Bac matematică M4 pedagogic 2018, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(3−5)+20=6\displaystyle 2\left(3-\sqrt{5}\right)+\sqrt{20}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim factorul 2\displaystyle 2 în paranteză: 2(3−5)=6−25\displaystyle 2\left(3-\sqrt{5}\right)=6-2\sqrt{5}.
    2(3−5)=6−25\displaystyle 2\left(3-\sqrt{5}\right)=6-2\sqrt{5}
  2. Scoatem factorul pătrat perfect de sub radical: 20=4⋅5\displaystyle 20=4\cdot 5, deci 20=4⋅5=25\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.
    20=25\displaystyle \sqrt{20}=2\sqrt{5}
  3. Înlocuim în expresie și reducem termenii asemenea: 6−25+25=6\displaystyle 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6, deci egalitatea este demonstrată.
    6−25+25=6\displaystyle 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+a−2\displaystyle f(x)=2x^2+a-2. Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care f(0)=0\displaystyle f(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=2x2+a−2\displaystyle f(x)=2x^{2}+a-2. Termenul 2⋅02\displaystyle 2\cdot 0^{2} este 0\displaystyle 0, deci f(0)=2⋅02+a−2\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+a-2.
    f(0)=2⋅02+a−2=a−2\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+a-2=a-2
  2. Condiția f(0)=0\displaystyle f(0)=0 devine a−2=0\displaystyle a-2=0.
    a−2=0\displaystyle a-2=0
  3. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri ai ecuației a−2=0\displaystyle a-2=0 și obținem a=2\displaystyle a=2.
    a−2=0⇔a=2\displaystyle a-2=0\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7−x3=1\displaystyle \sqrt[3]{7-x}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordinul 3 este definit pentru orice număr real, deci 7−x\displaystyle 7-x poate avea orice semn și nu avem condiții de existență. Ridicăm ambii membri ai ecuației 7−x3=1\displaystyle \sqrt[3]{7-x}=1 la puterea a treia.
    (7−x3)3=13\displaystyle \left(\sqrt[3]{7-x}\right)^{3}=1^{3}
  2. Folosim faptul că (a3)3=a\displaystyle \left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}=a, iar 13=1\displaystyle 1^{3}=1. Obținem o ecuație liniară.
    7−x=13\displaystyle 7-x=1^{3}
  3. Rezolvăm ecuația liniară: 7−x=1\displaystyle 7-x=1, deci x=7−1\displaystyle x=7-1.
    x=6\displaystyle x=6
  4. Verificăm: pentru x=6\displaystyle x=6 avem 7−63=13=1\displaystyle \sqrt[3]{7-6}=\sqrt[3]{1}=1, deci soluția convine.
    x=6, care convine\displaystyle x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După două ieftiniri succesive cu câte 50%\displaystyle 50\%, un tricou costă 10\displaystyle 10 lei. Calculați prețul inițial al tricoului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul inițial al tricoului, în lei. O ieftinire cu 50%\displaystyle 50\% înseamnă că se scade jumătate din preț.
    p>0\displaystyle p>0
  2. După prima ieftinire, prețul devine p−50100⋅p=p2\displaystyle p-\dfrac{50}{100}\cdot p=\dfrac{p}{2}.
    p−50100⋅p=p2\displaystyle p-\frac{50}{100}\cdot p=\frac{p}{2}
  3. A doua ieftinire se aplică noului preț, p2\displaystyle \dfrac{p}{2}. Scădem din el jumătate din el, deci rămâne p2−50100⋅p2=p4\displaystyle \dfrac{p}{2}-\dfrac{50}{100}\cdot\dfrac{p}{2}=\dfrac{p}{4}.
    p2−50100⋅p2=p4\displaystyle \frac{p}{2}-\frac{50}{100}\cdot\frac{p}{2}=\frac{p}{4}
  4. După cele două ieftiniri tricoul costă 10\displaystyle 10 lei, deci p4=10\displaystyle \dfrac{p}{4}=10. Înmulțind cu 4\displaystyle 4 obținem p=40\displaystyle p=40 de lei.
    p4=10⇒p=40 de lei\displaystyle \frac{p}{4}=10\Rightarrow p=40\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,3)\displaystyle M(2,3) și N(0,3)\displaystyle N(0,3). Calculați lungimea segmentului MN\displaystyle MN.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte din plan: pentru A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1) și B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2) avem AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor M(2,3)\displaystyle M(2,3) și N(0,3)\displaystyle N(0,3) în formulă.
