Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 180−(125+5)=0\displaystyle \sqrt{180}-\left(\sqrt{125}+\sqrt{5}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem pe 180\displaystyle 180 într-un produs care conține un pătrat perfect: 180=36⋅5\displaystyle 180=36\cdot 5.
    180=36⋅5\displaystyle 180=36\cdot 5
  2. Scoatem factorul de sub radical: 180=36⋅5=36⋅5\displaystyle \sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{5}, deci 180=65\displaystyle \sqrt{180}=6\sqrt{5}.
    180=65\displaystyle \sqrt{180}=6\sqrt{5}
  3. La fel, 125=25⋅5\displaystyle 125=25\cdot 5, deci 125=25⋅5=55\displaystyle \sqrt{125}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{5}=5\sqrt{5}. Împreună cu pasul anterior, obținem ambele descompuneri cerute.
    180=65\displaystyle \sqrt{180}=6\sqrt{5}, 125=55\displaystyle \ \sqrt{125}=5\sqrt{5}
  4. Înlocuim radicalii în expresie și adunăm termenii asemenea din paranteză: 55+5=65\displaystyle 5\sqrt{5}+\sqrt{5}=6\sqrt{5}.
    65−(55+5)=65−65\displaystyle 6\sqrt{5}-\left(5\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)=6\sqrt{5}-6\sqrt{5}
  5. Scăderea a doi termeni egali dă zero: 65−65=0\displaystyle 6\sqrt{5}-6\sqrt{5}=0, deci egalitatea este demonstrată.
    65−(55+5)=65−65=0\displaystyle 6\sqrt{5}-\left(5\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)=6\sqrt{5}-6\sqrt{5}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−3\displaystyle f(x)=4x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2\displaystyle g(x)=x^2.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Egalăm cele două expresii: 4x−3=x2\displaystyle 4x-3=x^{2}.
    4x−3=x2\displaystyle 4x-3=x^{2}
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea în forma generală: x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3: Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.
    Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4
  4. Aplicăm formula soluțiilor x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, unde 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2: x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}.
    x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}
  5. Calculăm cele două soluții: x1=4−22=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_{2}=\dfrac{4+2}{2}=3. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție.
    x=1 și x=3\displaystyle x=1\text{ și }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 74x−2=49\displaystyle 7^{4x-2}=49.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 49=72\displaystyle 49=7^{2}. Astfel ambii membri ai ecuației au aceeași bază, 7\displaystyle 7.
    74x−2=72\displaystyle 7^{4x-2}=7^{2}
  2. Funcția exponențială cu baza 7\displaystyle 7 este injectivă, deci dacă puterile sunt egale, exponenții sunt egali. Egalăm exponenții: 4x−2=2\displaystyle 4x-2=2.
    4x−2=2\displaystyle 4x-2=2
  3. Mutăm termenul liber în membrul drept: 4x=2+2\displaystyle 4x=2+2, deci 4x=4\displaystyle 4x=4.
    4x=4\displaystyle 4x=4
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem x=1\displaystyle x=1. Este singura soluție reală a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    cazuri posibile=90\displaystyle \text{cazuri posibile}=90
  2. Căutăm pătratele perfecte de două cifre. Cum 32=9\displaystyle 3^{2}=9 are o singură cifră și 42=16\displaystyle 4^{2}=16, iar 92=81\displaystyle 9^{2}=81 și 102=100\displaystyle 10^{2}=100 are trei cifre, numerele n\displaystyle n cu 10≤n2≤99\displaystyle 10\le n^{2}\le 99 sunt n∈{4,5,6,7,8,9}\displaystyle n\in\{4,5,6,7,8,9\}.
    n∈{4,5,6,7,8,9}\displaystyle n\in\{4,5,6,7,8,9\}
  3. Pătratele corespunzătoare sunt 16, 25, 36, 49, 64, 81\displaystyle 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81. Deci numărul cazurilor favorabile este 6\displaystyle 6.
    cazuri favorabile=6\displaystyle \text{cazuri favorabile}=6
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=690\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{6}{90}, apoi simplificăm prin 6\displaystyle 6.
    p=690=115\displaystyle p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4), B(6,4)\displaystyle B(6,4) și C(6,7)\displaystyle C(6,7). Care este lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului △ABC\displaystyle \triangle ABC?
