Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 64−(12:0,5−1)=8\displaystyle \sqrt{64}-\left(\frac{1}{2}:0,5-1\right)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm radicalul: 64=8\displaystyle \sqrt{64}=8, deoarece 82=64\displaystyle 8^{2}=64.
    64=8\displaystyle \sqrt{64}=8
  2. Transformăm numărul zecimal în fracție: 0,5=510=12\displaystyle 0,5=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}. Expresia devine 8−(12:12−1)\displaystyle 8-\left(\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}-1\right).
    64−(12:0,5−1)=8−(12:12−1)\displaystyle \sqrt{64}-\left(\frac{1}{2}:0,5-1\right)=8-\left(\frac{1}{2}:\frac{1}{2}-1\right)
  3. Efectuăm împărțirea din paranteză: 12:12=12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1.
    12:12=1\displaystyle \frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1
  4. Calculăm paranteza: 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne 8−0=8\displaystyle 8-0=8, deci egalitatea cerută este adevărată.
    8−(1−1)=8−0=8\displaystyle 8-(1-1)=8-0=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați cel mai mare element al mulțimii A={x∈Z∣x2−3<2x}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^2-3<2x\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mutăm termenul 2x\displaystyle 2x în membrul stâng: x2−3<2x\displaystyle x^{2}-3<2x devine x2−2x−3<0\displaystyle x^{2}-2x-3<0.
    x2−2x−3<0\displaystyle x^{2}-2x-3<0
  2. Rezolvăm ecuația x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=16, deci x=2±42\displaystyle x=\dfrac{2\pm 4}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_{1}=-1, x2=3\displaystyle \ x_{2}=3
  3. Deoarece coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este 1>0\displaystyle 1>0, trinomul x2−2x−3\displaystyle x^{2}-2x-3 este negativ doar între rădăcini, deci x∈(−1,3)\displaystyle x\in(-1,3).
    x2−2x−3<0⇔x∈(−1,3)\displaystyle x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in(-1,3)
  4. Mulțimea A\displaystyle A conține numerele întregi din (−1,3)\displaystyle (-1,3), adică A={0,1,2}\displaystyle A=\{0,1,2\}. Numerele −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3 nu convin, inegalitatea fiind strictă.
    A={0,1,2}\displaystyle A=\{0,1,2\}
  5. Cel mai mare element al mulțimii A\displaystyle A este 2\displaystyle 2.
    2\displaystyle 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+x+1)=log⁡2(3x)\displaystyle \log_2(x^2+x+1)=\log_2(3x).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 are discriminantul Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne condiția 3x>0\displaystyle 3x>0, adică x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Funcția log⁡2\displaystyle \log_2 este injectivă, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor. Scriem ecuația x2+x+1=3x\displaystyle x^{2}+x+1=3x.
    x2+x+1=3x\displaystyle x^{2}+x+1=3x
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2+x−3x=x2−2x\displaystyle x^{2}+x-3x=x^{2}-2x, deci obținem x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0.
    x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0
  4. Recunoaștem pătratul perfect: x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Ecuația devine (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Verificăm condiția de existență: x=1>0\displaystyle x=1>0. Într-adevăr, ambii logaritmi sunt definiți: log⁡2(1+1+1)=log⁡23\displaystyle \log_2(1+1+1)=\log_2 3 și log⁡2(3⋅1)=log⁡23\displaystyle \log_2(3\cdot 1)=\log_2 3. Deci soluția convine.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 17\displaystyle 17.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Căutăm multiplii lui 17\displaystyle 17 care au două cifre. Avem 17⋅1=17\displaystyle 17\cdot 1=17, iar 17⋅6=102\displaystyle 17\cdot 6=102 are trei cifre, deci ne oprim la 17⋅5=85\displaystyle 17\cdot 5=85.
