Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 13:(12⋅15)−13:12⋅15−15=3\displaystyle \frac{1}{3}:\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3}:\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul din paranteză: 12⋅15=110\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}.
    12⋅15=110\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}
  2. Primul termen: împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei, deci 13:110=13⋅10=103\displaystyle \dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{3}\cdot 10=\dfrac{10}{3}.
    13:110=103\displaystyle \dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{10}=\dfrac{10}{3}
  3. Al doilea termen: efectuăm operațiile în ordine, de la stânga la dreapta. Întâi 13:12=13⋅2=23\displaystyle \dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{2}{3}, apoi 23⋅15=215\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}.
    13:12⋅15=215\displaystyle \dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}
  4. Înlocuim cele două rezultate în expresia inițială și obținem o expresie cu trei fracții.
    103−215−15\displaystyle \dfrac{10}{3}-\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{5}
  5. Aducem fracțiile la numitorul comun 15\displaystyle 15: 103=5015\displaystyle \dfrac{10}{3}=\dfrac{50}{15}, iar 15=315\displaystyle \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15}.
    5015−215−315\displaystyle \dfrac{50}{15}-\dfrac{2}{15}-\dfrac{3}{15}
  6. Efectuăm calculul la numărător și simplificăm cu 15\displaystyle 15, deci expresia este egală cu 3\displaystyle 3, ceea ce trebuia arătat.
    50−2−315=4515=3\displaystyle \dfrac{50-2-3}{15}=\dfrac{45}{15}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3−4x\displaystyle f(x)=3-4x. Determinați valorile reale x\displaystyle x pentru care f(x)≤5f(1)\displaystyle f(x)\le 5f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=3−4⋅1\displaystyle f(1)=3-4\cdot 1.
    f(1)=3−4=−1\displaystyle f(1)=3-4=-1
  2. Calculăm membrul drept al inegalității: 5f(1)=5⋅(−1)\displaystyle 5f(1)=5\cdot(-1).
    5f(1)=−5\displaystyle 5f(1)=-5
  3. Inegalitatea f(x)≤5f(1)\displaystyle f(x)\le 5f(1) devine 3−4x≤−5\displaystyle 3-4x\le -5.
    3−4x≤−5\displaystyle 3-4x\le -5
  4. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: −4x≤−5−3\displaystyle -4x\le -5-3, adică −4x≤−8\displaystyle -4x\le -8.
    −4x≤−8\displaystyle -4x\le -8
  5. Împărțim cu −4\displaystyle -4, un număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă: 4x≥8\displaystyle 4x\ge 8, de unde x≥2\displaystyle x\ge 2. Mulțimea valorilor căutate este intervalul [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    3−4x≤−5⇔4x≥8, de unde x∈[2,+∞)\displaystyle 3-4x\le -5\Leftrightarrow 4x\ge 8\text{, de unde }x\in[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 82x−1=32x\displaystyle 8^{2x-1}=32^{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 8\displaystyle 8 și 32\displaystyle 32 sunt puteri ale lui 2\displaystyle 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, iar 32=25\displaystyle 32=2^{5}. Ecuația 82x−1=32x\displaystyle 8^{2x-1}=32^{x} devine (23)2x−1=(25)x\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2x-1}=\left(2^{5}\right)^{x}.
    (23)2x−1=(25)x\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2x-1}=\left(2^{5}\right)^{x}
  2. Aplicăm regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn} și obținem 23(2x−1)=25x\displaystyle 2^{3(2x-1)}=2^{5x}. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci egalăm exponenții: 3(2x−1)=5x\displaystyle 3(2x-1)=5x.
    23(2x−1)=25x⇔3(2x−1)=5x\displaystyle 2^{3(2x-1)}=2^{5x}\Leftrightarrow 3(2x-1)=5x
  3. Desfacem parantezele: 3(2x−1)=6x−3\displaystyle 3(2x-1)=6x-3, deci ecuația devine 6x−3=5x\displaystyle 6x-3=5x.
    6x−3=5x\displaystyle 6x-3=5x
  4. Scădem 5x\displaystyle 5x din ambii membri și adunăm 3\displaystyle 3: 6x−5x=3\displaystyle 6x-5x=3, deci x=3\displaystyle x=3. Aceasta este soluția ecuației.