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB, cu A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(6,4)\displaystyle B(6,4): AB=(6−3)2+(4−4)2=9+0=3\displaystyle AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{9+0}=3.
    AB=(6−3)2+(4−4)2=9=3\displaystyle AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{9}=3
  3. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC, cu B(6,4)\displaystyle B(6,4) și C(6,7)\displaystyle C(6,7): BC=(6−6)2+(7−4)2=0+9=3\displaystyle BC=\sqrt{(6-6)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{0+9}=3.
    BC=(6−6)2+(7−4)2=9=3\displaystyle BC=\sqrt{(6-6)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{9}=3
  4. Deoarece AB=BC=3\displaystyle AB=BC=3, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel, cu vârful în B\displaystyle B.
    AB=BC=3, deci △ABC este isoscel\displaystyle AB=BC=3\text{, deci }\triangle ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (cos⁡30∘−sin⁡30∘)2+cos⁡30∘=1\displaystyle \left(\cos 30^\circ-\sin 30^\circ\right)^2+\cos 30^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresie: (32−12)2+32\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    (32−12)2+32\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Scriem diferența sub un singur numitor și ridicăm la pătrat: (3−12)2=3−23+14=4−234\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2=\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{4}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}.
    4−234=1−32\displaystyle \frac{4-2\sqrt{3}}{4}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Echivalent, folosim formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2: 34+14−2⋅32⋅12=1−2⋅32⋅12\displaystyle \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=1-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}.
    1−2⋅32⋅12=1−32\displaystyle 1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. Adunăm și cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}: 1−32+32=1\displaystyle 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1. Deci egalitatea este demonstrată.
    1−2⋅32⋅12+32=1−32+32=1\displaystyle 1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Arătați că 2020∘4=2020\displaystyle 2020\circ 4=2020.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12 și înlocuim x=2020\displaystyle x=2020, y=4\displaystyle y=4.
    2020∘4=2020⋅4−3(2020+4)+12\displaystyle 2020\circ 4=2020\cdot 4-3(2020+4)+12
  2. Calculăm 2020⋅4=8080\displaystyle 2020\cdot 4=8080, iar 2020+4=2024\displaystyle 2020+4=2024, deci 3⋅2024=6072\displaystyle 3\cdot 2024=6072.
    2020⋅4=8080\displaystyle 2020\cdot 4=8080,3(2020+4)=6072\displaystyle \quad 3(2020+4)=6072
  3. Înlocuim în expresie: 8080−6072+12=2008+12=2020\displaystyle 8080-6072+12=2008+12=2020. Așadar 2020∘4=2020\displaystyle 2020\circ 4=2020.
    8080−6072+12=2020\displaystyle 8080-6072+12=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Demonstrați că 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12 și înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    3∘x=3x−3(3+x)+12\displaystyle 3\circ x=3x-3(3+x)+12
  2. Desfacem paranteza: −3(3+x)=−9−3x\displaystyle -3(3+x)=-9-3x.
    3∘x=3x−9−3x+12\displaystyle 3\circ x=3x-9-3x+12
  3. Termenii 3x\displaystyle 3x și −3x\displaystyle -3x se reduc, iar −9+12=3\displaystyle -9+12=3. Deci rezultatul nu depinde de x\displaystyle x.
