Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că media geometrică a numerelor

\displaystyle a=1+\frac{1}{2}

și

\displaystyle b=6\sqrt{16}

este egală cu

\displaystyle 6

.

Vezi rezolvarea

Calculăm numărul $\displaystyle a$ : aducem la același numitor $\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}$ și obținem $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle a=\dfrac{3}{2}$
Calculăm numărul $\displaystyle b$ : $\displaystyle \sqrt{16}=4$ , deci $\displaystyle b=6\cdot 4=24$ .
$\displaystyle b=6\cdot 4=24$
Scriem formula mediei geometrice a două numere pozitive: $\displaystyle m_g=\sqrt{a\cdot b}$ . Înlocuim $\displaystyle a=\dfrac{3}{2}$ și $\displaystyle b=24$ .
$\displaystyle m_g=\sqrt{\dfrac{3}{2}\cdot 24}$
Calculăm produsul: $\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot 24=3\cdot 12=36$ . Apoi $\displaystyle \sqrt{36}=6$ , deci media geometrică este egală cu $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle m_g=\sqrt{\dfrac{3}{2}\cdot 24}=\sqrt{36}=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+2x+3

. Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a\neq -2

, pentru care

\displaystyle f(a)=f(-2)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în $\displaystyle f(x)=x^2+2x+3$ și obținem $\displaystyle f(a)=a^2+2a+3$ .
$\displaystyle f(a)=a^2+2a+3$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -2$ : $\displaystyle f(-2)=(-2)^2+2\cdot(-2)+3=4-4+3$ , deci $\displaystyle f(-2)=3$ .
$\displaystyle f(-2)=4-4+3=3$
Condiția $\displaystyle f(a)=f(-2)$ devine $\displaystyle a^2+2a+3=3$ .
$\displaystyle a^2+2a+3=3$
Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri: $\displaystyle a^2+2a=0$ .
$\displaystyle a^2+2a=0$
Dăm factor comun: $\displaystyle a(a+2)=0$ , deci $\displaystyle a=0$ sau $\displaystyle a=-2$ .
$\displaystyle a(a+2)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=-2$
Cum $\displaystyle a\neq -2$ , eliminăm soluția $\displaystyle a=-2$ și rămâne $\displaystyle a=0$ .
$\displaystyle a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_5(3x-15)=\log_5 2+\log_5 3

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția de existență a logaritmului din membrul stâng: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică $\displaystyle 3x-15>0$ , deci $\displaystyle x>5$ .
$\displaystyle x\in(5,+\infty)$
Transformăm suma logaritmilor din membrul drept într-un singur logaritm, folosind formula $\displaystyle \log_5 a+\log_5 b=\log_5(a\cdot b)$ : $\displaystyle \log_5 2+\log_5 3=\log_5(2\cdot 3)=\log_5 6$ .
$\displaystyle \log_5 2+\log_5 3=\log_5 6$
Ecuația devine $\displaystyle \log_5(3x-15)=\log_5 6$ . Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle 3x-15=6$ .
$\displaystyle \log_5(3x-15)=\log_5 6\Rightarrow 3x-15=6$
Rezolvăm ecuația de gradul întâi: $\displaystyle 3x=6+15=21$ , deci $\displaystyle x=7$ .
$\displaystyle x=7$
Verificăm condiția de existență: $\displaystyle 7>5$ , deci soluția convine. Într-adevăr, $\displaystyle 3\cdot 7-15=6>0$ .
$\displaystyle x=7\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, care au toate cifrele egale, acesta să fie multiplu de

\displaystyle 9

.

