Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 16+49−121=0\displaystyle \sqrt{16}+\sqrt{49}-\sqrt{121}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 16\displaystyle \sqrt{16}: deoarece 42=16\displaystyle 4^{2}=16, avem 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4.
    16=4\displaystyle \sqrt{16}=4
  2. Calculăm 49\displaystyle \sqrt{49}: deoarece 72=49\displaystyle 7^{2}=49, avem 49=7\displaystyle \sqrt{49}=7.
    49=7\displaystyle \sqrt{49}=7
  3. Calculăm 121\displaystyle \sqrt{121}: deoarece 112=121\displaystyle 11^{2}=121, avem 121=11\displaystyle \sqrt{121}=11. Astfel avem toate cele trei valori ale radicalilor.
    16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, 49=7\displaystyle \ \sqrt{49}=7, 121=11\displaystyle \ \sqrt{121}=11
  4. Înlocuim valorile în expresie: 16+49−121=4+7−11\displaystyle \sqrt{16}+\sqrt{49}-\sqrt{121}=4+7-11. Cum 4+7=11\displaystyle 4+7=11, obținem 11−11=0\displaystyle 11-11=0, deci egalitatea este adevărată.
    16+49−121=4+7−11=0\displaystyle \sqrt{16}+\sqrt{49}-\sqrt{121}=4+7-11=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 5(x+2)≤15\displaystyle 5(x+2)\le 15.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la inecuația 5(x+2)≤15\displaystyle 5(x+2)\le 15. Deoarece 5>0\displaystyle 5>0, putem împărți ambii membri la 5\displaystyle 5, iar sensul inegalității rămâne neschimbat.
    5(x+2)5≤155\displaystyle \dfrac{5(x+2)}{5}\le \dfrac{15}{5}
  2. Simplificăm cu 5\displaystyle 5 în fiecare membru și obținem inecuația echivalentă x+2≤3\displaystyle x+2\le 3.
    x+2≤3\displaystyle x+2\le 3
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri pentru a izola necunoscuta: x≤3−2\displaystyle x\le 3-2.
    x≤3−2=1\displaystyle x\le 3-2=1
  4. Mulțimea soluțiilor este formată din toate numerele reale mai mici sau egale cu 1\displaystyle 1, adică intervalul (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1].
    x≤1, deci x∈(−∞,1]\displaystyle x\le 1\text{, deci }x\in(-\infty,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x−8)=1log⁡23\displaystyle \log_3(2x-8)=\dfrac{1}{\log_2 3}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x−8>0\displaystyle 2x-8>0, adică x>4\displaystyle x>4.
    x∈(4,+∞)\displaystyle x\in(4,+\infty)
  2. Transformăm membrul drept folosind formula log⁡ab=1log⁡ba\displaystyle \log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}: avem 1log⁡23=log⁡32\displaystyle \dfrac{1}{\log_2 3}=\log_3 2.
    1log⁡23=log⁡32\displaystyle \dfrac{1}{\log_2 3}=\log_3 2
  3. Ecuația devine log⁡3(2x−8)=log⁡32\displaystyle \log_3(2x-8)=\log_3 2. Logaritmul în baza 3\displaystyle 3 este injectiv, deci egalăm argumentele: 2x−8=2\displaystyle 2x-8=2.
    log⁡3(2x−8)=log⁡32⇒2x−8=2\displaystyle \log_3(2x-8)=\log_3 2\Rightarrow 2x-8=2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2x=10\displaystyle 2x=10, deci x=5\displaystyle x=5. Verificăm condiția: 5>4\displaystyle 5>4, deci soluția convine.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 100\displaystyle 100 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. La prima ieftinire se scade 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial de 100\displaystyle 100 de lei. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 100\displaystyle 100: 10100⋅100=10\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 100=10 lei.