    3∘x=−9+12=3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 3\circ x=-9+12=3\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Demonstrați că x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12 și desfacem paranteza −3(x+y)\displaystyle -3(x+y).
    x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12
  2. Scriem 12=9+3\displaystyle 12=9+3, pentru a obține termenul 9\displaystyle 9 necesar în dezvoltarea produsului (x−3)(y−3)\displaystyle (x-3)(y-3).
    x∘y=xy−3x−3y+9+3\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+9+3
  3. Grupăm xy−3x=x(y−3)\displaystyle xy-3x=x(y-3) și −3y+9=−3(y−3)\displaystyle -3y+9=-3(y-3).
    x∘y=x(y−3)−3(y−3)+3\displaystyle x\circ y=x(y-3)-3(y-3)+3
  4. Dăm factor comun y−3\displaystyle y-3 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9. Deoarece x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12, obținem x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
  2. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3, deci x∘x=(x−3)(x−3)+3\displaystyle x\circ x=(x-3)(x-3)+3.
    x∘x=(x−3)2+3, pentru orice x∈R\displaystyle x\circ x=(x-3)^2+3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x devine (x−3)2+3=x\displaystyle (x-3)^2+3=x. Scriem 3−x=−(x−3)\displaystyle 3-x=-(x-3) și trecem totul în stânga: (x−3)2−(x−3)=0\displaystyle (x-3)^2-(x-3)=0.
    (x−3)2−(x−3)=0\displaystyle (x-3)^2-(x-3)=0
  4. Dăm factor comun x−3\displaystyle x-3: (x−3)[(x−3)−1]=(x−3)(x−4)=0\displaystyle (x-3)\left[(x-3)-1\right]=(x-3)(x-4)=0.
    (x−3)(x−4)=0\displaystyle (x-3)(x-4)=0
  5. Un produs este zero dacă un factor este zero: x−3=0\displaystyle x-3=0 sau x−4=0\displaystyle x-4=0. Deci x=3\displaystyle x=3 sau x=4\displaystyle x=4.
    x=3 sau x=4\displaystyle x=3\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Arătați că x∘y≥3\displaystyle x\circ y\ge 3, pentru orice x≥3\displaystyle x\ge 3 și y≥3\displaystyle y\ge 3.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12 și vrem să apară diferențele x−3\displaystyle x-3 și y−3\displaystyle y-3, deoarece ipoteza este x≥3\displaystyle x\ge 3 și y≥3\displaystyle y\ge 3.
    x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12
  2. Dezvoltăm (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9. Cum 12=9+3\displaystyle 12=9+3, obținem că x∘y\displaystyle x\circ y se scrie ca produsul plus 3\displaystyle 3.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
  3. Din x≥3\displaystyle x\ge 3 și y≥3\displaystyle y\ge 3 rezultă că ambii factori sunt nenegativi.
    x−3≥0 și y−3≥0\displaystyle x-3\ge 0\text{ și }y-3\ge 0
  4. Produsul a două numere nenegative este nenegativ, deci (x−3)(y−3)≥0\displaystyle (x-3)(y-3)\ge 0. Adunăm 3\displaystyle 3 la ambii membri și folosim x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.
    (x−3)(y−3)≥0⇒(x−3)(y−3)+3≥3⇒x∘y≥3, pentru orice x≥3 și y≥3\displaystyle (x-3)(y-3)\ge 0\Rightarrow (x-3)(y-3)+3\ge 3\Rightarrow x\circ y\ge 3\text{, pentru orice }x\ge 3\text{ și }y\ge 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Calculați 1∘2∘3∘…∘2020\displaystyle \sqrt{1}\circ\sqrt{2}\circ\sqrt{3}\circ\ldots\circ\sqrt{2020}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub formă factorizată. Avem (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, deci adăugând 3\displaystyle 3 obținem xy−3(x+y)+12\displaystyle xy-3(x+y)+12. Prin urmare x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
  2. Arătăm că 3\displaystyle 3 este element absorbant. Pentru orice x\displaystyle x real, x∘3=(x−3)⋅0+3=3\displaystyle x\circ 3=(x-3)\cdot 0+3=3. Legea este comutativă (expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y), deci și 3∘y=3\displaystyle 3\circ y=3.
    x∘3=3 și 3∘y=3\displaystyle x\circ 3=3\text{ și }3\circ y=3, x\displaystyle \ x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. Căutăm în șirul de radicali un termen egal cu 3\displaystyle 3. Avem 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, iar 9\displaystyle 9 se află printre numerele de la 1\displaystyle 1 la 2020\displaystyle 2020.