    6x−3=5x, de unde obținem x=3\displaystyle 6x-3=5x\text{, de unde obținem }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Pentru cinci caiete de același tip și un bloc de desen s-au plătit 27\displaystyle 27 de lei. Știind că prețul unui caiet este 25%\displaystyle 25\% din prețul blocului de desen, determinați prețul blocului de desen.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul blocului de desen, în lei. Prețul unui caiet este 25%\displaystyle 25\% din x\displaystyle x, adică 25100⋅x\displaystyle \dfrac{25}{100}\cdot x.
    pret caiet=25100⋅x\displaystyle \text{pret caiet}=\dfrac{25}{100}\cdot x
  2. Cinci caiete și blocul de desen costă 27\displaystyle 27 de lei, deci scriem ecuația: 5⋅25100⋅x+x=27\displaystyle 5\cdot\dfrac{25}{100}\cdot x+x=27.
    5⋅25100⋅x+x=27\displaystyle 5\cdot\dfrac{25}{100}\cdot x+x=27
  3. Simplificăm: 25100=14\displaystyle \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}, deci cinci caiete costă 54x\displaystyle \dfrac{5}{4}x. Adunăm cu x\displaystyle x și obținem 54x+x=94x\displaystyle \dfrac{5}{4}x+x=\dfrac{9}{4}x, deci 94x=27\displaystyle \dfrac{9}{4}x=27.
    94x=27\displaystyle \dfrac{9}{4}x=27
  4. Rezolvăm ecuația: x=27⋅49=12\displaystyle x=27\cdot\dfrac{4}{9}=12. Prețul blocului de desen este 12\displaystyle 12 lei.
    x=12 lei\displaystyle x=12\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(a,1)\displaystyle A(a,1) și B(4,a)\displaystyle B(4,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, știind că punctul O\displaystyle O aparține dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul O\displaystyle O este originea reperului, adică O(0,0)\displaystyle O(0,0). Punctul O\displaystyle O aparține dreptei AB\displaystyle AB dacă punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A, B\displaystyle B sunt coliniare, adică dacă pantele dreptelor OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB sunt egale. Cum a>0\displaystyle a>0, abscisele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt nenule, deci ambele pante există.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), mOA=mOB\displaystyle \ m_{OA}=m_{OB}
  2. Calculăm panta dreptei OA\displaystyle OA: mOA=1−0a−0\displaystyle m_{OA}=\dfrac{1-0}{a-0}, apoi panta dreptei OB\displaystyle OB: mOB=a−04−0\displaystyle m_{OB}=\dfrac{a-0}{4-0}.
    mOA=1a\displaystyle m_{OA}=\frac{1}{a}, mOB=a4\displaystyle \ m_{OB}=\frac{a}{4}
  3. Egalăm pantele: 1a=a4\displaystyle \dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{4}. Înmulțind pe diagonală, obținem a2=4\displaystyle a^{2}=4.
    1a=a4⇔a2=4⇔a2−4=0\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{a}{4}\Leftrightarrow a^{2}=4\Leftrightarrow a^{2}-4=0
  4. Ecuația a2−4=0\displaystyle a^{2}-4=0 se scrie (a−2)(a+2)=0\displaystyle (a-2)(a+2)=0, deci a=2\displaystyle a=2 sau a=−2\displaystyle a=-2. Cum a>0\displaystyle a>0, reținem doar a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, în care AB=5\displaystyle AB=5 și lungimea catetei AC\displaystyle AC este cu 1\displaystyle 1 mai mică decât lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC. Determinați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Notăm lungimea ipotenuzei cu BC\displaystyle BC. Atunci AC\displaystyle AC este cu 1\displaystyle 1 mai mică decât BC\displaystyle BC, adică AC=BC−1\displaystyle AC=BC-1.
    AC=BC−1\displaystyle AC=BC-1
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5 și AC=BC−1\displaystyle AC=BC-1.