    17⋅1=17\displaystyle 17\cdot 1=17, 17⋅5=85\displaystyle \ 17\cdot 5=85, 17⋅6=102>99\displaystyle \ 17\cdot 6=102>99
  3. Multiplii de două cifre ai lui 17\displaystyle 17 sunt 17,34,51,68,85\displaystyle 17, 34, 51, 68, 85. Deci avem 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    17\displaystyle 17,34\displaystyle 34,51\displaystyle 51,68\displaystyle 68,85, deci 5 cazuri favorabile\displaystyle 85\text{, deci }5\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității, P=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle P=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}, și simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    P=590=118\displaystyle P=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul M(0,1)\displaystyle M(0,1) și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x\displaystyle y=x. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M\displaystyle M și este paralelă cu dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d:y=x\displaystyle d: y=x este de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, cu m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0. Deci panta dreptei d\displaystyle d este md=1\displaystyle m_d=1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta m=md=1\displaystyle m=m_d=1.
    m=1\displaystyle m=1
  3. Ecuația dreptei de pantă m\displaystyle m ce trece prin M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) este y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M). Cu M(0,1)\displaystyle M(0,1) și m=1\displaystyle m=1 obținem y−1=1⋅(x−0)\displaystyle y-1=1\cdot(x-0).
    y−1=1⋅(x−0)\displaystyle y-1=1\cdot(x-0)
  4. Simplificăm: y−1=x\displaystyle y-1=x, deci y=x+1\displaystyle y=x+1. Verificare: pentru x=0\displaystyle x=0 obținem y=1\displaystyle y=1, deci punctul M\displaystyle M se află pe dreaptă.
    y−1=1⋅(x−0), deci y=x+1\displaystyle y-1=1\cdot(x-0)\text{, deci }y=x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=24\displaystyle AB=24, AC=10\displaystyle AC=10, BC=26\displaystyle BC=26 și punctul D\displaystyle D, mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Arătați că lungimea segmentului AD\displaystyle AD este egală cu 13\displaystyle 13.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratele lungimilor laturilor AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC: AB2=242=576\displaystyle AB^{2}=24^{2}=576 și AC2=102=100\displaystyle AC^{2}=10^{2}=100.
    AB2=576\displaystyle AB^{2}=576,AC2=100\displaystyle \quad AC^{2}=100
  2. Adunăm cele două pătrate: AB2+AC2=576+100=676\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=576+100=676. Pe de altă parte, BC2=262=676\displaystyle BC^{2}=26^{2}=676.
    AB2+AC2=676=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=676=BC^{2}
  3. Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, iar BC\displaystyle BC este ipotenuza.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ
  4. D\displaystyle D este mijlocul ipotenuzei BC\displaystyle BC, deci AD\displaystyle AD este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Obținem AD=BC2=262=13\displaystyle AD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{26}{2}=13.
    AD=BC2=262=13\displaystyle AD=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Arătați că 0∗5=5\displaystyle 0*5=5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30 și înlocuim x=0\displaystyle x=0, y=5\displaystyle y=5.
    0∗5=0⋅5−5(0+5)+30\displaystyle 0*5=0\cdot 5-5(0+5)+30
  2. Calculăm produsul 0⋅5=0\displaystyle 0\cdot 5=0 și suma din paranteză 0+5=5\displaystyle 0+5=5, deci 5(0+5)=25\displaystyle 5(0+5)=25.
    0∗5=0−25+30\displaystyle 0*5=0-25+30
  3. Efectuăm 0−25+30=5\displaystyle 0-25+30=5, deci egalitatea cerută este adevărată.
    0∗5=5\displaystyle 0*5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Demonstrați că x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30, și desfacem paranteza: −5(x+y)=−5x−5y\displaystyle -5(x+y)=-5x-5y.
    x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30
  2. Scriem 30=25+5\displaystyle 30=25+5, pentru a putea grupa mai ușor termenii în produsul (x−5)(y−5)\displaystyle (x-5)(y-5).
    x∗y=xy−5x−5y+25+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+25+5
  3. Grupăm primii doi termeni, cu factor comun x\displaystyle x, și următorii doi termeni, cu factor comun −5\displaystyle -5: xy−5x=x(y−5)\displaystyle xy-5x=x(y-5) și −5y+25=−5(y−5)\displaystyle -5y+25=-5(y-5).