    9=3\displaystyle \sqrt{9}=3
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii. Luăm produsul primilor opt termeni, îl compunem cu 3=9\displaystyle 3=\sqrt{9}, apoi compunem rezultatul cu restul. Conform proprietății de element absorbant, (1∘…∘8)∘3=3\displaystyle \left(\sqrt{1}\circ\ldots\circ\sqrt{8}\right)\circ 3=3, iar apoi 3∘(10∘…∘2020)=3\displaystyle 3\circ\left(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2020}\right)=3.
    1∘2∘…∘2020=((1∘…∘8)∘3)∘10∘…∘2020=3∘(10∘…∘2020)=3\displaystyle \sqrt{1}\circ\sqrt{2}\circ\ldots\circ\sqrt{2020}=\left(\left(\sqrt{1}\circ\ldots\circ\sqrt{8}\right)\circ 3\right)\circ\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2020}=3\circ\left(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2020}\right)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−18\displaystyle \det A=-18.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin doi cu elementele 0\displaystyle 0, 3\displaystyle 3, 6\displaystyle 6, 9\displaystyle 9.
    det⁡A=∣0369∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&3\\6&9\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=0⋅9−3⋅6\displaystyle \det A=0\cdot 9-3\cdot 6
  3. Calculăm produsele: 0⋅9=0\displaystyle 0\cdot 9=0, iar 3⋅6=18\displaystyle 3\cdot 6=18. Scădem și obținem rezultatul cerut.
    det⁡A=0−18=−18\displaystyle \det A=0-18=-18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅B(0)−B(0)⋅A=6(111−1)\displaystyle A\cdot B(0)-B(0)\cdot A=6\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem matricea B(0)\displaystyle B(0).
    B(0)=(2024)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2&0\\2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅B(0)\displaystyle A\cdot B(0), înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(0)\displaystyle B(0): de exemplu, elementul din colțul stânga sus este 0⋅2+3⋅2=6\displaystyle 0\cdot 2+3\cdot 2=6.
    A⋅B(0)=(0369)(2024)=(6123036)\displaystyle A\cdot B(0)=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&12\\30&36\end{pmatrix}
  3. Calculăm B(0)⋅A\displaystyle B(0)\cdot A, înmulțind liniile lui B(0)\displaystyle B(0) cu coloanele lui A\displaystyle A: de exemplu, elementul din colțul stânga jos este 2⋅0+4⋅6=24\displaystyle 2\cdot 0+4\cdot 6=24.
    B(0)⋅A=(2024)(0369)=(062442)\displaystyle B(0)\cdot A=\begin{pmatrix}2&0\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&6\\24&42\end{pmatrix}
  4. Scriem diferența cerută folosind cele două produse calculate.
    A⋅B(0)−B(0)⋅A=(6123036)−(062442)\displaystyle A\cdot B(0)-B(0)\cdot A=\begin{pmatrix}6&12\\30&36\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&6\\24&42\end{pmatrix}
  5. Scădem matricele element cu element: 6−0=6\displaystyle 6-0=6, 12−6=6\displaystyle 12-6=6, 30−24=6\displaystyle 30-24=6, 36−42=−6\displaystyle 36-42=-6. Apoi dăm factor comun 6\displaystyle 6 și obținem egalitatea cerută.
    (666−6)=6(111−1)\displaystyle \begin{pmatrix}6&6\\6&-6\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(x))=(2−x)(x+4)\displaystyle \det(B(x))=(2-x)(x+4), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei B(x)\displaystyle B(x): det⁡(B(x))=∣2x2+x4∣\displaystyle \det(B(x))=\begin{vmatrix}2&x\\2+x&4\end{vmatrix}.
    det⁡(B(x))=∣2x2+x4∣\displaystyle \det(B(x))=\begin{vmatrix}2&x\\2+x&4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, deci det⁡(B(x))=2⋅4−x(2+x)\displaystyle \det(B(x))=2\cdot 4-x(2+x).
    det⁡(B(x))=8−x(x+2)\displaystyle \det(B(x))=8-x(x+2)
  3. Desfacem parantezele: 8−x(x+2)=8−x2−2x\displaystyle 8-x(x+2)=8-x^{2}-2x, adică −x2−2x+8\displaystyle -x^{2}-2x+8.
    −x2−2x+8\displaystyle -x^{2}-2x+8
  4. Dezvoltăm produsul: (2−x)(x+4)=2x+8−x2−4x=−x2−2x+8\displaystyle (2-x)(x+4)=2x+8-x^{2}-4x=-x^{2}-2x+8.
    (2−x)(x+4)=−x2−2x+8\displaystyle (2-x)(x+4)=-x^{2}-2x+8
  5. Deci det⁡(B(x))=−x2−2x+8=(2−x)(x+4)\displaystyle \det(B(x))=-x^{2}-2x+8=(2-x)(x+4), pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(B(x))=(2−x)(x+4), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(B(x))=(2-x)(x+4)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A+B(2))<det⁡A+det⁡(B(2))\displaystyle \det(A+B(2))<\det A+\det(B(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix} și obținem matricea B(2)\displaystyle B(2).
    B(2)=(2244)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și B(2)\displaystyle B(2) element cu element: 0+2=2\displaystyle 0+2=2, 3+2=5\displaystyle 3+2=5, 6+4=10\displaystyle 6+4=10, 9+4=13\displaystyle 9+4=13.
    A+B(2)=(251013)\displaystyle A+B(2)=\begin{pmatrix}2&5\\10&13\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul sumei: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A+B(2))=2⋅13−5⋅10\displaystyle \det(A+B(2))=2\cdot 13-5\cdot 10.
    det⁡(A+B(2))=26−50=−24\displaystyle \det(A+B(2))=26-50=-24
  4. Calculăm det⁡(B(2))=2⋅4−2⋅4\displaystyle \det(B(2))=2\cdot 4-2\cdot 4. Cele două linii sunt proporționale, deci determinantul este zero.
    det⁡(B(2))=8−8=0\displaystyle \det(B(2))=8-8=0
  5. Calculăm det⁡A=0⋅9−3⋅6\displaystyle \det A=0\cdot 9-3\cdot 6.
    det⁡A=0−18=−18\displaystyle \det A=0-18=-18
  6. Suma determinanților este det⁡A+det⁡(B(2))=−18+0=−18\displaystyle \det A+\det(B(2))=-18+0=-18. Cum −24<−18\displaystyle -24<-18, inegalitatea cerută este adevărată.
    det⁡(A+B(2))=−24<−18=det⁡A+det⁡(B(2))\displaystyle \det(A+B(2))=-24<-18=\det A+\det(B(2))
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că B(x)⋅B(y)=B(y)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(y)\cdot B(x) dacă și numai dacă x=y\displaystyle x=y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(x)⋅B(y)\displaystyle B(x)\cdot B(y), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementele sunt: 2⋅2+x(2+y)\displaystyle 2\cdot 2+x(2+y), 2y+4x\displaystyle 2y+4x, (2+x)⋅2+4(2+y)\displaystyle (2+x)\cdot 2+4(2+y) și (2+x)y+4⋅4\displaystyle (2+x)y+4\cdot 4.
    B(x)⋅B(y)=(xy+2x+44x+2y2x+4y+12xy+2y+16)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}xy+2x+4&4x+2y\\2x+4y+12&xy+2y+16\end{pmatrix}
  2. Pentru B(y)⋅B(x)\displaystyle B(y)\cdot B(x) schimbăm între ele x\displaystyle x și y\displaystyle y în rezultatul anterior. Obținem al doilea produs, valabil pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    B(y)⋅B(x)=(xy+2y+42x+4y4x+2y+12xy+2x+16)\displaystyle B(y)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}xy+2y+4&2x+4y\\4x+2y+12&xy+2x+16\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Scriem cele patru egalități pentru B(x)⋅B(y)=B(y)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(y)\cdot B(x). Primul element dă xy+2x+4=xy+2y+4\displaystyle xy+2x+4=xy+2y+4, adică 2x=2y\displaystyle 2x=2y, deci x=y\displaystyle x=y. Al doilea element dă 4x+2y=2x+4y\displaystyle 4x+2y=2x+4y, adică 2x=2y\displaystyle 2x=2y, deci tot x=y\displaystyle x=y. Ultimele două egalități conduc la aceeași condiție.
    {xy+2x+4=xy+2y+44x+2y=2x+4y2x+4y+12=4x+2y+12xy+2y+16=xy+2x+16⇔2x=2y\displaystyle \begin{cases}xy+2x+4=xy+2y+4\\4x+2y=2x+4y\\2x+4y+12=4x+2y+12\\xy+2y+16=xy+2x+16\end{cases}\Leftrightarrow 2x=2y
  4. Deci egalitatea celor două produse implică x=y\displaystyle x=y. Reciproc, dacă x=y\displaystyle x=y, cele două matrice produs coincid, pentru că devin identice prin înlocuirea lui y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Așadar B(x)⋅B(y)=B(y)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(y)\cdot B(x) dacă și numai dacă x=y\displaystyle x=y.
    (xy+2x+44x+2y2x+4y+12xy+2y+16)=(xy+2y+42x+4y4x+2y+12xy+2x+16)⇔x=y\displaystyle \begin{pmatrix}xy+2x+4&4x+2y\\2x+4y+12&xy+2y+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy+2y+4&2x+4y\\4x+2y+12&xy+2x+16\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0369)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\6&9\end{pmatrix} și B(x)=(2x2+x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\2+x&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care B(1)+B(2)+B(3)+…+B(n)=(20050505250400)\displaystyle B(1)+B(2)+B(3)+\ldots+B(n)=\begin{pmatrix}200&5050\\5250&400\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) fiecare matrice B(k)\displaystyle B(k) are elementul 2\displaystyle 2, deci suma este n⋅2\displaystyle n\cdot 2.
    2+2+…+2=2n\displaystyle 2+2+\ldots+2=2n
  2. Pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) elementele sunt 1,2,…,n\displaystyle 1,2,\ldots,n. Folosim suma lui Gauss.
    1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
  3. Pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) elementele sunt 2+k\displaystyle 2+k, pentru k=1,2,…,n\displaystyle k=1,2,\ldots,n. Suma este 2n\displaystyle 2n plus suma lui Gauss.
    (2+1)+(2+2)+…+(2+n)=2n+n(n+1)2\displaystyle (2+1)+(2+2)+\ldots+(2+n)=2n+\dfrac{n(n+1)}{2}
  4. Pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) fiecare matrice are elementul 4\displaystyle 4, deci suma este 4n\displaystyle 4n. Scriem matricea sumă.
    B(1)+B(2)+…+B(n)=(2nn(n+1)22n+n(n+1)24n), unde n este numa˘r natural nenul\displaystyle B(1)+B(2)+\ldots+B(n)=\begin{pmatrix}2n&\frac{n(n+1)}{2}\\2n+\frac{n(n+1)}{2}&4n\end{pmatrix}\text{, unde }n\text{ este număr natural nenul}
  5. Egalăm matricea sumă cu matricea dată, element cu element. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem 2n=200\displaystyle 2n=200, deci n=100\displaystyle n=100.
    2n=200⇒n=100\displaystyle 2n=200\Rightarrow n=100
  6. Verificăm celelalte elemente pentru n=100\displaystyle n=100: 100⋅1012=5050\displaystyle \dfrac{100\cdot 101}{2}=5050, 2⋅100+5050=5250\displaystyle 2\cdot 100+5050=5250 și 4⋅100=400\displaystyle 4\cdot 100=400. Toate coincid cu matricea dată.
    (2nn(n+1)22n+n(n+1)24n)=(20050505250400)⇔n=100\displaystyle \begin{pmatrix}2n&\frac{n(n+1)}{2}\\2n+\frac{n(n+1)}{2}&4n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}200&5050\\5250&400\end{pmatrix}\Leftrightarrow n=100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.