    BC2=(BC−1)2+25\displaystyle BC^{2}=(BC-1)^{2}+25
  3. Desfacem pătratul: (BC−1)2=BC2−2BC+1\displaystyle (BC-1)^{2}=BC^{2}-2BC+1. Apoi reducem BC2\displaystyle BC^{2} din ambii membri.
    BC2=BC2−2BC+1+25⇒0=−2BC+26\displaystyle BC^{2}=BC^{2}-2BC+1+25\Rightarrow 0=-2BC+26
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2BC=26\displaystyle 2BC=26, deci BC=13\displaystyle BC=13. Atunci AC=13−1=12\displaystyle AC=13-1=12.
    BC=13 și AC=12\displaystyle BC=13\text{ și }AC=12
  5. Perimetrul este suma lungimilor celor trei laturi: P=AB+BC+CA=5+13+12=30\displaystyle P=AB+BC+CA=5+13+12=30.
    PΔABC=5+13+12=30\displaystyle P_{\Delta ABC}=5+13+12=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.

Arătați că (−1)∗2=5\displaystyle (-1)*2=5.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y. Pentru (−1)∗2\displaystyle (-1)*2 avem x=−1\displaystyle x=-1 și y=2\displaystyle y=2.
    x=−1\displaystyle x=-1, y=2\displaystyle \ y=2
  2. Înlocuim în definiție, punând numărul negativ între paranteze: (−1)∗2=(−1)2+22−(−1)⋅2−2⋅(−1)−2⋅2\displaystyle (-1)*2=(-1)^2+2^2-(-1)\cdot 2-2\cdot(-1)-2\cdot 2.
    (−1)∗2=(−1)2+22−(−1)⋅2−2⋅(−1)−2⋅2\displaystyle (-1)*2=(-1)^2+2^2-(-1)\cdot 2-2\cdot(-1)-2\cdot 2
  3. Calculăm termenii: (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, 22=4\displaystyle 2^2=4, −(−1)⋅2=+2\displaystyle -(-1)\cdot 2=+2, −2⋅(−1)=+2\displaystyle -2\cdot(-1)=+2 și −2⋅2=−4\displaystyle -2\cdot 2=-4.
    1+4+2+2−4\displaystyle 1+4+2+2-4
  4. Adunăm: 1+4+2+2=9\displaystyle 1+4+2+2=9, apoi 9−4=5\displaystyle 9-4=5. Am obținut valoarea cerută, deci (−1)∗2=5\displaystyle (-1)*2=5.
    (−1)∗2=5\displaystyle (-1)*2=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Începem de la definiția legii: x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.
    x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y
  2. Folosim comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale: schimbăm ordinea termenilor din sumă și scriem xy=yx\displaystyle xy=yx. Obținem aceeași expresie, cu rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y inversate.
    x∗y=y2+x2−yx−2y−2x\displaystyle x*y=y^2+x^2-yx-2y-2x
  3. Expresia obținută este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x, adică se obține din definiția legii înlocuind x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, așadar legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea de \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }compoziție „∗” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}*\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.

Arătați că (−x)∗x=3x2\displaystyle (-x)*x=3x^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y. Pentru (−x)∗x\displaystyle (-x)*x înlocuim în formulă pe x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    (−x)∗x=(−x)2+x2−(−x)⋅x−2(−x)−2x\displaystyle (-x)*x=(-x)^2+x^2-(-x)\cdot x-2(-x)-2x
  2. Calculăm termenii pe rând: (−x)2=x2\displaystyle (-x)^2=x^2, apoi −(−x)⋅x=x2\displaystyle -(-x)\cdot x=x^2, iar −2(−x)=2x\displaystyle -2(-x)=2x.
    (−x)∗x=x2+x2+x2+2x−2x\displaystyle (-x)*x=x^2+x^2+x^2+2x-2x
  3. Reducem termenii asemenea: 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0, iar x2+x2+x2=3x2\displaystyle x^2+x^2+x^2=3x^2. Deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (−x)∗x=3x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (-x)*x=3x^2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗1=3\displaystyle x*1=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii y=1\displaystyle y=1: x∗1=x2+12−x⋅1−2x−2⋅1\displaystyle x*1=x^2+1^2-x\cdot 1-2x-2\cdot 1.
    x∗1=x2+1−x−2x−2\displaystyle x*1=x^2+1-x-2x-2
  2. Reducem termenii asemenea: −x−2x=−3x\displaystyle -x-2x=-3x, iar 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1.
    x∗1=x2−3x−1\displaystyle x*1=x^2-3x-1, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția x∗1=3\displaystyle x*1=3, adică x2−3x−1=3\displaystyle x^2-3x-1=3, și scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri.
    x2−3x−1=3⇔x2−3x−4=0\displaystyle x^2-3x-1=3\Leftrightarrow x^2-3x-4=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației x2−3x−4=0\displaystyle x^2-3x-4=0, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=−4\displaystyle c=-4: Δ=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Aplicăm formula soluțiilor: x=3±52\displaystyle x=\dfrac{3\pm 5}{2}, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=4\displaystyle x=4. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=−1 sau x=4\displaystyle x=-1\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y. Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care m∗m=n∗n\displaystyle m*m=n*n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm m∗m\displaystyle m*m, înlocuind x=y=m\displaystyle x=y=m în definiția legii: m∗m=m2+m2−m⋅m−2m−2m\displaystyle m*m=m^2+m^2-m\cdot m-2m-2m.
    m∗m=2m2−m2−4m\displaystyle m*m=2m^2-m^2-4m
  2. Reducem termenii asemenea: 2m2−m2=m2\displaystyle 2m^2-m^2=m^2, deci m∗m=m2−4m\displaystyle m*m=m^2-4m pentru orice m\displaystyle m natural. La fel, n∗n=n2−4n\displaystyle n*n=n^2-4n.
    m∗m=m2−4m\displaystyle m*m=m^2-4m
  3. Egalitatea m∗m=n∗n\displaystyle m*m=n*n devine m2−4m=n2−4n\displaystyle m^2-4m=n^2-4n, adică m2−n2−4m+4n=0\displaystyle m^2-n^2-4m+4n=0.
    m2−n2−4(m−n)=0\displaystyle m^2-n^2-4(m-n)=0
  4. Folosim m2−n2=(m−n)(m+n)\displaystyle m^2-n^2=(m-n)(m+n) și dăm factor comun m−n\displaystyle m-n.
    (m−n)(m+n−4)=0\displaystyle (m-n)(m+n-4)=0
  5. Cum m<n\displaystyle m<n, avem m−n≠0\displaystyle m-n\neq 0, deci m+n−4=0\displaystyle m+n-4=0, adică m+n=4\displaystyle m+n=4.
    m+n=4\displaystyle m+n=4
  6. Căutăm m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N} cu m+n=4\displaystyle m+n=4 și m<n\displaystyle m<n. Pentru m=0\displaystyle m=0 obținem n=4\displaystyle n=4, pentru m=1\displaystyle m=1 obținem n=3\displaystyle n=3. Pentru m=2\displaystyle m=2 obținem n=2\displaystyle n=2, care nu convine deoarece m<n\displaystyle m<n, iar pentru m≥3\displaystyle m\geq 3 am avea n<m\displaystyle n<m.
    (m,n)∈{(0,4),(1,3)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,4),(1,3)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, x>0\displaystyle x>0, pentru care lg⁡x∗lg⁡1x=9lg⁡x\displaystyle \lg x*\lg\frac{1}{x}=9\lg x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea logaritmului: lg⁡1x=−lg⁡x\displaystyle \lg\dfrac{1}{x}=-\lg x. Notăm t=lg⁡x\displaystyle t=\lg x, deci primul termen al compunerii este t\displaystyle t, iar al doilea este −t\displaystyle -t.
    lg⁡x∗lg⁡1x=t∗(−t), unde t=lg⁡x\displaystyle \lg x*\lg\frac{1}{x}=t*(-t)\text{, unde }t=\lg x
  2. Aplicăm definiția legii x∗y=x2+y2−xy−2x−2y\displaystyle x*y=x^2+y^2-xy-2x-2y pentru x=t\displaystyle x=t și y=−t\displaystyle y=-t. Termenii de gradul întâi se reduc, iar t2+t2+t2=3t2\displaystyle t^2+t^2+t^2=3t^2.
    t∗(−t)=t2+t2+t2−2t+2t=3t2, deci lg⁡x∗lg⁡1x=3lg⁡2x\displaystyle t*(-t)=t^2+t^2+t^2-2t+2t=3t^2\text{, deci }\lg x*\lg\frac{1}{x}=3\lg^2 x
  3. Înlocuim în ecuația dată: 3t2=9t\displaystyle 3t^2=9t. Aducem totul într-o parte și dăm factor comun: 3t(t−3)=0\displaystyle 3t(t-3)=0.
    3t2−9t=0⇔3t(t−3)=0\displaystyle 3t^2-9t=0\Leftrightarrow 3t(t-3)=0
  4. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci t=0\displaystyle t=0 sau t=3\displaystyle t=3, adică lg⁡x=0\displaystyle \lg x=0 sau lg⁡x=3\displaystyle \lg x=3.
    lg⁡x=0 sau lg⁡x=3\displaystyle \lg x=0\text{ sau }\lg x=3
  5. Revenim la x\displaystyle x: din lg⁡x=0\displaystyle \lg x=0 rezultă x=100=1\displaystyle x=10^0=1, iar din lg⁡x=3\displaystyle \lg x=3 rezultă x=103=1000\displaystyle x=10^3=1000. Ambele valori sunt strict pozitive, deci convin.
    x=1 sau x=1000, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=1000\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=4\displaystyle \det A=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele ei: det⁡A=∣2−61−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-6\\1&-1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣2−61−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-6\\1&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅(−1)−(−6)⋅1\displaystyle 2\cdot(-1)-(-6)\cdot 1.
    det⁡A=2⋅(−1)−(−6)⋅1\displaystyle \det A=2\cdot(-1)-(-6)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2, iar (−6)⋅1=−6\displaystyle (-6)\cdot 1=-6, deci scăderea lui −6\displaystyle -6 devine adunare cu 6\displaystyle 6. Obținem −2+6=4\displaystyle -2+6=4, deci egalitatea cerută este adevărată.
    det⁡A=−2+6=4\displaystyle \det A=-2+6=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−6\displaystyle a=-6, arătați că 2A−B=4I2\displaystyle 2A-B=4I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−6\displaystyle a=-6 în matricea B\displaystyle B: elementele 2a\displaystyle 2a și a\displaystyle a devin −12\displaystyle -12, respectiv −6\displaystyle -6.
    B=(0−122−6)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-12\\2&-6\end{pmatrix}
  2. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(4−122−2)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}4&-12\\2&-2\end{pmatrix}
  3. Scădem matricea B\displaystyle B din 2A\displaystyle 2A, element cu element: 4−0\displaystyle 4-0, −12−(−12)\displaystyle -12-(-12), 2−2\displaystyle 2-2, −2−(−6)\displaystyle -2-(-6).
    2A−B=(4−122−2)−(0−122−6)=(4004)\displaystyle 2A-B=\begin{pmatrix}4&-12\\2&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&-12\\2&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 4\displaystyle 4 și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    (4004)=4(1001)=4I2\displaystyle \begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=4I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅A=xA+yI2\displaystyle A\cdot A=xA+yI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Linia 1, coloana 1: 2⋅2+(−6)⋅1=−2\displaystyle 2\cdot 2+(-6)\cdot 1=-2. Linia 1, coloana 2: 2⋅(−6)+(−6)⋅(−1)=−6\displaystyle 2\cdot(-6)+(-6)\cdot(-1)=-6. Linia 2, coloana 1: 1⋅2+(−1)⋅1=1\displaystyle 1\cdot 2+(-1)\cdot 1=1. Linia 2, coloana 2: 1⋅(−6)+(−1)⋅(−1)=−5\displaystyle 1\cdot(-6)+(-1)\cdot(-1)=-5.
    A⋅A=(−2−61−5)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2&-6\\1&-5\end{pmatrix}
  2. Calculăm xA+yI2\displaystyle xA+yI_2: înmulțim matricea A\displaystyle A cu x\displaystyle x, matricea I2\displaystyle I_2 cu y\displaystyle y și adunăm element cu element. Obținem matricea cu elementele 2x+y\displaystyle 2x+y, −6x\displaystyle -6x, x\displaystyle x și −x+y\displaystyle -x+y, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    xA+yI2=(2x−6xx−x)+(y00y)=(2x+y−6xx−x+y)\displaystyle xA+yI_2=\begin{pmatrix}2x&-6x\\x&-x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y&0\\0&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+y&-6x\\x&-x+y\end{pmatrix}
  3. Egalăm cele două matrice element cu element: (−2−61−5)=(2x+y−6xx−x+y)\displaystyle \begin{pmatrix}-2&-6\\1&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+y&-6x\\x&-x+y\end{pmatrix}. Din linia 2, coloana 1 obținem x=1\displaystyle x=1 (la fel, din −6x=−6\displaystyle -6x=-6). Înlocuim în 2x+y=−2\displaystyle 2x+y=-2 și obținem 2+y=−2\displaystyle 2+y=-2, deci y=−4\displaystyle y=-4.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Verificăm cu ultimul element: −x+y=−1+(−4)=−5\displaystyle -x+y=-1+(-4)=-5, ceea ce coincide cu elementul de pe linia 2, coloana 2 din A⋅A\displaystyle A\cdot A. Deci numerele căutate sunt x=1\displaystyle x=1 și y=−4\displaystyle y=-4.
    x=1 și y=−4\displaystyle x=1\text{ și }y=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că suma elementelor matricei B⋅A\displaystyle B\cdot A nu depinde de a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, cu B\displaystyle B în stânga și A\displaystyle A în dreapta. Fiecare element se obține înmulțind linia din B\displaystyle B cu coloana din A\displaystyle A.
    B⋅A=(02a2a)⋅(2−61−1)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie: linia întâi din B\displaystyle B este (0, 2a)\displaystyle (0,\ 2a). Cu prima coloană (2, 1)\displaystyle (2,\ 1) obținem 0⋅2+2a⋅1=2a\displaystyle 0\cdot 2+2a\cdot 1=2a, iar cu a doua coloană (−6, −1)\displaystyle (-6,\ -1) obținem 0⋅(−6)+2a⋅(−1)=−2a\displaystyle 0\cdot(-6)+2a\cdot(-1)=-2a.
    2a și −2a\displaystyle 2a\text{ și }-2a
  3. Calculăm a doua linie: linia a doua din B\displaystyle B este (2, a)\displaystyle (2,\ a). Cu prima coloană obținem 2⋅2+a⋅1=4+a\displaystyle 2\cdot 2+a\cdot 1=4+a, iar cu a doua coloană obținem 2⋅(−6)+a⋅(−1)=−12−a\displaystyle 2\cdot(-6)+a\cdot(-1)=-12-a. Deci matricea produs este cea de mai jos.
    B⋅A=(2a−2a4+a−12−a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}2a&-2a\\4+a&-12-a\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  4. Adunăm cele patru elemente ale matricei B⋅A\displaystyle B\cdot A. Termenii cu a\displaystyle a se reduc: 2a\displaystyle 2a cu −2a\displaystyle -2a, iar a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a, și rămân doar numerele 4\displaystyle 4 și −12\displaystyle -12. Suma este −8\displaystyle -8, un număr care nu conține a\displaystyle a, deci suma nu depinde de a\displaystyle a.
    2a+(−2a)+(4+a)+(−12−a)=−8, pentru orice numa˘r real a, deci suma elementelor \displaystyle 2a+(-2a)+(4+a)+(-12-a)=-8\text{, pentru orice număr real }a\text{, deci suma elementelor }matricei B⋅A nu depinde de a\displaystyle \text{matricei }B\cdot A\text{ nu depinde de }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale a\displaystyle a pentru care numărul det⁡(A+B)\displaystyle \det(A+B) este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: A+B=(2+0−6+2a1+2−1+a)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2+0&-6+2a\\1+2&-1+a\end{pmatrix}.