    x(y−5)−5(y−5)+5\displaystyle x(y-5)-5(y-5)+5
  4. Scoatem factor comun parantezele (y−5)\displaystyle (y-5) și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x(y−5)−5(y−5)+5=(x−5)(y−5)+5, pentru orice numere \displaystyle x(y-5)-5(y-5)+5=(x-5)(y-5)+5\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Verificați dacă e=6\displaystyle e=6 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Un element e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm aceste egalități pentru e=6\displaystyle e=6.
    x∗6=6∗x=x\displaystyle x*6=6*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Punem legea sub formă factorizată: x∗y=xy−5x−5y+30=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30=(x-5)(y-5)+5, deoarece (x−5)(y−5)=xy−5x−5y+25\displaystyle (x-5)(y-5)=xy-5x-5y+25.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  3. Calculăm x∗6\displaystyle x*6 înlocuind y=6\displaystyle y=6 în forma factorizată. Factorul 6−5\displaystyle 6-5 este egal cu 1\displaystyle 1, deci rămâne x−5+5=x\displaystyle x-5+5=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗6=(x−5)(6−5)+5=x−5+5=x\displaystyle x*6=(x-5)(6-5)+5=x-5+5=x
  4. Calculăm și 6∗x\displaystyle 6*x în același mod. Legea este comutativă, deoarece produsul (x−5)(y−5)\displaystyle (x-5)(y-5) nu depinde de ordinea factorilor, dar facem calculul explicit. Obținem 6∗x=x=x∗6\displaystyle 6*x=x=x*6, deci 6\displaystyle 6 este element neutru.
    6∗x=(6−5)(x−5)+5=x−5+5=x=x∗6, deci e=6 este elementul neutru\displaystyle 6*x=(6-5)(x-5)+5=x-5+5=x=x*6\text{, deci }e=6\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că (x−1)∗(x+1)=8\displaystyle (x-1)*(x+1)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată. Din x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30 obținem x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5, deoarece (x−5)(y−5)=xy−5x−5y+25\displaystyle (x-5)(y-5)=xy-5x-5y+25.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1 și y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1 în forma factorizată și egalăm cu 8\displaystyle 8.
    (x−1−5)(x+1−5)+5=8\displaystyle (x-1-5)(x+1-5)+5=8
  3. Reducem termenii din paranteze: (x−6)(x−4)+5=8\displaystyle (x-6)(x-4)+5=8. Efectuăm produsul: x2−4x−6x+24+5=8\displaystyle x^{2}-4x-6x+24+5=8, adică x2−10x+29=8\displaystyle x^{2}-10x+29=8. Trecem 8\displaystyle 8 în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2−10x+21=0\displaystyle x^{2}-10x+21=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=100−84=16\displaystyle \Delta=100-84=16, deci Δ=4\displaystyle \sqrt{\Delta}=4. Rădăcinile sunt x=10±42\displaystyle x=\dfrac{10\pm 4}{2}. Verificăm și prin factorizare: x2−10x+21=(x−3)(x−7)\displaystyle x^{2}-10x+21=(x-3)(x-7).
    x=10±42\displaystyle x=\dfrac{10\pm 4}{2}
  5. Deci x=62=3\displaystyle x=\dfrac{6}{2}=3 sau x=142=7\displaystyle x=\dfrac{14}{2}=7. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=3 sau x=7\displaystyle x=3\text{ sau }x=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 5x2∗5x2=5\displaystyle 5^{x^2}*5^{x^2}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∗y=xy−5x−5y+30=xy−5x−5y+25+5=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30=xy-5x-5y+25+5=(x-5)(y-5)+5.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Notăm t=5x2>0\displaystyle t=5^{x^{2}}>0. Atunci t∗t=(t−5)(t−5)+5=(t−5)2+5\displaystyle t*t=(t-5)(t-5)+5=(t-5)^{2}+5, iar ecuația devine (t−5)2+5=5\displaystyle (t-5)^{2}+5=5.
    (5x2−5)(5x2−5)+5=5\displaystyle \left(5^{x^{2}}-5\right)\left(5^{x^{2}}-5\right)+5=5
  3. Scădem 5 din ambii membri: (5x2−5)2=0\displaystyle (5^{x^{2}}-5)^{2}=0, deci 5x2−5=0\displaystyle 5^{x^{2}}-5=0.
    5x2−5=0⇔5x2=5\displaystyle 5^{x^{2}}-5=0\Leftrightarrow 5^{x^{2}}=5
  4. Cum 5x2=51\displaystyle 5^{x^{2}}=5^{1} și funcția exponențială de bază 5\displaystyle 5 este injectivă, obținem x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    x2=1\displaystyle x^{2}=1
  5. Din x2=1\displaystyle x^{2}=1 rezultă x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−5(x+y)+30\displaystyle x*y=xy-5(x+y)+30.

Dați exemplu de numere raționale p\displaystyle p și q\displaystyle q, care nu sunt întregi, pentru care numărul p∗q\displaystyle p*q este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: xy−5x−5y+30=xy−5x−5y+25+5\displaystyle xy-5x-5y+30=xy-5x-5y+25+5, deci x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Deoarece 5∈Z\displaystyle 5\in\mathbb{Z}, numărul p∗q\displaystyle p*q este întreg exact când produsul (p−5)(q−5)\displaystyle (p-5)(q-5) este întreg.
    p∗q∈Z⇔(p−5)(q−5)∈Z\displaystyle p*q\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow(p-5)(q-5)\in\mathbb{Z}
  3. Căutăm numere raționale neîntregi p−5\displaystyle p-5 și q−5\displaystyle q-5 cu produsul întreg. Alegem p−5=32\displaystyle p-5=\dfrac{3}{2} și q−5=23\displaystyle q-5=\dfrac{2}{3}, care au produsul 1\displaystyle 1. Atunci p\displaystyle p și q\displaystyle q nu sunt întregi, pentru că p−5\displaystyle p-5 și q−5\displaystyle q-5 nu sunt întregi.
    p−5=32\displaystyle p-5=\dfrac{3}{2}, q−5=23\displaystyle \ q-5=\dfrac{2}{3}
  4. Aflăm p\displaystyle p și q\displaystyle q adunând 5\displaystyle 5: p=32+5=132\displaystyle p=\dfrac{3}{2}+5=\dfrac{13}{2} și q=23+5=173\displaystyle q=\dfrac{2}{3}+5=\dfrac{17}{3}, numere raționale neîntregi.
    p=132∈Q∖Z\displaystyle p=\dfrac{13}{2}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}, q=173∈Q∖Z\displaystyle \ q=\dfrac{17}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}
  5. Verificăm: p∗q=32⋅23+5=1+5=6\displaystyle p*q=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}+5=1+5=6, care este număr întreg. Deci p=132\displaystyle p=\dfrac{13}{2} și q=173\displaystyle q=\dfrac{17}{3} convin.
    p∗q=6∈Z\displaystyle p*q=6\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix} și formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣1023∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula cu a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=2\displaystyle c=2, d=3\displaystyle d=3: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=1⋅3−2⋅0\displaystyle \det A=1\cdot 3-2\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, iar 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0. Scădem și obținem 3−0=3\displaystyle 3-0=3, deci determinantul este 3\displaystyle 3.
    det⁡A=3−0=3\displaystyle \det A=3-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care C(x)⋅B(x)=A\displaystyle C(x)\cdot B(x)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul C(x)⋅B(x)\displaystyle C(x)\cdot B(x) cu matricele date: prima matrice este C(x)\displaystyle C(x), a doua este B(x)\displaystyle B(x).
    C(x)⋅B(x)=(1x23)⋅(10x1)\displaystyle C(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element ca linie înmulțită cu coloană: 1⋅1+x⋅x=1+x2\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot x=1+x^{2}, 1⋅0+x⋅1=x\displaystyle 1\cdot 0+x\cdot 1=x, 2⋅1+3⋅x=2+3x\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot x=2+3x, 2⋅0+3⋅1=3\displaystyle 2\cdot 0+3\cdot 1=3.
    C(x)⋅B(x)=(1+x2x2+3x3), pentru orice numa˘r real x\displaystyle C(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1+x^2&x\\2+3x&3\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  3. Egalăm produsul cu A\displaystyle A, element cu element. Din elementul de pe prima linie și a doua coloană obținem x=0\displaystyle x=0. Verificăm celelalte egalități pentru x=0\displaystyle x=0: 1+02=1\displaystyle 1+0^{2}=1 și 2+3⋅0=2\displaystyle 2+3\cdot 0=2, iar elementul 3\displaystyle 3 coincide.
    (1+x2x2+3x3)=(1023), de unde obținem x=0\displaystyle \begin{pmatrix}1+x^2&x\\2+3x&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că C(x)⋅B(x)−B(x)⋅C(x)=(x202x−x2)\displaystyle C(x)\cdot B(x)-B(x)\cdot C(x)=\begin{pmatrix}x^2&0\\2x&-x^2\end{pmatrix}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(x)⋅C(x)\displaystyle B(x)\cdot C(x), înmulțind liniile lui B(x)\displaystyle B(x) cu coloanele lui C(x)\displaystyle C(x). Prima linie (1, 0)\displaystyle (1,\ 0) dă 1⋅1+0⋅2=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2=1 și 1⋅x+0⋅3=x\displaystyle 1\cdot x+0\cdot 3=x. A doua linie (x, 1)\displaystyle (x,\ 1) dă x⋅1+1⋅2=x+2\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 2=x+2 și x⋅x+1⋅3=x2+3\displaystyle x\cdot x+1\cdot 3=x^{2}+3.
    B(x)⋅C(x)=(1xx+2x2+3)\displaystyle B(x)\cdot C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+2&x^{2}+3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul C(x)⋅B(x)\displaystyle C(x)\cdot B(x), înmulțind liniile lui C(x)\displaystyle C(x) cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Prima linie (1, x)\displaystyle (1,\ x) dă 1⋅1+x⋅x=1+x2\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot x=1+x^{2} și 1⋅0+x⋅1=x\displaystyle 1\cdot 0+x\cdot 1=x. A doua linie (2, 3)\displaystyle (2,\ 3) dă 2⋅1+3⋅x=2+3x\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot x=2+3x și 2⋅0+3⋅1=3\displaystyle 2\cdot 0+3\cdot 1=3.
    C(x)⋅B(x)=(1+x2x2+3x3)\displaystyle C(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1+x^{2}&x\\2+3x&3\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: 1+x2−1=x2\displaystyle 1+x^{2}-1=x^{2}, x−x=0\displaystyle x-x=0, 2+3x−(x+2)=2x\displaystyle 2+3x-(x+2)=2x și 3−(x2+3)=−x2\displaystyle 3-(x^{2}+3)=-x^{2}. Obținem matricea cerută, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    C(x)⋅B(x)−B(x)⋅C(x)=(1+x2−1x−x2+3x−x−23−x2−3)=(x202x−x2)\displaystyle C(x)\cdot B(x)-B(x)\cdot C(x)=\begin{pmatrix}1+x^{2}-1&x-x\\2+3x-x-2&3-x^{2}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{2}&0\\2x&-x^{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru x=0\displaystyle x=0, determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅B(x)=A⋅C(x)\displaystyle X\cdot B(x)=A\cdot C(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea B(x)\displaystyle B(x). Obținem matricea unitate de ordin 2.
    B(0)=(1001)=I2\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea C(x)\displaystyle C(x).
    C(0)=(1023)\displaystyle C(0)=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}
  3. Deoarece B(0)=I2\displaystyle B(0)=I_2, egalitatea X⋅B(0)=A⋅C(0)\displaystyle X\cdot B(0)=A\cdot C(0) devine X=A⋅C(0)\displaystyle X=A\cdot C(0).
    X=A⋅C(0)=(1023)⋅(1023)\displaystyle X=A\cdot C(0)=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}
  4. Calculăm produsul, element cu element, linie pe coloană. Prima linie: 1⋅1+0⋅2=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2=1 și 1⋅0+0⋅3=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 3=0. A doua linie: 2⋅1+3⋅2=8\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 2=8 și 2⋅0+3⋅3=9\displaystyle 2\cdot 0+3\cdot 3=9.
    X=(1089)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&0\\8&9\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr întreg x\displaystyle x, matricea C(x)\displaystyle C(x) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Prin urmare, calculăm determinantul matricei C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}.
    det⁡(C(x))=∣1x23∣\displaystyle \det(C(x))=\begin{vmatrix}1&x\\2&3\end{vmatrix}
  2. Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 1⋅3−x⋅2\displaystyle 1\cdot 3-x\cdot 2.
    det⁡(C(x))=1⋅3−x⋅2=3−2x, pentru orice numa˘r \displaystyle \det(C(x))=1\cdot 3-x\cdot 2=3-2x\text{, pentru orice număr }ıˆntreg x\displaystyle \text{întreg }x
  3. Presupunem prin absurd că determinantul este zero, adică 3−2x=0\displaystyle 3-2x=0. Atunci 2x=3\displaystyle 2x=3, deci x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}, care nu este număr întreg. Altfel spus, 2x\displaystyle 2x este număr par, iar 3\displaystyle 3 este impar, deci egalitatea nu poate avea loc pentru x\displaystyle x întreg.
    2x≠3, pentru orice x∈Z\displaystyle 2x\neq 3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{Z}
  4. Deoarece 2x≠3\displaystyle 2x\neq 3, determinantul 3−2x\displaystyle 3-2x este nenul pentru orice x\displaystyle x întreg. Așadar matricea C(x)\displaystyle C(x) este inversabilă.
    2x≠3, obținem det⁡(C(x))≠0, deci C(x) este inversabila˘\displaystyle 2x\neq3\text{, obținem }\det(C(x))\neq0\text{, deci }C(x)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1023)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}, B(x)=(10x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix} și C(x)=(1x23)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele naturale x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x)+C(x))>0\displaystyle \det(B(x)+C(x))>0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma matricelor B(x)\displaystyle B(x) și C(x)\displaystyle C(x), adunând elementele de pe aceleași poziții: B(x)+C(x)=(1+10+xx+21+3)\displaystyle B(x)+C(x)=\begin{pmatrix}1+1&0+x\\x+2&1+3\end{pmatrix}.
    B(x)+C(x)=(2xx+24)\displaystyle B(x)+C(x)=\begin{pmatrix}2&x\\x+2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul sumei: det⁡(B(x)+C(x))=2⋅4−x(x+2)=8−x2−2x\displaystyle \det(B(x)+C(x))=2\cdot 4-x(x+2)=8-x^{2}-2x.
    det⁡(B(x)+C(x))=−x2−2x+8\displaystyle \det(B(x)+C(x))=-x^{2}-2x+8
  3. Condiția det⁡(B(x)+C(x))>0\displaystyle \det(B(x)+C(x))>0 devine −x2−2x+8>0\displaystyle -x^{2}-2x+8>0, adică, după înmulțirea cu −1\displaystyle -1 (se schimbă sensul), x2+2x−8<0\displaystyle x^{2}+2x-8<0.
    x2+2x−8<0\displaystyle x^{2}+2x-8<0
  4. Pentru x2+2x−8=0\displaystyle x^{2}+2x-8=0 avem Δ=4+32=36\displaystyle \Delta=4+32=36, deci x=−2±62\displaystyle x=\dfrac{-2\pm 6}{2}, adică x1=−4\displaystyle x_1=-4 și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=−4\displaystyle x_1=-4, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini: x∈(−4,2)\displaystyle x\in(-4,2). Cum x\displaystyle x este număr natural, rămân doar valorile 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    x∈(−4,2), deci x=0 sau x=1\displaystyle x\in(-4,2)\text{, deci }x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.