Bac matematică M4 pedagogic 2021, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(13−1+13+1)=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor. Numitorul comun este produsul (3−1)(3+1)\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1).
    13−1+13+1=3+1+3−1(3−1)(3+1)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}
  2. Calculăm numitorul cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}: (3−1)(3+1)=3−1=2\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2.
    (3−1)(3+1)=(3)2−12=3−1=2\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3-1=2
  3. Scriem expresia inițială cu fracția obținută: numărătorul are termenii 3+1\displaystyle \sqrt{3}+1 și 3−1\displaystyle \sqrt{3}-1, iar numitorul este 2\displaystyle 2.
    3⋅3+1+3−12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2}
  4. Reducem termenii din numărător: +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1 se anulează, rămâne 23\displaystyle 2\sqrt{3}. Simplificăm cu 2\displaystyle 2.
    3⋅232=3⋅3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
  5. Efectuăm înmulțirea: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci egalitatea este demonstrată.
    3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2. Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care f(n)<0\displaystyle f(n)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu n\displaystyle n în formula funcției: f(n)=n−2\displaystyle f(n)=n-2. Condiția f(n)<0\displaystyle f(n)<0 devine n−2<0\displaystyle n-2<0.
    f(n)=n−2, deci n−2<0\displaystyle f(n)=n-2\text{, deci }n-2<0
  2. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri ai inegalității n−2<0\displaystyle n-2<0, deci obținem n<2\displaystyle n<2.
    n<2\displaystyle n<2
  3. Căutăm numerele naturale strict mai mici decât 2\displaystyle 2. Numerele naturale încep de la 0\displaystyle 0, deci singurele valori sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    n<2, deci n=0 sau n=1\displaystyle n<2\text{, deci }n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−1)=1\displaystyle \log_3\left(x^2-1\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică x2−1>0\displaystyle x^{2}-1>0, deci x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)\displaystyle x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
    x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)\displaystyle x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡3a=1\displaystyle \log_3 a=1 exact când a=31=3\displaystyle a=3^{1}=3. Obținem x2−1=3\displaystyle x^{2}-1=3.
    x2−1=3\displaystyle x^{2}-1=3
  3. Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul stâng și obținem ecuația de gradul doi x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0.
    x2−1=3⇒x2−4=0\displaystyle x^{2}-1=3\Rightarrow x^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0, deci x=2\displaystyle x=2 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    (x−2)(x+2)=0⇒x=2 sau x=−2\displaystyle (x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=2\text{ sau }x=-2
  5. Verificăm soluțiile: pentru x=±2\displaystyle x=\pm 2 avem x2−1=3>0\displaystyle x^{2}-1=3>0, deci ambele soluții convin. Soluțiile ecuației sunt −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2.
    x=−2 sau x=2, care convin\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, prețul unui obiect este 660\displaystyle 660 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de scumpire, în lei. O scumpire cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că prețul crește cu 20%\displaystyle 20\% din x\displaystyle x, adică cu 20100⋅x\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot x.
    pret¸ul init¸ial =x\displaystyle \text{pre\c{t}ul ini\c{t}ial } = x, cres¸terea =20100⋅x\displaystyle \ \text{cre\c{s}terea } = \frac{20}{100}\cdot x
  2. Prețul după scumpire este prețul inițial plus creșterea și este egal cu 660\displaystyle 660 de lei, deci obținem ecuația:
    x+20100⋅x=660\displaystyle x+\frac{20}{100}\cdot x=660
  3. Simplificăm fracția 20100=15\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} și dăm x\displaystyle x factor comun: x(1+15)=660\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{5}\right)=660, adică 65⋅x=660\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot x=660.
    65⋅x=660\displaystyle \frac{6}{5}\cdot x=660
  4. Înmulțim ambii membri cu 56\displaystyle \dfrac{5}{6} și obținem x=660⋅56=110⋅5=550\displaystyle x=660\cdot\dfrac{5}{6}=110\cdot 5=550. Prețul obiectului înainte de scumpire a fost de 550\displaystyle 550 de lei.
    x=550 de lei\displaystyle x=550\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(2,0)\displaystyle M(2,0) și este paralelă cu dreapta d\displaystyle d de ecuație y=3x\displaystyle y=3x.
