Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{12}\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Cel mai mic multiplu comun al numitorilor $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 4$ și $\displaystyle 12$ este $\displaystyle 12$ , deci aducem toate fracțiile la numitorul $\displaystyle 12$ .
$\displaystyle \text{numitor comun } 12$
Amplificăm fiecare fracție: prima cu $\displaystyle 6$ , a doua cu $\displaystyle 4$ , a treia cu $\displaystyle 3$ , iar ultima rămâne neschimbată.
$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{6}{12}$ , $\displaystyle \quad \frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ , $\displaystyle \quad \frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ , $\displaystyle \quad \frac{1}{12}$
Adunăm fracțiile care au același numitor: adunăm numărătorii și păstrăm numitorul. Suma numărătorilor este $\displaystyle 6+8+9+1=24$ , iar $\displaystyle 24$ împărțit la $\displaystyle 12$ este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{12}=\frac{6+8+9+1}{12}=\frac{24}{12}=2$
Înlocuim suma din paranteză cu $\displaystyle 2$ și scădem din $\displaystyle 2$ , obținând $\displaystyle 0$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 2-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{12}\right)=2-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că punctul

\displaystyle A(a,a)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-x+1

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(a,a)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(a)=a$ , adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(a)=a$
Calculăm $\displaystyle f(a)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în formula funcției.
$\displaystyle f(a)=a^{2}-a+1$
Egalăm $\displaystyle f(a)$ cu $\displaystyle a$ și mutăm toți termenii în partea stângă, reducând termenii asemenea: $\displaystyle -a-a=-2a$ . Obținem o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle a^{2}-a+1=a\Leftrightarrow a^{2}-2a+1=0$
Recunoaștem în membrul stâng pătratul perfect al diferenței $\displaystyle a-1$ .
$\displaystyle (a-1)^{2}=0$
Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci $\displaystyle a-1=0$ , adică $\displaystyle a=1$ . Verificare: $\displaystyle f(1)=1-1+1=1$ , deci punctul $\displaystyle A(1,1)$ este pe grafic.
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2-25}=2\sqrt{6}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că ambii membri ai ecuației $\displaystyle \sqrt{x^2-25}=2\sqrt{6}$ sunt pozitivi, deci putem ridica ecuația la pătrat. Condiția de existență a radicalului este $\displaystyle x^2-25\ge 0$ .
$\displaystyle x^2-25\ge 0$
Ridicăm la pătrat ambii membri: $\displaystyle \left(\sqrt{x^2-25}\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2$ . Membrul drept devine $\displaystyle 4\cdot 6=24$ .
$\displaystyle x^2-25=24$
Mutăm $\displaystyle 24$ în membrul stâng și obținem ecuația $\displaystyle x^2-25-24=0$ , adică $\displaystyle x^2-49=0$ .
$\displaystyle x^2-25=24\Rightarrow x^2-49=0$
Descompunem diferența de pătrate: $\displaystyle (x-7)(x+7)=0$ , deci $\displaystyle x=7$ sau $\displaystyle x=-7$ .
$\displaystyle x=-7\text{ sau }x=7$
Verificăm soluțiile. Pentru $\displaystyle x=\pm 7$ avem $\displaystyle x^2=49$ , deci $\displaystyle x^2-25=24\ge 0$ și $\displaystyle \sqrt{24}=2\sqrt{6}$ . Ambele valori verifică ecuația, deci convin.
$\displaystyle x=-7\text{ sau }x=7\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

La dublul unui număr adunăm

\displaystyle 10

, iar rezultatul îl înmulțim cu

\displaystyle 7

. Din noul rezultat scădem

\displaystyle 56

și obținem

\displaystyle 28

. Determinați numărul inițial.