    10100⋅100=10 lei\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 100=10\text{ lei}
  2. Prețul după prima ieftinire este 100−10100⋅100=100−10=90\displaystyle 100-\dfrac{10}{100}\cdot 100=100-10=90 de lei.
    100−10100⋅100=90 de lei\displaystyle 100-\dfrac{10}{100}\cdot 100=90\text{ de lei}
  3. A doua ieftinire se aplică la prețul curent, de 90\displaystyle 90 de lei, nu la cel inițial. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 90\displaystyle 90: 10100⋅90=9\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 90=9 lei.
    10100⋅90=9 lei\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 90=9\text{ lei}
  4. Prețul final este 90−10100⋅90=90−9=81\displaystyle 90-\dfrac{10}{100}\cdot 90=90-9=81 de lei.
    90−10100⋅90=81 de lei\displaystyle 90-\dfrac{10}{100}\cdot 90=81\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(6,8)\displaystyle B(6,8) și C(6,4)\displaystyle C(6,4). Arătați că patrulaterul ABCO\displaystyle ABCO este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Patrulaterul ABCO\displaystyle ABCO are vârfurile în ordinea A,B,C,O\displaystyle A, B, C, O, deci diagonalele sunt AC\displaystyle AC și BO\displaystyle BO. Un patrulater este paralelogram dacă diagonalele lui au același mijloc. Mijlocul unui segment MN\displaystyle MN are coordonatele (xM+xN2,yM+yN2)\displaystyle \left(\dfrac{x_M+x_N}{2},\dfrac{y_M+y_N}{2}\right).
    Mijlocul lui MN: (xM+xN2,yM+yN2)\displaystyle \text{Mijlocul lui }MN:\ \left(\dfrac{x_M+x_N}{2},\dfrac{y_M+y_N}{2}\right)
  2. Calculăm coordonatele mijlocului diagonalei AC\displaystyle AC, cu A(0,4)\displaystyle A(0,4) și C(6,4)\displaystyle C(6,4): xA+xC2=0+62=3\displaystyle \dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{0+6}{2}=3 și yA+yC2=4+42=4\displaystyle \dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4.
    xA+xC2=3 și yA+yC2=4\displaystyle \dfrac{x_A+x_C}{2}=3\text{ și }\dfrac{y_A+y_C}{2}=4
  3. Calculăm coordonatele mijlocului diagonalei OB\displaystyle OB, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(6,8)\displaystyle B(6,8): xO+xB2=0+62=3\displaystyle \dfrac{x_O+x_B}{2}=\dfrac{0+6}{2}=3 și yO+yB2=0+82=4\displaystyle \dfrac{y_O+y_B}{2}=\dfrac{0+8}{2}=4.
    xO+xB2=3 și yO+yB2=4\displaystyle \dfrac{x_O+x_B}{2}=3\text{ și }\dfrac{y_O+y_B}{2}=4
  4. Cele două diagonale au același mijloc, punctul de coordonate (3,4)\displaystyle (3,4). Prin urmare patrulaterul ABCO\displaystyle ABCO este paralelogram.
    AC și OB au același mijloc, deci ABCO este paralelogram\displaystyle AC\text{ și }OB\text{ au același mijloc, deci }ABCO\text{ este paralelogram}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∡A)=60∘\displaystyle m(\measuredangle A)=60^\circ, AB=8\displaystyle AB=8 și AC=8\displaystyle AC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC are AB=AC=8\displaystyle AB=AC=8, deci este isoscel cu baza BC\displaystyle BC. Unghiurile de la bază sunt egale, iar suma unghiurilor este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci fiecare are 180∘−60∘2=60∘\displaystyle \dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.
    m(∡B)=m(∡C)=60∘\displaystyle m(\measuredangle B)=m(\measuredangle C)=60^\circ
  2. Toate unghiurile triunghiului au 60∘\displaystyle 60^\circ, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este echilateral, cu latura 8\displaystyle 8.