Vezi rezolvarea
  1. Citim panta dreptei d\displaystyle d din ecuația ei redusă y=3x\displaystyle y=3x: panta este coeficientul lui x\displaystyle x, adică 3\displaystyle 3.
    md=3\displaystyle m_d=3
  2. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta egală cu panta lui d\displaystyle d.
    m=md=3\displaystyle m=m_d=3
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin punctul M(2,0)\displaystyle M(2,0) și are panta 3\displaystyle 3, folosind formula y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M).
    y−0=3(x−2)\displaystyle y-0=3(x-2)
  4. Desfacem parantezele și obținem ecuația redusă a dreptei. Răspuns final: y=3x−6\displaystyle y=3x-6.
    y−0=3(x−2), deci y=3x−6\displaystyle y-0=3(x-2)\text{, deci }y=3x-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria rombului ABCD\displaystyle ABCD, știind că AC=25\displaystyle AC=2\sqrt{5} și BD=4\displaystyle BD=4.
Vezi rezolvarea
  1. Aria unui romb este egală cu semiprodusul diagonalelor sale. Scriem formula pentru rombul ABCD\displaystyle ABCD, cu diagonalele AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD.
    AABCD=AC⋅BD2\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}
  2. Înlocuim în formulă valorile date pentru diagonale: AC=25\displaystyle AC=2\sqrt{5} și BD=4\displaystyle BD=4.
    AABCD=25⋅42\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 4}{2}
  3. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2 și obținem aria rombului: 25⋅4:2=45\displaystyle 2\sqrt{5}\cdot 4:2=4\sqrt{5}.
    AABCD=45\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=4\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Arătați că (−3)∗3=−13\displaystyle (-3)*3=-13.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14 și înlocuim x=−3\displaystyle x=-3, y=3\displaystyle y=3.
    (−3)∗3=3⋅(−3)⋅3+7⋅((−3)+3)+14\displaystyle (-3)*3=3\cdot(-3)\cdot 3+7\cdot((-3)+3)+14
  2. Calculăm separat: 3⋅(−3)⋅3=−27\displaystyle 3\cdot(-3)\cdot 3=-27, iar (−3)+3=0\displaystyle (-3)+3=0, deci 7⋅0=0\displaystyle 7\cdot 0=0.
    (−3)∗3=−27+0+14\displaystyle (-3)*3=-27+0+14
  3. Adunăm termenii rămași: −27+14=−13\displaystyle -27+14=-13, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−3)∗3=−27+14=−13\displaystyle (-3)*3=-27+14=-13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii și scriem x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuim în expresie.
    x∗y=3xy+7(x+y)+14=3yx+7(y+x)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14=3yx+7(y+x)+14
  3. Expresia obținută este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x, obținută prin schimbarea rolului lui x\displaystyle x cu cel al lui y\displaystyle y în formula legii. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Arătați că x∗y=3(x+73)(y+73)−73\displaystyle x*y=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14. Desfacem paranteza 7(x+y)\displaystyle 7(x+y).
    x∗y=3xy+7x+7y+14\displaystyle x*y=3xy+7x+7y+14
  2. Scriem 14=493−73\displaystyle 14=\dfrac{49}{3}-\dfrac{7}{3}, deoarece 493−73=423=14\displaystyle \dfrac{49}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{42}{3}=14. Astfel apare termenul 493\displaystyle \dfrac{49}{3}, necesar completării produsului.
    x∗y=3xy+7x+7y+493−73\displaystyle x*y=3xy+7x+7y+\frac{49}{3}-\frac{7}{3}
  3. Verificăm cum arată produsul din dreapta: 3(x+73)(y+73)=3(xy+73x+73y+499)\displaystyle 3\left(x+\dfrac{7}{3}\right)\left(y+\dfrac{7}{3}\right)=3\left(xy+\dfrac{7}{3}x+\dfrac{7}{3}y+\dfrac{49}{9}\right). Înmulțind cu 3 în paranteză obținem 3xy+7x+7y+493\displaystyle 3xy+7x+7y+\dfrac{49}{3}.