Vezi rezolvarea

Numerele de trei cifre cu toate cifrele egale au forma $\displaystyle \overline{aaa}$ , unde cifra $\displaystyle a$ poate fi oricare dintre $\displaystyle 1, 2, \ldots, 9$ ( $\displaystyle a$ nu poate fi $\displaystyle 0$ , altfel numărul nu ar avea trei cifre). Sunt deci $\displaystyle 9$ numere: $\displaystyle 111, 222, \ldots, 999$ . Acesta este numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 9\text{ cazuri posibile}$
Un număr este multiplu de $\displaystyle 9$ dacă suma cifrelor sale se împarte la $\displaystyle 9$ . Pentru numărul $\displaystyle \overline{aaa}$ , suma cifrelor este $\displaystyle 3a$ . Trebuie ca $\displaystyle 3a$ să fie multiplu de $\displaystyle 9$ , adică $\displaystyle a$ să fie multiplu de $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3a\ \vdots\ 9 \Rightarrow a\ \vdots\ 3$
Cifrele nenule multiple de $\displaystyle 3$ sunt $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 6$ și $\displaystyle 9$ . Obținem numerele $\displaystyle 333$ , $\displaystyle 666$ și $\displaystyle 999$ , deci sunt $\displaystyle 3$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 333$ , $\displaystyle \ 666$ , $\displaystyle \ 999\text{, deci sunt }3\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Obținem $\displaystyle \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-2,2a)

și

\displaystyle B(5,5a)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că lungimea segmentului

\displaystyle AB

este egală cu

\displaystyle 7

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula distanței dintre punctele $\displaystyle A(x_A,y_A)$ și $\displaystyle B(x_B,y_B)$ : $\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$
Înlocuim coordonatele punctelor $\displaystyle A(-2,2a)$ și $\displaystyle B(5,5a)$ . Diferența absciselor este $\displaystyle 5-(-2)=7$ , iar diferența ordonatelor este $\displaystyle 5a-2a=3a$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{7^{2}+(3a)^{2}}$
Calculăm pătratele: $\displaystyle 7^{2}=49$ , iar $\displaystyle (3a)^{2}=9a^{2}$ . Obținem lungimea segmentului $\displaystyle AB$ în funcție de $\displaystyle a$ , pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle AB=\sqrt{49+9a^{2}}\text{, unde }a\text{ este număr real}$
Punem condiția $\displaystyle AB=7$ .
$\displaystyle \sqrt{49+9a^{2}}=7$
Ridicăm ecuația la pătrat (ambii membri sunt pozitivi): $\displaystyle 49+9a^{2}=49$ . Rezultă $\displaystyle 9a^{2}=0$ , deci $\displaystyle a=0$ .
$\displaystyle \sqrt{49+9a^{2}}=7\text{, de unde obținem }a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2\sin^2 135^\circ-\sin 30^\circ-\cos 60^\circ=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle \sin 135^\circ$ . Folosim formula $\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x$ , deci $\displaystyle \sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin 45^\circ$ , care este $\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin 135^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Folosim valorile cunoscute pentru unghiurile de $\displaystyle 30^\circ$ și $\displaystyle 60^\circ$ : $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}$
Înlocuim aceste valori în expresia dată.
$\displaystyle 2\sin^2 135^\circ-\sin 30^\circ-\cos 60^\circ=2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}$ . Apoi înmulțim cu $\displaystyle 2$ și adunăm cele două fracții $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ .
$\displaystyle 2\cdot\frac{2}{4}-1=1-1$
Obținem $\displaystyle 1-1=0$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 2\sin^2 135^\circ-\sin 30^\circ-\cos 60^\circ=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Arătați că

\displaystyle 5*2021=-2020

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=6-x-y$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=6-x-y$
Înlocuim $\displaystyle x=5$ și $\displaystyle y=2021$ în definiția legii.
$\displaystyle 5*2021=6-5-2021$
Calculăm mai întâi $\displaystyle 6-5=1$ , apoi scădem $\displaystyle 2021$ și obținem $\displaystyle 1-2021=-2020$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle 5*2021=1-2021=-2020$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Arătați că

\displaystyle (1*x)*1=x

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm mai întâi $\displaystyle 1*x$ , aplicând definiția $\displaystyle x*y=6-x-y$ cu $\displaystyle x$ înlocuit prin $\displaystyle 1$ și $\displaystyle y$ prin $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 1*x=6-1-x=5-x$
Înlocuim rezultatul în expresia dată: $\displaystyle (1*x)*1$ devine $\displaystyle (5-x)*1$ .
$\displaystyle (1*x)*1=(5-x)*1$
Aplicăm din nou definiția legii, cu primul element $\displaystyle 5-x$ și al doilea element $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (5-x)*1=6-(5-x)-1$
Desfacem parantezele, schimbând semnul termenilor din paranteză, și reducem termenii. Obținem $\displaystyle x$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 6-5+x-1=x\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (x+1)*(4x)=15

