Bac matematică M4 pedagogic 2013, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați valoarea de adevăr a propoziției

\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{18}+\frac{1}{12}=\frac{13}{36}

.

Vezi rezolvarea

Căutăm un numitor comun pentru fracțiile $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ , $\displaystyle \dfrac{1}{18}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{12}$ . Numitorii sunt $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 18=2\cdot 3^{2}$ și $\displaystyle 12=2^{2}\cdot 3$ , deci cel mai mic multiplu comun este $\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}=36$ .
$\displaystyle [3,18,12]=36$
Amplificăm fiecare fracție ca să aibă numitorul $\displaystyle 36$ : prima cu $\displaystyle 12$ , a doua cu $\displaystyle 2$ , a treia cu $\displaystyle 3$ . Apoi scriem expresia cu numitor comun.
$\displaystyle \frac{12}{36}-\frac{2}{36}+\frac{3}{36}$
Calculăm numărătorul: $\displaystyle 12-2+3=13$ . Deci expresia este egală cu $\displaystyle \dfrac{13}{36}$ .
$\displaystyle \frac{12-2+3}{36}=\frac{13}{36}$
Valoarea obținută, $\displaystyle \dfrac{13}{36}$ , coincide cu cea din enunț, deci propoziția este adevărată.
$\displaystyle \text{Propoziția este adevărată}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Rezolvați sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}2x+3y=1\\3x+2y=-1\end{cases}

,

\displaystyle x,y\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Alegem metoda reducerii. Vrem să eliminăm necunoscuta $\displaystyle y$ : înmulțim prima ecuație cu $\displaystyle 2$ și a doua cu $\displaystyle 3$ , ca să obținem același coeficient la $\displaystyle y$ .
$\displaystyle \begin{cases}4x+6y=2\\9x+6y=-3\end{cases}$
Scădem prima ecuație din a doua: termenii cu $\displaystyle y$ se reduc, iar rămâne o ecuație în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle (9x+6y)-(4x+6y)=-3-2\Rightarrow 5x=-5$
Împărțim la $\displaystyle 5$ și obținem valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x=-1$
Înlocuim $\displaystyle x=-1$ în prima ecuație, $\displaystyle 2x+3y=1$ .
$\displaystyle 2\cdot(-1)+3y=1\Rightarrow 3y=3$
Aflăm $\displaystyle y$ și scriem soluția sistemului. Verificare în a doua ecuație: $\displaystyle 3\cdot(-1)+2\cdot 1=-1$ , corect.
$\displaystyle y=1\Rightarrow(x,y)=(-1,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația

\displaystyle x^2+2x-3<0

.

Vezi rezolvarea

Pentru a studia semnul trinomului, aflăm mai întâi rădăcinile ecuației asociate $\displaystyle x^2+2x-3=0$ . Coeficienții sunt $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle c=-3$ .
$\displaystyle x^{2}+2x-3=0$ , $\displaystyle \ a=1$ , $\displaystyle \ b=2$ , $\displaystyle \ c=-3$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$ .
$\displaystyle \Delta=16$
Aplicăm formula rădăcinilor: $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2\pm 4}{2}$ . Obținem $\displaystyle x_1=\dfrac{-2+4}{2}=1$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{-2-4}{2}=-3$ .
$\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle \ x_2=-3$
Coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle 1>0$ , deci parabola are ramurile în sus. Trinomul este negativ doar între rădăcini, adică pentru $\displaystyle -3<x<1$ . Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu fac parte din soluție.
$\displaystyle -3<x<1$
Mulțimea soluțiilor este intervalul deschis $\displaystyle (-3,1)$ .
$\displaystyle x\in(-3,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați domeniul maxim de definiție

\displaystyle D

al funcției

\displaystyle f:D\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\log_2(3-x)

.