    AB=BC=CA=8\displaystyle AB=BC=CA=8
  3. Aria unui triunghi echilateral de latură l\displaystyle l este l234\displaystyle \dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}. Aici latura este AB\displaystyle AB.
    AΔABC=AB234\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}
  4. Înlocuim AB=8\displaystyle AB=8: 82=64\displaystyle 8^{2}=64, iar 644=16\displaystyle \dfrac{64}{4}=16. Obținem aria triunghiului.
    8234=6434=163\displaystyle \dfrac{8^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15.

Arătați că (−2)∗17=0\displaystyle (-2)*17=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 și y\displaystyle y cu 17\displaystyle 17 în definiția legii.
    (−2)∗17=(−2)+17−15\displaystyle (-2)*17=(-2)+17-15
  3. Calculăm suma −2+17=15\displaystyle -2+17=15, apoi scădem 15\displaystyle 15 și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea este adevărată.
    (−2)∗17=15−15=0\displaystyle (-2)*17=15-15=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două grupări, începând cu prima.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu x+y−15\displaystyle x+y-15, conform definiției legii.
    (x∗y)∗z=(x+y−15)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-15)*z
  3. Aplicăm din nou definiția legii, cu primul element x+y−15\displaystyle x+y-15 și al doilea z\displaystyle z: adunăm cele două elemente și scădem 15\displaystyle 15. Reducem termenii constanți.
    (x+y−15)∗z=(x+y−15)+z−15=x+y+z−30\displaystyle (x+y-15)*z=(x+y-15)+z-15=x+y+z-30
  4. Calculăm acum a doua grupare: înlocuim y∗z\displaystyle y*z cu y+z−15\displaystyle y+z-15.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−15)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-15)
  5. Aplicăm definiția legii cu primul element x\displaystyle x și al doilea y+z−15\displaystyle y+z-15, apoi reducem termenii constanți. Obținem aceeași expresie ca la prima grupare, deci legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+(y+z−15)−15=x+y+z−30=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z-15)-15=x+y+z-30=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15. Arătați că (1∗2)∗(8∗9)=(1∗9)∗(2∗8)\displaystyle (1*2)*(8*9)=(1*9)*(2*8).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm separat cele două produse din primul membru, folosind definiția x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15: 1∗2=1+2−15\displaystyle 1*2=1+2-15 și 8∗9=8+9−15\displaystyle 8*9=8+9-15.
    1∗2=−12 și 8∗9=2\displaystyle 1*2=-12\text{ și }8*9=2
  2. Compunem rezultatele obținute: (−12)∗2=−12+2−15\displaystyle (-12)*2=-12+2-15.
    −25\displaystyle -25
  3. Trecem la al doilea membru și calculăm separat produsele: 1∗9=1+9−15\displaystyle 1*9=1+9-15 și 2∗8=2+8−15\displaystyle 2*8=2+8-15.
    1∗9=−5 și 2∗8=−5\displaystyle 1*9=-5\text{ și }2*8=-5
  4. Compunem rezultatele: (−5)∗(−5)=−5−5−15=−25\displaystyle (-5)*(-5)=-5-5-15=-25. Obținem aceeași valoare ca la primul membru, deci egalitatea este adevărată.
    −25\displaystyle -25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15, adică înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∗x=x+x−15=2x−15\displaystyle x*x=x+x-15=2x-15
  2. Calculăm (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x aplicând aceeași lege pentru numerele 2x−15\displaystyle 2x-15 și x\displaystyle x: (2x−15)∗x=(2x−15)+x−15\displaystyle (2x-15)*x=(2x-15)+x-15.