    MN=(0−2)2+(3−3)2\displaystyle MN=\sqrt{(0-2)^2+(3-3)^2}
  3. Calculăm diferențele: 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2, iar 3−3=0\displaystyle 3-3=0. Apoi ridicăm la pătrat: (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4 și 02=0\displaystyle 0^2=0.
    MN=4+0=4\displaystyle MN=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}
  4. Rădăcina pătrată din 4\displaystyle 4 este 2\displaystyle 2, deci lungimea segmentului MN\displaystyle MN este 2\displaystyle 2.
    MN=2\displaystyle MN=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=15\displaystyle BC=15 și sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Latura AB\displaystyle AB este cateta opusă unghiului C\displaystyle C.
    ipotenuza BC=15\displaystyle \text{ipotenuza }BC=15, cateta opusa˘ lui C este AB\displaystyle \ \text{cateta opusă lui }C\text{ este }AB
  2. Scriem definiția sinusului în triunghiul dreptunghic: sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}. Înlocuim valorile cunoscute: sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\dfrac{3}{5} și BC=15\displaystyle BC=15.
    sin⁡C=ABBC⇒35=AB15\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{3}{5}=\frac{AB}{15}
  3. Înmulțim ambii membri ai egalității cu 15\displaystyle 15 pentru a izola AB\displaystyle AB: AB=3⋅155\displaystyle AB=\dfrac{3\cdot 15}{5}.
    AB=3⋅155=3⋅3\displaystyle AB=\frac{3\cdot 15}{5}=3\cdot 3
  4. Efectuăm calculul: 15:5=3\displaystyle 15:5=3, iar 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Lungimea laturii AB\displaystyle AB este 9\displaystyle 9.
    AB=9\displaystyle AB=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Arătați că 3∗(−4)=−4\displaystyle 3*(-4)=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3. Aici luăm x=3\displaystyle x=3 și y=−4\displaystyle y=-4.
    x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3,x=3\displaystyle \quad x=3, y=−4\displaystyle \ y=-4
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 și y\displaystyle y cu −4\displaystyle -4 în definiție: 3∗(−4)=3+(−4)−3\displaystyle 3*(-4)=3+(-4)-3.
    3∗(−4)=3+(−4)−3\displaystyle 3*(-4)=3+(-4)-3
  3. Calculăm mai întâi 3+(−4)=−1\displaystyle 3+(-4)=-1, apoi scădem 3\displaystyle 3: −1−3=−4\displaystyle -1-3=-4. Am obținut exact valoarea cerută.
    3∗(−4)=(−1)−3=−4\displaystyle 3*(-4)=(-1)-3=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două expresii, începând cu (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Mai întâi înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu x+y−3\displaystyle x+y-3.
    (x∗y)∗z=(x+y−3)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-3)*z
  2. Aplicăm definiția legii pentru numerele x+y−3\displaystyle x+y-3 și z\displaystyle z: le adunăm și scădem 3\displaystyle 3. Reducem termenii asemenea.
    (x+y−3)∗z=(x+y−3)+z−3=x+y+z−6\displaystyle (x+y-3)*z=(x+y-3)+z-3=x+y+z-6
  3. Calculăm acum a doua expresie, x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Mai întâi înlocuim y∗z\displaystyle y*z cu y+z−3\displaystyle y+z-3.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−3)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-3)
  4. Aplicăm definiția legii pentru numerele x\displaystyle x și y+z−3\displaystyle y+z-3, apoi reducem termenii asemenea. Obținem același rezultat ca la prima expresie, deci legea este asociativă.
    x∗(y+z−3)=x+(y+z−3)−3=x+y+z−6=(x∗y)∗z, deci ∗ este asociativa˘\displaystyle x*(y+z-3)=x+(y+z-3)-3=x+y+z-6=(x*y)*z\text{, deci }*\text{ este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Verificați dacă e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Un element e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm mai întâi egalitatea x∗e=x\displaystyle x*e=x, cu e=3\displaystyle e=3, înlocuind în definiția legii x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.
    x∗3=x+3−3\displaystyle x*3=x+3-3
  2. Reducem termenii 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3 și obținem x\displaystyle x.
    x∗3=x\displaystyle x*3=x
  3. Verificăm acum egalitatea în celălalt sens, 3∗x\displaystyle 3*x, aplicând aceeași definiție, cu 3\displaystyle 3 pe primul loc.