Vezi rezolvarea

Notăm numărul inițial cu $\displaystyle x$ . Dublul lui este $\displaystyle 2x$ .
$\displaystyle 2x$
Adunăm $\displaystyle 10$ la dublul numărului și obținem $\displaystyle 2x+10$ . Înmulțim rezultatul cu $\displaystyle 7$ : $\displaystyle (2x+10)\cdot 7$ . Folosim paranteze, pentru că înmulțirea se aplică întregii sume.
$\displaystyle (2x+10)\cdot 7$
Scădem $\displaystyle 56$ din noul rezultat și obținem $\displaystyle 28$ , deci ecuația problemei este $\displaystyle (2x+10)\cdot 7-56=28$ .
$\displaystyle (2x+10)\cdot 7-56=28$
Adunăm $\displaystyle 56$ la ambii membri ai ecuației: $\displaystyle 28+56=84$ .
$\displaystyle (2x+10)\cdot 7=84$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 7$ : $\displaystyle 84:7=12$ .
$\displaystyle 2x+10=12$
Scădem $\displaystyle 10$ din ambii membri și obținem $\displaystyle 2x=2$ . Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem că numărul inițial este $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,-2)

,

\displaystyle B(-3,6)

și

\displaystyle C(1,0)

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

\displaystyle C

și prin mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Aflăm mijlocul $\displaystyle M$ al segmentului $\displaystyle AB$ cu formula $\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ .
$\displaystyle M\left(\dfrac{1+(-3)}{2},\dfrac{-2+6}{2}\right)$
Calculăm: $\displaystyle x_M=\dfrac{-2}{2}=-1$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{4}{2}=2$ .
$\displaystyle M(-1,2)$
Panta dreptei $\displaystyle MC$ este $\displaystyle m=\dfrac{y_C-y_M}{x_C-x_M}$ , adică $\displaystyle m=\dfrac{0-2}{1-(-1)}$ .
$\displaystyle m=\dfrac{-2}{2}=-1$
Ecuația dreptei prin $\displaystyle C(1,0)$ cu panta $\displaystyle -1$ este $\displaystyle y-y_C=m(x-x_C)$ , deci $\displaystyle y-0=-(x-1)$ .
$\displaystyle y=-x+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 16\sin^2 60^\circ\cos^2 60^\circ+\sin 60^\circ-\sqrt{3}\cdot\cos 60^\circ=3

.

Vezi rezolvarea

Reținem valorile cunoscute pentru $\displaystyle 60^\circ$ : $\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle \sin^2 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$ și $\displaystyle \cos^2 60^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \sin^2 60^\circ=\dfrac{3}{4}$ , $\displaystyle \ \cos^2 60^\circ=\dfrac{1}{4}$
Înlocuim valorile în expresia din enunț: $\displaystyle 16\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle 16\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}$
Primul termen este $\displaystyle 16\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{16\cdot 3}{16}=3$ . Ceilalți doi termeni sunt egali: $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ . Deci expresia este $\displaystyle 3+0=3$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle 3+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Arătați că

\displaystyle 1\circ 2=10

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y$ . Pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=2$ înlocuim în formulă.
$\displaystyle 1\circ 2=2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2$
Calculăm fiecare produs: $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2=4$ , $\displaystyle 2\cdot 1=2$ și $\displaystyle 2\cdot 2=4$ .
$\displaystyle 1\circ 2=4+2+4$
Adunăm termenii și obținem $\displaystyle 10$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 1\circ 2=4+2+4=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-2

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y$ și adunăm și scădem $\displaystyle 2$ , ca să putem forma ulterior un factor comun. Valoarea expresiei nu se schimbă.
$\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y+2-2$
Grupăm termenii $\displaystyle 2xy$ și $\displaystyle 2x$ și dăm factor comun $\displaystyle 2x$ , apoi termenii $\displaystyle 2y+2$ au factor comun $\displaystyle 2$ . Se obține în ambele grupe factorul $\displaystyle y+1$ .
$\displaystyle x\circ y=2x(y+1)+2(y+1)-2$
Dăm factor comun $\displaystyle y+1$ și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-2\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Arătați că

\displaystyle x\circ(-1)=-2

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=-1$ în definiția $\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y$ .
$\displaystyle x\circ(-1)=2x\cdot(-1)+2x+2\cdot(-1)$
Observăm că $\displaystyle 2(x+1)(y+1)-2=2xy+2x+2y+2-2=2xy+2x+2y$ , deci legea se scrie în forma factorizată $\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-2$ . Pentru $\displaystyle y=-1$ obținem:
$\displaystyle x\circ(-1)=2(x+1)(-1+1)-2$
Deoarece $\displaystyle -1+1=0$ , produsul se anulează pentru orice $\displaystyle x$ real, deci rămâne doar termenul $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle x\circ(-1)=0-2=-2\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Determinați