    A+B=(2−6+2a3−1+a)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2&-6+2a\\3&-1+a\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(A+B)=2(−1+a)−3(−6+2a)=−2+2a+18−6a\displaystyle \det(A+B)=2(-1+a)-3(-6+2a)=-2+2a+18-6a. Reducem termenii asemenea.
    det⁡(A+B)=16−4a\displaystyle \det(A+B)=16-4a
  3. Scoatem factorul comun: 16−4a=4(4−a)=22(4−a)\displaystyle 16-4a=4(4-a)=2^{2}(4-a).
    det⁡(A+B)=22(4−a)\displaystyle \det(A+B)=2^{2}(4-a)
  4. Cum 22\displaystyle 2^{2} este pătrat perfect, det⁡(A+B)\displaystyle \det(A+B) este pătrat al unui număr natural dacă și numai dacă 4−a\displaystyle 4-a este pătrat al unui număr natural. Deoarece a∈N\displaystyle a\in\mathbb{N}, avem 4−a≤4\displaystyle 4-a\le 4, iar pătratele naturale de acest fel sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4. Deci 4−a∈{0,1,4}\displaystyle 4-a\in\{0,1,4\}.
    4−a∈{0,1,4}\displaystyle 4-a\in\{0,1,4\}
  5. Din 4−a=0\displaystyle 4-a=0 obținem a=4\displaystyle a=4, din 4−a=1\displaystyle 4-a=1 obținem a=3\displaystyle a=3, iar din 4−a=4\displaystyle 4-a=4 obținem a=0\displaystyle a=0. Toate sunt numere naturale.
    a=0 sau a=3 sau a=4\displaystyle a=0\text{ sau }a=3\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(2−61−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-6\\1&-1\end{pmatrix} și B=(02a2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2a\\2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care (B+aI2)(B−aI2)=aB\displaystyle (B+aI_2)(B-aI_2)=aB.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul. Deoarece matricea aI2\displaystyle aI_2 comută cu orice matrice, termenii mixți se reduc: (B+aI2)(B−aI2)=B⋅B−aB+aB−a2I2=B⋅B−a2I2\displaystyle (B+aI_2)(B-aI_2)=B\cdot B-aB+aB-a^2I_2=B\cdot B-a^2I_2.
    (B+aI2)(B−aI2)=B⋅B−a2I2\displaystyle (B+aI_2)(B-aI_2)=B\cdot B-a^2I_2
  2. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B, înmulțind linie cu coloană: prima linie a lui B\displaystyle B este (0, 2a)\displaystyle (0,\ 2a), a doua este (2, a)\displaystyle (2,\ a).
    B⋅B=(0⋅0+2a⋅20⋅2a+2a⋅a2⋅0+a⋅22⋅2a+a⋅a)=(4a2a22a4a+a2)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}0\cdot 0+2a\cdot 2&0\cdot 2a+2a\cdot a\\2\cdot 0+a\cdot 2&2\cdot 2a+a\cdot a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a&2a^2\\2a&4a+a^2\end{pmatrix}
  3. Scădem a2I2\displaystyle a^2I_2, adică a2\displaystyle a^2 pe diagonala principală, și scriem aB\displaystyle aB. Ecuația B⋅B−a2I2=aB\displaystyle B\cdot B-a^2I_2=aB devine o egalitate între două matrice, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (4a−a22a22a4a)=(02a22aa2)\displaystyle \begin{pmatrix}4a-a^2&2a^2\\2a&4a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2a^2\\2a&a^2\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Elementele 2a2=2a2\displaystyle 2a^2=2a^2 și 2a=2a\displaystyle 2a=2a coincid pentru orice a\displaystyle a. Rămân condițiile de pe diagonală: 4a−a2=0\displaystyle 4a-a^2=0 și 4a=a2\displaystyle 4a=a^2, care sunt echivalente.
    4a−a2=0⇔a2−4a=0\displaystyle 4a-a^2=0\Leftrightarrow a^2-4a=0
  5. Dăm factor comun a\displaystyle a: a(a−4)=0\displaystyle a(a-4)=0, deci a=0\displaystyle a=0 sau a=4\displaystyle a=4.
    a2−4a=0⇒a(a−4)=0⇒a=0 sau a=4\displaystyle a^2-4a=0\Rightarrow a(a-4)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.