Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 17: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 63−28−7(7+1)+81=2\displaystyle \sqrt{63}-\sqrt{28}-\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)+\sqrt{81}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorii de sub radical: 63=9⋅7\displaystyle 63=9\cdot 7, deci 63=37\displaystyle \sqrt{63}=3\sqrt{7}. De asemenea, 28=4⋅7\displaystyle 28=4\cdot 7, deci 28=27\displaystyle \sqrt{28}=2\sqrt{7}, iar 81=9\displaystyle \sqrt{81}=9.
    63=37\displaystyle \sqrt{63}=3\sqrt{7},28=27\displaystyle \quad \sqrt{28}=2\sqrt{7},81=9\displaystyle \quad \sqrt{81}=9
  2. Desfacem paranteza: 7⋅7=7\displaystyle \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7, deci 7(7+1)=7+7\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)=7+\sqrt{7}. Înlocuim în expresie, ținând cont de semnul minus din fața produsului.
    37−27−7−7+9\displaystyle 3\sqrt{7}-2\sqrt{7}-7-\sqrt{7}+9
  3. Reducem termenii asemenea: 37−27−7=(3−2−1)7=0\displaystyle 3\sqrt{7}-2\sqrt{7}-\sqrt{7}=(3-2-1)\sqrt{7}=0. Rămân numerele întregi 9−7=2\displaystyle 9-7=2, deci egalitatea este demonstrată.
    9−7=2\displaystyle 9-7=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5−2x\displaystyle g(x)=5-2x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele (x,y)\displaystyle (x,y) care verifică ambele ecuații, deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația.
    2x+1=5−2x\displaystyle 2x+1=5-2x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm 2x\displaystyle 2x la ambii membri și scădem 1\displaystyle 1. Obținem 4x=4\displaystyle 4x=4.
    2x+2x=5−1⇔4x=4\displaystyle 2x+2x=5-1\Leftrightarrow 4x=4
  3. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Ordonata se calculează înlocuind x=1\displaystyle x=1 în f\displaystyle f: f(1)=2⋅1+1=3\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3. Verificăm și cu g\displaystyle g: g(1)=5−2=3\displaystyle g(1)=5-2=3, același rezultat. Punctul de intersecție este (1,3)\displaystyle (1,3).
    x=1 și y=f(1)=3\displaystyle x=1\text{ și }y=f(1)=3,  deci punctul (1,3)\displaystyle \ \text{ deci punctul }(1,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x−5)=1log⁡25\displaystyle \log_5(x-5)=\dfrac{1}{\log_2 5}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x−5>0\displaystyle x-5>0, adică x>5\displaystyle x>5.
    x∈(5,+∞)\displaystyle x\in(5,+\infty)
  2. Folosim formula de schimbare a bazei, log⁡ab=1log⁡ba\displaystyle \log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}, deci 1log⁡25=log⁡52\displaystyle \dfrac{1}{\log_2 5}=\log_5 2.
    1log⁡25=log⁡52\displaystyle \dfrac{1}{\log_2 5}=\log_5 2
  3. Înlocuim în ecuație și obținem log⁡5(x−5)=log⁡52\displaystyle \log_5(x-5)=\log_5 2. Logaritmul în baza 5 este injectiv, deci argumentele sunt egale: x−5=2\displaystyle x-5=2.
    log⁡5(x−5)=log⁡52⇒x−5=2\displaystyle \log_5(x-5)=\log_5 2\Rightarrow x-5=2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x=2+5=7\displaystyle x=2+5=7. Verificăm condiția: 7>5\displaystyle 7>5, deci soluția convine.
    x=7, care convine\displaystyle x=7\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5 și 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Interpretăm enunțul: cifrele se pot repeta, deci numărul are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a și b\displaystyle b alese dintre cifrele 1,2,3,4,5,6\displaystyle 1,2,3,4,5,6. Numărul este par dacă cifra unităților b\displaystyle b este pară.
    ab‾\displaystyle \overline{ab}, b∈{2,4,6}\displaystyle \ b\in\{2,4,6\}
  2. Dintre cifrele date, cele pare sunt 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 și 6\displaystyle 6, deci cifra unităților se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri.
    3\displaystyle 3
  3. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 6\displaystyle 6 cifre (niciuna nu este 0\displaystyle 0), deci are 6\displaystyle 6 alegeri. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul alegerilor pentru unități cu cel pentru zeci.
    3⋅6=18\displaystyle 3\cdot 6=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,3)\displaystyle A(4,3), B(8,0)\displaystyle B(8,0) și C(4,−3)\displaystyle C(4,-3). Arătați că patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB este romb.
Vezi rezolvarea
  1. Patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB are vârfurile în ordinea A,O,C,B\displaystyle A, O, C, B, deci diagonalele sunt AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB. Calculăm mijlocul segmentului AC\displaystyle AC cu formula mijlocului.
    xA+xC2=4 și yA+yC2=0\displaystyle \dfrac{x_A+x_C}{2}=4\text{ și }\dfrac{y_A+y_C}{2}=0
  2. Calculăm mijlocul segmentului OB\displaystyle OB, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(8,0)\displaystyle B(8,0).
    xO+xB2=4 și yO+yB2=0\displaystyle \dfrac{x_O+x_B}{2}=4\text{ și }\dfrac{y_O+y_B}{2}=0
  3. Diagonalele AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB au același mijloc, punctul M(4,0)\displaystyle M(4,0), deci patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB este paralelogram.
    AC și OB au același mijloc M(4,0)⇒AOCB paralelogram\displaystyle AC\text{ și }OB\text{ au același mijloc }M(4,0)\Rightarrow AOCB\text{ paralelogram}
  4. Calculăm lungimile a două laturi alăturate, AO\displaystyle AO și OC\displaystyle OC, cu formula distanței dintre două puncte.
    AO=OC=5\displaystyle AO=OC=5
  5. Paralelogramul AOCB\displaystyle AOCB are două laturi alăturate egale, AO=OC\displaystyle AO=OC, deci este romb.
    AO=OC=5⇒AOCB este romb\displaystyle AO=OC=5\Rightarrow AOCB\text{ este romb}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=0\displaystyle \sin 30^\circ-\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresie: sin⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=12−22⋅22\displaystyle \sin 30^\circ-\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    12−22⋅22\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Calculăm produsul: 22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  4. Scădem: 12−12=0\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    sin⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=12−12=0\displaystyle \sin 30^\circ-\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Arătați că (−10)∗10=−100\displaystyle (-10)*10=-100.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy, cu x=−10\displaystyle x=-10 și y=10\displaystyle y=10.
    (−10)∗10=(−10)+10+(−10)⋅10\displaystyle (-10)*10=(-10)+10+(-10)\cdot 10
  2. Calculăm produsul: (−10)⋅10=−100\displaystyle (-10)\cdot 10=-100.
    (−10)⋅10=−100\displaystyle (-10)\cdot 10=-100
  3. Înlocuim produsul în expresie. Suma −10+10\displaystyle -10+10 este 0\displaystyle 0, deci rămâne −100\displaystyle -100, ceea ce trebuia arătat.
    (−10)∗10=−10+10−100=−100\displaystyle (-10)*10=-10+10-100=-100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta asociativitatea, trebuie să verificăm că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} are loc (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm mai întâi (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Avem x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy, iar apoi aplicăm definiția legii între x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y+xy)*z
  2. Folosim definiția a∗b=a+b+ab\displaystyle a*b=a+b+ab, cu a=x+y+xy\displaystyle a=x+y+xy și b=z\displaystyle b=z. Obținem a+z+az\displaystyle a+z+az.
    (x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z\displaystyle (x+y+xy)*z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z
  3. Desfacem parantezele: (x+y+xy)z=xz+yz+xyz\displaystyle (x+y+xy)z=xz+yz+xyz. Adunăm toți termenii și obținem o expresie simetrică în x,y,z\displaystyle x,y,z.
    (x∗y)∗z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz\displaystyle (x*y)*z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
  4. Calculăm acum x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Mai întâi y∗z=y+z+yz\displaystyle y*z=y+z+yz, apoi aplicăm definiția legii între x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)
  5. Desfacem parantezele: x(y+z+yz)=xy+xz+xyz\displaystyle x(y+z+yz)=xy+xz+xyz. Adunăm termenii și obținem aceeași expresie ca la (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Deci cele două grupări sunt egale pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, adică legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z+xy+xz+yz+xyz=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+y+z+xy+xz+yz+xyz=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Verificați dacă e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: e=0\displaystyle e=0 este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗0=x\displaystyle x*0=x și 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Verificăm separat cele două egalități.
    x∗0=x și 0∗x=x\displaystyle x*0=x\text{ și }0*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Verificăm la dreapta: înlocuim y=0\displaystyle y=0 în x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy. Cum x⋅0=0\displaystyle x\cdot 0=0, obținem o expresie care se reduce la x\displaystyle x.
    x∗0=x+0+x⋅0=x\displaystyle x*0=x+0+x\cdot 0=x
  3. Verificăm la stânga: în x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy luăm primul număr 0\displaystyle 0 și al doilea x\displaystyle x. Cum 0⋅x=0\displaystyle 0\cdot x=0, rămâne x\displaystyle x. Ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, deci e=0\displaystyle e=0 este element neutru.
    0∗x=0+x+0⋅x=x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle 0*x=0+x+0\cdot x=x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Arătați că x∗x=(x+1)2−1\displaystyle x*x=(x+1)^2-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție, x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy, și o aplicăm pentru y=x\displaystyle y=x, adică înlocuim peste tot y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∗x=x+x+x⋅x\displaystyle x*x=x+x+x\cdot x
  2. Reducem termenii asemenea: x+x=2x\displaystyle x+x=2x, iar x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2}.
    x∗x=2x+x2\displaystyle x*x=2x+x^{2}
  3. Vrem să obținem forma (x+1)2−1\displaystyle (x+1)^{2}-1. Ordonăm termenii după puterile lui x\displaystyle x, apoi adunăm și scădem 1\displaystyle 1 pentru a forma pătratul perfect x2+2x+1\displaystyle x^{2}+2x+1.
    x2+2x=x2+2x+1−1\displaystyle x^{2}+2x=x^{2}+2x+1-1
  4. Folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Astfel egalitatea este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗x=x2+2x+1−1=(x+1)2−1\displaystyle x*x=x^{2}+2x+1-1=(x+1)^{2}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗(x∗x)=0\displaystyle (x*x)*(x*x)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x după definiția legii: x∗x=x+x+x⋅x=x2+2x\displaystyle x*x=x+x+x\cdot x=x^{2}+2x. Observăm că x2+2x=(x+1)2−1\displaystyle x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1.
    x∗x=(x+1)2−1\displaystyle x*x=(x+1)^{2}-1
  2. Notăm a=x∗x\displaystyle a=x*x. Aplicăm aceeași formulă pentru a∗a=(a+1)2−1\displaystyle a*a=(a+1)^{2}-1. Observăm că a+1=(x+1)2\displaystyle a+1=(x+1)^{2}.
    a+1=(x+1)2\displaystyle a+1=(x+1)^{2}
  3. Înlocuim a+1\displaystyle a+1 în formulă: (x∗x)∗(x∗x)=((x+1)2)2−1=(x+1)4−1\displaystyle (x*x)*(x*x)=\left((x+1)^{2}\right)^{2}-1=(x+1)^{4}-1.
    (x∗x)∗(x∗x)=(x+1)4−1\displaystyle (x*x)*(x*x)=(x+1)^{4}-1
  4. Punem condiția din enunț: (x+1)4−1=0\displaystyle (x+1)^{4}-1=0, deci (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^{4}=1.
    (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^{4}=1
  5. Puterea a patra a unui număr real este 1\displaystyle 1 doar dacă numărul este 1\displaystyle 1 sau −1\displaystyle -1. Deci x+1=1\displaystyle x+1=1 sau x+1=−1\displaystyle x+1=-1.
    x+1=1 sau x+1=−1\displaystyle x+1=1\text{ sau }x+1=-1
  6. Rezolvăm cele două ecuații: x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    x=−2 sau x=0\displaystyle x=-2\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy.

Demonstrați că x∗(x+1)≥x\displaystyle x*(x+1)\geq x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y+xy\displaystyle x*y=x+y+xy pentru y=x+1\displaystyle y=x+1: x∗(x+1)=x+(x+1)+x(x+1)\displaystyle x*(x+1)=x+(x+1)+x(x+1).
    x∗(x+1)=x+(x+1)+x(x+1)\displaystyle x*(x+1)=x+(x+1)+x(x+1)
  2. Pentru a demonstra inegalitatea, studiem semnul diferenței x∗(x+1)−x\displaystyle x*(x+1)-x și scădem x\displaystyle x din expresia obținută.
    x∗(x+1)−x=x+(x+1)+x(x+1)−x\displaystyle x*(x+1)-x=x+(x+1)+x(x+1)-x
  3. Desfacem paranteza x(x+1)=x2+x\displaystyle x(x+1)=x^{2}+x și reducem termenii: x+x+1+x2+x−x=x2+2x+1\displaystyle x+x+1+x^{2}+x-x=x^{2}+2x+1.
    x∗(x+1)−x=x2+2x+1\displaystyle x*(x+1)-x=x^{2}+2x+1
  4. Recunoaștem în x2+2x+1\displaystyle x^{2}+2x+1 dezvoltarea pătratului (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2}, iar un pătrat de număr real este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0. Deci x∗(x+1)−x≥0\displaystyle x*(x+1)-x\geq 0, adică x∗(x+1)≥x\displaystyle x*(x+1)\geq x pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗(x+1)−x=(x+1)2≥0, deci x∗(x+1)≥x\displaystyle x*(x+1)-x=(x+1)^{2}\geq 0\text{, deci }x*(x+1)\geq x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Pe prima linie avem 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2, iar pe a doua linie avem 1\displaystyle 1 și 0+1=1\displaystyle 0+1=1.
    A(0)=(0211)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(0))=0⋅1−2⋅1\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 1-2\cdot 1.
    det⁡(A(0))=∣0211∣=0⋅1−1⋅2\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=0\cdot 1-1\cdot 2
  3. Calculăm produsele și scădem: 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A(0))=0−2=−2\displaystyle \det(A(0))=0-2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) folosind regula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=∣a21a+1∣=a(a+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&2\\1&a+1\end{vmatrix}=a(a+1)-2\cdot 1.
    det⁡(A(a))=a(a+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(a))=a(a+1)-2\cdot 1
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii: a(a+1)−2=a2+a−2\displaystyle a(a+1)-2=a^{2}+a-2.
    det⁡(A(a))=a2+a−2\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2
  3. Impunem condiția din enunț, det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, și obținem ecuația de gradul al doilea a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0.
    a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0
  4. Calculăm discriminantul, cu coeficienții 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și −2\displaystyle -2: Δ=12−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: a=−1±92=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}, deci a=−42=−2\displaystyle a=\dfrac{-4}{2}=-2 sau a=22=1\displaystyle a=\dfrac{2}{2}=1. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    a=−2 sau a=1\displaystyle a=-2\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că (2a+1)A(a)−A(a)⋅A(a)=(a2+a−2)I2\displaystyle (2a+1)A(a)-A(a)\cdot A(a)=\left(a^2+a-2\right)I_2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A(a)\displaystyle A(a) cu scalarul 2a+1\displaystyle 2a+1: fiecare element al matricei se înmulțește cu 2a+1\displaystyle 2a+1.
    (2a+1)A(a)=((2a+1)a2(2a+1)2a+1(2a+1)(a+1))\displaystyle (2a+1)A(a)=\begin{pmatrix}(2a+1)a&2(2a+1)\\2a+1&(2a+1)(a+1)\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din fiecare element: (2a+1)a=2a2+a\displaystyle (2a+1)a=2a^{2}+a, 2(2a+1)=4a+2\displaystyle 2(2a+1)=4a+2, (2a+1)(a+1)=2a2+2a+a+1=2a2+3a+1\displaystyle (2a+1)(a+1)=2a^{2}+2a+a+1=2a^{2}+3a+1.
    (2a+1)A(a)=(2a2+a4a+22a+12a2+3a+1)\displaystyle (2a+1)A(a)=\begin{pmatrix}2a^2+a&4a+2\\2a+1&2a^2+3a+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) prin regula linie pe coloană. Elementul din poziția (1,1)\displaystyle (1,1): a⋅a+2⋅1=a2+2\displaystyle a\cdot a+2\cdot 1=a^{2}+2. Elementul (1,2)\displaystyle (1,2): a⋅2+2(a+1)=4a+2\displaystyle a\cdot 2+2(a+1)=4a+2. Elementul (2,1)\displaystyle (2,1): 1⋅a+(a+1)⋅1=2a+1\displaystyle 1\cdot a+(a+1)\cdot 1=2a+1. Elementul (2,2)\displaystyle (2,2): 1⋅2+(a+1)2=a2+2a+3\displaystyle 1\cdot 2+(a+1)^{2}=a^{2}+2a+3.
    A(a)⋅A(a)=(a2+24a+22a+1a2+2a+3)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a^2+2&4a+2\\2a+1&a^2+2a+3\end{pmatrix}
  4. Scădem cele două matrice element cu element. Pe prima linie: 2a2+a−(a2+2)=a2+a−2\displaystyle 2a^{2}+a-(a^{2}+2)=a^{2}+a-2 și (4a+2)−(4a+2)=0\displaystyle (4a+2)-(4a+2)=0. Pe a doua linie: (2a+1)−(2a+1)=0\displaystyle (2a+1)-(2a+1)=0 și 2a2+3a+1−(a2+2a+3)=a2+a−2\displaystyle 2a^{2}+3a+1-(a^{2}+2a+3)=a^{2}+a-2.
    (2a+1)A(a)−A(a)⋅A(a)=(a2+a−200a2+a−2)\displaystyle (2a+1)A(a)-A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a^2+a-2&0\\0&a^2+a-2\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun a2+a−2\displaystyle a^{2}+a-2 și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Astfel egalitatea cerută este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a2+a−200a2+a−2)=(a2+a−2)(1001)=(a2+a−2)I2\displaystyle \begin{pmatrix}a^2+a-2&0\\0&a^2+a-2\end{pmatrix}=\left(a^2+a-2\right)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\left(a^2+a-2\right)I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că A(5a−1)+A(5a+1)=2A(5a)\displaystyle A(5a-1)+A(5a+1)=2A(5a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția matricei A(a)\displaystyle A(a) valoarea a\displaystyle a cu 5a−1\displaystyle 5a-1. Elementul a\displaystyle a devine 5a−1\displaystyle 5a-1, iar elementul a+1\displaystyle a+1 devine 5a\displaystyle 5a.
    A(5a−1)=(5a−1215a)\displaystyle A(5a-1)=\begin{pmatrix}5a-1&2\\1&5a\end{pmatrix}
  2. Procedăm la fel pentru a\displaystyle a înlocuit cu 5a+1\displaystyle 5a+1. Elementul a\displaystyle a devine 5a+1\displaystyle 5a+1, iar elementul a+1\displaystyle a+1 devine 5a+2\displaystyle 5a+2.
    A(5a+1)=(5a+1215a+2)\displaystyle A(5a+1)=\begin{pmatrix}5a+1&2\\1&5a+2\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: 5a−1+5a+1=10a\displaystyle 5a-1+5a+1=10a, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 5a+5a+2=10a+2\displaystyle 5a+5a+2=10a+2.
    A(5a−1)+A(5a+1)=(10a4210a+2)\displaystyle A(5a-1)+A(5a+1)=\begin{pmatrix}10a&4\\2&10a+2\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută. Matricea rămasă este chiar A(5a)\displaystyle A(5a), deoarece pentru a\displaystyle a înlocuit cu 5a\displaystyle 5a avem elementele 5a\displaystyle 5a, 2\displaystyle 2, 1\displaystyle 1 și 5a+1\displaystyle 5a+1. Rezultă egalitatea cerută, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(5a−1)+A(5a+1)=(10a4210a+2)=2(5a215a+1)=2A(5a)\displaystyle A(5a-1)+A(5a+1)=\begin{pmatrix}10a&4\\2&10a+2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}5a&2\\1&5a+1\end{pmatrix}=2A(5a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a)−I2)<0\displaystyle \det(A(a)-I_2)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem I2\displaystyle I_2 din A(a)\displaystyle A(a), element cu element: se scade 1\displaystyle 1 doar de pe diagonala principală, deci elementele a\displaystyle a și a+1\displaystyle a+1 devin a−1\displaystyle a-1 și a\displaystyle a.
    A(a)−I2=(a−121a)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}a-1&2\\1&a\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a)−I2)=(a−1)⋅a−2⋅1\displaystyle \det(A(a)-I_2)=(a-1)\cdot a-2\cdot 1. Desfacem parantezele.
    det⁡(A(a)−I2)=a2−a−2\displaystyle \det(A(a)-I_2)=a^{2}-a-2
  3. Condiția devine a2−a−2<0\displaystyle a^{2}-a-2<0. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9. Rădăcinile sunt a1,2=1±32\displaystyle a_{1,2}=\dfrac{1\pm 3}{2}.
    a1=−1\displaystyle a_1=-1,a2=2\displaystyle \quad a_2=2
  4. Coeficientul lui a2\displaystyle a^{2} este pozitiv, deci trinomul a2−a−2=(a+1)(a−2)\displaystyle a^{2}-a-2=(a+1)(a-2) este negativ între rădăcini, adică pentru a\displaystyle a între −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2. Mulțimea valorilor căutate este intervalul deschis.
    a∈(−1,2)\displaystyle a\in(-1,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, numărul natural det⁡(A(n))\displaystyle \det(A(n)) este par.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu n\displaystyle n în matricea dată și obținem A(n)=(n21n+1)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n&2\\1&n+1\end{pmatrix}.
    A(n)=(n21n+1)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n&2\\1&n+1\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(n))=n(n+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(n))=n(n+1)-2\cdot 1.
    det⁡(A(n))=n(n+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(n))=n(n+1)-2\cdot 1
  3. Dezvoltăm: n(n+1)−2=n2+n−2\displaystyle n(n+1)-2=n^{2}+n-2. Păstrăm și forma cu produs, pentru că ne ajută la argumentul de paritate.
    det⁡(A(n))=n2+n−2=n(n+1)−2\displaystyle \det(A(n))=n^{2}+n-2=n(n+1)-2
  4. Numerele n\displaystyle n și n+1\displaystyle n+1 sunt consecutive, deci unul dintre ele este par. Atunci produsul n(n+1)\displaystyle n(n+1) este par.
    n(n+1) este par\displaystyle n(n+1)\text{ este par}
  5. Avem det⁡(A(n))=n(n+1)−2\displaystyle \det(A(n))=n(n+1)-2, adică diferența a două numere pare, deci det⁡(A(n))\displaystyle \det(A(n)) este par pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    n(n+1) este par, deoarece n și n+1 sunt consecutive, deci det⁡(A(n)) este par\displaystyle n(n+1)\text{ este par, deoarece }n\text{ și }n+1\text{ sunt consecutive, deci }\det(A(n))\text{ este par}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.