    3(x+73)(y+73)=3xy+7x+7y+493\displaystyle 3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)=3xy+7x+7y+\frac{49}{3}
  4. Înlocuim în x∗y=3xy+7x+7y+493−73\displaystyle x*y=3xy+7x+7y+\dfrac{49}{3}-\dfrac{7}{3} grupul 3xy+7x+7y+493\displaystyle 3xy+7x+7y+\dfrac{49}{3} cu produsul factorizat și păstrăm termenul −73\displaystyle -\dfrac{7}{3}. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=3(x+73)(y+73)−73\displaystyle x*y=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=x\displaystyle x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=3x⋅x+7(x+x)+14\displaystyle x*x=3x\cdot x+7(x+x)+14. Efectuăm calculele.
    x∗x=3x2+14x+14\displaystyle x*x=3x^{2}+14x+14
  2. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 din primii doi termeni: 3(x2+143x)+14\displaystyle 3\left(x^{2}+\dfrac{14}{3}x\right)+14. Completăm pătratul cu 499\displaystyle \dfrac{49}{9}: 3(x+73)2−493+14\displaystyle 3\left(x+\dfrac{7}{3}\right)^{2}-\dfrac{49}{3}+14. Cum −493+14=−73\displaystyle -\dfrac{49}{3}+14=-\dfrac{7}{3}, obținem forma canonică.
    x∗x=3(x+73)2−73\displaystyle x*x=3\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}-\frac{7}{3}
  3. Ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x devine 3x2+14x+14=x\displaystyle 3x^{2}+14x+14=x. Mutăm x\displaystyle x în membrul stâng.
    3x2+13x+14=0\displaystyle 3x^{2}+13x+14=0
  4. Scriem 13x=6x+7x\displaystyle 13x=6x+7x: 3x2+6x+7x+14=3x(x+2)+7(x+2)\displaystyle 3x^{2}+6x+7x+14=3x(x+2)+7(x+2). Dăm factor comun x+2\displaystyle x+2.
    (x+2)(3x+7)=0\displaystyle (x+2)(3x+7)=0
  5. Din x+2=0\displaystyle x+2=0 obținem x=−2\displaystyle x=-2, iar din 3x+7=0\displaystyle 3x+7=0 obținem x=−73\displaystyle x=-\dfrac{7}{3}. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x=−73 sau x=−2\displaystyle x=-\frac{7}{3}\text{ sau }x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Arătați că x∗1x≥31\displaystyle x*\frac{1}{x}\ge 31, pentru orice număr real x\displaystyle x, x>0\displaystyle x>0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14 cu y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x}.
    x∗1x=3⋅x⋅1x+7(x+1x)+14\displaystyle x*\frac{1}{x}=3\cdot x\cdot\frac{1}{x}+7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14
  2. Deoarece x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, avem 3⋅1+14=17\displaystyle 3\cdot 1+14=17.
    x∗1x=7(x+1x)+17\displaystyle x*\frac{1}{x}=7\left(x+\frac{1}{x}\right)+17
  3. Inegalitatea x∗1x≥31\displaystyle x*\dfrac{1}{x}\ge 31 devine 7(x+1x)+17≥31\displaystyle 7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+17\ge 31, adică 7(x+1x)≥14\displaystyle 7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\ge 14, deci x+1x≥2\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\ge 2.
    x∗1x≥31⇔3⋅x⋅1x+7(x+1x)+14≥31⇔x+1x≥2\displaystyle x*\frac{1}{x}\ge 31\Leftrightarrow 3\cdot x\cdot\frac{1}{x}+7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14\ge 31\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge 2
  4. Scriem x+1x−2=x2−2x+1x=(x−1)2x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^{2}}{x}.
    x+1x−2=x2−2x+1x=(x−1)2x\displaystyle x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^{2}-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^{2}}{x}
  5. Deoarece (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\ge 0 și x>0\displaystyle x>0, fracția (x−1)2x\displaystyle \dfrac{(x-1)^{2}}{x} este pozitivă sau nulă. Deci x+1x≥2\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\ge 2, iar x∗1x≥31\displaystyle x*\dfrac{1}{x}\ge 31 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    x+1x−2≥0⇔(x−1)2x≥0, adeva˘rat pentru orice \displaystyle x+\frac{1}{x}-2\ge 0\Leftrightarrow\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\text{, adevărat pentru orice }numa˘r real x, x>0\displaystyle \text{număr real }x\text{, }x>0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy+7(x+y)+14\displaystyle x*y=3xy+7(x+y)+14.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 3x∗3x=83\displaystyle 3^x*3^x=83.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm t=3x\displaystyle t=3^x. Cum 3x>0\displaystyle 3^x>0, avem t>0\displaystyle t>0, iar ecuația devine t∗t=83\displaystyle t*t=83.