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=6-x-y$ , cu primul termen $\displaystyle x+1$ și al doilea termen $\displaystyle 4x$ .
$\displaystyle (x+1)*(4x)=6-(x+1)-4x$
Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 6-x-1-4x=5-5x$ .
$\displaystyle (x+1)*(4x)=5-5x$
Punem condiția din enunț: $\displaystyle 5-5x=15$ .
$\displaystyle 5-5x=15$
Scădem $\displaystyle 5$ din ambii membri: $\displaystyle -5x=10$ . Apoi împărțim la $\displaystyle -5$ și obținem $\displaystyle x=-2$ .
$\displaystyle x=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Arătați că

\displaystyle (x*y)*(z*t)=x+y+z+t-6

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

,

\displaystyle y

,

\displaystyle z

și

\displaystyle t

.

Vezi rezolvarea

Calculăm separat $\displaystyle x*y$ și $\displaystyle z*t$ folosind definiția legii $\displaystyle a*b=6-a-b$ .
$\displaystyle x*y=6-x-y$ , $\displaystyle \quad z*t=6-z-t$
Aplicăm definiția legii pentru numerele $\displaystyle a=x*y$ și $\displaystyle b=z*t$ : $\displaystyle (x*y)*(z*t)=6-(x*y)-(z*t)$ . Apoi înlocuim cele două rezultate de la pasul anterior.
$\displaystyle (x*y)*(z*t)=6-(6-x-y)-(6-z-t)$
Desfacem parantezele: semnul minus din fața parantezelor schimbă semnul fiecărui termen din interior.
$\displaystyle 6-6+x+y-6+z+t$
Reducem termenii: $\displaystyle 6-6=0$ , rămâne $\displaystyle -6$ . Obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z$ și $\displaystyle t$ .
$\displaystyle (x*y)*(z*t)=x+y+z+t-6\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x$ , $\displaystyle \ y$ , $\displaystyle \ z\text{ și }t$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x^2*(-x)\geq 0

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea $\displaystyle x*y=6-x-y$ pentru $\displaystyle x^{2}$ și $\displaystyle -x$ : înlocuim primul element cu $\displaystyle x^{2}$ și al doilea cu $\displaystyle -x$ .
$\displaystyle x^{2}*(-x)=6-x^{2}-(-x)$
Eliminăm parantezele: $\displaystyle -(-x)=+x$ . Obținem expresia, valabilă pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle x^{2}*(-x)=6-x^{2}+x$
Scriem inegalitatea $\displaystyle x^{2}*(-x)\geq 0$ cu expresia găsită și ordonăm termenii după puterile lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle -x^{2}+x+6\geq 0$
Înmulțim cu $\displaystyle -1$ pentru a avea coeficientul dominant pozitiv; sensul inegalității se schimbă.
$\displaystyle x^{2}-x-6\leq 0$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle x^{2}-x-6=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=1+24=25$ , iar rădăcinile sunt $\displaystyle x=\dfrac{1\pm 5}{2}$ .
$\displaystyle x_{1}=-2$ , $\displaystyle \quad x_{2}=3$
Parabola are ramurile în sus, deci $\displaystyle x^{2}-x-6\leq 0$ între rădăcini, inclusiv rădăcinile. Astfel $\displaystyle x$ aparține intervalului închis de la $\displaystyle -2$ la $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x\in[-2,3]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6-x-y

.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle \left(2^{n^2}*2^{n^2}\right)*\left(2^{n^2}*2^{n^2}\right)=2

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle a=2^{n^{2}}$ . Atunci expresia devine $\displaystyle (a*a)*(a*a)$ . Calculăm $\displaystyle a*a=6-a-a$ .
$\displaystyle a*a=6-2a$
Aplicăm legea pentru cele două paranteze, fiecare egală cu $\displaystyle 6-2a$ : $\displaystyle (6-2a)*(6-2a)=6-(6-2a)-(6-2a)$ .
$\displaystyle 6-(6-2a)-(6-2a)=6-6+2a-6+2a=4a-6$
Revenind la $\displaystyle a=2^{n^{2}}$ , obținem formula pentru orice număr natural $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \left(2^{n^2}*2^{n^2}\right)*\left(2^{n^2}*2^{n^2}\right)=4\cdot 2^{n^2}-6$
Egalăm cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 4\cdot 2^{n^2}-6=2$ , deci $\displaystyle 4\cdot 2^{n^2}=8$ .
$\displaystyle 4\cdot 2^{n^2}=8$
Împărțim la $\displaystyle 4$ și obținem $\displaystyle 2^{n^2}=2$ , deci $\displaystyle n^2=1$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural, valoarea $\displaystyle -1$ nu convine.
$\displaystyle 4\cdot 2^{n^2}=8\Leftrightarrow 2^{n^2}=2\Leftrightarrow n^2=1\text{ și, cum }n\text{ este număr natural, }$ $\displaystyle \text{obținem }n=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(A(-1,3))=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=3$ în matricea $\displaystyle A(x,y)$ . Elementul de pe poziția $\displaystyle (2,2)$ este $\displaystyle x+y=-1+3=2$ .
$\displaystyle A(-1,3)=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei obținute și aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$ .
$\displaystyle \det(A(-1,3))=\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=-1\cdot 2-1\cdot(-1)$
Calculăm produsele: $\displaystyle -1\cdot 2=-2$ , iar $\displaystyle 1\cdot(-1)=-1$ , deci scăderea lui $\displaystyle -1$ devine adunarea lui $\displaystyle 1$ . Rezultatul este $\displaystyle -1$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle -2+1=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle 2A(1,1)-A(2,2)=A(0,0)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(1,1)$ : înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=1$ , deci $\displaystyle x+y=2$ .
$\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Scriem matricea $\displaystyle A(2,2)$ : înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=2$ , deci $\displaystyle x+y=4$ .
$\displaystyle A(2,2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle A(1,1)$ cu $\displaystyle 2$ , element cu element, și scriem diferența cu $\displaystyle A(2,2)$ .
$\displaystyle 2A(1,1)-A(2,2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
Scădem matricele element cu element: $\displaystyle 2-2=0$ , $\displaystyle 2-1=1$ , $\displaystyle -2-(-1)=-1$ , $\displaystyle 4-4=0$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Matricea $\displaystyle A(0,0)$ se obține pentru $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=0$ , adică are exact această formă. Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 2A(1,1)-A(2,2)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=A(0,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,0)=A(-1,0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=0$ în $\displaystyle A(x,y)$ : elementele sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 0+0=0$ .
$\displaystyle A(0,0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=0$ în $\displaystyle A(x,y)$ : elementele sunt $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1+0=1$ .
$\displaystyle A(1,0)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
Înmulțim matricele, linie cu coloană: elementul din stânga sus este $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot(-1)=-1$ , cel din dreapta sus este $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 1=1$ , cel din stânga jos este $\displaystyle -1\cdot 1+0\cdot(-1)=-1$ , iar cel din dreapta jos este $\displaystyle -1\cdot 1+0\cdot 1=-1$ .
$\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,0)=\begin{pmatrix} 0-1 & 0+1 \\ -1+0 & -1+0 \end{pmatrix}$
Pentru $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=0$ avem $\displaystyle A(-1,0)=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1+0 \end{pmatrix}$ , adică exact matricea obținută din produs. Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,0)=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}=A(-1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(A(x,1)-xA(1,1))=9

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(x,1)$ și $\displaystyle A(1,1)$ , înlocuind în $\displaystyle A(x,y)$ valorile date: $\displaystyle y=1$ , respectiv $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle A(x,1)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle A(1,1)$ cu $\displaystyle x$ , adică fiecare element cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle xA(1,1)=\begin{pmatrix} x & x \\ -x & 2x \end{pmatrix}$
Calculăm diferența element cu element: pe prima linie $\displaystyle x-x=0$ și $\displaystyle 1-x$ , pe a doua linie $\displaystyle -1+x$ și $\displaystyle x+1-2x=1-x$ .
$\displaystyle A(x,1)-xA(1,1)=\begin{pmatrix} 0 & 1-x \\ -1+x & 1-x \end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle 0\cdot(1-x)-(1-x)(x-1)=(x-1)^2$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \det(A(x,1)-xA(1,1))=0\cdot(1-x)-(1-x)(x-1)=(x-1)^2$
Egalăm determinantul cu $\displaystyle 9$ și obținem $\displaystyle (x-1)^2=9$ , deci $\displaystyle x-1=3$ sau $\displaystyle x-1=-3$ .
$\displaystyle (x-1)^2=9\Rightarrow x-1=3\text{ sau }x-1=-3$
Rezolvăm cele două ecuații de gradul întâi: $\displaystyle x=1+3=4$ și $\displaystyle x=1-3=-2$ .
$\displaystyle x=-2\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Demonstrați că

\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))\geq 2

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A(x,y)$ cu regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle \det(A(x,y))=x(x+y)-1\cdot(-1)$ .
$\displaystyle \det(A(x,y))=x(x+y)+1$
Matricea $\displaystyle A(y,x)$ se obține înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ , deci este $\displaystyle \begin{pmatrix} y & 1 \\ -1 & y+x \end{pmatrix}$ . Calculăm determinantul în același fel: $\displaystyle \det(A(y,x))=y(y+x)-1\cdot(-1)$ . Avem ambii determinanți, pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle \det(A(x,y))=x(x+y)+1$ , $\displaystyle \ \det(A(y,x))=y(x+y)+1$
Adunăm cei doi determinanți: $\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=x(x+y)+1+y(x+y)+1$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle x+y$ și obținem $\displaystyle (x+y)(x+y)+2$ .
$\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=(x+y)^2+2$
Un pătrat de număr real este mai mare sau egal cu zero, deci $\displaystyle (x+y)^2\geq 0$ . Adunând $\displaystyle 2$ la ambii membri, obținem $\displaystyle (x+y)^2+2\geq 2$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ . Aceasta este inegalitatea cerută.
$\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=(x+y)^2+2\geq 2\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

pentru care

\displaystyle A(x,y)\cdot A(-y,-x)=A(0,-1)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(-y,-x)$ , înlocuind în formula lui $\displaystyle A(x,y)$ pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -y$ și pe $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -x$ . Atunci $\displaystyle x+y$ devine $\displaystyle -y-x$ .
$\displaystyle A(-y,-x)=\begin{pmatrix} -y & 1 \\ -1 & -y-x \end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului linie pe coloană. Prima linie: $\displaystyle x\cdot(-y)+1\cdot(-1)$ și $\displaystyle x\cdot 1+1\cdot(-(x+y))$ . A doua linie: $\displaystyle (-1)\cdot(-y)+(x+y)\cdot(-1)$ și $\displaystyle (-1)\cdot 1+(x+y)\cdot(-(x+y))$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} -xy-1 & x-x-y \\ y-x-y & -1-(x+y)^2 \end{pmatrix}$
Reducem termenii asemenea și obținem produsul, valabil pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle A(x,y)\cdot A(-y,-x)=\begin{pmatrix} -xy-1 & -y \\ -x & -1-(x+y)^2 \end{pmatrix}$
Scriem matricea din membrul drept, înlocuind în $\displaystyle A(x,y)$ pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ și pe $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -1$ . Atunci $\displaystyle x+y=-1$ .
$\displaystyle A(0,-1)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem un sistem de patru ecuații.
$\displaystyle \begin{cases} -xy-1=0 \\ -y=1 \\ -x=-1 \\ -1-(x+y)^2=-1 \end{cases}$
Din a doua ecuație rezultă $\displaystyle y=-1$ , iar din a treia $\displaystyle x=1$ . Verificăm celelalte două ecuații: $\displaystyle -xy-1=1-1=0$ și $\displaystyle -1-(x+y)^2=-1-0=-1$ , deci sunt adevărate. Răspuns: $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=-1$ .
$\displaystyle x=1\text{ și }y=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani