Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 81−196+(32)2:9=1\displaystyle \sqrt{81}-\sqrt{196}+\left(3\sqrt{2}\right)^2:\sqrt{9}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm radicalii: 81=9\displaystyle \sqrt{81}=9, 196=14\displaystyle \sqrt{196}=14 și 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3.
    81=9\displaystyle \sqrt{81}=9, 196=14\displaystyle \ \sqrt{196}=14, 9=3\displaystyle \ \sqrt{9}=3
  2. Calculăm puterea: (32)2=32⋅(2)2=9⋅2=18\displaystyle \left(3\sqrt{2}\right)^2=3^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2=9\cdot 2=18.
    (32)2=9⋅2=18\displaystyle \left(3\sqrt{2}\right)^2=9\cdot 2=18
  3. Înlocuim valorile în expresia inițială și obținem 9−14+18:3\displaystyle 9-14+18:3.
    9−14+18:3\displaystyle 9-14+18:3
  4. Efectuăm mai întâi împărțirea: 18:3=6\displaystyle 18:3=6. Apoi calculăm 9−14=−5\displaystyle 9-14=-5.
    18:3=6\displaystyle 18:3=6, 9−14=−5\displaystyle \ 9-14=-5
  5. Adunăm: −5+6=1\displaystyle -5+6=1, deci egalitatea este adevărată.
    −5+6=1\displaystyle -5+6=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+5x+2\displaystyle g(x)=x^2+5x+2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție ale graficelor sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația: x−2=x2+5x+2\displaystyle x-2=x^{2}+5x+2.
    x−2=x2+5x+2\displaystyle x-2=x^{2}+5x+2
  2. Mutăm toți termenii în membrul drept: 0=x2+5x+2−x+2\displaystyle 0=x^{2}+5x+2-x+2. Reducem termenii asemenea și obținem ecuația de gradul al doilea x2+4x+4=0\displaystyle x^{2}+4x+4=0.
    x2+4x+4=0\displaystyle x^{2}+4x+4=0
  3. Observăm că x2+4x+4=(x+2)2\displaystyle x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}, deci ecuația devine (x+2)2=0\displaystyle (x+2)^{2}=0. Rezultă x=−2\displaystyle x=-2, singura soluție (discriminantul este Δ=16−16=0\displaystyle \Delta=16-16=0), deci graficele au un singur punct comun.
    (x+2)2=0⇒x=−2\displaystyle (x+2)^{2}=0\Rightarrow x=-2
  4. Ordonata este y=f(−2)=−2−2=−4\displaystyle y=f(-2)=-2-2=-4. Verificare: g(−2)=4−10+2=−4\displaystyle g(-2)=4-10+2=-4. Punctul de intersecție are coordonatele (−2,−4)\displaystyle (-2,-4).
    x=−2 și y=f(−2)=−4\displaystyle x=-2\text{ și }y=f(-2)=-4, adica˘ punctul (−2,−4)\displaystyle \ \text{adică punctul }(-2,-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12−x=3x\displaystyle \sqrt{12-x}=\sqrt{3x}.
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm condițiile de existență: expresiile de sub radicali trebuie să fie mai mari sau egale cu zero, adică 12−x≥0\displaystyle 12-x\ge 0 și 3x≥0\displaystyle 3x\ge 0. Rezultă x∈[0,12]\displaystyle x\in[0,12].
    x∈[0,12]\displaystyle x\in[0,12]
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației. Cum radicalii sunt definiți pe domeniul găsit, obținem ecuația liniară 12−x=3x\displaystyle 12-x=3x.
    12−x=3x⇒12−x=3x\displaystyle \sqrt{12-x}=\sqrt{3x}\Rightarrow 12-x=3x
  3. Rezolvăm ecuația liniară: mutăm termenii cu x\displaystyle x în dreapta și obținem 12=4x\displaystyle 12=4x, deci x=3\displaystyle x=3.
