22+b44)\displaystyle A(a)+B(b)=\begin{pmatrix}a+2&2+b\\4&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul sumei: det⁡(A(a)+B(b))=4(a+2)−4(2+b)\displaystyle \det(A(a)+B(b))=4(a+2)-4(2+b). Apoi reducem termenii asemenea: 4a+8−8−4b\displaystyle 4a+8-8-4b.
    det⁡(A(a)+B(b))=∣a+22+b44∣=4a−4b\displaystyle \det(A(a)+B(b))=\begin{vmatrix}a+2&2+b\\4&4\end{vmatrix}=4a-4b
  3. Calculăm separat determinanții: det⁡(A(a))=2a−2⋅2=2a−4\displaystyle \det(A(a))=2a-2\cdot 2=2a-4 și det⁡(B(b))=2⋅2−2b=4−2b\displaystyle \det(B(b))=2\cdot 2-2b=4-2b.
    det⁡(A(a))=2a−4, det⁡(B(b))=4−2b\displaystyle \det(A(a))=2a-4\text{, }\det(B(b))=4-2b
  4. Adunăm cei doi determinanți: det⁡(A(a))+det⁡(B(b))=2a−4+4−2b\displaystyle \det(A(a))+\det(B(b))=2a-4+4-2b, deci rămâne 2a−2b\displaystyle 2a-2b.
    det⁡(A(a))+det⁡(B(b))=2a−2b\displaystyle \det(A(a))+\det(B(b))=2a-2b
  5. Egalăm cele două expresii: 4a−4b=2a−2b\displaystyle 4a-4b=2a-2b. Mutăm termenii în aceeași parte: 2a−2b=0\displaystyle 2a-2b=0. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=b\displaystyle a=b. Toate transformările sunt echivalențe, deci egalitatea din enunț are loc dacă și numai dacă a=b\displaystyle a=b.
    4a−4b=2a−2b⇔2a=2b⇔a=b\displaystyle 4a-4b=2a-2b\Leftrightarrow 2a=2b\Leftrightarrow a=b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea C(a)=B(a)⋅A(a)\displaystyle C(a)=B(a)\cdot A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru b=a\displaystyle b=a avem B(a)=(2a22)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}2&a\\2&2\end{pmatrix}, deci C(a)=B(a)⋅A(a)=(2a22)(a222)\displaystyle C(a)=B(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2&a\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix}.
    C(a)=(2a22)(a222)\displaystyle C(a)=\begin{pmatrix}2&a\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Elementele produsului sunt: 2⋅a+a⋅2=4a\displaystyle 2\cdot a+a\cdot 2=4a, 2⋅2+a⋅2=4+2a\displaystyle 2\cdot 2+a\cdot 2=4+2a, 2⋅a+2⋅2=2a+4\displaystyle 2\cdot a+2\cdot 2=2a+4 și 2⋅2+2⋅2=8\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2=8.
    C(a)=(4a4+2a2a+48)\displaystyle C(a)=\begin{pmatrix}4a&4+2a\\2a+4&8\end{pmatrix}
  3. det⁡(C(a))=4a⋅8−(4+2a)(2a+4)=32a−(2a+4)2=32a−4a2−16a−16\displaystyle \det(C(a))=4a\cdot 8-(4+2a)(2a+4)=32a-(2a+4)^{2}=32a-4a^{2}-16a-16, adică după reducerea termenilor asemenea obținem determinantul.
    det⁡(C(a))=−4a2+16a−16\displaystyle \det(C(a))=-4a^{2}+16a-16
  4. Matricea este inversabilă dacă det⁡(C(a))≠0\displaystyle \det(C(a))\neq 0. Avem −4a2+16a−16=−4(a2−4a+4)=−4(a−2)2\displaystyle -4a^{2}+16a-16=-4(a^{2}-4a+4)=-4(a-2)^{2}, care este nul doar pentru a=2\displaystyle a=2.
    det⁡(C(a))=−4(a−2)2=0⇔a=2\displaystyle \det(C(a))=-4(a-2)^{2}=0\Leftrightarrow a=2
  5. Deci C(a)\displaystyle C(a) este inversabilă pentru orice a\displaystyle a real diferit de 2\displaystyle 2.
    a∈R∖{2}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a222)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&2\end{pmatrix} și B(b)=(2b22)\displaystyle B(b)=\begin{pmatrix}2&b\\2&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n))>n2−7\displaystyle \det(A(n))>n^2-7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu n\displaystyle n în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(n)\displaystyle A(n).
    A(n)=(n222)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(n))=n⋅2−2⋅2\displaystyle \det(A(n))=n\cdot 2-2\cdot 2.
    det⁡(A(n))=2n−4\displaystyle \det(A(n))=2n-4
  3. Inegalitatea det⁡(A(n))>n2−7\displaystyle \det(A(n))>n^2-7 devine 2n−4>n2−7\displaystyle 2n-4>n^2-7. Mutăm toți termenii în dreapta, apoi inversăm sensul scrierii: n2−2n−3<0\displaystyle n^2-2n-3<0.
    2n−4>n2−7⇔n2−2n−3<0\displaystyle 2n-4>n^2-7\Leftrightarrow n^2-2n-3<0
  4. Ecuația asociată este n2−2n−3=0\displaystyle n^2-2n-3=0. Discriminantul este Δ=4+12=16\displaystyle \Delta=4+12=16, deci rădăcinile sunt n=2±42\displaystyle n=\dfrac{2\pm 4}{2}, adică n1=−1\displaystyle n_1=-1 și n2=3\displaystyle n_2=3.
    n1=−1\displaystyle n_1=-1,n2=3\displaystyle \quad n_2=3
  5. Coeficientul lui n2\displaystyle n^2 este pozitiv, deci expresia n2−2n−3\displaystyle n^2-2n-3 este negativă între rădăcini. Rezultă n∈(−1,3)\displaystyle n\in(-1,3).
    n∈(−1,3)\displaystyle n\in(-1,3)
  6. Numerele naturale nenule din intervalul (−1,3)\displaystyle (-1,3) sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, deoarece 0\displaystyle 0 nu este nenul, iar 3\displaystyle 3 nu aparține intervalului deschis.
    n∈(−1,3) și, cum n este numa˘r natural nenul, \displaystyle n\in(-1,3)\text{ și, cum }n\text{ este număr natural nenul, }obținem n=1 sau n=2\displaystyle \text{obținem }n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.