    3∗x=3+x−3\displaystyle 3*x=3+x-3
  4. Reducem termenii 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3: obținem x\displaystyle x, deci 3∗x=x=x∗3\displaystyle 3*x=x=x*3 pentru orice x\displaystyle x real. Prin urmare, e=3\displaystyle e=3 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    3∗x=x=x∗3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 3*x=x=x*3\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Demonstrați că (a+1010)∗(1010−a)=1010∗1010\displaystyle (a+1010)*(1010-a)=1010*1010, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y avem x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3. O aplicăm pentru x=a+1010\displaystyle x=a+1010 și y=1010−a\displaystyle y=1010-a.
    (a+1010)∗(1010−a)=(a+1010)+(1010−a)−3\displaystyle (a+1010)*(1010-a)=(a+1010)+(1010-a)-3
  2. Reducem termenii cu a\displaystyle a: a\displaystyle a și −a\displaystyle -a se anulează, iar rămân 1010+1010−3\displaystyle 1010+1010-3.
    (a+1010)∗(1010−a)=1010+1010−3=2017\displaystyle (a+1010)*(1010-a)=1010+1010-3=2017
  3. Calculăm același produs pentru 1010∗1010\displaystyle 1010*1010 folosind definiția legii: 1010+1010−3=2017\displaystyle 1010+1010-3=2017. Cele două rezultate coincid și nu depind de a\displaystyle a.
    1010∗1010=1010+1010−3=2017\displaystyle 1010*1010=1010+1010-3=2017
  4. Concluzie: egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a+1010)∗(1010−a)=1010∗1010, pentru orice numa˘r real a\displaystyle (a+1010)*(1010-a)=1010*1010\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 9x=3x∗9\displaystyle 9^x=3^x*9.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 pentru numerele 3x\displaystyle 3^x și 9\displaystyle 9: 3x∗9=3x+9−3=3x+6\displaystyle 3^x*9=3^x+9-3=3^x+6.
    3x∗9=3x+6\displaystyle 3^x*9=3^x+6
  2. Înlocuim în ecuația dată: 9x=3x+6\displaystyle 9^x=3^x+6.
    9x=3x+6\displaystyle 9^x=3^x+6
  3. Scriem 9x=(3x)2\displaystyle 9^x=(3^x)^2 și notăm t=3x\displaystyle t=3^x, cu t>0\displaystyle t>0. Obținem t2=t+6\displaystyle t^2=t+6, adică t2−t−6=0\displaystyle t^2-t-6=0.
    t2−t−6=0\displaystyle t^{2}-t-6=0
  4. Descompunem trinomul: t2−t−6=(t+2)(t−3)\displaystyle t^2-t-6=(t+2)(t-3). Revenind la t=3x\displaystyle t=3^x, ecuația devine echivalentă cu (3x+2)(3x−3)=0\displaystyle (3^x+2)(3^x-3)=0.
    (3x+2)(3x−3)=0\displaystyle (3^x+2)(3^x-3)=0
  5. Cum 3x>0\displaystyle 3^x>0, factorul 3x+2\displaystyle 3^x+2 este strict pozitiv, deci nu se anulează (soluția 3x=−2\displaystyle 3^x=-2 nu convine). Rămâne 3x−3=0\displaystyle 3^x-3=0, adică 3x=3\displaystyle 3^x=3.
    3x=3\displaystyle 3^x=3
  6. Din 3x=31\displaystyle 3^x=3^1 rezultă x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∗(n+1)≤2\displaystyle n*(n+1)\le 2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 pentru x=n\displaystyle x=n și y=n+1\displaystyle y=n+1: n∗(n+1)=n+(n+1)−3\displaystyle n*(n+1)=n+(n+1)-3.
    n∗(n+1)=n+(n+1)−3\displaystyle n*(n+1)=n+(n+1)-3
  2. Reducem termenii asemenea: n+n+1−3=2n−2\displaystyle n+n+1-3=2n-2.
    n∗(n+1)=2n−2\displaystyle n*(n+1)=2n-2
  3. Impunem condiția din enunț: 2n−2≤2\displaystyle 2n-2\le 2. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem 2n≤4\displaystyle 2n\le 4, apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem n≤2\displaystyle n\le 2.
    n+(n+1)−3≤2⇔2n−2≤2⇔n≤2\displaystyle n+(n+1)-3\le 2\Leftrightarrow 2n-2\le 2\Leftrightarrow n\le 2
  4. Cum n\displaystyle n este număr natural, iar n≤2\displaystyle n\le 2, rămân valorile 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Toate verifică inegalitatea.
    n=0, n=1 sau n=2\displaystyle n=0\text{, }n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡M=−2\displaystyle \det M=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Pentru matricea M\displaystyle M, elementele sunt a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=2\displaystyle c=2, d=4\displaystyle d=4. Diagonala principală conține 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4, iar diagonala secundară conține 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2. Aplicăm formula: det⁡M=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det M=1\cdot 4-2\cdot 3.
    det⁡M=∣1324∣=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Apoi scădem: 4−6=−2\displaystyle 4-6=-2, exact ce trebuia arătat.
    det⁡M=4−6=−2\displaystyle \det M=4-6=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați suma elementelor matricei A(2017)\displaystyle A(2017).
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M pentru a=2017\displaystyle a=2017 obținem A(2017)=2017I2+M\displaystyle A(2017)=2017I_2+M.
    A(2017)=2017(1001)+(1324)\displaystyle A(2017)=2017\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}
  2. Avem 2017I2=(2017002017)\displaystyle 2017I_2=\begin{pmatrix}2017&0\\0&2017\end{pmatrix}. Adunăm element cu element cu M\displaystyle M: pe diagonală 2017+1=2018\displaystyle 2017+1=2018 și 2017+4=2021\displaystyle 2017+4=2021, iar în rest 0+3=3\displaystyle 0+3=3 și 0+2=2\displaystyle 0+2=2.
    A(2017)=(2018322021)\displaystyle A(2017)=\begin{pmatrix}2018&3\\2&2021\end{pmatrix}
  3. Suma elementelor este 2018+3+2+2021\displaystyle 2018+3+2+2021. Adunăm 2018+2021=4039\displaystyle 2018+2021=4039 și 3+2=5\displaystyle 3+2=5, deci suma este 4039+5\displaystyle 4039+5.
    2018+3+2+2021=4039+5=4044\displaystyle 2018+3+2+2021=4039+5=4044
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M⋅M=5M+2I2\displaystyle M\cdot M=5M+2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M⋅M\displaystyle M\cdot M, înmulțind matricea cu ea însăși, linie cu coloană.
    M⋅M=(1324)(1324)\displaystyle M\cdot M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: 1⋅1+3⋅2=7\displaystyle 1\cdot1+3\cdot2=7, 1⋅3+3⋅4=15\displaystyle 1\cdot3+3\cdot4=15, 2⋅1+4⋅2=10\displaystyle 2\cdot1+4\cdot2=10, 2⋅3+4⋅4=22\displaystyle 2\cdot3+4\cdot4=22.
    M⋅M=(7151022)\displaystyle M\cdot M=\begin{pmatrix}7&15\\10&22\end{pmatrix}
  3. Descompunem matricea obținută ca o sumă: 7=5+2\displaystyle 7=5+2, 15=5⋅3\displaystyle 15=5\cdot3, 10=5⋅2\displaystyle 10=5\cdot2, 22=20+2\displaystyle 22=20+2.
    (7151022)=(5151020)+(2002)\displaystyle \begin{pmatrix}7&15\\10&22\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15\\10&20\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  4. Primul termen este 5M\displaystyle 5M, iar al doilea este 2I2\displaystyle 2I_2. Rezultă egalitatea cerută.
    (5151020)+(2002)=5(1324)+2I2=5M+2I2\displaystyle \begin{pmatrix}5&15\\10&20\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}+2I_2=5M+2I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că inversa matricei A(1)\displaystyle A(1) este matricea (54−34−1212)\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(1)=1⋅I2+M\displaystyle A(1)=1\cdot I_2+M, adunând element cu element matricea unitate și matricea M\displaystyle M.
    A(1)=(1001)+(1324)=(2325)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\2&5\end{pmatrix}
  2. Notăm cu B\displaystyle B matricea dată și calculăm produsul A(1)⋅B\displaystyle A(1)\cdot B, element cu element, înmulțind liniile lui A(1)\displaystyle A(1) cu coloanele lui B\displaystyle B. Obținem matricea unitate.
    A(1)⋅B=(2⋅54+3⋅(−12)2⋅(−34)+3⋅122⋅54+5⋅(−12)2⋅(−34)+5⋅12)=(1001)=I2\displaystyle A(1)\cdot B=\begin{pmatrix}2\cdot\frac{5}{4}+3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)&2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+3\cdot\frac{1}{2}\\2\cdot\frac{5}{4}+5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)&2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+5\cdot\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Calculăm și produsul B⋅A(1)\displaystyle B\cdot A(1), în ordine inversă. Obținem tot matricea unitate, deci B\displaystyle B este inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
    B⋅A(1)=(54⋅2−34⋅254⋅3−34⋅5−12⋅2+12⋅2−12⋅3+12⋅5)=(1001)=I2, deci A(1)−1=B\displaystyle B\cdot A(1)=\begin{pmatrix}\frac{5}{4}\cdot2-\frac{3}{4}\cdot2&\frac{5}{4}\cdot3-\frac{3}{4}\cdot5\\-\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2}\cdot2&-\frac{1}{2}\cdot3+\frac{1}{2}\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\text{, deci }A(1)^{-1}=B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care A(a)⋅A(a)=A(a2)+M⋅M\displaystyle A(a)\cdot A(a)=A\left(a^2\right)+M\cdot M.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, deci A(a)⋅A(a)=(aI2+M)(aI2+M)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=(aI_2+M)(aI_2+M).
    A(a)⋅A(a)=(aI2+M)(aI2+M)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=(aI_2+M)(aI_2+M)
  2. Dezvoltăm produsul: a2I2⋅I2+aI2M+aMI2+M⋅M\displaystyle a^2I_2\cdot I_2+aI_2M+aMI_2+M\cdot M. Cum I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2 și I2M=MI2=M\displaystyle I_2M=MI_2=M, obținem un rezultat în care termenii micști se adună.
    A(a)⋅A(a)=a2I2+2aM+M⋅M\displaystyle A(a)\cdot A(a)=a^2I_2+2aM+M\cdot M
  3. Din definiție, A(a2)=a2I2+M\displaystyle A\left(a^2\right)=a^2I_2+M, deci membrul drept este A(a2)+M⋅M\displaystyle A\left(a^2\right)+M\cdot M.
    A(a2)+M⋅M=a2I2+M+M⋅M\displaystyle A\left(a^2\right)+M\cdot M=a^2I_2+M+M\cdot M
  4. Egalitatea cerută devine a2I2+2aM+M⋅M=a2I2+M+M⋅M\displaystyle a^2I_2+2aM+M\cdot M=a^2I_2+M+M\cdot M. După reducerea termenilor a2I2\displaystyle a^2I_2 și M⋅M\displaystyle M\cdot M rămâne o egalitate între multipli ai lui M\displaystyle M.
    2aM=M\displaystyle 2aM=M
  5. Din 2aM=M\displaystyle 2aM=M rezultă (2a−1)M=O2\displaystyle (2a-1)M=O_2. Cum M≠O2\displaystyle M\neq O_2, avem 2a−1=0\displaystyle 2a-1=0, deci a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}.
    a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele M=(1324)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=aI2+M\displaystyle A(a)=aI_2+M, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))<4\displaystyle \det(A(m))<4.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A(m)=mI2+M=(m00m)+(1324)\displaystyle A(m)=mI_2+M=\begin{pmatrix}m&0\\0&m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, adunând element cu element.
    A(m)=(m+132m+4)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m+1&3\\2&m+4\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celorlalte două: det⁡(A(m))=(m+1)(m+4)−3⋅2=m2+5m+4−6\displaystyle \det(A(m))=(m+1)(m+4)-3\cdot 2=m^{2}+5m+4-6.
    det⁡(A(m))=∣m+132m+4∣=m2+5m−2\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}m+1&3\\2&m+4\end{vmatrix}=m^{2}+5m-2
  3. Condiția det⁡(A(m))<4\displaystyle \det(A(m))<4 devine m2+5m−2<4\displaystyle m^{2}+5m-2<4, adică, scăzând 4 din ambii membri, m2+5m−6<0\displaystyle m^{2}+5m-6<0.
    m2+5m−6<0\displaystyle m^{2}+5m-6<0
  4. Descompunem m2+5m−6=(m+6)(m−1)\displaystyle m^{2}+5m-6=(m+6)(m-1), deci rădăcinile sunt −6\displaystyle -6 și 1\displaystyle 1. Coeficientul lui m2\displaystyle m^{2} este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini: m∈(−6,1)\displaystyle m\in(-6,1).
    m∈(−6,1)\displaystyle m\in(-6,1)
  5. Numerele naturale din intervalul (−6,1)\displaystyle (-6,1) sunt cele care verifică 0≤m<1\displaystyle 0\le m<1. Singurul este m=0\displaystyle m=0. Verificare: det⁡(A(0))=−2<4\displaystyle \det(A(0))=-2<4.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.