    12=4x⇒x=3\displaystyle 12=4x\Rightarrow x=3
  4. Verificăm soluția: 3∈[0,12]\displaystyle 3\in[0,12]. Înlocuind, 12−3=9=3\displaystyle \sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3 și 3⋅3=9=3\displaystyle \sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3. Deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este de 400\displaystyle 400 de lei. Determinați prețul obiectului după două scumpiri succesive, cu 20%\displaystyle 20\%, respectiv cu 15%\displaystyle 15\%.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cu cât crește prețul la prima scumpire, adică 20%\displaystyle 20\% din 400\displaystyle 400 de lei: 20100⋅400=80\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 400=80 de lei.
    20100⋅400=80 de lei\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 400=80\text{ de lei}
  2. Adunăm scumpirea la prețul inițial: 400+80=480\displaystyle 400+80=480 de lei. Acesta este prețul după prima scumpire.
    400+20100⋅400=480 de lei\displaystyle 400+\dfrac{20}{100}\cdot 400=480\text{ de lei}
  3. A doua scumpire se aplică prețului curent, de 480\displaystyle 480 de lei, nu celui inițial. Calculăm 15%\displaystyle 15\% din 480\displaystyle 480: 15100⋅480=72\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot 480=72 de lei.
    15100⋅480=72 de lei\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot 480=72\text{ de lei}
  4. Adunăm a doua scumpire la prețul curent: 480+72=552\displaystyle 480+72=552. Prețul obiectului după cele două scumpiri este de 552\displaystyle 552 de lei.
    480+15100⋅480=552 de lei\displaystyle 480+\dfrac{15}{100}\cdot 480=552\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=3x−4\displaystyle y=3x-4. Arătați că dreapta OA\displaystyle OA este paralelă cu dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem condiția de paralelism: două drepte care nu sunt verticale sunt paralele dacă au pantele egale. Deci calculăm pantele dreptelor OA\displaystyle OA și d\displaystyle d.
    mOA=md\displaystyle m_{OA}=m_d
  2. Dreapta OA\displaystyle OA trece prin originea O(0,0)\displaystyle O(0,0) și prin A(1,3)\displaystyle A(1,3). Panta se calculează cu formula mOA=yA−yOxA−xO\displaystyle m_{OA}=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}.
    mOA=3−01−0\displaystyle m_{OA}=\dfrac{3-0}{1-0}
  3. Efectuăm calculul și obținem panta dreptei OA\displaystyle OA.
    mOA=3\displaystyle m_{OA}=3
  4. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=3x−4\displaystyle y=3x-4, scrisă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m\displaystyle m este panta. Citim coeficientul lui x\displaystyle x.
    md=3\displaystyle m_d=3
  5. Pantele sunt egale, deci dreapta OA\displaystyle OA este paralelă cu dreapta d\displaystyle d.
    md=3, deci mOA=md\displaystyle m_d=3\text{, deci }m_{OA}=m_d
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, în care sin⁡A=13\displaystyle \sin A=\frac{1}{3}, sin⁡B=14\displaystyle \sin B=\frac{1}{4} și BC=8\displaystyle BC=8. Determinați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același pentru toate laturile. Latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Deci ACsin⁡B=BCsin⁡A\displaystyle \dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}.
    ACsin⁡B=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}
  2. Înlocuim valorile date: sin⁡B=14\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{4}, sin⁡A=13\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{3} și BC=8\displaystyle BC=8.
    AC14=813\displaystyle \frac{AC}{\frac{1}{4}}=\frac{8}{\frac{1}{3}}
  3. Calculăm fiecare raport: împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Avem AC14=4⋅AC\displaystyle \dfrac{AC}{\frac{1}{4}}=4\cdot AC și 813=8⋅3=24\displaystyle \dfrac{8}{\frac{1}{3}}=8\cdot 3=24.
    4⋅AC=24\displaystyle 4\cdot AC=24
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem lungimea laturii AC\displaystyle AC. Este echivalent cu forma din barem, 13⋅AC=8⋅14=2\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot AC=8\cdot\dfrac{1}{4}=2, de unde AC=6\displaystyle AC=6.
    AC=6\displaystyle AC=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Arătați că 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în formula x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.
    1∗2=6⋅1+6⋅2−3⋅1⋅2−10\displaystyle 1*2=6\cdot 1+6\cdot 2-3\cdot 1\cdot 2-10
  2. Calculăm produsele: 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6, 6⋅2=12\displaystyle 6\cdot 2=12, 3⋅1⋅2=6\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2=6.
    1∗2=6+12−6−10\displaystyle 1*2=6+12-6-10
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 6+12−6=12\displaystyle 6+12-6=12, iar 12−10=2\displaystyle 12-10=2. Deci 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
    1∗2=12−10=2\displaystyle 1*2=12-10=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Arătați că x∗y=2−3(x−2)(y−2)\displaystyle x*y=2-3(x-2)(y-2), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10 și scriem −10=2−12\displaystyle -10=2-12. Astfel apare termenul 2\displaystyle 2, din forma cerută, iar restul expresiei conține −12\displaystyle -12.
    x∗y=2−3xy+6x+6y−12\displaystyle x*y=2-3xy+6x+6y-12
  2. Dăm factor comun −3\displaystyle -3 din ultimii patru termeni: −3xy=−3⋅xy\displaystyle -3xy=-3\cdot xy, 6x=−3⋅(−2x)\displaystyle 6x=-3\cdot(-2x), 6y=−3⋅(−2y)\displaystyle 6y=-3\cdot(-2y), −12=−3⋅4\displaystyle -12=-3\cdot 4.
    x∗y=2−3(xy−2x−2y+4)\displaystyle x*y=2-3\left(xy-2x-2y+4\right)
  3. Grupăm termenii din paranteză doi câte doi: xy−2y\displaystyle xy-2y și −2x+4\displaystyle -2x+4. Dăm factor comun y\displaystyle y în primul grup și −2\displaystyle -2 în al doilea.
    xy−2x−2y+4=y(x−2)−2(x−2)\displaystyle xy-2x-2y+4=y(x-2)-2(x-2)
  4. Dăm factor comun x−2\displaystyle x-2 și înlocuim în expresia lui x∗y\displaystyle x*y. Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2−3(x−2)(y−2), pentru orice numere \displaystyle x*y=2-3(x-2)(y-2)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Arătați că e=53\displaystyle e=\frac{5}{3} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=x\displaystyle x*e=x și e∗x=x\displaystyle e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Scriem legea sub formă factorizată: −3(x−2)(y−2)=−3xy+6x+6y−12\displaystyle -3(x-2)(y-2)=-3xy+6x+6y-12, deci x∗y=−3(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=-3(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=2−3(x−2)(y−2)\displaystyle x*y=2-3(x-2)(y-2)
  2. Verificăm prima egalitate: înlocuim y=53\displaystyle y=\dfrac{5}{3} în forma factorizată, x∗53=2−3(x−2)(53−2)\displaystyle x*\dfrac{5}{3}=2-3(x-2)\left(\dfrac{5}{3}-2\right).
    x∗53=2−3(x−2)(53−2)\displaystyle x*\frac{5}{3}=2-3(x-2)\left(\frac{5}{3}-2\right)
  3. Calculăm 53−2=−13\displaystyle \dfrac{5}{3}-2=-\dfrac{1}{3}. Atunci −3⋅(−13)=1\displaystyle -3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=1, deci expresia devine 2+(x−2)=x\displaystyle 2+(x-2)=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗53=2−3(x−2)⋅(−13)=2+x−2=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*\frac{5}{3}=2-3(x-2)\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=2+x-2=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Verificăm a doua egalitate: în forma factorizată înlocuim primul element cu 53\displaystyle \dfrac{5}{3}, deci 53∗x=2−3(53−2)(x−2)\displaystyle \dfrac{5}{3}*x=2-3\left(\dfrac{5}{3}-2\right)(x-2).
    53∗x=2−3(53−2)(x−2)\displaystyle \frac{5}{3}*x=2-3\left(\frac{5}{3}-2\right)(x-2)
  5. Cu 53−2=−13\displaystyle \dfrac{5}{3}-2=-\dfrac{1}{3} obținem −3⋅(−13)(x−2)=x−2\displaystyle -3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)(x-2)=x-2, deci 53∗x=2+x−2=x\displaystyle \dfrac{5}{3}*x=2+x-2=x. Cum x∗53=53∗x=x\displaystyle x*\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=53\displaystyle e=\dfrac{5}{3} este elementul neutru.
    53∗x=2−3(−13)(x−2)=2+x−2=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=53 este elementul neutru\displaystyle \frac{5}{3}*x=2-3\left(-\frac{1}{3}\right)(x-2)=2+x-2=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=\frac{5}{3}\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care numărul N=5∗n\displaystyle N=5*n este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 și y=n\displaystyle y=n în definiția x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.
    5∗n=6⋅5+6n−3⋅5⋅n−10\displaystyle 5*n=6\cdot 5+6n-3\cdot 5\cdot n-10
  2. Calculăm: 30−10=20\displaystyle 30-10=20, iar 6n−15n=−9n\displaystyle 6n-15n=-9n.
    N=5∗n=20−9n, pentru orice numa˘r \displaystyle N=5*n=20-9n\text{, pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  3. Numărul N\displaystyle N este întreg, deoarece n\displaystyle n este natural, deci N\displaystyle N este natural dacă N≥0\displaystyle N\geq 0. Impunem condiția 20−9n≥0\displaystyle 20-9n\geq 0.
    20−9n≥0\displaystyle 20-9n\geq 0
  4. Rezolvăm inegalitatea: 9n≤20\displaystyle 9n\leq 20, deci n≤209\displaystyle n\leq\dfrac{20}{9}. Cum 209≈2,22\displaystyle \dfrac{20}{9}\approx 2{,}22, iar n\displaystyle n este natural, rămân valorile 0, 1 și 2.
    20−9n≥0, deci n≤209, de unde n=0 sau n=1 sau n=2\displaystyle 20-9n\geq 0\text{, deci }n\leq\frac{20}{9}\text{, de unde }n=0\text{ sau }n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Calculați (−10)∗(−9)∗(−8)∗…∗10\displaystyle (-10)*(-9)*(-8)*\ldots*10.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea într-o formă convenabilă: x∗y=−3(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=-3(x-2)(y-2)+2. Verificăm: −3(xy−2x−2y+4)+2=−3xy+6x+6y−12+2=6x+6y−3xy−10\displaystyle -3(xy-2x-2y+4)+2=-3xy+6x+6y-12+2=6x+6y-3xy-10.
    x∗y=−3(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=-3(x-2)(y-2)+2
  2. Calculăm x∗2=−3(x−2)(2−2)+2=2\displaystyle x*2=-3(x-2)(2-2)+2=2. Legea este comutativă (expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y), deci și 2∗y=2\displaystyle 2*y=2. Așadar 2\displaystyle 2 este element absorbant pentru orice x,y\displaystyle x,y real.
    x∗2=2, 2∗y=2, pentru orice numere \displaystyle x*2=2\text{, }2*y=2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  3. Expresia (−10)∗(−9)∗…∗10\displaystyle (-10)*(-9)*\ldots*10 conține numărul 2\displaystyle 2. Legea este asociativă, deci putem grupa: a=(−10)∗(−9)∗…∗1\displaystyle a=(-10)*(-9)*\ldots*1 și b=3∗4∗…∗10\displaystyle b=3*4*\ldots*10, iar expresia devine a∗2∗b\displaystyle a*2*b.
    ((−10)∗(−9)∗…∗1)∗2∗(3∗…∗10)\displaystyle ((-10)*(-9)*\ldots*1)*2*(3*\ldots*10)
  4. Aplicăm proprietatea de element absorbant: a∗2=2\displaystyle a*2=2, apoi 2∗b=2\displaystyle 2*b=2. Deci rezultatul este 2\displaystyle 2.
    ((−10)∗(−9)∗(−8)∗…∗0∗1)∗2∗3∗…∗10=2∗(3∗…∗10)=2\displaystyle ((-10)*(-9)*(-8)*\ldots*0*1)*2*3*\ldots*10=2*(3*\ldots*10)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x pentru care 1x∗(x2+2)=5\displaystyle \frac{1}{x}*\left(x^2+2\right)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=6x+6y−3xy−10\displaystyle x*y=6x+6y-3xy-10 pentru primul termen 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și al doilea termen x2+2\displaystyle x^{2}+2.
    1x∗(x2+2)=6⋅1x+6(x2+2)−3⋅1x(x2+2)−10\displaystyle \frac{1}{x}*\left(x^2+2\right)=6\cdot\frac{1}{x}+6\left(x^2+2\right)-3\cdot\frac{1}{x}\left(x^2+2\right)-10
  2. Desfacem parantezele. Produsul 1x(x2+2)\displaystyle \dfrac{1}{x}\left(x^{2}+2\right) este x+2x\displaystyle x+\dfrac{2}{x}, deoarece x≠0\displaystyle x\neq 0.
    6x+6x2+12−3x−6x−10\displaystyle \frac{6}{x}+6x^2+12-3x-\frac{6}{x}-10
  3. Termenii 6x\displaystyle \dfrac{6}{x} și −6x\displaystyle -\dfrac{6}{x} se reduc, iar 12−10=2\displaystyle 12-10=2. Obținem expresia compunerii, valabilă pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    1x∗(x2+2)=6x2−3x+2\displaystyle \frac{1}{x}*\left(x^2+2\right)=6x^2-3x+2
  4. Egalăm expresia obținută cu 5\displaystyle 5.
    6x2−3x+2=5\displaystyle 6x^2-3x+2=5
  5. Mutăm 5\displaystyle 5 în membrul stâng, obținem 6x2−3x−3=0\displaystyle 6x^{2}-3x-3=0, apoi împărțim ecuația la 3\displaystyle 3.
    2x2−x−1=0\displaystyle 2x^2-x-1=0
  6. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=9. Soluțiile sunt x=1±34\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{4}, adică x=1\displaystyle x=1 și x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}. Ambele sunt nenule, deci convin.
    x=−12 sau x=1, care convin\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=1\displaystyle \det(M(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea M(a)\displaystyle M(a). Prima coloană are ambele elemente egale cu a=1\displaystyle a=1, iar elementul din colțul dreapta jos devine 2a=2\displaystyle 2a=2.
    M(1)=(1112)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  2. Folosim formula ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(1))=∣1112∣=1⋅2−1⋅1\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, deci 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Astfel det⁡(M(1))=1\displaystyle \det(M(1))=1, ceea ce trebuia arătat.
    2−1=1\displaystyle 2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 4M(2)−M(−1)=3M(3)\displaystyle 4M(2)-M(-1)=3M(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe a\displaystyle a în M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix} cu valorile cerute: pentru a=2\displaystyle a=2, a=−1\displaystyle a=-1 și a=3\displaystyle a=3.
    M(2)=(2124)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & 4\end{pmatrix}, M(−1)=(−11−1−2)\displaystyle \ M(-1)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & -2\end{pmatrix}, M(3)=(3136)\displaystyle \ M(3)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 3 & 6\end{pmatrix}
  2. Calculăm 4M(2)\displaystyle 4M(2) înmulțind fiecare element al matricei M(2)\displaystyle M(2) cu 4\displaystyle 4.
    4M(2)=(84816)\displaystyle 4M(2)=\begin{pmatrix}8 & 4\\ 8 & 16\end{pmatrix}
  3. Scădem M(−1)\displaystyle M(-1) din 4M(2)\displaystyle 4M(2), element cu element: 8−(−1)=9\displaystyle 8-(-1)=9, 4−1=3\displaystyle 4-1=3, 8−(−1)=9\displaystyle 8-(-1)=9, 16−(−2)=18\displaystyle 16-(-2)=18.
    4M(2)−M(−1)=(84816)−(−11−1−2)=(93918)\displaystyle 4M(2)-M(-1)=\begin{pmatrix}8 & 4\\ 8 & 16\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3\\ 9 & 18\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 din matricea obținută și recunoaștem matricea M(3)\displaystyle M(3). Astfel membrul stâng este egal cu membrul drept, deci egalitatea este demonstrată.
    (93918)=3(3136)=3M(3)\displaystyle \begin{pmatrix}9 & 3\\ 9 & 18\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}3 & 1\\ 3 & 6\end{pmatrix}=3M(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A+7M(1)=24I2\displaystyle A\cdot A+7M(1)=24I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: 4⋅4+(−1)(−1)=17\displaystyle 4\cdot 4+(-1)(-1)=17, 4⋅(−1)+(−1)⋅3=−7\displaystyle 4\cdot(-1)+(-1)\cdot 3=-7, (−1)⋅4+3⋅(−1)=−7\displaystyle (-1)\cdot 4+3\cdot(-1)=-7, (−1)(−1)+3⋅3=10\displaystyle (-1)(-1)+3\cdot 3=10.
    A⋅A=(17−7−710)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}17 & -7\\ -7 & 10\end{pmatrix}
  2. Pentru a=1\displaystyle a=1 obținem M(1)=(1112)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}. Înmulțim cu 7\displaystyle 7 fiecare element.
    7M(1)=(77714)\displaystyle 7M(1)=\begin{pmatrix}7 & 7\\ 7 & 14\end{pmatrix}
  3. Scriem suma A⋅A+7M(1)\displaystyle A\cdot A+7M(1) cu matricele calculate.
    A⋅A+7M(1)=(17−7−710)+(77714)\displaystyle A\cdot A+7M(1)=\begin{pmatrix}17 & -7\\ -7 & 10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7 & 7\\ 7 & 14\end{pmatrix}
  4. Adunăm element cu element: 17+7=24\displaystyle 17+7=24, −7+7=0\displaystyle -7+7=0, −7+7=0\displaystyle -7+7=0, 10+14=24\displaystyle 10+14=24. Matricea obținută este 24\displaystyle 24 ori matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea este demonstrată.
    (240024)=24I2\displaystyle \begin{pmatrix}24 & 0\\ 0 & 24\end{pmatrix}=24I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că matricea A−2I2\displaystyle A-2I_2 este inversa matricei M(1)\displaystyle M(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A−2I2\displaystyle A-2I_2: scădem 2\displaystyle 2 din elementele de pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    A−2I2=(4−2−1−13−2)=(2−1−11)\displaystyle A-2I_2=\begin{pmatrix}4-2 & -1\\ -1 & 3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în M(a)\displaystyle M(a) și obținem matricea M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)=(1112)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul (A−2I2)M(1)\displaystyle (A-2I_2)M(1), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua, și obținem matricea unitate.
    (A−2I2)M(1)=(2⋅1+(−1)⋅12⋅1+(−1)⋅2(−1)⋅1+1⋅1(−1)⋅1+1⋅2)=(1001)=I2\displaystyle (A-2I_2)M(1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1+(-1)\cdot 1 & 2\cdot 1+(-1)\cdot 2\\ (-1)\cdot 1+1\cdot 1 & (-1)\cdot 1+1\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  4. Calculăm și produsul în ordine inversă, M(1)(A−2I2)\displaystyle M(1)(A-2I_2), pentru că inversa trebuie să verifice egalitatea în ambele ordini.
    M(1)(A−2I2)=(1⋅2+1⋅(−1)1⋅(−1)+1⋅11⋅2+2⋅(−1)1⋅(−1)+2⋅1)=(1001)=I2\displaystyle M(1)(A-2I_2)=\begin{pmatrix}1\cdot 2+1\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+1\cdot 1\\ 1\cdot 2+2\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+2\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  5. Cum (A−2I2)M(1)=M(1)(A−2I2)=I2\displaystyle (A-2I_2)M(1)=M(1)(A-2I_2)=I_2, matricea A−2I2\displaystyle A-2I_2 este inversa matricei M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)(A−2I2)=I2, deci A−2I2 este inversa matricei M(1)\displaystyle M(1)(A-2I_2)=I_2\text{, deci }A-2I_2\text{ este inversa matricei }M(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care M(1)+M(2)+M(3)+…+M(9)=aM(b)\displaystyle M(1)+M(2)+M(3)+\ldots+M(9)=aM(b).
Vezi rezolvarea
  1. Suma matricelor se face element cu element. Elementele a\displaystyle a din prima coloană dau suma 1+2+…+9=9⋅102=45\displaystyle 1+2+\ldots+9=\dfrac{9\cdot 10}{2}=45, iar aceasta apare atât sus, cât și jos în prima coloană.
    1+2+…+9=45\displaystyle 1+2+\ldots+9=45
  2. Elementul din dreapta sus este suma a nouă termeni egali cu 1\displaystyle 1, adică 9\displaystyle 9. Elementul din dreapta jos este 2(1+2+…+9)=2⋅45=90\displaystyle 2(1+2+\ldots+9)=2\cdot 45=90.
    M(1)+M(2)+…+M(9)=(4594590)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(9)=\begin{pmatrix}45 & 9\\ 45 & 90\end{pmatrix}
  3. Calculăm aM(b)\displaystyle aM(b) înmulțind fiecare element al matricei M(b)=(b1b2b)\displaystyle M(b)=\begin{pmatrix}b & 1\\ b & 2b\end{pmatrix} cu a\displaystyle a.
    M(1)+…+M(9)=(4594590), aM(b)=(abaab2ab)\displaystyle M(1)+\ldots+M(9)=\begin{pmatrix}45 & 9\\ 45 & 90\end{pmatrix}\text{, }aM(b)=\begin{pmatrix}ab & a\\ ab & 2ab\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele de pe aceleași poziții. Din elementul din dreapta sus obținem a=9\displaystyle a=9.
    a=9\displaystyle a=9
  5. Din elementul din stânga sus avem ab=45\displaystyle ab=45, deci 9b=45\displaystyle 9b=45, de unde b=5\displaystyle b=5. Verificare: 2ab=2⋅45=90\displaystyle 2ab=2\cdot 45=90, deci și ultimul element corespunde.
    a=9 și b=5\displaystyle a=9\text{ și }b=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−1−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(a)=(a1a2a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ a & 2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(a)⋅M(b)−M(b)⋅M(a))≤0\displaystyle \det(M(a)\cdot M(b)-M(b)\cdot M(a))\leq 0, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: de exemplu, elementul din colțul stânga sus este a⋅b+1⋅b=ab+b\displaystyle a\cdot b+1\cdot b=ab+b.
    M(a)⋅M(b)=(ab+ba+2b3aba+4ab)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=\begin{pmatrix}ab+b & a+2b\\ 3ab & a+4ab\end{pmatrix}
  2. Calculăm în același fel produsul M(b)⋅M(a)\displaystyle M(b)\cdot M(a), schimbând între ele rolurile lui a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    M(b)⋅M(a)=(ba+ab+2a3bab+4ba)\displaystyle M(b)\cdot M(a)=\begin{pmatrix}ba+a & b+2a\\ 3ba & b+4ba\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Termenii cu ab\displaystyle ab se reduc: ab+b−ba−a=b−a\displaystyle ab+b-ba-a=b-a, a+2b−b−2a=b−a\displaystyle a+2b-b-2a=b-a, 3ab−3ba=0\displaystyle 3ab-3ba=0, a+4ab−b−4ba=a−b\displaystyle a+4ab-b-4ba=a-b.
    M(a)⋅M(b)−M(b)⋅M(a)=(b−ab−a0a−b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)-M(b)\cdot M(a)=\begin{pmatrix}b-a & b-a\\ 0 & a-b\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Folosim b−a=−(a−b)\displaystyle b-a=-(a-b), deci determinantul este −(a−b)2\displaystyle -(a-b)^{2}.
    det⁡(M(a)⋅M(b)−M(b)⋅M(a))=(b−a)(a−b)−0⋅(b−a)=−(a−b)2\displaystyle \det(M(a)\cdot M(b)-M(b)\cdot M(a))=(b-a)(a-b)-0\cdot(b-a)=-(a-b)^{2}
  5. Un pătrat de număr real este mereu mai mare sau egal cu zero, deci (a−b)2≥0\displaystyle (a-b)^{2}\geq 0, iar opusul lui este mai mic sau egal cu zero, pentru orice a\displaystyle a și b\displaystyle b reale.
    det⁡(M(a)⋅M(b)−M(b)⋅M(a))=−(a−b)2≤0, pentru orice numere \displaystyle \det(M(a)\cdot M(b)-M(b)\cdot M(a))=-(a-b)^{2}\leq 0\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.