Vezi rezolvarea

Funcția logaritmică $\displaystyle \log_2 t$ este definită doar când argumentul este strict pozitiv, $\displaystyle t>0$ . Aici argumentul este $\displaystyle 3-x$ , deci cerem condiția de existență $\displaystyle 3-x>0$ .
$\displaystyle 3-x>0$
Rezolvăm inegalitatea: adunăm $\displaystyle x$ în ambele părți și obținem $\displaystyle 3>x$ , adică $\displaystyle x<3$ .
$\displaystyle x<3$
Mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ care verifică $\displaystyle x<3$ este intervalul deschis de la $\displaystyle -\infty$ până la $\displaystyle 3$ , cu $\displaystyle 3$ exclus. Acesta este domeniul maxim de definiție $\displaystyle D$ .
$\displaystyle D=(-\infty,3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră pătratul

\displaystyle ABCD

de centru

\displaystyle O

. Arătați că

\displaystyle \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula triunghiului pentru punctele $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle O$ : $\displaystyle \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$
Laturile opuse $\displaystyle AB$ și $\displaystyle CD$ ale pătratului sunt paralele, de aceeași lungime și de sensuri opuse, deci $\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$
Diagonalele pătratului se înjumătățesc, deci $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle BD$ . Vectorii $\displaystyle \overrightarrow{BO}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BD}$ au același sens, iar $\displaystyle BO=\frac{1}{2}BD$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
Înlocuim în $\displaystyle \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$ pe $\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ și obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că triunghiul care are laturile de

\displaystyle 5\sqrt{2}

,

\displaystyle 5

și

\displaystyle 5

este dreptunghic isoscel.

Vezi rezolvarea

Observăm că două dintre laturi sunt egale, ambele având lungimea $\displaystyle 5$ . Deci triunghiul este isoscel, cu laturile congruente $\displaystyle 5$ și $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle 5=5\text{, deci triunghiul este }$ $\displaystyle \text{isoscel}$
Pentru reciproca teoremei lui Pitagora, calculăm pătratul celei mai mari laturi, $\displaystyle 5\sqrt{2}$ : $\displaystyle \left(5\sqrt{2}\right)^{2}=25\cdot 2$ .
$\displaystyle \left(5\sqrt{2}\right)^{2}=25\cdot 2=50$
Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: $\displaystyle 5^{2}+5^{2}=25+25$ .
$\displaystyle 5^{2}+5^{2}=25+25=50$
Comparăm rezultatele: pătratul celei mai mari laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, adică $\displaystyle \left(5\sqrt{2}\right)^{2}=5^{2}+5^{2}$ .
$\displaystyle \left(5\sqrt{2}\right)^{2}=5^{2}+5^{2}=50$
Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $\displaystyle 5\sqrt{2}$ . Cum este și isoscel, triunghiul este dreptunghic isoscel.
$\displaystyle \text{Triunghiul este }$ $\displaystyle \text{dreptunghic isoscel}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Arătați că

\displaystyle 0\circ0=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=0$ în definiția legii: $\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)$ .
$\displaystyle 0\circ0=\log_3\left(3^0+3^0+1\right)$
Calculăm puterile: $\displaystyle 3^0=1$ . Suma de sub logaritm devine $\displaystyle 1+1+1=3$ .
$\displaystyle 0\circ0=\log_3\left(1+1+1\right)=\log_3 3$
Logaritmul în baza 3 din 3 este $\displaystyle 1$ , deoarece $\displaystyle 3^1=3$ . Am obținut egalitatea cerută.
$\displaystyle \log_3 3=1\text{, deci }0\circ0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Demonstrați că legea de compoziție „

\displaystyle \circ

” este comutativă pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Legea este comutativă dacă $\displaystyle x\circ y=y\circ x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ . Fixăm două numere reale oarecare $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ și scriem definiția lui $\displaystyle x\circ y$ .
$\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)$
Scriem acum definiția lui $\displaystyle y\circ x$ , schimbând rolurile lui $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ în formula legii.
$\displaystyle y\circ x=\log_3\left(3^y+3^x+1\right)$
Adunarea numerelor reale este comutativă, deci $\displaystyle 3^y+3^x+1=3^x+3^y+1$ . Argumentele logaritmilor sunt egale, deci și logaritmii sunt egali.
$\displaystyle \log_3\left(3^y+3^x+1\right)=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)$
Rezultă că $\displaystyle x\circ y=y\circ x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ , deci legea „ $\displaystyle \circ$ ” este comutativă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle x\circ y=y\circ x$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ0=x+1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=0$ în definiția legii: $\displaystyle x\circ 0=\log_3\left(3^x+3^0+1\right)$ . Cum $\displaystyle 3^0=1$ , obținem $\displaystyle x\circ 0=\log_3\left(3^x+2\right)$ .
$\displaystyle x\circ 0=\log_3\left(3^x+2\right)$
Ecuația $\displaystyle x\circ 0=x+1$ devine $\displaystyle \log_3\left(2+3^x\right)=x+1$ .
$\displaystyle \log_3\left(2+3^x\right)=x+1$
Argumentul $\displaystyle 2+3^x$ este pozitiv pentru orice $\displaystyle x$ real, deci ecuația are sens pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Din definiția logaritmului obținem $\displaystyle 2+3^x=3^{x+1}$ .
$\displaystyle 2+3^x=3^{x+1}$
Scriem $\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^x$ , deci $\displaystyle 2+3^x=3\cdot 3^x$ . Mutăm termenii: $\displaystyle 2=2\cdot 3^x$ . Împărțind la 2 obținem $\displaystyle 3^x=1$ .
$\displaystyle 3^x=1$
Cum $\displaystyle 1=3^0$ și funcția exponențială este injectivă, din $\displaystyle 3^x=3^0$ rezultă $\displaystyle x=0$ . Valoarea convine, deoarece ecuația are sens pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Arătați că

\displaystyle x\circ y>0

, pentru orice

\displaystyle x,y\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Avem de arătat că $\displaystyle \log_3\left(3^x+3^y+1\right)>0$ . Baza $\displaystyle 3$ este mai mare decât $\displaystyle 1$ , deci logaritmul este pozitiv exact când argumentul este mai mare decât $\displaystyle 1$ , adică trebuie să arătăm că $\displaystyle 3^x+3^y+1>1$ .
$\displaystyle 3^x+3^y+1>1$
O putere cu baza $\displaystyle 3$ este strict pozitivă pentru orice exponent real, deci pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle 3^x>0$ și $\displaystyle 3^y>0$ .
$\displaystyle 3^x>0$ , $\displaystyle \ 3^y>0$
Adunăm inegalitățile: $\displaystyle 3^x+3^y>0$ . Adăugăm $\displaystyle 1$ în ambii membri și obținem $\displaystyle 3^x+3^y+1>1$ .
$\displaystyle 3^x+3^y+1>1$
Funcția $\displaystyle \log_3$ este strict crescătoare și $\displaystyle \log_3 1=0$ . Din $\displaystyle 3^x+3^y+1>1$ rezultă $\displaystyle \log_3\left(3^x+3^y+1\right)>\log_3 1=0$ , deci $\displaystyle x\circ y>0$ , pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle 3^x+3^y+1>1\Rightarrow\log_3\left(3^x+3^y+1\right)>0\Rightarrow x\circ y>0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Verificați dacă legea de compoziție „

\displaystyle \circ

” admite element neutru.

Vezi rezolvarea

Presupunem că există element neutru $\displaystyle e\in\mathbb{R}$ . Atunci pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ trebuie să avem $\displaystyle x\circ e=x$ . Folosind definiția legii, obținem $\displaystyle \log_3\left(3^x+3^e+1\right)=x$ .
$\displaystyle x\circ e=x\Rightarrow\log_3\left(3^x+3^e+1\right)=x$
Trecem de la logaritm la exponențială: dacă $\displaystyle \log_3 A=x$ , atunci $\displaystyle A=3^x$ . Deci $\displaystyle 3^x+3^e+1=3^x$ .
$\displaystyle 3^x+3^e+1=3^x$
Reducem termenul $\displaystyle 3^x$ din ambii membri și obținem $\displaystyle 3^e+1=0$ , adică $\displaystyle 3^e=-1$ .
$\displaystyle 3^e=-1$
Egalitatea este imposibilă, deoarece $\displaystyle 3^e>0$ pentru orice $\displaystyle e\in\mathbb{R}$ . Deci nu există un astfel de $\displaystyle e$ și legea nu are element neutru.
$\displaystyle \text{Legea nu admite element }$ $\displaystyle \text{neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\log_3\left(3^x+3^y+1\right)

.

Arătați că

\displaystyle (x\circ x)\circ x=\log_3\left(2+3^{x+1}\right)

, pentru orice

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle x\circ x$ aplicând definiția legii cu $\displaystyle y=x$ : $\displaystyle x\circ x=\log_3\left(3^x+3^x+1\right)$ , adică $\displaystyle x\circ x=\log_3\left(2\cdot 3^x+1\right)$ .
$\displaystyle x\circ x=\log_3\left(2\cdot3^x+1\right)$
Notăm $\displaystyle a=x\circ x$ . Aplicăm definiția pentru $\displaystyle a\circ x=\log_3\left(3^a+3^x+1\right)$ . Din proprietatea $\displaystyle 3^{\log_3 t}=t$ (pentru $\displaystyle t>0$ ) rezultă $\displaystyle 3^a=3^{\log_3\left(2\cdot 3^x+1\right)}=2\cdot 3^x+1$ .
$\displaystyle 3^{x\circ x}=2\cdot3^x+1$
Înlocuim $\displaystyle 3^a$ în expresia lui $\displaystyle (x\circ x)\circ x$ și obținem $\displaystyle (x\circ x)\circ x=\log_3\left(2\cdot 3^x+1+3^x+1\right)$ .
$\displaystyle (x\circ x)\circ x=\log_3\left(2\cdot3^x+1+3^x+1\right)$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2\cdot 3^x+3^x=3\cdot 3^x=3^{x+1}$ , iar $\displaystyle 1+1=2$ . Deci $\displaystyle (x\circ x)\circ x=\log_3\left(2+3^{x+1}\right)$ , pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle (x\circ x)\circ x=\log_3\left(2+3^{x+1}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Pentru

\displaystyle m=1

, arătați că

\displaystyle \det A=3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=1$ în matricea $\displaystyle A$ și obținem matricea de mai jos.
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&-1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: $\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 1=-1+1+4=4$
Termenii cu semnul minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1=-2+1+2=1$
Scădem a doua sumă din prima: $\displaystyle 4-1=3$ . Deci determinantul are valoarea cerută.
$\displaystyle \det A=4-1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: $\displaystyle m\cdot(-1)\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot m\cdot 1$ și $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle m\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot m\cdot 1+2\cdot 2\cdot 1=-m+m+4$
Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei, pe care le vom scădea: $\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1$ , $\displaystyle m\cdot m\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1+m\cdot m\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1=-2+m^{2}+2$
Scriem determinantul ca diferența dintre prima sumă și a doua sumă: $\displaystyle \det A=(-m+m+4)-(-2+m^{2}+2)$ , adică, termen cu termen, expresia de mai jos.
$\displaystyle \det A=-m+4+m+2-m^{2}-2$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -m+m=0$ și $\displaystyle 2-2=0$ , deci rămân doar $\displaystyle 4$ și $\displaystyle -m^{2}$ .
$\displaystyle \det A=-m^{2}+4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Determinați numărul real pozitiv

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle \det(2A)=-16

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A$ prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle \det A=m\cdot(-1-m)-1\cdot(2-m)+2\cdot(2+1)$ .
$\displaystyle \det A=-m-m^{2}-2+m+6=4-m^{2}=(2-m)(2+m)$
Matricea $\displaystyle A$ are ordinul $\displaystyle 3$ , deci prin înmulțirea cu $\displaystyle 2$ fiecare dintre cele $\displaystyle 3$ linii se înmulțește cu $\displaystyle 2$ , iar $\displaystyle \det(2A)=2^{3}\det A$ .
$\displaystyle \det(2A)=2^{3}\cdot(2-m)(2+m)$
Impunem condiția $\displaystyle \det(2A)=-16$ și obținem ecuația în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle 2^{3}\cdot(2-m)(2+m)=-16$
Împărțim ecuația la $\displaystyle 8$ : $\displaystyle 4-m^{2}=-2$ , apoi trecem $\displaystyle 4$ în partea dreaptă și schimbăm semnul.
$\displaystyle 4-m^{2}=-2\Rightarrow m^{2}=6$
Ecuația $\displaystyle m^{2}=6$ are două soluții reale, dar cerința cere $\displaystyle m$ pozitiv, deci păstrăm doar soluția pozitivă.
$\displaystyle m=\pm\sqrt{6}\Rightarrow m=\sqrt{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Pentru

\displaystyle m=3

, verificați dacă tripletul

\displaystyle \left(\frac{7}{5},-\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)

este soluție a sistemului (S).

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=3$ în sistemul (S) și obținem sistemul concret pe care îl verificăm.
$\displaystyle \begin{cases}3x+y+2z=1\\2x-y+3z=2\\x+y+z=-1\end{cases}$
Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{7}{5}$ , $\displaystyle y=-\dfrac{8}{5}$ , $\displaystyle z=-\dfrac{4}{5}$ în prima ecuație și calculăm membrul stâng.
$\displaystyle 3\cdot\frac{7}{5}-\frac{8}{5}+2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{21-8-8}{5}=\frac{5}{5}=1$
Înlocuim tripletul în a doua ecuație și calculăm membrul stâng. Obținem $\displaystyle 2$ , deci și a doua ecuație este verificată.
$\displaystyle 2\cdot\frac{7}{5}-\left(-\frac{8}{5}\right)+3\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{14+8-12}{5}=\frac{10}{5}=2$
Înlocuim tripletul în a treia ecuație și calculăm membrul stâng. Obținem $\displaystyle -1$ , deci și a treia ecuație este verificată.
$\displaystyle \frac{7}{5}-\frac{8}{5}-\frac{4}{5}=\frac{7-8-4}{5}=\frac{-5}{5}=-1$
Tripletul verifică toate cele trei ecuații ale sistemului pentru $\displaystyle m=3$ , deci este soluție a sistemului (S).
$\displaystyle \left(\frac{7}{5},-\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\text{ este soluție}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Pentru

\displaystyle m=1

, rezolvați sistemul (S).

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=1$ în sistem și obținem sistemul de rezolvat.
$\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=1\\2x-y+z=2\\x+y+z=-1\end{cases}$
Scădem a treia ecuație din prima: $\displaystyle (x+y+2z)-(x+y+z)=1-(-1)$ , deci $\displaystyle z=2$ .
$\displaystyle z=2$
Înlocuim $\displaystyle z=2$ în a doua și a treia ecuație: $\displaystyle 2x-y+2=2$ și $\displaystyle x+y+2=-1$ , adică un sistem în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle \begin{cases}2x-y=0\\x+y=-3\end{cases}$
Adunăm cele două ecuații: $\displaystyle 3x=-3$ , deci $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle x=-1$
Din $\displaystyle x+y=-3$ și $\displaystyle x=-1$ obținem $\displaystyle y=-2$ . Verificăm în prima ecuație: $\displaystyle -1-2+4=1$ , corect. Soluția sistemului este cea de mai jos.
$\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle \ y=-2$ , $\displaystyle \ z=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}m&1&2\\2&-1&m\\1&1&1\end{pmatrix}

și sistemul (S)

\displaystyle \begin{cases}mx+y+2z=1\\2x-y+mz=2\\x+y+z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Pentru

\displaystyle m=2

, arătați că sistemul (S) nu are soluții.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=2$ înlocuim în sistemul (S) și obținem sistemul de mai jos.
$\displaystyle \begin{cases}2x+y+2z=1\\2x-y+2z=2\\x+y+z=-1\end{cases}$
Scădem a doua ecuație din prima: $\displaystyle (2x+y+2z)-(2x-y+2z)=1-2$ , adică $\displaystyle 2y=-1$ .
$\displaystyle 2y=-1$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem valoarea lui $\displaystyle y$ .
$\displaystyle y=-\frac{1}{2}$
Înlocuim $\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}$ în prima ecuație: $\displaystyle 2x+2z=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ . În a treia ecuație: $\displaystyle x+z=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \begin{cases}2x+2z=\frac{3}{2}\\x+z=-\frac{1}{2}\end{cases}$
Din prima ecuație, prin împărțire la $\displaystyle 2$ , obținem $\displaystyle x+z=\dfrac{3}{4}$ , în contradicție cu $\displaystyle x+z=-\dfrac{1}{2}$ . Deci sistemul nu are soluții.
$\displaystyle \dfrac{3}{4}\neq-\dfrac{1}{2}\text{, deci sistemul este }$ $\displaystyle \text{imposibil}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2013, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani