Bac matematică M4 pedagogic 2012, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că a=∣3−5∣+∣3−1∣\displaystyle a=\left|\sqrt{3}-5\right|+\left|\sqrt{3}-1\right| este un număr întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Comparăm 3\displaystyle \sqrt{3} cu 5\displaystyle 5. Deoarece 3<25\displaystyle 3<25, avem 3<25=5\displaystyle \sqrt{3}<\sqrt{25}=5, deci 3−5<0\displaystyle \sqrt{3}-5<0.
    3−5<0\displaystyle \sqrt{3}-5<0
  2. Modulul unui număr negativ este opusul lui: ∣3−5∣=−(3−5)=5−3\displaystyle \left|\sqrt{3}-5\right|=-\left(\sqrt{3}-5\right)=5-\sqrt{3}.
    ∣3−5∣=5−3\displaystyle \left|\sqrt{3}-5\right|=5-\sqrt{3}
  3. Comparăm 3\displaystyle \sqrt{3} cu 1\displaystyle 1. Deoarece 3>1\displaystyle 3>1, avem 3>1\displaystyle \sqrt{3}>1, deci 3−1>0\displaystyle \sqrt{3}-1>0. Modulul unui număr pozitiv este chiar numărul: ∣3−1∣=3−1\displaystyle \left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1.
    3−1>0⇒∣3−1∣=3−1\displaystyle \sqrt{3}-1>0\Rightarrow\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1
  4. Înlocuim în a\displaystyle a: a=(5−3)+(3−1)=5−3+3−1\displaystyle a=\left(5-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{3}-1\right)=5-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1. Termenii −3\displaystyle -\sqrt{3} și 3\displaystyle \sqrt{3} se reduc, iar 5−1=4\displaystyle 5-1=4. Așadar a=4\displaystyle a=4, deci a\displaystyle a este număr întreg.
    a=4∈Z\displaystyle a=4\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1. Calculați f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(10).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma cerută, înlocuind fiecare f(k)\displaystyle f(k) cu 2k−1\displaystyle 2k-1, pentru k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 10\displaystyle 10.
    S=(2⋅1−1)+(2⋅2−1)+…+(2⋅10−1)\displaystyle S=(2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+\ldots+(2\cdot 10-1)
  2. Grupăm termenii: scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din termenii cu k\displaystyle k și adunăm cei 10\displaystyle 10 termeni egali cu −1\displaystyle -1, adică scădem 10\displaystyle 10.
    f(1)+f(2)+…+f(10)=2⋅(1+2+3+…+10)−10\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=2\cdot(1+2+3+\ldots+10)-10
  3. Aplicăm formula sumei Gauss pentru primele 10\displaystyle 10 numere naturale: 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}, cu n=10\displaystyle n=10.
    2⋅10⋅112−10\displaystyle 2\cdot\frac{10\cdot 11}{2}-10
  4. Calculăm: suma Gauss este 55\displaystyle 55, deci 2⋅55=110\displaystyle 2\cdot 55=110, iar 110−10=100\displaystyle 110-10=100.
    2⋅55−10=110−10=100\displaystyle 2\cdot 55-10=110-10=100
  5. Răspunsul final: suma cerută este 100\displaystyle 100.
    100\displaystyle 100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, sistemul {2x−1=yx2−2x+3=y\begin{cases}2x-1=y\\x^2-2x+3=y\end{cases}
Vezi rezolvarea
  1. Prima ecuație ne dă y=2x−1\displaystyle y=2x-1, iar a doua ecuație are în dreapta același y\displaystyle y. Egalăm cele două expresii ale lui y\displaystyle y: x2−2x+3=2x−1\displaystyle x^{2}-2x+3=2x-1.
    x2−2x+3=2x−1\displaystyle x^{2}-2x+3=2x-1
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă: x2−2x−2x+3+1=0\displaystyle x^{2}-2x-2x+3+1=0. Reducem termenii asemenea: x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  3. Recunoaștem pătratul unei diferențe: x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}. Deci (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0, adică x=2\displaystyle x=2.
    (x−2)2=0⇒x=2\displaystyle (x-2)^{2}=0\Rightarrow x=2
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în y=2x−1\displaystyle y=2x-1: y=2⋅2−1=3\displaystyle y=2\cdot 2-1=3. Verificăm în a doua ecuație: 22−2⋅2+3=3\displaystyle 2^{2}-2\cdot 2+3=3, deci se verifică. Soluția sistemului este x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3.
    x=2 și y=3\displaystyle x=2\text{ și }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 3+4x=5\displaystyle \sqrt{3+4x}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordin 2 există doar dacă expresia de sub radical este pozitivă sau zero. Punem condiția de existență: 3+4x≥0\displaystyle 3+4x\ge 0, de unde 4x≥−3\displaystyle 4x\ge -3, deci x≥−34\displaystyle x\ge -\dfrac{3}{4}.
    3+4x≥0⇒x∈[−34,+∞)\displaystyle 3+4x\ge 0\Rightarrow x\in\left[-\frac{3}{4},+\infty\right)
  2. Membrul drept, 5\displaystyle 5, este pozitiv, deci putem ridica ecuația la pătrat. Ridicăm ambii membri la pătrat: (3+4x)2=52\displaystyle \left(\sqrt{3+4x}\right)^{2}=5^{2}, adică 3+4x=25\displaystyle 3+4x=25.
    3+4x=25\displaystyle 3+4x=25
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 4x=22\displaystyle 4x=22.
    4x=22\displaystyle 4x=22
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și simplificăm: x=224=112\displaystyle x=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}. Verificăm condiția de existență: 112≥−34\displaystyle \dfrac{11}{2}\ge -\dfrac{3}{4}. Verificare directă: 3+4⋅112=25\displaystyle 3+4\cdot\dfrac{11}{2}=25, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, deci x=112\displaystyle x=\dfrac{11}{2} este soluție.
    x=112 este soluție\displaystyle x=\frac{11}{2}\text{ este soluție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii v⃗=2i⃗+j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+\vec{j} și u⃗=i⃗−5j⃗\displaystyle \vec{u}=\vec{i}-5\vec{j}. Determinați coordonatele vectorului w⃗=v⃗+u⃗\displaystyle \vec{w}=\vec{v}+\vec{u}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem vectorii în componente: v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (2,1)\displaystyle (2,1), iar u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (1,−5)\displaystyle (1,-5), deoarece coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j} sunt abscisa și ordonata.
    v⃗=(2,1)\displaystyle \vec{v}=(2,1), u⃗=(1,−5)\displaystyle \ \vec{u}=(1,-5)
  2. Scriem suma vectorilor și grupăm termenii care conțin i⃗\displaystyle \vec{i}, respectiv j⃗\displaystyle \vec{j}: w⃗=(2+1)i⃗+(1−5)j⃗\displaystyle \vec{w}=(2+1)\vec{i}+(1-5)\vec{j}.
    w⃗=2i⃗+j⃗+i⃗−5j⃗=(2+1)i⃗+(1−5)j⃗=3i⃗−4j⃗\displaystyle \vec{w}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{i}-5\vec{j}=(2+1)\vec{i}+(1-5)\vec{j}=3\vec{i}-4\vec{j}
  3. Coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j} sunt coordonatele vectorului w⃗\displaystyle \vec{w}. Deci w⃗\displaystyle \vec{w} are coordonatele 3\displaystyle 3 și −4\displaystyle -4.
    (3,−4)\displaystyle (3,-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=3\displaystyle AB=3, BC=8\displaystyle BC=8 și m(∡ABC)=60∘\displaystyle m(\measuredangle ABC)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura AC\displaystyle AC, opusă unghiului B\displaystyle B: AC2=BC2+AB2−2⋅BC⋅AB⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2\cdot BC\cdot AB\cdot\cos B.
    AC2=BC2+AB2−2⋅BC⋅AB⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2\cdot BC\cdot AB\cdot\cos B
  2. Înlocuim datele: BC=8\displaystyle BC=8, AB=3\displaystyle AB=3 și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    AC2=82+32−2⋅8⋅3⋅12\displaystyle AC^{2}=8^{2}+3^{2}-2\cdot 8\cdot 3\cdot\dfrac{1}{2}
  3. Calculăm: 2⋅8⋅3⋅12=24\displaystyle 2\cdot 8\cdot 3\cdot\dfrac{1}{2}=24, deci AC2=64+9−24\displaystyle AC^{2}=64+9-24.
    AC2=64+9−24=49\displaystyle AC^{2}=64+9-24=49
  4. Cum AC>0\displaystyle AC>0, obținem AC=49\displaystyle AC=\sqrt{49}.
    AC=7\displaystyle AC=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Calculați, în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, 1^+3^+5^+7^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm ca numere întregi reprezentanții claselor: 1+3+5+7\displaystyle 1+3+5+7.
    1+3+5+7=16\displaystyle 1+3+5+7=16
  2. Reducem rezultatul modulo 8\displaystyle 8: deoarece 16=2⋅8\displaystyle 16=2\cdot 8, restul împărțirii lui 16\displaystyle 16 la 8\displaystyle 8 este 0\displaystyle 0.
    16^=0^\displaystyle \hat{16}=\hat{0}
  3. Concluzie: în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8 avem suma cerută egală cu clasa lui zero.
    1^+3^+5^+7^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Verificați, în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, egalitatea 2^10+2^8+2^6+2^4+2^2=4^\displaystyle \hat{2}^{10}+\hat{2}^{8}+\hat{2}^{6}+\hat{2}^{4}+\hat{2}^{2}=\hat{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul lui 2^\displaystyle \hat{2} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 4\displaystyle 4 este deja între 0\displaystyle 0 și 7\displaystyle 7, deci rămâne 4^\displaystyle \hat{4}.
    2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}
  2. Calculăm puterea a treia: 2^3=2^2⋅2^=4^⋅2^=8^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{2}^2\cdot\hat{2}=\hat{4}\cdot\hat{2}=\hat{8}. Cum 8\displaystyle 8 se împarte exact la 8\displaystyle 8, restul este 0\displaystyle 0, deci 8^=0^\displaystyle \hat{8}=\hat{0}.
    2^3=8^=0^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{8}=\hat{0}
  3. Pentru orice exponent n≥3\displaystyle n\geq 3, scriem 2^n=2^3⋅2^n−3=0^⋅2^n−3=0^\displaystyle \hat{2}^{n}=\hat{2}^{3}\cdot\hat{2}^{n-3}=\hat{0}\cdot\hat{2}^{n-3}=\hat{0}. Prin urmare, puterile 4\displaystyle 4, 6\displaystyle 6, 8\displaystyle 8 și 10\displaystyle 10 ale lui 2^\displaystyle \hat{2} sunt toate nule.
    2^4=2^6=2^8=2^10=0^\displaystyle \hat{2}^4=\hat{2}^6=\hat{2}^8=\hat{2}^{10}=\hat{0}
  4. Înlocuim în suma din enunț: primii patru termeni sunt 0^\displaystyle \hat{0}, iar ultimul este 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}. Suma este deci 4^\displaystyle \hat{4}, adică egalitatea este verificată.
    2^10+2^8+2^6+2^4+2^2=0^+0^+0^+0^+4^=4^\displaystyle \hat{2}^{10}+\hat{2}^{8}+\hat{2}^{6}+\hat{2}^{4}+\hat{2}^{2}=\hat{0}+\hat{0}+\hat{0}+\hat{0}+\hat{4}=\hat{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Determinați inversul elementului 7^\displaystyle \hat{7} în inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot).
Vezi rezolvarea
  1. Inversul lui 7^\displaystyle \hat{7} este elementul x∈Z8\displaystyle x\in\mathbb{Z}_8 pentru care produsul cu 7^\displaystyle \hat{7} este elementul neutru față de înmulțire, adică 7^⋅x=1^\displaystyle \hat{7}\cdot x=\hat{1}.
    7^⋅x=1^\displaystyle \hat{7}\cdot x=\hat{1}
  2. Observăm că 7^=−1^\displaystyle \hat{7}=-\hat{1} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, deoarece 7+1=8=0^\displaystyle 7+1=8=\hat{0} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Atunci 7^⋅7^=(−1^)⋅(−1^)=1^\displaystyle \hat{7}\cdot\hat{7}=(-\hat{1})\cdot(-\hat{1})=\hat{1}.
    7^⋅7^=49^=1^\displaystyle \hat{7}\cdot\hat{7}=\widehat{49}=\hat{1}
  3. Verificare directă: 49=6⋅8+1\displaystyle 49=6\cdot 8+1, deci 49^=1^\displaystyle \widehat{49}=\hat{1}. Prin urmare x=7^\displaystyle x=\hat{7} verifică ecuația, iar inversul lui 7^\displaystyle \hat{7} este chiar 7^\displaystyle \hat{7}.
    x=7^\displaystyle x=\hat{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Rezolvați, în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, ecuația 7^x+2^=5^\displaystyle \hat{7}x+\hat{2}=\hat{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem 2^\displaystyle \hat{2} din ambii membri ai ecuației. În Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8 avem 5^−2^=3^\displaystyle \hat{5}-\hat{2}=\hat{3}, deci ecuația devine 7^x=3^\displaystyle \hat{7}x=\hat{3}.
    7^x=3^\displaystyle \hat{7}x=\hat{3}
  2. Căutăm inversul lui 7^\displaystyle \hat{7} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Avem 7^⋅7^=49^=1^\displaystyle \hat{7}\cdot\hat{7}=\widehat{49}=\hat{1}, deoarece 49=6⋅8+1\displaystyle 49=6\cdot 8+1. Deci 7^−1=7^\displaystyle \hat{7}^{-1}=\hat{7}.
    7^−1=7^\displaystyle \hat{7}^{-1}=\hat{7}
  3. Înmulțim ecuația 7^x=3^\displaystyle \hat{7}x=\hat{3} cu 7^−1=7^\displaystyle \hat{7}^{-1}=\hat{7} și obținem x=7^⋅3^=21^\displaystyle x=\hat{7}\cdot\hat{3}=\widehat{21}. Cum 21=2⋅8+5\displaystyle 21=2\cdot 8+5, rezultă x=5^\displaystyle x=\hat{5}.
    x=7^−1⋅3^=7^⋅3^=5^\displaystyle x=\hat{7}^{-1}\cdot\hat{3}=\hat{7}\cdot\hat{3}=\hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Arătați că ecuația x2+5^=0^\displaystyle x^2+\hat{5}=\hat{0} nu are soluții în mulțimea Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2+5^=0^\displaystyle x^2+\hat{5}=\hat{0} este echivalentă cu x2=−5^=3^\displaystyle x^2=-\hat{5}=\hat{3} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Deci trebuie să vedem dacă 3^\displaystyle \hat{3} este pătrat în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Calculăm pătratele tuturor elementelor din Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
    x2=−5^=3^\displaystyle x^2=-\hat{5}=\hat{3}
  2. Calculăm pătratele (resturile la împărțirea cu 8\displaystyle 8): 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}, 3^2=9^=1^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{1}, 4^2=16^=0^\displaystyle \hat{4}^2=\hat{16}=\hat{0}, 5^2=25^=1^\displaystyle \hat{5}^2=\hat{25}=\hat{1}, 6^2=36^=4^\displaystyle \hat{6}^2=\hat{36}=\hat{4}, 7^2=49^=1^\displaystyle \hat{7}^2=\hat{49}=\hat{1}. Deci pătratele posibile sunt doar 0^\displaystyle \hat{0}, 1^\displaystyle \hat{1} și 4^\displaystyle \hat{4}.
    x2∈{0^,1^,4^}\displaystyle x^2\in\{\hat{0},\hat{1},\hat{4}\}
  3. Adunăm 5^\displaystyle \hat{5} la fiecare pătrat posibil: 0^+5^=5^\displaystyle \hat{0}+\hat{5}=\hat{5}, 1^+5^=6^\displaystyle \hat{1}+\hat{5}=\hat{6}, 4^+5^=9^=1^\displaystyle \hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{1}. Niciunul dintre rezultate nu este 0^\displaystyle \hat{0}.
    0^+5^=5^≠0^\displaystyle \hat{0}+\hat{5}=\hat{5}\neq\hat{0}, 1^+5^=6^≠0^\displaystyle \ \hat{1}+\hat{5}=\hat{6}\neq\hat{0}, 4^+5^=1^≠0^\displaystyle \ \hat{4}+\hat{5}=\hat{1}\neq\hat{0}
  4. Deoarece x2+5^≠0^\displaystyle x^2+\hat{5}\neq\hat{0} pentru orice x∈Z8\displaystyle x\in\mathbb{Z}_8, ecuația nu are soluții în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
    Ecuația nu are soluții ıˆn \displaystyle \text{Ecuația nu are soluții în }mulțimea Z8\displaystyle \text{mulțimea }\mathbb{Z}_8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Se consideră inelul (Z8,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_8,+,\cdot), unde Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}.

Rezolvați sistemul de ecuații {x+y=4^3^x+2^y=1^\begin{cases}x+y=\hat{4}\\\hat{3}x+\hat{2}y=\hat{1}\end{cases} unde x,y∈Z8\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_8.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în a doua ecuație putem grupa termenii astfel încât să apară suma x+y\displaystyle x+y: 3^x+2^y=x+2^x+2^y=x+2^(x+y)\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}y=x+\hat{2}x+\hat{2}y=x+\hat{2}(x+y).
    3^x+2^y=x+2^(x+y)\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}y=x+\hat{2}(x+y)
  2. Sistemul devine echivalent cu {x+y=4^x+2^(x+y)=1^\displaystyle \begin{cases}x+y=\hat{4}\\x+\hat{2}(x+y)=\hat{1}\end{cases}.
    {x+y=4^x+2^(x+y)=1^\displaystyle \begin{cases}x+y=\hat{4}\\x+\hat{2}(x+y)=\hat{1}\end{cases}
  3. Înlocuim x+y\displaystyle x+y cu 4^\displaystyle \hat{4} în a doua ecuație: x+2^⋅4^=1^\displaystyle x+\hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{1}. Cum 2^⋅4^=8^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{8}=\hat{0} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, obținem x=1^\displaystyle x=\hat{1}.
    {x+y=4^x=1^\displaystyle \begin{cases}x+y=\hat{4}\\x=\hat{1}\end{cases}
  4. Din prima ecuație, cu x=1^\displaystyle x=\hat{1}, obținem y=4^−1^=3^\displaystyle y=\hat{4}-\hat{1}=\hat{3}. Verificare: 3^⋅1^+2^⋅3^=3^+6^=9^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{1}+\hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{3}+\hat{6}=\hat{9}=\hat{1}, deci soluția convine.
    {x=1^y=3^\displaystyle \begin{cases}x=\hat{1}\\y=\hat{3}\end{cases}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați det⁡(C+tC)\displaystyle \det\left(C+{}^tC\right), unde tC\displaystyle {}^tC este transpusa matricei C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea C=I3+A\displaystyle C=I_3+A. Adunarea modifică doar elementele de pe diagonala principală, care devin 1\displaystyle 1.
    C=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Transpusa tC\displaystyle {}^tC se obține schimbând liniile cu coloanele: prima linie a lui C\displaystyle C devine prima coloană a transpusei și așa mai departe.
    tC=(111011001)\displaystyle {}^tC=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm element cu element matricele C\displaystyle C și tC\displaystyle {}^tC. Pe diagonală obținem 1+1=2\displaystyle 1+1=2, iar în rest 1+0=1\displaystyle 1+0=1.
    C+tC=(211121112)\displaystyle C+{}^tC=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei sumă cu regula lui Sarrus. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(C+tC)=(8+1+1)−(2+2+2)\displaystyle \det\left(C+{}^tC\right)=(8+1+1)-(2+2+2)
  5. Efectuăm calculele: 10−6=4\displaystyle 10-6=4.
    det⁡(C+tC)=4\displaystyle \det\left(C+{}^tC\right)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați A3\displaystyle A^3, unde A3=A⋅A⋅A\displaystyle A^3=A\cdot A\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j este suma produselor dintre elementele liniei i\displaystyle i din prima matrice și elementele coloanei j\displaystyle j din a doua matrice.
    A2=(000100110)⋅(000100110)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Prima linie a lui A\displaystyle A este nulă, deci prima linie a produsului este nulă. Linia a doua este (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), deci este egală cu prima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,0,0)\displaystyle (0,0,0). Linia a treia este (1,1,0)\displaystyle (1,1,0), deci este suma primei și celei de-a doua linii ale lui A\displaystyle A, adică (0,0,0)+(1,0,0)=(1,0,0)\displaystyle (0,0,0)+(1,0,0)=(1,0,0).
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A.
    A3=(000000100)⋅(000100110)\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}
  4. Primele două linii ale lui A2\displaystyle A^2 sunt nule, deci și primele două linii ale produsului sunt nule. Linia a treia este (1,0,0)\displaystyle (1,0,0) înmulțită cu A\displaystyle A, adică exact prima linie a lui A\displaystyle A, care este (0,0,0)\displaystyle (0,0,0). Așadar toate elementele sunt zero.
    A3=(000000000)=O3\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Verificați egalitatea (I3+A)(I3−A+A2)=I3\displaystyle \left(I_3+A\right)\left(I_3-A+A^2\right)=I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși.
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A. Rezultă matricea nulă.
    A3=(000000000)=O3\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
  3. Dezvoltăm produsul. Matricea I3\displaystyle I_3 comută cu A\displaystyle A, deci se reduc termenii: I3−A+A2+A−A2+A3\displaystyle I_3-A+A^2+A-A^2+A^3, adică rămân I3\displaystyle I_3 și A3\displaystyle A^3.
    (I3+A)(I3−A+A2)=I3−A+A2+A−A2+A3=I3+A3\displaystyle \left(I_3+A\right)\left(I_3-A+A^2\right)=I_3-A+A^2+A-A^2+A^3=I_3+A^3
  4. Înlocuim A3=O3\displaystyle A^3=O_3 și obținem egalitatea cerută.
    I3+A3=I3+O3=I3\displaystyle I_3+A^3=I_3+O_3=I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care (I3+aA)(I3+A+A2)=I3\displaystyle \left(I_3+aA\right)\left(I_3+A+A^2\right)=I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu ea însăși: singurul element nenul este în colțul din stânga jos, egal cu 1\displaystyle 1.
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A. Obținem matricea nulă.
    A3=O3\displaystyle A^3=O_3
  3. Dezvoltăm produsul prin distributivitate: înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua. Egalitatea din enunț devine (I3+aA)(I3+A+A2)=I3\displaystyle \left(I_3+aA\right)\left(I_3+A+A^2\right)=I_3.
    I3+A+A2+aA+aA2+aA3=I3\displaystyle I_3+A+A^2+aA+aA^2+aA^3=I_3
  4. Folosim A3=O3\displaystyle A^3=O_3, apoi scădem I3\displaystyle I_3 din ambii membri. Grupăm termenii: A+aA=(a+1)A\displaystyle A+aA=(a+1)A și A2+aA2=(a+1)A2\displaystyle A^2+aA^2=(a+1)A^2, deci dăm factor comun a+1\displaystyle a+1.
    (a+1)(A+A2)=O3\displaystyle (a+1)\left(A+A^2\right)=O_3
  5. Calculăm A+A2\displaystyle A+A^2, adunând matricele element cu element. Rezultatul nu este matricea nulă, deoarece are elemente nenule.
    A+A2=(000100210)≠O3\displaystyle A+A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\2&1&0\end{pmatrix}\neq O_3
  6. Deoarece produsul dintre numărul a+1\displaystyle a+1 și matricea nenulă A+A2\displaystyle A+A^2 este matricea nulă, trebuie ca a+1=0\displaystyle a+1=0. Deducem valoarea lui a\displaystyle a.
    a+1=0⇒a=−1\displaystyle a+1=0\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați inversa matricei C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Avem C=I3+A\displaystyle C=I_3+A, deci adunăm elementele de pe aceleași poziții.
    C=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Linia a treia a lui A2\displaystyle A^2 este 1⋅(0,0,0)+1⋅(1,0,0)+0⋅(1,1,0)=(1,0,0)\displaystyle 1\cdot(0,0,0)+1\cdot(1,0,0)+0\cdot(1,1,0)=(1,0,0), iar celelalte linii sunt nule.
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm A3=A⋅A2\displaystyle A^3=A\cdot A^2. Singurul element nenul din A2\displaystyle A^2 este pe poziția (3,1), iar el se înmulțește cu coloana a treia a lui A\displaystyle A, care este nulă, așa că rezultatul este matricea nulă.
    A3=O3\displaystyle A^3=O_3
  4. Calculăm (I3+A)(I3−A+A2)=I3−A+A2+A−A2+A3=I3+A3=I3\displaystyle (I_3+A)(I_3-A+A^2)=I_3-A+A^2+A-A^2+A^3=I_3+A^3=I_3. La fel se obține și produsul în ordine inversă, deci C\displaystyle C este inversabilă.
    C−1=I3−A+A2\displaystyle C^{-1}=I_3-A+A^2
  5. Înlocuim: I3−A+A2=(100010001)−(000100110)+(000000100)\displaystyle I_3-A+A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}. Pe poziția (3,1) avem 0−1+1=0\displaystyle 0-1+1=0.
    C−1=(100−1100−11)\displaystyle C^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Determinați numerele reale x,y,z\displaystyle x,y,z care verifică egalitatea xC+yA2+zI3=A\displaystyle xC+yA^2+zI_3=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Prima linie a lui A\displaystyle A este nulă, deci prima linie a lui A2\displaystyle A^2 este nulă. A doua linie a lui A2\displaystyle A^2 este 1⋅(0,0,0)=(0,0,0)\displaystyle 1\cdot(0,0,0)=(0,0,0), iar a treia linie este suma primelor două linii din A\displaystyle A, adică (1,0,0)\displaystyle (1,0,0).
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem C=I3+A\displaystyle C=I_3+A, adunând element cu element.
    C=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm xC+yA2+zI3\displaystyle xC+yA^2+zI_3 ca o singură matrice și o egalăm cu A\displaystyle A. Pe diagonală apare x+z\displaystyle x+z, pe pozițiile (2,1)\displaystyle (2,1) și (3,2)\displaystyle (3,2) apare x\displaystyle x, iar pe poziția (3,1)\displaystyle (3,1) apare x+y\displaystyle x+y.
    (x+z00xx+z0x+yxx+z)=(000100110)\displaystyle \begin{pmatrix}x+z&0&0\\x&x+z&0\\x+y&x&x+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele de pe aceleași poziții. Obținem sistemul x+z=0\displaystyle x+z=0, x=1\displaystyle x=1 (de pe pozițiile (2,1)\displaystyle (2,1) și (3,2)\displaystyle (3,2)) și x+y=1\displaystyle x+y=1.
    {x+z=0x=1x+y=1\displaystyle \begin{cases}x+z=0\\x=1\\x+y=1\end{cases}
  5. Din x=1\displaystyle x=1 rezultă z=−x=−1\displaystyle z=-x=-1 și y=1−x=0\displaystyle y=1-x=0. Deci numerele cerute sunt x=1\displaystyle x=1, y=0\displaystyle y=0, z=−1\displaystyle z=-1.
    x=1\displaystyle x=1, y=0\displaystyle \ y=0, z=−1\displaystyle \ z=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.