    (x∗x)∗x=(2x−15)+x−15=3x−30\displaystyle (x*x)*x=(2x-15)+x-15=3x-30
  3. Scriem ecuația (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x cu expresia obținută.
    3x−30=x\displaystyle 3x-30=x
  4. Aducem termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă: 3x−x=30\displaystyle 3x-x=30, deci 2x=30\displaystyle 2x=30. Obținem x=15\displaystyle x=15.
    x=15\displaystyle x=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 9x∗3x=−3\displaystyle 9^x*3^x=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15 pentru 9x\displaystyle 9^x și 3x\displaystyle 3^x. Ecuația devine 9x+3x−15=−3\displaystyle 9^x+3^x-15=-3.
    9x+3x−15=−3\displaystyle 9^x+3^x-15=-3
  2. Mutăm termenul liber în stânga și obținem 9x+3x−12=0\displaystyle 9^x+3^x-12=0.
    9x+3x−12=0\displaystyle 9^x+3^x-12=0
  3. Observăm că 9x=(32)x=(3x)2\displaystyle 9^x=\left(3^{2}\right)^x=\left(3^x\right)^2. Notăm t=3x\displaystyle t=3^x și obținem ecuația de gradul al doilea t2+t−12=0\displaystyle t^2+t-12=0.
    t2+t−12=0\displaystyle t^2+t-12=0
  4. Căutăm două numere cu suma 1\displaystyle 1 și produsul −12\displaystyle -12, adică 4\displaystyle 4 și −3\displaystyle -3. Atunci t2+t−12=(t+4)(t−3)\displaystyle t^2+t-12=(t+4)(t-3). Revenind la 3x\displaystyle 3^x, ecuația este (3x+4)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)=0.
    (3x+4)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)=0
  5. Un produs este nul dacă unul dintre factori este nul, deci 3x=−4\displaystyle 3^x=-4 sau 3x=3\displaystyle 3^x=3.
    3x=−4 sau 3x=3\displaystyle 3^x=-4\text{ sau }3^x=3
  6. Cum 3x>0\displaystyle 3^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, ecuația 3x=−4\displaystyle 3^x=-4 nu are soluții. Rămâne 3x=3\displaystyle 3^x=3, de unde x=1\displaystyle x=1.
    3x>0, obținem x=1\displaystyle 3^x>0\text{, obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15.

Demonstrați că x2∗1x2≥−13\displaystyle x^2*\dfrac{1}{x^2}\ge -13, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−15\displaystyle x*y=x+y-15 pentru x2\displaystyle x^{2} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}: se adună cele două numere și se scade 15\displaystyle 15.
    x2∗1x2=x2+1x2−15\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-15
  2. Inegalitatea de demonstrat devine x2+1x2−15≥−13\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-15\ge -13, adică x2+1x2≥2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\ge 2.
    x2+1x2≥2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\ge 2
  3. Pornim de la faptul că orice pătrat de număr real este pozitiv sau nul. Pentru x≠0\displaystyle x\ne 0, numărul x−1x\displaystyle x-\dfrac{1}{x} este real, deci pătratul lui este nenegativ.
    (x−1x)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\ge 0
  4. Dezvoltăm pătratul: x2−2⋅x⋅1x+1x2\displaystyle x^{2}-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}. Cum x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, rămâne x2+1x2−2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2.
    x2+1x2−2≥0\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2\ge 0
  5. Din x2+1x2−2≥0\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2\ge 0 rezultă x2+1x2≥2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\ge 2, deci scăzând 15\displaystyle 15 obținem x2+1x2−15≥2−15=−13\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-15\ge 2-15=-13. Conform primului pas, x2∗1x2≥−13\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}\ge -13, pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    x2+1x2−15≥−13, deci x2∗1x2≥−13\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-15\ge -13\text{, deci }x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}\ge -13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−5\displaystyle \det(A(1))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1231)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(1))=1⋅1−3⋅2\displaystyle \det(A(1))=1\cdot 1-3\cdot 2.
    det⁡(A(1))=∣1231∣=1⋅1−3⋅2\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-3\cdot 2
  3. Efectuăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6. Apoi scăderea 1−6\displaystyle 1-6 dă −5\displaystyle -5, deci determinantul are valoarea cerută.
    det⁡(A(1))=1−6=−5\displaystyle \det(A(1))=1-6=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că det⁡(aA(a))=0\displaystyle \det(aA(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A(a)\displaystyle A(a) cu scalarul a\displaystyle a: fiecare element al matricei se înmulțește cu a\displaystyle a.
    aA(a)=(a2a3aa2)\displaystyle aA(a)=\begin{pmatrix}a&2a\\3a&a^2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei obținute: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a⋅a2−2a⋅3a\displaystyle a\cdot a^2-2a\cdot 3a.
    det⁡(aA(a))=∣a2a3aa2∣=a⋅a2−2a⋅3a=a3−6a2\displaystyle \det(aA(a))=\begin{vmatrix}a&2a\\3a&a^2\end{vmatrix}=a\cdot a^2-2a\cdot 3a=a^3-6a^2
  3. Punem condiția din enunț, det⁡(aA(a))=0\displaystyle \det(aA(a))=0, și dăm factor comun pe a2\displaystyle a^2.
    a3−6a2=0⇔a2(a−6)=0\displaystyle a^3-6a^2=0\Leftrightarrow a^2(a-6)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: fie a2=0\displaystyle a^2=0, deci a=0\displaystyle a=0, fie a−6=0\displaystyle a-6=0, deci a=6\displaystyle a=6.
    a=0 sau a=6\displaystyle a=0\text{ sau }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a)⋅B−B⋅A(a))=−9\displaystyle \det(A(a)\cdot B-B\cdot A(a))=-9, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅B\displaystyle A(a)\cdot B, înmulțind liniile lui A(a)\displaystyle A(a) cu coloanele lui B\displaystyle B: A(a)⋅B=(1⋅1+2⋅01⋅1+2⋅13⋅1+a⋅03⋅1+a⋅1)\displaystyle A(a)\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 1+2\cdot 0&1\cdot 1+2\cdot 1\\3\cdot 1+a\cdot 0&3\cdot 1+a\cdot 1\end{pmatrix}.
    A(a)⋅B=(1333+a)\displaystyle A(a)\cdot B=\begin{pmatrix}1&3\\3&3+a\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A(a)\displaystyle B\cdot A(a), înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A(a)\displaystyle A(a): B⋅A(a)=(1⋅1+1⋅31⋅2+1⋅a0⋅1+1⋅30⋅2+1⋅a)\displaystyle B\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 3&1\cdot 2+1\cdot a\\0\cdot 1+1\cdot 3&0\cdot 2+1\cdot a\end{pmatrix}.
    B⋅A(a)=(42+a3a)\displaystyle B\cdot A(a)=\begin{pmatrix}4&2+a\\3&a\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: A(a)⋅B−B⋅A(a)=(1−43−(2+a)3−33+a−a)\displaystyle A(a)\cdot B-B\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1-4&3-(2+a)\\3-3&3+a-a\end{pmatrix}.
    A(a)⋅B−B⋅A(a)=(−31−a03)\displaystyle A(a)\cdot B-B\cdot A(a)=\begin{pmatrix}-3&1-a\\0&3\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (−3)⋅3−0⋅(1−a)\displaystyle (-3)\cdot 3-0\cdot(1-a). Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a)⋅B−B⋅A(a))=∣−31−a03∣=(−3)⋅3−0⋅(1−a)=−9\displaystyle \det(A(a)\cdot B-B\cdot A(a))=\begin{vmatrix}-3&1-a\\0&3\end{vmatrix}=(-3)\cdot 3-0\cdot(1-a)=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a−1)+A(a+1)=2A(a)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=2A(a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix}: parametrul apare doar pe poziția (2,2). Înlocuim a\displaystyle a cu a−1\displaystyle a-1 și apoi cu a+1\displaystyle a+1 și scriem cele două matrice.
    A(a−1)=(123a−1)\displaystyle A(a-1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a-1\end{pmatrix}, A(a+1)=(123a+1)\displaystyle \ A(a+1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a+1\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 3+3=6\displaystyle 3+3=6, iar pe poziția (2,2) obținem (a−1)+(a+1)=2a\displaystyle (a-1)+(a+1)=2a.
    A(a−1)+A(a+1)=(2462a)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=\begin{pmatrix}2&4\\6&2a\end{pmatrix}
  3. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 din toate elementele matricei, apoi recunoaștem matricea A(a)\displaystyle A(a). Astfel egalitatea este demonstrată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (2462a)=2(123a)=2A(a)\displaystyle \begin{pmatrix}2&4\\6&2a\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix}=2A(a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că det⁡(A(a)+B)=a\displaystyle \det(A(a)+B)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A(a)\displaystyle A(a) și B\displaystyle B element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+1=3\displaystyle 2+1=3, 3+0=3\displaystyle 3+0=3, a+1\displaystyle a+1.
    A(a)+B=(233a+1)\displaystyle A(a)+B=\begin{pmatrix}2&3\\3&a+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei sumă: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2(a+1)−3⋅3\displaystyle 2(a+1)-3\cdot 3.
    det⁡(A(a)+B)=∣233a+1∣=2(a+1)−9=2a−7\displaystyle \det(A(a)+B)=\begin{vmatrix}2&3\\3&a+1\end{vmatrix}=2(a+1)-9=2a-7
  3. Punem condiția din enunț, det⁡(A(a)+B)=a\displaystyle \det(A(a)+B)=a, și obținem ecuația liniară 2a−7=a\displaystyle 2a-7=a.
    2a−7=a\displaystyle 2a-7=a
  4. Trecem termenii cu a\displaystyle a în stânga: 2a−a=7\displaystyle 2a-a=7, deci a=7\displaystyle a=7.
    a=7\displaystyle a=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(123a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care A(1)+A(2)+…+A(n)=11A(6)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(n)=11A(6).
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele termen cu termen. Elementele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 se repetă de n\displaystyle n ori, iar elementul din dreapta jos este suma 1+2+…+n\displaystyle 1+2+\ldots+n.
    A(1)+…+A(n)=(n2n3n1+2+…+n)\displaystyle A(1)+\ldots+A(n)=\begin{pmatrix}n&2n\\3n&1+2+\ldots+n\end{pmatrix}
  2. Calculăm suma 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
    (n2n3nn(n+1)2)\displaystyle \begin{pmatrix}n&2n\\3n&\frac{n(n+1)}{2}\end{pmatrix}
  3. Scoatem factorul comun n\displaystyle n din toate elementele și recunoaștem forma matricei A(a)\displaystyle A(a) cu a=n+12\displaystyle a=\dfrac{n+1}{2}.
    n(123n+12)=nA(n+12)\displaystyle n\begin{pmatrix}1&2\\3&\frac{n+1}{2}\end{pmatrix}=nA\left(\frac{n+1}{2}\right)
  4. Scriem egalitatea din enunț: nA(n+12)=11A(6)\displaystyle nA\left(\dfrac{n+1}{2}\right)=11A(6). Matricea 11A(6)\displaystyle 11A(6) are elementele 11\displaystyle 11, 22\displaystyle 22, 33\displaystyle 33, 66\displaystyle 66.
    (n2n3nn(n+1)2)=(11223366)\displaystyle \begin{pmatrix}n&2n\\3n&\frac{n(n+1)}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&22\\33&66\end{pmatrix}
  5. Identificăm elementele: n=11\displaystyle n=11, 2n=22\displaystyle 2n=22, 3n=33\displaystyle 3n=33. Verificăm elementul din dreapta jos: 11⋅122=66\displaystyle \dfrac{11\cdot 12}{2}=66, deci n=11\displaystyle n=11 convine.
    n=11, care convine\displaystyle n=11\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.