    t=3x>0\displaystyle t=3^x>0,t∗t=83\displaystyle \quad t*t=83
  2. Scriem legea în formă canonică. Desfacem parantezele: 3(x+73)(y+73)=3xy+7(x+y)+493\displaystyle 3\left(x+\dfrac{7}{3}\right)\left(y+\dfrac{7}{3}\right)=3xy+7(x+y)+\dfrac{49}{3}. Scăzând 73\displaystyle \dfrac{7}{3} obținem 3xy+7(x+y)+14\displaystyle 3xy+7(x+y)+14, deci forma canonică este corectă.
    x∗y=3(x+73)(y+73)−73\displaystyle x*y=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}
  3. Pentru x=y=t\displaystyle x=y=t, ecuația devine 3(t+73)2−73=83\displaystyle 3\left(t+\dfrac{7}{3}\right)^2-\dfrac{7}{3}=83. Mutăm 73\displaystyle \dfrac{7}{3} în dreapta: 83+73=2563\displaystyle 83+\dfrac{7}{3}=\dfrac{256}{3}. Împărțim la 3 și obținem (t+73)2=2569\displaystyle \left(t+\dfrac{7}{3}\right)^2=\dfrac{256}{9}.
    3(3x+73)2−73=83⇔(3x+73)2=2569\displaystyle 3\left(3^x+\frac{7}{3}\right)^2-\frac{7}{3}=83\Leftrightarrow\left(3^x+\frac{7}{3}\right)^2=\frac{256}{9}
  4. Extragem rădăcina pătrată: t+73=±163\displaystyle t+\dfrac{7}{3}=\pm\dfrac{16}{3}. Prima variantă dă t=3\displaystyle t=3, a doua dă t=−233\displaystyle t=-\dfrac{23}{3}. Cum t>0\displaystyle t>0, a doua soluție nu convine.
    t+73=163⇒t=3; t=−233<0 nu convine\displaystyle t+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\Rightarrow t=3\text{; }t=-\frac{23}{3}<0\text{ nu convine}
  5. Revenim la notația t=3x\displaystyle t=3^x. Din 3x=3\displaystyle 3^x=3 rezultă x=1\displaystyle x=1.
    3x+73=163⇒3x=3, deci x=1\displaystyle 3^x+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\Rightarrow 3^x=3\text{, deci }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=8\displaystyle \det(A(1))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1), cu 3\displaystyle 3 pe diagonala principală și 1\displaystyle 1 în rest.
    A(1)=(3113)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordinul doi se calculează ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc. Aici avem a=3\displaystyle a=3, b=1\displaystyle b=1, c=1\displaystyle c=1, d=3\displaystyle d=3.
    det⁡(A(1))=∣3113∣=3⋅3−1⋅1\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{vmatrix}=3\cdot 3-1\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile și scăderea: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 9−1=8\displaystyle 9-1=8. Deci det⁡(A(1))=8\displaystyle \det(A(1))=8, ceea ce trebuia arătat.
    9−1=8\displaystyle 9-1=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(0)⋅A(2020)=3A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=3A(2020).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(0)\displaystyle A(0), care are 3\displaystyle 3 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    A(0)=(3003)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 din matrice: A(0)\displaystyle A(0) este 3\displaystyle 3 ori matricea unitate de ordin 2\displaystyle 2, notată I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
    A(0)=3(1001)=3I2\displaystyle A(0)=3\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=3I_2
  3. Scriem produsul cerut, înlocuind A(0)\displaystyle A(0) cu 3I2\displaystyle 3I_2.
    A(0)⋅A(2020)=3I2⋅A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=3I_2\cdot A(2020)
  4. Matricea unitate este element neutru la înmulțirea matricelor, deci I2⋅A(2020)=A(2020)\displaystyle I_2\cdot A(2020)=A(2020). Scalarul 3\displaystyle 3 rămâne în față, așa că egalitatea cerută este demonstrată.
    A(0)⋅A(2020)=3(I2⋅A(2020))=3A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=3\left(I_2\cdot A(2020)\right)=3A(2020)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=−16\displaystyle \det(A(a))=-16.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) ca diferență dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=3⋅3−a⋅a\displaystyle \det(A(a))=3\cdot 3-a\cdot a.
    det⁡(A(a))=∣3aa3∣=9−a2\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}3 & a\\ a & 3\end{vmatrix}=9-a^{2}
  2. Punem condiția din enunț: det⁡(A(a))=−16\displaystyle \det(A(a))=-16, deci obținem ecuația 9−a2=−16\displaystyle 9-a^{2}=-16.
    9−a2=−16\displaystyle 9-a^{2}=-16
  3. Mutăm toți termenii într-o parte: adăugăm a2+16\displaystyle a^{2}+16 în ambii membri și reducem termenii asemenea. Obținem a2−25=0\displaystyle a^{2}-25=0.
    a2−25=0\displaystyle a^{2}-25=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (a−5)(a+5)=0\displaystyle (a-5)(a+5)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci a=5\displaystyle a=5 sau a=−5\displaystyle a=-5. Ambele valori convin, deoarece a\displaystyle a poate fi orice număr real.
    a=−5 sau a=5\displaystyle a=-5\text{ sau }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)+A(2)+…+A(10)=10A(112)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(10)=10A\left(\frac{11}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma A(1)+A(2)+…+A(10)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(10), unde A(k)=(3kk3)\displaystyle A(k)=\begin{pmatrix}3 & k\\ k & 3\end{pmatrix}, pentru k=1,2,…,10\displaystyle k=1,2,\ldots,10.
    A(1)+…+A(10)=(3113)+(3223)+…+(310103)\displaystyle A(1)+\ldots+A(10)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}+\ldots+\begin{pmatrix}3 & 10\\ 10 & 3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe diagonala principală apare numărul 3\displaystyle 3 de 10\displaystyle 10 ori, iar pe cealaltă diagonală apare suma 1+2+…+10\displaystyle 1+2+\ldots+10.
    (3⋅101+2+…+101+2+…+103⋅10)\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot 10 & 1+2+\ldots+10\\ 1+2+\ldots+10 & 3\cdot 10\end{pmatrix}
  3. Folosim formula 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} pentru n=10\displaystyle n=10.
    1+2+…+10=10⋅112=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=\frac{10\cdot 11}{2}=55
  4. Înlocuim în matrice: 3⋅10=30\displaystyle 3\cdot 10=30, iar suma este 55\displaystyle 55.
    A(1)+…+A(10)=(30555530)\displaystyle A(1)+\ldots+A(10)=\begin{pmatrix}30 & 55\\ 55 & 30\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun 10\displaystyle 10: 30=10⋅3\displaystyle 30=10\cdot 3 și 55=10⋅112\displaystyle 55=10\cdot\dfrac{11}{2}. Matricea rămasă este chiar A(112)\displaystyle A\left(\dfrac{11}{2}\right), deci egalitatea este demonstrată.
    (30555530)=10(31121123)=10A(112)\displaystyle \begin{pmatrix}30 & 55\\ 55 & 30\end{pmatrix}=10\begin{pmatrix}3 & \frac{11}{2}\\ \frac{11}{2} & 3\end{pmatrix}=10A\left(\frac{11}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural m\displaystyle m pentru care matricea B=A(m)+A(m2)\displaystyle B=A(m)+A\left(m^2\right) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A(m)=(3mm3)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}3 & m\\ m & 3\end{pmatrix} și A(m2)=(3m2m23)\displaystyle A\left(m^2\right)=\begin{pmatrix}3 & m^2\\ m^2 & 3\end{pmatrix}. Adunăm matricele element cu element.
    B=(6m+m2m+m26)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6 & m+m^2\\ m+m^2 & 6\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡B=6⋅6−(m+m2)(m+m2)\displaystyle \det B=6\cdot 6-\left(m+m^2\right)\left(m+m^2\right).
    det⁡B=36−(m+m2)2\displaystyle \det B=36-\left(m+m^2\right)^2
  3. Matricea B\displaystyle B nu este inversabilă exact când det⁡B=0\displaystyle \det B=0, deci obținem ecuația 36−(m+m2)2=0\displaystyle 36-\left(m+m^2\right)^2=0, adică (m+m2)2=36\displaystyle \left(m+m^2\right)^2=36.
    (m+m2)2=36\displaystyle \left(m+m^2\right)^2=36
  4. Pentru m∈N\displaystyle m\in\mathbb{N} avem m+m2≥0\displaystyle m+m^2\ge 0, deci din (m+m2)2=36\displaystyle \left(m+m^2\right)^2=36 rezultă m+m2=6\displaystyle m+m^2=6, adică m2+m−6=0\displaystyle m^2+m-6=0.
    m2+m−6=0\displaystyle m^2+m-6=0
  5. Discriminantul este Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci m=−1±52\displaystyle m=\dfrac{-1\pm 5}{2}, adică m=2\displaystyle m=2 sau m=−3\displaystyle m=-3. Doar m=2\displaystyle m=2 este număr natural.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3aa3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ a & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați perechile de numere întregi (a,b)\displaystyle (a,b) pentru care suma elementelor matricei A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) este egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 3⋅3+a⋅b=9+ab\displaystyle 3\cdot 3+a\cdot b=9+ab. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este 3b+3a\displaystyle 3b+3a. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 3a+3b\displaystyle 3a+3b. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este ab+9\displaystyle ab+9.
    A(a)⋅A(b)=(9+ab3a+3b3a+3bab+9)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}9+ab & 3a+3b\\ 3a+3b & ab+9\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele patru elemente ale matricei: două elemente egale cu 9+ab\displaystyle 9+ab și două egale cu 3a+3b\displaystyle 3a+3b. Punem condiția ca suma să fie 2\displaystyle 2.
    2(9+ab)+2(3a+3b)=2\displaystyle 2(9+ab)+2(3a+3b)=2
  3. Desfacem parantezele: 18+2ab+6a+6b=2\displaystyle 18+2ab+6a+6b=2. Împărțim egalitatea la 2\displaystyle 2 și obținem 9+ab+3a+3b=1\displaystyle 9+ab+3a+3b=1, adică forma echivalentă din barem.
    ab+3a+3b+9=1\displaystyle ab+3a+3b+9=1
  4. Observăm că ab+3a+3b+9=a(b+3)+3(b+3)=(a+3)(b+3)\displaystyle ab+3a+3b+9=a(b+3)+3(b+3)=(a+3)(b+3). Condiția devine (a+3)(b+3)=1\displaystyle (a+3)(b+3)=1.
    (a+3)(b+3)=1\displaystyle (a+3)(b+3)=1
  5. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt întregi, a+3\displaystyle a+3 și b+3\displaystyle b+3 sunt numere întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Singurii divizori întregi ai lui 1\displaystyle 1 sunt 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, deci avem cazurile a+3=b+3=1\displaystyle a+3=b+3=1 sau a+3=b+3=−1\displaystyle a+3=b+3=-1.
    a+3=b+3=1 sau a+3=b+3=−1\displaystyle a+3=b+3=1\text{ sau }a+3=b+3=-1
  6. Rezolvăm cazurile. Dacă a+3=1\displaystyle a+3=1 și b+3=1\displaystyle b+3=1, atunci a=b=−2\displaystyle a=b=-2. Dacă a+3=−1\displaystyle a+3=-1 și b+3=−1\displaystyle b+3=-1, atunci a=b=−4\displaystyle a=b=-4. Perechile căutate sunt (−2,−2)\displaystyle (-2,-2) și (−4,−4)\displaystyle (-4,-4).
    (a,b)∈{(−2,−2), (−4,−4)}\displaystyle (a,b)\in\{(-2,-2),\,(-4,-4)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.