\displaystyle x\in(0,+\infty)

pentru care

\displaystyle \log_2 x\circ\log_2 x=-2

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle t=\log_2 x$ . Pentru $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle t$ este un număr real. Ecuația devine $\displaystyle t\circ t=-2$ .
$\displaystyle t\circ t=-2$
Scriem legea pentru $\displaystyle t$ și $\displaystyle t$ : $\displaystyle t\circ t=2t^{2}+2t+2t$ .
$\displaystyle t\circ t=2t^{2}+4t$
Aducem expresia la forma factorizată: $\displaystyle 2(t+1)(t+1)-2=2t^{2}+4t+2-2=2t^{2}+4t$ . Deci $\displaystyle t\circ t=2(t+1)^{2}-2$ .
$\displaystyle t\circ t=2(t+1)(t+1)-2$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle 2(t+1)(t+1)-2=-2$ . Adunăm 2 în ambii membri și obținem $\displaystyle 2(t+1)^{2}=0$ , deci $\displaystyle t+1=0$ . Cu $\displaystyle t=\log_2 x$ avem $\displaystyle \log_2 x+1=0$ .
$\displaystyle 2(\log_2 x+1)(\log_2 x+1)-2=-2\Leftrightarrow\log_2 x+1=0$
Din $\displaystyle \log_2 x=-1$ rezultă $\displaystyle x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{2}>0$ , valoarea aparține intervalului $\displaystyle (0,+\infty)$ și convine.
$\displaystyle x=\frac{1}{2}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Arătați că

\displaystyle (2x+1)\circ x\geq -2

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția $\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y$ , cu $\displaystyle x$ înlocuit de $\displaystyle 2x+1$ și $\displaystyle y$ înlocuit de $\displaystyle x$ : $\displaystyle (2x+1)\circ x=2(2x+1)x+2(2x+1)+2x$ .
$\displaystyle (2x+1)\circ x=2(2x+1)x+2(2x+1)+2x$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 4x^{2}+2x+4x+2+2x$ . Reducem termenii asemenea și obținem $\displaystyle 4x^{2}+8x+2$ .
$\displaystyle (2x+1)\circ x=4x^{2}+8x+2$
Scriem $\displaystyle 4x^{2}+8x+2=4(x^{2}+2x+1)-4+2$ . Folosim $\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$ și obținem $\displaystyle 4(x+1)^{2}-2$ .
$\displaystyle (2x+1)\circ x=4(x+1)^{2}-2$
Pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle (x+1)^{2}\geq 0$ , deci $\displaystyle 4(x+1)^{2}\geq 0$ . Scăzând $\displaystyle 2$ din ambii membri obținem $\displaystyle 4(x+1)^{2}-2\geq -2$ , adică $\displaystyle (2x+1)\circ x\geq -2$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 4(x+1)^{2}\geq 0\text{, deci }(2x+1)\circ x\geq -2\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y

.

Determinați numerele naturale

\displaystyle m

și

\displaystyle n

,

\displaystyle m<n

, pentru care

\displaystyle m\circ n=10

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția dată, înlocuind legea de compoziție: $\displaystyle m\circ n=2mn+2m+2n=10$ .
$\displaystyle 2mn+2m+2n=10$
Factorizăm expresia: $\displaystyle 2mn+2m+2n=2(m+1)(n+1)-2$ , deoarece $\displaystyle (m+1)(n+1)=mn+m+n+1$ .
$\displaystyle 2mn+2m+2n=2(m+1)(n+1)-2$
Egalăm cu $\displaystyle 10$ , apoi adunăm $\displaystyle 2$ la ambii membri și împărțim la $\displaystyle 2$ . Obținem $\displaystyle (m+1)(n+1)=6$ .
$\displaystyle 2(m+1)(n+1)-2=10\Leftrightarrow(m+1)(n+1)=6$
Cum $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere naturale, $\displaystyle m+1$ și $\displaystyle n+1$ sunt numere naturale nenule, deci sunt divizori ai lui $\displaystyle 6$ . Din $\displaystyle m<n$ rezultă $\displaystyle m+1<n+1$ . Descompunerile lui $\displaystyle 6$ în doi factori naturali cu primul mai mic decât al doilea sunt $\displaystyle 1\cdot 6$ și $\displaystyle 2\cdot 3$ .
$\displaystyle 6=1\cdot 6\text{ sau }6=2\cdot 3$
Dacă $\displaystyle m+1=1$ și $\displaystyle n+1=6$ , obținem $\displaystyle m=0$ și $\displaystyle n=5$ . Dacă $\displaystyle m+1=2$ și $\displaystyle n+1=3$ , obținem $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle n=2$ . Ambele perechi verifică $\displaystyle m<n$ .
$\displaystyle m=0$ , $\displaystyle \ n=5\text{ sau }m=1$ , $\displaystyle \ n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ : $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-2&-1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-2&-1\end{vmatrix}$
Aplicăm definiția determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt $\displaystyle 2$ și $\displaystyle -1$ , iar pe cea secundară sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle \det A=2\cdot(-1)-(-2)\cdot 1$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 2\cdot(-1)=-2$ , iar $\displaystyle (-2)\cdot 1=-2$ . Scăderea lui $\displaystyle -2$ înseamnă adunarea lui $\displaystyle 2$ , deci obținem $\displaystyle -2+2=0$ .
$\displaystyle \det A=-2+2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle \det(A+B)

.

Vezi rezolvarea

Adunăm matricele $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ element cu element: adunăm elementele aflate pe aceleași poziții. Avem $\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2+2&1+3\\-2+(-4)&-1+(-6)\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}4&4\\-6&-7\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A+B$ și aplicăm formula pentru determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle \det(A+B)=\begin{vmatrix}4&4\\-6&-7\end{vmatrix}=4\cdot(-7)-(-6)\cdot 4$ .
$\displaystyle \det(A+B)=\begin{vmatrix}4&4\\-6&-7\end{vmatrix}=4\cdot(-7)-(-6)\cdot 4$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 4\cdot(-7)=-28$ , iar $\displaystyle (-6)\cdot 4=-24$ , deci scăderea lui $\displaystyle -24$ înseamnă adunarea lui $\displaystyle 24$ . Apoi calculăm suma: $\displaystyle -28+24=-4$ .
$\displaystyle \det(A+B)=-28+24=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A=A

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot A$ folosind regula de înmulțire a matricelor: elementul de pe linia $\displaystyle i$ și coloana $\displaystyle j$ este suma produselor elementelor liniei $\displaystyle i$ din prima matrice cu elementele coloanei $\displaystyle j$ din a doua matrice.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}$
Calculăm fiecare element al produsului, înlocuind valorile din matrice în sumele de produse.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2\cdot 2+1\cdot(-2)&2\cdot 1+1\cdot(-1)\\(-2)\cdot 2+(-1)\cdot(-2)&(-2)\cdot 1+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}$
Efectuăm înmulțirile din fiecare element: primul element este $\displaystyle 4-2$ , al doilea este $\displaystyle 2-1$ , al treilea este $\displaystyle -4+2$ , al patrulea este $\displaystyle -2+1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}4-2&2-1\\-4+2&-2+1\end{pmatrix}$
Efectuăm adunările și scăderile și obținem matricea $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle A\cdot A=A$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}=A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot B$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle B$ . Prima linie: $\displaystyle 2\cdot2+1\cdot(-4)=0$ și $\displaystyle 2\cdot3+1\cdot(-6)=0$ . A doua linie: $\displaystyle -2\cdot2+(-1)\cdot(-4)=0$ și $\displaystyle -2\cdot3+(-1)\cdot(-6)=0$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle B\cdot A$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle B$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ . Prima linie: $\displaystyle 2\cdot2+3\cdot(-2)=-2$ și $\displaystyle 2\cdot1+3\cdot(-1)=-1$ . A doua linie: $\displaystyle -4\cdot2+(-6)\cdot(-2)=4$ și $\displaystyle -4\cdot1+(-6)\cdot(-1)=2$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ B\cdot A=\begin{pmatrix}-2&-1\\4&2\end{pmatrix}$
Scădem cele două matrice element cu element: $\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}0-(-2)&0-(-1)\\0-4&0-2\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)=2\cdot(-2)-1\cdot(-4)=-4+4$ .
$\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(B\cdot B+xI_2)=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle B\cdot B$ , înmulțind linie cu coloană: $\displaystyle 2\cdot 2+3\cdot(-4)=-8$ , $\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot(-6)=-12$ , $\displaystyle (-4)\cdot 2+(-6)\cdot(-4)=16$ , $\displaystyle (-4)\cdot 3+(-6)\cdot(-6)=24$ .
$\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}-8&-12\\16&24\end{pmatrix}$
Adunăm matricea $\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}$ , deci $\displaystyle x$ se adaugă doar elementelor de pe diagonala principală.
$\displaystyle B\cdot B+xI_2=\begin{pmatrix}x-8&-12\\16&x+24\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Al doilea produs este $\displaystyle (-12)\cdot 16=-192$ , deci se adună $\displaystyle 192$ .
$\displaystyle \det(B\cdot B+xI_2)=(x-8)(x+24)+192$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (x-8)(x+24)=x^{2}+24x-8x-192=x^{2}+16x-192$ . Adunând $\displaystyle 192$ , termenul liber dispare.
$\displaystyle \det(B\cdot B+xI_2)=x^{2}+16x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Punem condiția determinant egal cu zero și dăm $\displaystyle x$ factor comun: $\displaystyle x^{2}+16x=x(x+16)=0$ . Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+16=0$ .
$\displaystyle x(x+16)=0\Leftrightarrow x=-16\text{ sau }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle p

și

\displaystyle q

, știind că

\displaystyle (A+B)(A+B)=pA+qB+B\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm produsul $\displaystyle (A+B)(A+B)$ , ținând cont că înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci păstrăm ordinea factorilor.
$\displaystyle (A+B)(A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$
Calculăm produsele $\displaystyle A\cdot A$ , $\displaystyle A\cdot B$ și $\displaystyle B\cdot B$ . Pentru $\displaystyle A\cdot A$ obținem chiar $\displaystyle A$ , pentru $\displaystyle A\cdot B$ obținem matricea nulă, iar $\displaystyle B\cdot B$ este egal cu $\displaystyle -4B$ .
$\displaystyle \begin{cases}A\cdot A=A\\A\cdot B=O_2\\B\cdot B=-4B\end{cases}$
Înlocuim aceste rezultate în dezvoltarea produsului.
$\displaystyle (A+B)(A+B)=A+O_2+B\cdot A+(-4)B=A+B\cdot A-4B$
Egalăm cu membrul drept din enunț și reducem termenul $\displaystyle B\cdot A$ , care apare în ambii membri.
$\displaystyle A-4B+B\cdot A=pA+qB+B\cdot A\Leftrightarrow A-4B=pA+qB$
Calculăm matricea din stânga, $\displaystyle A-4B$ , și matricea din dreapta, $\displaystyle pA+qB$ , element cu element.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-6&-11\\14&23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p+2q&p+3q\\-2p-4q&-p-6q\end{pmatrix}$
Două matrici sunt egale când au elementele egale, deci din primele două elemente ale primei linii obținem un sistem de două ecuații. Prima ecuație se împarte la $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \begin{cases}p+q=-3\\p+3q=-11\end{cases}$
Scădem prima ecuație din a doua: $\displaystyle 2q=-8$ , deci $\displaystyle q=-4$ , iar apoi $\displaystyle p=-3-q=1$ . Verificăm cu a doua linie: $\displaystyle -2p-4q=-2+16=14$ și $\displaystyle -p-6q=-1+24=23$ , deci valorile convin.
$\displaystyle p=1\text{ și }q=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani